16.3(4)二次根式的分母有理化

16.3（4）二次根式的分母有理化

一、学习目标：

1、理解有理化因式的概念，明白如何寻找有理化因式。

2、会对二次根式进行分母有理化

3、初步掌握二次根式的加减乘除混合运算。

二、重、难点：

重点：二次根式的混合运算。

难点：有理化因式的确定及分母有理化。

三、学习过程：

1、引入 化简：______31

= 探索：______2

31

=- 分析：23）（可以化为有理数3，______231

=-，此式中3、2两项均需平方，23）

（、22）（才能去掉根号。 2、探索 平方差公式和完全平方公式都可以出现3、2的平方，是否都正确？学生可实验，找两个同学板书（仅板书两个整式公式)23)(23(+-，2)23(-）

3、小结，正确的应该是平方差因式。引出定义：两个含有二次根式的非零代数 式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。

4、学生举例：

5、既然知道有理化的因式，那么怎样进行分母有理化呢？ 教师板书231

-的化简过程

6、学生练习 例题9、把下列各式分母有理化：

（1）133

+ （2）23341

+

小结：寻找合适的有理数因式，中间不要跳步，刚开始学习需步骤充分。（多媒体投影）

7、含字母的二次根式的分母有理化

（3）)(n m n m n

m ≠+- 学生板书 一个分母有理化，一个因式分解的约分 n m ≠条件的含义

8、小结

分母有理化分母的类型

（1）一个二次根式，单项式的形式------有理化因式为本身

（2）二次根式的和差，多项式的形式------有理化因式为平方差因式

9、写出下列式子的有理化因式

b a b a --+-,,7523,23,3

10、二次根式的混合运算

运算顺序，运算法则，运算律 例题：154

510

-- 2)(

b a a b + 一生叙述，教师板书 11、学生练习： 1

32231

--+ 小结：注意有理化因式，括号和符号

12、代入求值：已知121

-=x ，求222+-x x

常规思路，通法：x ，及代数式各自化简，然后带入求值。

优化做法：1)1(2222+-=+-x x x

四、总结

1、有理化因式怎样找

2、怎样有理化

3、混合运算注意事项

五、作业

练习册16.3（4）

反思

针对本班学生基础较弱，所以教学中想对教材中字母的引入改为数字的引入，又考虑到教学的连贯性，所以想让学生思考分母有理化中，二次根式的形式还会有哪些？虽然做了前测，但学生想到的情况不理想，课堂上还是按照原有的思路去上，所以开始的引入学生的回答五花八门，我的临场应变能力及对教材的深入理解有欠缺，故而影响了后续的教学。分母有理化因式的填空题再练习后，学生有了一定的感触时，再总结练习会更好一点。另外题目的选择可以更优化，尤其是混合运算中本来设计了这样的一个练习351

351

--+，学生通过通分也

可以有理化，但是其它更多的题型是不可以的，所以这个特殊性影响了二次根式分母有理化通法的总结。 我将在今后的课堂教学中，以“课标”为依据，从教学目标、教学内容、教学环节、教学效果等各方面不断完善、提高；进一步钻研教材，用好教材；备课组间也会多交流，统一进度，对每个章节每节课统一认识；多角度，多手段的分析重难点，关注课堂的细节，做好反思改进。

中考数学试题解析9分母有理化二次根式化简(含答案)

(分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法。 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误；

D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=，

(完整word版)二次根式,分母有理化

上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案 年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日 课题1:二次根式分母分子有理化课时2 第1课时 （本章总课时：11） 课型新授 学习目标（涵盖教学目标的三个维度）1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化 2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式. 3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。 教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。 教学过程教师活动学生活动教学设 计说明 一、复习 引入新课回顾如何将 x 1分母有理化 二、典例讲解、 巩固练习一、解答题(共15道，每道8分) 1.已知a<0，化简— 答案：解：原式= = ∵∴从而 求得：又∵a<0, ∴a=-1. 解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a的值，代入求解 易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式 试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算 2.若，求

