2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解

数理方程关于振动方程的分析matlab

数理方程基于MATLAB 的问题分析报告 一、问题的提出、背景、意义 振动是指物体经过它的平衡位置所作的往复运动或某一物理量在其平衡值附近的来回变动。而波动则是一种能量传播的方式。虽然形式不同，但是两者的联系十分紧密，振动是波动的根源，波动是振动的传播形式。因此在分析问题乃至实际操作中，往往是把两者放在一起分析的，首先讨论振动的各方面特性，这样就相当于已知了波动一点上的相应特性，再对波动进行分析时，就只用讨论距

离的影响了。一般来说，振动只受时间影响，加上距离的参数，最终波动就只受两个变量影响，而且也知道了它们是无关的，就可以使用分离变量法进行求解。弦振动是波动的一类特殊形式，它在音乐物理学、材料学、地理学、物质分析学等许多领域都得到了应用，而弦振动所属声学又是力学的一个非常独立的分支，因此它在各领域的作用几乎是不可取代的。由于近年来的各方面硬件设施和软件的发展，曾经停止发展很长一段时间的对弦振动的分析又开始体现出它独特的优势。 在产生音乐的过程中，琴弦的振动是很常见的一种方式，本文就将对琴弦振动进行一定的研究，通过对弦振动方程的理解，给出不同初始条件，并分析出琴弦不同地方产生波的特性，再用MATLAB做好程序，画出相应的图像，经比较后得到琴弦的拨发与产生声音的联系。 二、问题分析思路 2.1建立偏微分方程 分析一根琴弦的振动问题，通过针对具体要分析的问题，可以列出弦振动方程以 及初始条件 2,0,0 (0,)0,(,)0 (,0)(),(,0)() tt xx t u a u x L t u t u L t u x x u x x ? ?=<<> ? == ? ?==ψ ? （L为弦的长度，因为是两端固定的弦， 初始条件一定有(0,)0,(,)0 u t u L t ==），用分离变量法很容易求得它相应的解，即弦振动的函数。 2.2对琴弦参数的求解 已知常量T=128N，普通钢琴弦密度3 7.9/ g cm ρ=， 根据琴弦传播速度公式 v=v。

弦振动偏微分方程的求解

弦振动偏微分方程的求解 (郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015) 摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。 关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换 Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute of Aeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015） Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform 在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。 一、无界弦的自由振动问题 无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1] ： ?? ?+∞<<-∞==>+∞<<-∞=) (),(),0(),(),0(), 0,(2x x x u x x u t x u a u t xx tt φ? 对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。 做变量代换at x -=ξ，at x +=η，代入偏微分方程，整理可得： 02=???η ξu ，得方程的通解为：)()()()(at x g at x f g f u ++-=+=ηξ 再代入初始条件，有： ?? ?='+'-==+=) 2() ()()(),0()1()()()(),0(x x g a x f a x u x x g x f x u t φ? 对(2)式积分: )3()(1)()(0c d a x g x f x += +-?λλφ 将（1）式和（3）式联立，解之则得： 2 )(212) ()(0c d a x x f x - -=?λλφ?

弦振动实验-报告

弦振动实验-报告

实验报告 班级姓名学号 日期室温气压成绩教师 实验名称弦振动研究 【实验目的】 1.了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2.测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3.测量弦线的线密度 4.测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台 【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λ πx =2 y- cos A ft 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λ πx cos =2 y+ A ft

式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为 ft x A y y y πλπ2cos 2cos 22 1=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λπx A 2cos 2是各点的振幅 ，它只与x 有关，即各点 的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ πx A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λπx A ，可得波节的位置坐标为 () 412λ +±=k x Λ2,1,0=k 令12cos 2=λπx A ，可得波腹的位置坐标为 2λ k x ±= Λ 2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端 点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 既有 2λ n L = 或 n L 2=λ Λ2,1,0=n

弦振动实验报告

弦 振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L 和弦的张力Τ的关系，并进行测量。 三、波。示。轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O ”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y 1＝Acos2(ft －x/ ) Y 2＝Acos[2 (ft ＋x/λ)+ ]式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，为波长，X 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y 1 ＋Y 2＝2Acos[2（x/ ）+/2]Acos2ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2（x/ ）+/2] |，与时间无关t ，只与质点的位置x 有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2（x/ ）+/2] |＝0