答案：解：∴ ∵0

中考数学一轮复习提高题专题复习二次根式练习题附解析

中考数学一轮复习提高题专题复习二次根式练习题附解析 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．235+= B ．422-= C ．8＝42 D ．236?= 2．下列计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．8=42 C ．32﹣2=3 D ．23?=6 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5 B ． 13 C ．10 D ．27 4．已知52a =+，52b =-，则227a b ++的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 5．下列运算中，正确的是( ) A ．1333??+ ? ?? =3 B ．(12-7)÷3=-1 C ．32÷ 1 22 =2 D ．(2+3)×3=63+ 6．下列运算正确的是（ ） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．27123-= 7．下列计算正确的是（ ） A ．822-= B ．321-= C ．325+= D ．(4)(9)496-?-= -?-= 8．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5 个数是（ ） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 9．将1、 、 、 按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）

A ．1 B ．2 C ． D ．6 10．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A ．0.1 B ．19 C ．8 D ．14 4 11．设0a >，0b >，且( )( ) 35a a b b a b +=+，则 23a b ab a b ab -+++的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 12．给出下列化简①（2-）2=2：②22-=（）2；③221214+=123； ④11 142 - =，其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①② D ．③④ 二、填空题 13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 14．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则 2b c +=________． 15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 2]=1，类似地，只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中，最大的是________． 16．当x 3x 2﹣4x +2017=________． 17．把1 a - 18．已知2，n=1222m n mn +-的值________． 19．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 201262_____． 三、解答题 21．观察下列各式子，并回答下面问题． 211-

八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题

二次根式分母有理化及应用 一、分母有理化 1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式： a =来确定， ，b a -与b a -等分别互为有理化因式； ②两项二次根式：利用平方差公式来确定， 如： a + a 等分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤 二、两种特殊有理化方法 1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。 6====； 2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。 分母有理化： 2 2 2 22222+ +?= ==。 总结： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 分母中含有 中分子分母同乘以分母中含有

例题1 )12013)(2012 201313 412 311 21( +++ +++ ++ + =（ ） A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。 答案：解：)12013)(2012 20131 341 231 121 ( +++ +++ ++ + =)12013)(20122013342312(+-++-+-+- =2013－1 =2012。 故选C 。 点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。 例题2 与2 12171-最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。 答案：解：原式= 832171 ?- = 2 2 )8(83231 +?- =2 )83(1-=8 31-=83+=223+≈5.828。 与6最接近。故选B 。 点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。 有理化在方程中的应用 示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2 =12 4 3 ，代入求值即可。 答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2 =4+15－x 2 +4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2 ）=9，

二次根式专项练习附答案

1、已知，为实数，且，求的值． 2、若的整数部分为，小数部分为，求的值. 3、. 4、阅读下列解题过程：， ， 请回答下列回题： （1）观察上面的解答过程，请直接写出= ﹣； （2）根据上面的解法，请化简：． 5、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 6、使有意义的的取值范围是． 7、若x，y为实数，且y=4++，则y﹣x的值是．8、当x时，二次根式在实数范围内有意义． 9、方程：的解是 . 10、若代数式有意义，则的取值范围为__________． 11、若，则的值为． 12、比较大小：； 13、若+有意义，则= 14、已知xy＝3，那么的值为_________． 15、把根号外的因式移到根号内： ＝ . 16、已知a，b，c为三角形的三边，则 = . 17、________．

18、计算． 19、计算； 20、; 21、）; 22、计算： 23、计算：； 24、 25、计算： 26、若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ). ≥ 2 B. x≤ 2 ≥-2 ≤-2 27、若二次根式有意义,则的取值范围是【】A. B. C. D. 28、若, 则的值为（） A. C. 9 D. 29、不改变根式的大小，把中根号外的因式移到根号内正确的结果是 A ． B ．C．－ D ． 30、为使有意义，x的取值范围是（） A． x＞ B． x≥ C．x≠D． x≥且x≠ 31、下列二次根式中，化简后能与合并的是( ) A.B．C． D． 32、已知则与的关系为（）

33、下列计算正确的是（） A. B.+ C. D. 34、下列计算或化简正确的是（） A ． B ． C ． D ． 35、下列二次根式中属于最简二次根式的是【】 A ． B ． C ． D ． 36、如果，那么 （A ）；（B ）；（C ）；（D ）．37、下列二次根式中，最简二次根式是（）. A. B. C. D. 38、已知，则a的取值范围是…………【】 A．a≤0；B．a＜0； C．0＜a≤1；D．a ＞0 39、式子（＞0）化简的结果是（） A. B. C. D. 40、式子成立的条件是（） A.≥3 B.≤1 ≤≤3 ＜≤3 参考答案

《二次根式》专题练习(含答案)

初二数学专题练习《二次根式》 一．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 5．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2 6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x 7．下列式子运算正确的是（）A．B．C．D． 8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．D． 二．填空题 9．要使代数式有意义，则x的取值范围是． 10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 11．计算：=．12．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：a n=； （2）a1+a2+a3+…+a n=．

15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=．16．已知：a＜0，化简=． 17．设，，，…，． 设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题 18．计算或化简：﹣（3+）； 19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣） 20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0． 21．计算：（+）×． 22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3． 23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：． 25．阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． 26．已知：a=，b=．求代数式的值．

二次根式专项训练答案

二次根式专项训练答案 一、选择题 1．1 =-，那么x的取值范围是（） x A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可. 【详解】 由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0， 解得，x≥1， 故选A. 【点睛】 本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围. 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a，

移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．若x、y 4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x?1?0且1?2x?0， 解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 5．下列运算正确的是（） A． B ）2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减，可知 A选项错误； 根据二次根式的性质2=a（a≥0 2=2，所以B选项正确； (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞ ＜ ﹣11|=11，所以C选项错误； D D选项错误． 故选B．

新人教版数学八年级下册二次根式基础专项练习

新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式

10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

中考数学专项训练：二次根式

中考数学专项训练：二次根式二次根式的概念 1．(中考)使二次根式5x－2有 意义的x的取值范围是__x≥2 5 __． 二次根式的运算 2．(中考)8＋2＝__32__． 3．(中考)计算2－18的结果是__－22__． 4．(中考)计算：27＋3＝__43__． 5．(一中一模)函数y＝ x＋3 x－1 中自变量x的取值范围是( D) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≥0且x≠1 D．x≥－3且x≠1 6．(十一中二模)与1＋5最接近的整数是( B) A．4 B．3 C．2 D．1

平方根、算术平方根 1．若x 2＝a,则x 叫a 的__平方根__．当a≥0时,a 是a 的__算术平方根__．正数b 的平方根记作__±b__.a 是一个__非负__数．只有__非负__数才有平方根． 立方根及性质 2．若x 3＝a,则x 叫a 的__立方根__,求一个数的立方根的运算叫__开立方__；任一实数a 的立方根记作__3a__；3a 3＝__a__,(3a)3＝__a__,3－a ＝__－3 a__． 二次根式的概念 3．(1)形如a(__a≥0__)的式子叫二次根式,而a 为二次根式的条件是__a≥0__； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是__整数__,因式是__整式__； ②被开方数中不含有__开得尽方的因数或因式__． 二次根式的性质 4．(1)ab ＝__a ·b __(a≥0,b ≥0)；a b ＝__a b __(a≥0,b ＞0)； (2)(a)2＝__a__(a__≥__0)； (3)a 2 ＝|a|＝??? a （a≥0）， －a （a ＜0）. 二次根式的性质 5．(1)二次根式的加减： 二次根式相加减,先把各个二次根式化成__最简二次根式__,再把__同类二次根式__分别合并． (2)二次根式的乘法： a · b ＝__ab __(a≥0,b ≥0)． (3)二次根式的除法： a b ＝__a b __(a≥0,b>0)． (4)二次根式的估值：二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数__相邻__的两个能开得尽方的整数,对其进行__开方__,即

新初中数学二次根式专项训练及答案

新初中数学二次根式专项训练及答案 一、选择题 1．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( ) A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简原式得45-5545 【详解】 原式=45- 由于25＜＜3， ∴1＜45-＜2． 故选：A ． 【点睛】 本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法． 2．2a +在实数范围内有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣2 B ．a≥﹣2 C ．a ＜﹣2 D ．a ＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 2a ＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a ＋2≥0，解不等式a ＋2≥0，即得答案. 【详解】 2a ＋在实数范围内有意义， ∴a ＋2≥0，解得a ≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A

由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选 A. 4 ．已知n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：=Q 也是整数， ∴n 的最小正整数值是15，故选C ． 5．12a =-，则a 的取值范围是（ ） A ．12 a ≥ B ．12a > C ．12a ≤ D ．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|，则|2a-1|=1-2a ，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 =|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a ， ∴2a-1≤0， ∴12 a ≤ ． 故选：C ． 【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质. 6． x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76 【答案】B