2（x/ ）+/2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝k /2 ②而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1)/2－k / 2＝ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2（x/ ）+/2] | =1 2（x/ ）+/2 ＝k ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1)/4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝f，将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度： V＝2Lf/n ⑥ 另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为： V＝(T/ρ)1/2 ⑦ 式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。 再由⑥⑦式可得 f =（T/ρ）1/2（n/2L） 得 T＝ρ / (n/2Lf )2 即ρ＝T (n/2Lf )2 ( n=1. 2. 3. … ) ⑧ 由⑧式可知，当给定T、ρ、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。 四、实验内容 1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据 2、测定11个砝码的质量，记录数据

含有阻尼项的弦振动方程及其仿真

含有阻尼项的弦振动方程及其仿真 内容提要： 本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双 曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。最后依据弦振动方程的结果，列举 了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。 关键词 数学物理方程，Matlab，驻波。 引言： 在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴 弦上形成驻波。比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会 被滤掉。但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。而且某些 泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。 在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器 的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧 上的指导。而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按 的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛 音的理论研究尚处于一个盲区。然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提 供了理论依据，给研究带来了可行性。 一、模型建立： 如图所示：琴弦的初始状态： 1

其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。 弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0 其中t表示振动时间。 列出方程： 其中：错误！未找到引用源。，而T表示琴弦松弛时的张力，错误！未找到引用源。表示琴弦线密度。 边值条件： 初值条件： 二、问题的求解 从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式： 带入到原方程会得到： 分离变量： 等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。设此常数为错误！未找到引用源。。则得到两个常微分方程。 得到以下通解： 因为阻尼系数很小，所以 2

弦振动方程-数值求解02

数学物理方程 之 基于数值计算方法的弦振动方程求解

2 数学物理方法中的平行四边形法则 目录 摘要、关键词…………………………………………… 2页有限差分法介绍………………………………………… 3页程序描述………………………………………………… 6页计算机处理……………………………………………… 8页Matlab作图…………………………………………… 10页特别鸣谢………………………………………………… 11页

摘要、关键词 摘要：继上次关于弦振动方程的“平行四边形法则”求解之后，我们又从数值计算的角度入手，对弦振动方程进行计算和模拟，从而验证“平行四边形法则”解弦振动方程的正确性。 关键词：有限差分法、数值计算、弦振动方程 附： 弦振动方程： 4 (0,)(1,)0 (,0)(1),(,0)8 tt xx t u u u t u t u x x x u t x = ? ? == ? ?=-=?

2 11((1))()'()()''()()+()()2!n n n u i h u ih u ih h u ih h u ih h -=+-+-+-……！ 2 11((1))()'()''()+()2!n n n u i h u ih u ih h u ih h u ih h +=+++ ……！ ()((1)) '()() u ih u i h u ih o h h --=+((1))() '()() u i h u ih u ih o h h +-=+2((1))((1)) '()() 2u i h u i h u ih o h h +--=+ 有限差分法介绍 以弦振动方程为例： 2(,)(0,)(,)0(,0)()(,0)()tt xx t u a u f x t u t u l t u x x u x x ?=+? ==??=Φ? ?=ψ? 对于一定的u （x ，t ），我们用“差分”代替“微商”，从而将 数差值描述，可得： 以及 将第一个式子的右边第一项移至左边,得： ^… 同理可得， 两式做差：

大学物理实验讲义~弦振动和驻波研究方案

弦振动与驻波研究 【实验目的】 1．观察在弦上形成的驻波； 2．确定弦线振动时驻波波长与张力的关系； 3．学习对数作图和最小二乘法进行数据处理。 【实验原理】 在一根拉紧的弦线上，其中张力为T ，线密度为μ，则沿弦线传播的横波应满足下述运动方程： 2 222x y T t y ??=??μ (1) 式中x 为波在传播方向（与弦线平行）的位置坐标，y 为振动位移。将(1)式与典型的波动 方程 2 2222x y V t y ??=?? 相比较，即可得到波的传播速度: μ T V = 若波源的振动频率为f ，横波波长为λ，由于波速λf V =，故波长与张力及线密度之间的关系为： μ λT f 1 = (2) 为了用实验证明公式(2)成立，将该式两边取对数，得： 11 lg lg lg lg 22 T f λμ=-- (3) 固定频率f 及线密度μ，而改变张力T ，并测出各相应波长λ，作lg λ-lg T 图，若得 一直线，计算其斜率值（如为2 1 ），则证明了λ∝2 1 T 的关系成立。 弦线上的波长可利用驻波原理测量。当两个振幅和频率相同的相干波在同一直线上相向传播时，其所叠加而成的波称为驻波，一维驻波是波干涉中的一种特殊情形。在弦线上出现