二次根式分母有理化综合训练

二次根式分母有理化综合训练 分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到1 32+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()() 1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化. 笔记：分母有理化的方法 把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________. 1、按要求填空： （1）把2 1分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________; （2）把5 31+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541 +分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把 2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; 注意：()() b a b a b a -=-+ 2、分母中含有根号的二次根式分母有理化： （1） 121 （2）231 （3）541 （4） 52 （5） 812 （6）327

3、较为复杂的分母有理化练习： （1） 321+ （2）23321- （3）32347++ （4） 3211-+ （5）ab a b b a - （6）b a b a -- 4、计算（25＋1）（ 211+＋321+＋431+＋…＋100 991+）． 7、观察以下各式： 343 412323112121-=+-=+-=+，， 利用以上规律计算： () 120192018201913412311 21+??? ??++++++++

二次根式计算专题训练

二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．

（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）

（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．

①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．

15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．

20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想= ； （2）计算： （++…+）×（）

【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)

二次根式分母有理化及应用 一、分母有理化 1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式： a =来确定， ，b a- 与b a-等分别互为有理化因式； ②两项二次根式：利用平方差公式来确定， 如：a a 等分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤 二、两种特殊有理化方法 1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。 6 ====； 2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。 分母有理化： 22 2 2222 2 ++? === 总结： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 分母中含有中分子分母同乘以分母中含有

例题1 )12013)(2012 20131 3 412 311 21( +++ +++ ++ + = （ ） A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。 答案：解：)12013)(2012 20131 341 231 121 ( +++ +++ ++ + =)12013)(20122013342312(+-++-+-+- =2013－1 =2012。 故选C 。 点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。 例题2 与2 12171-最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。 答案：解：原式= 832171 ?- = 2 2 ) 8(83231 +?- =2 )83(1 -=8 31-=83+=223+≈5.828。 与6最接近。故选B 。 点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。 有理化在方程中的应用 示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2 =12 4 3 ，代入求值即可。 答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2 =4+15－x 2 +4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2 ）=9， 化简，得x 2 =12 43，把x 2 =124 3代入225x -+215x -，

中考试题《二次根式》专题训练

《二次根式》专题训练 a≥0 0． a≥0的应用 1. 当x为何实数时，下列各式在实数范围内有意义？（直接写出答案即可） （1 1 2 x+ ；（2 ；（3 （4 ；（5 ； （6 3 x- ；（7 （8 2. P（x，y）在第______象限． 3. 当x＝______ ______． 4. 已知2 y=，则x y＝______． 0的应用 1. 12a =-，则a的取值范围是________． 2. a<，若b＝2－a，则b的取值范围是________． 3. 若a， b为实数，且10 a++，则(ab)2017的值是________ ． 4. 若)2 a 2 a b - ＝________ ． 1. 2 ，则x的取值范围是________． 2. 已知 x，y (10 y-，那么x2011－y2011＝________． 3. 已知 ()2 63536 m n m -+-=-m－n＝ ________． a =-(a≤0)的应用 1. 当1＜a＜2 1a -的值是________． 2. 把 (2 a-________． 3. 化简：(a b-________． 4. 在数轴上表示实数 a2 a-的结果为________． 5. 若a，b，c b a c --＝________． 6. 对于题目“化简求值： 1 a + 1 5 a=，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是： 1 a + 1 a 11 a a a +-＝ 2 a a -＝ 49 5 ； 乙的解答是： 1 a + 1 a 11 a a a +-=a＝ 1 5 ． 谁的解答是错误的？为什么？ 分母有理化 阅读下列材料，然后回答问题．

中考数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析

一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-= C ．() 2 23 6 = D ． 1515533 == 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ．53－23=3 B ．22×32=6 C ．33÷3=3 D ．23＋32=55 3．下列各式成立的是（ ） A ．2(3)3-= B ．633-= C ．222 ()33 - =- D ．2332-= 4．下列计算正确的是（ ） A ．42=± B ． () 2 33-=- C ．() 2 5 5-= D ．() 2 33 -=- 5．下列运算正确的是（ ） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．27123-= 6．若 1 x +有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2 C ．x≥1且x ＝2 D ．.x≥-1且x ≠2 7．若a ＝ 3 235 ++，b ＝2+610-，则a b 的值为（ ） A ．1 2 B ．14 C ．321 + D ．610 + 8．已知a 为实数，则代数式227122a a -+的最小值为( ) A ．0 B ．3 C ．33 D ．9 9．将1、 、 、 按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．6

10．如果实数x，y满足23 x y xy y =-，那么点(),x y在（） A．第一象限B．第二象限C．第一象限或坐标轴上D．第二象限或坐标轴上 二、填空题 11．能力拓展： 1:21 21 A-= +；2:32 32 A-= + ；3:43 43 A-= + ； 4:54 A-=________． … n A：________． ()1请观察1A，2A，3A的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A和2A ∵32 +________21 + ∴ 32 +________ 21 + ∴32 -________21 - ()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43 -________32 -； 76 -________54 -；1 n n +-________1 n n -- 12．（1）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简 ()222 144 a a a b b +--+=_____________； （2）已知正整数p，q32016 p q=() p q，的个数是 _______________； （3）△ABC中,∠A=50°,高BE、CF所在的直线交于点O,∠BOC的度数__________. 13．当x3x2﹣4x+2017=________． 14．甲容器中装有浓度为a40kg，乙容器中装有浓度为b90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________． 15．已知函数 1 x f x x ，那么21 f_____． 16．已知|a﹣20072008 a-=a，则a﹣20072的值是_____． 17．已知x，y为实数，y= 22 991 3 x x x -- - 求5x+6y的值________.

中考数学真题解析分母有理化次根式化简(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法. 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（ ）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算. 专题：计算题. 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（ ）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误；

D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简. 专题：计算题. 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程. 专题：计算题. 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=，

最简二次根式及分母有理化

最简二次根式及分母有理化 龙泉九中 黄智艳 （一） 教材分析 《最简二次根式及分母有理化》是北师大版八年级数学上册第二章《实数》部分的内容之一。教材中没有直接给出最简二次根式及分母有理化的概念，这样的编排对学生学习这部分内容有一定困难。 《最简二次根式及分母有理化》是二次根式运算的重要组成部分，它在二次根式的运算中起着承上启下的作用，为此我区导学案就此内容作了深入细致的研究。学案中将它放在《二次根式2a 的化简》及《二次根式的乘除法》之后，为本课的学习提供了方法技能基础，同时它又是后面学习《二次根式的加减法》、《二次根式的混合运算》的根本。 从初中代数的学习来看，该部分是初中代数中进行数式运算的一个重要课题，也是提高学生运算能力的好时机。这里培养起来的实数的运算能力不光会影响学生代数部分的后继学习，同时在几何的学习中起着举足轻重的作用。 从中考角度来看，历届中考几乎从未错失过该考点。 （二） 学情分析 a) 知识方面：学生会分解质因数，能对2a 、2)(a 进行化简，已经掌握的《二次根式的乘除法》及二次根式的性质都为本节课的学习作好了充分而必要的知识铺垫。就知识掌握情况而言，仍有部分学生对公式感觉较抽象，运用起来还不太熟练。 b) 能力方面：学习能力强一点的同学已经拥有一定的知识迁移能力，归纳能力和较强的合作交流能力。 c) 心理方面：初二的学生经过一年的培养，对DJP 教学模式已经充分认同和接受了，能够有序地进行小 组合作学习。初二的学生好胜心较强，有较强的自主意识，能对知识是非进行分辨。 （三） 教学目标 知识与技能目标：1.能判断所给的二次根式是否是最简二次根式； 2.能把所给的二次根式化为最简二次根式； 3.能进行分母有理化。 过程与方法目标：让学生经历二次根式化简的过程，体验数学的简洁美。通过一题多解使学生体会数学中 的最优、最简思想，感受数学计算的魅力。 情感态度与价值观目标：通过本节课的学习让学生体验学习的乐趣，增强学生对学习的信心。 （四） 教学重、难点 教学重点：化二次根式为最简二次根式及分母有理化。 理由是： 能把所给的二次根式化为最简二次根式及分母有理化既是学生前面所学过的二次根式的乘除运算的具体应用，又是后面学习二次根式的加减之根本；在实数的计算中起着至关重要的作用。 教学难点：化二次根式化简为最简二次根式及分母为两项式的分母有理化。 理由是： 化二次根式化简为最简二次根式难找完全平方因数或因式；分母有理化难就难在形式上较复杂，并 且还要求学生运用乘法公式及)0()(2≥=a a a ；这些都是学生知识不易过手的知识点。 （五） 教学策略 1. 小组学习法 采用理由： 我区导学案非常适合学生自主学习；在教学过程中有多处必须利用学习小组完成的学习。同时通过利用组内“高手”的影响力和约束力可以使学困生多学一点，这也适合初二逐渐增多的不自觉学习的学生。 2. 练习法 采用理由： 本节内容属代数中的运算，必要的练习一定少不了。在教学中，教师还可将学生的解题中出现的多种方法予以展示，这样做不但可以拓宽学生的解题视野，也可以潜移默化的影响学生寻求最简、最优解法的数学解题意识。 3. 自主阅读法 采用理由： 初二学生已经有足够的理解力，能理解“最简二次根式”、“分母有理化”、“互为有理化因式”等概念。因此，在概念的学习时，我主要采用此法。 4. 谈话法