许多静止点，称为驻波的波节。相邻两波节间的距离为半个波长。 【实验仪器】 1、可调频率数显机械振动源； 2、振动簧片； 3、弦线（铜丝）； 4、可动刀片支架； 5、可动刀口支架； 6、标尺； 7、固定滑轮； 8、砝码与砝码盘； 9、变压器;10、实验平台；11、实验桌 图1 实验装置示意图

图2 可调频率数显机械振动源面板图 （1、电源开关 2、频率调节 3、复位键 4、幅度调节 5、频率指示） 实验装置如图1所示，金属弦线的一端系在能作水平方向振动的可调频率数显机械振动源的振簧片上，频率变化范围从0-200Hz 连续可调，频率最小变化量为0.01Hz ，弦线一端通过定滑轮⑦悬挂一砝码盘⑧；在振动装置(振动簧片)的附近有可动刀片支架④，在实验装置上还有一个可沿弦线方向左右移动并撑住弦线的可动刀口⑤。滑轮⑦固定在实验平台⑩上，其产生的摩擦力很小，可以忽略不计。若弦线下端所悬挂的物体的质量为m （包含砝码和砝码盘及悬线的质量），张力mg T =。当波源振动时，即在弦线上形成向右传播的横波；当波传播到可动刀口与弦线相交点时，由于弦线在该点受到刀口两壁阻挡而不能振动，波在切点被反射形成了向左传播的反射波。这种传播方向相反的两列波叠加即形成驻波。当振动端簧片与弦线固定点至可动刀口⑤与弦线交点的长度L 等于半波长的整数倍时，即可得到振幅较大而稳定的驻波，振动簧片与弦线固定点为近似波节，弦线与可动刀口相交点为波节。它们的间距为L ，则 2 λ n L = (4) 其中n 为任意正整数。利用式(4)，即可测量弦上横波波长。由于簧片与弦线固定点在振动不易测准，实验也可将最靠近振动端的波节作为L 的起始点，并用可动刀口④指示读数，求出该点离弦线与可动刀口⑤相交点距离L 。

弦振动实验报告

弦振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系， 并进行测量。 三、 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程

分别为： Y1＝Acos2 (ft－x/ ) Y2＝Acos[2 (ft＋x/λ)+ ] 式中A为简谐波的振幅，f为频率， 为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos[2 （x/ ）+ /2]Acos2 ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2 （x/ ）+ /2] |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2 （x/ ）+ /2] |＝0 2 （x/ ）+ /2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝k /2 ② 而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1) /2－k / 2＝ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2 （x/ ）+ /2] | =1 2 （x/ ）+ /2 ＝k ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1) /4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝ f，将⑤式代入可得弦线上横波的

2.3.2 弦振动方程的一般解

（ 2-3-14 ） 这里， 是仅包含位置变量的函数； 是仅包含时间变量 的函数。将 （ 2-3-15 ） 上式等号的左边仅与 有关，右边仅与 有关，而 和 都是独立变量，因而如果 (2-1-15) 式对任何的 x 与 t 都成立，则其等号两边应恒等于一个与 ， 都无关 的常数。如果令这一常数为 ，并且 ，那么 (2-1-15) 式可写成

（ 2-3-16 ） 于是可以分别得到两个独立的方程 （ 2-3-17 ） （ 2-3-18 ） 经过上面分离变量后，就把一个偏微分方程分解成两个具有单一独立变量的常微分方程。而这种形式的微分方程我们在第 1 章中己遇到过，因此我们可以仿照方程 (1-2-4) 的求解结果，直接写出 (2-1-17) 与 (2-l-18) 方程的解为 （ 2-3-19 ） （ 2-3-20 ） 式中 都是待定常数。将上面二式代人 （ 2-3-14 ） 可得 （ 2-3-21 ） 其中 仍是待定常数。