二次根式的计算专题训练

二次根式的计算专题 训练

精心整理，用心做精品 2 2 )132(- 二次根式的计算专题训练 一、基本公式； )0,0(≥≥=?b a ab b a )0,0(>≥=b a b a b a )0()(2≥=a a a ?? ? ??<-=>==0,0,00,2 a a a a a a a ()a a =3 3 二、二次根式的化简 （1）=50 ，=32 ，8= ， （2） =21 ，72= ，=81 ，3 1 1= , 5.1= . （3） 3 1 = 。 三、二次根式的运算 1、二次根式的乘除 326? = , .________5 2 ________,8223_______,236==?=? = , = , 2、二次根式的加减 ._______5 1 52____,_348=- =+ 3、二次根式的乘方 四、二次根式的混合运算 1、计算 （1)25 5 20-+ (2))32)(31(-+ (3)1 )2 1(21850---? (4)221332+- 2、计算 （1） 1482 - （2）61 42 216432+- （3）2 1 63)1526(-?- （4） 1 212122 18-??? ??+-+-

精心整理，用心做精品 3 3、计算 （1）241221 348+?-÷ （2） （3） ﹣22﹣ +|1﹣4 4 3 |+（） （4） 28)12013(21)21(02+------ 4、计算 （1） 12108249-+ （2） （3 ） ﹣| | （4）2012022(1)(3)8(2)π--+-?-- 5、计算 （1）12108249-+ （2）20 )5 335(?+ （3）8 1 4 64183 -+ （4） 2 2)77()77(--+ 6、计算 （1） 4 8 32 50-? （2） 6155 4 +- 32583-

二次根式专题训练 (完整版)

二次根式专题训练 一．最简二次根式： 满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整 数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 例1：下列根式中最简二次根式的个数有（ ） 2 2x 、2ab 、53xy 、)(522b a -、3375y x 、22y x +、c y 22 A2个 B3个 C4个 D5个 二．同类二次根式：含有相同最简二次根式的一类二次根式。 例2：下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A 24 B 12 C 2 3 D 18 例3：如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则=a _____ 三．二次根式a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即0≥a ②二次根式a 是非负数，即0≥a 例4 . 要使1 213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1＜x ≤3 例5.（1）化简x x -+-11 ＝_______． (2)x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例6.(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的负倒数。

四．二次根式的运算 常考公式：⑴)0,(≥?=?b a b a b a ⑵)0,0(>≥=b a b a b a )0(≥a a ⑶a a =2= )0(<-a a ⑷)0()(2≥=a a a 例7.(1)下列运算正确的是（ ）． A ．= B ．-= C ．a = D =（2）下列各式计算正确的是（ ）． A ．m 2 · m 3 = m 6 B ．33 431163116=?= C ．53232333=+=+ D ．a a a a a --=-?--=--111)1(11) 1(2 （3）下列等式成立的是（ ） b a b a A +=+22、 ab a b a B --=-、 b a b a C =、 ab b a D -=-22、 例8．（1）若a <0，化简3______.a -= （2）若整数m 满足条件2)1(+m ＝1+m 且m ＜52 ，则m 的值是 ．