如果弦的两端固定，可以利用对任意时间都满足的边界条件 （ 2-3-8 ） 式。将 代人 (2-1-21) 式可以定得常数 ，再将 代人 (2 － 1-21) 式可得如下关系 （ 2-3-22 ） 这时 不能为零，否则 和 都为零，则整个弦不振动，这显然是没有意义的。因此要得到非零解就必须令 （ 2-3-23 ） 要正弦函数等于零。显然应该使其宗量满足如下关系 （ 2-3-24 ） 用一新的符号 来代替 ，于是 （ 2-3-24 ） 式可写成 （ 2-3-25 ） 或 （ 2-3-26 ） 从 (2-1-21) 式可知弦的位移对时间是一简谐函数，因而 应该代表振动的圆频率，而 代表弦的振动频率。从 (2-1-26) 式知，对于两端固定的弦，振动频率具

弦振动实验 报告

实验报告 班级姓名学号 日期室温气压成绩教师 实验名称弦振动研究 【实验目的】 1.了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2.测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3.测量弦线的线密度 4.测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λ πx =2 cos y- A ft 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λ πx =2 cos y+ A ft 式中，A为波的振幅；f为频率；λ为波长；x为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为

ft x A y y y πλ π 2cos 2cos 221=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λ π x A 2cos 2是各点的振 幅 ，它只与x 有关，即各点的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ πx A 2cos 2、 频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λ π x A ，可得波节的位置坐标为 ()4 12λ +±=k x 2,1,0=k 令12cos 2=λ π x A ，可得波腹的位置坐标为 2 λ k x ±= 2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 既有 2λn L = 或 n L 2=λ 2,1,0=n 式中，L 为弦长；λ为驻波波长；n 为半波数（波腹数）。 另外，根据波动离乱，假设弦柔性很好，波在弦上的传播速度v 取决于线密度和弦的张力T ，其关系式为 μ T v = 又根据波速、频率与波长的普遍关系式λf v =,可得

齐次弦振动方程的MATLAB解法

齐次弦振动方程的MATLAB 解法 【摘要】 弦振动问题是一个典型的波动方程的建立与求解问题。本文通过利用MATLAB 特有的方程求解与画图功能，有效地构造和求解了齐次弦振动方程。并通过图像，可以直观感受方程的解，从而加深对这一问题物理意义的理解。 【关键词】 振动方程 MATLAB 求解 数学物理方法 【正文】 在细弦上任意取微元分析其受力情况，通过Newton 定律建立细弦振动的运动方程，可以求得弦振动的泛定方程为 2tt xx u a u 。 要得出振动方程的解，除了泛定方程外，我们还需要知道具体问题的初始条件与边界条件。在弦振动问题里，初始条件可

以从初始位移和初始速度考虑，即：

00 ()()t t t u x u x ?ψ==?=??=?? 边界条件是描述物理问题在边界上受约束的状态，在弦振动方程里可以归结为三类边界问题： （1） 第一类边界问题：00,0,x x L u u ==== 称为固定端。 （2） 第二类边界问题：0()0,,x x x L F t u u SY ====特别的，若()0F t =，0,x x L u ==称x L =为自由端。 （3） 第三类边界问题：第一类和第二类边界问题的线性组合。 一、 两端固定的弦振动问题 两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下： 2000,0,00,0(),() tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x ?ψ====?=<<>?==??==? 1、初始位移不为0，初始速度为0 不妨设：

734sin ,()()770,()l l x x x l otherwise π??≤≤?=??? ，()0x ψ= （1）特征函数求解解 由d ’Alembert 公式： 1(,)[()()]2 u x t x at x at ??=++- 从而我们可以得到方程的级数解： n A =()143[sin(7)sin(7)](7)77143[sin(7)sin(7)],7(7)77 n n n n n n n πππ πππ------=-≠- 而我们知道，弦振动的泛定方程属于本征问题： ''00,0x x L X X X X λ==+=??==? 它在两个边界上都有第一类其次边界条件，它的本征值与本征函数为： 222,sin ,1,2,3n n x n l l ππλ== 将系数带入方程，级数中每一项都是一个驻波，定义子程序wfun.m 计算不同n 的求和各项，再用主程序jxj 将它们加起来，得到动画图形。

1方程导出01-弦振动方程

数学物理方程苏州大学数学科学学院

引言 ?《数学物理方程》 是数学领域偏微分方程方向的最基本的入门课程。 ?偏微分方程理论 主要研究具有实际背景的偏微分方程或偏微分方程组。是数学的基础学科之一。

?偏微分方程涉及十分广泛： 如物理、化学、生物、经济等自然科学、社会科学和工程技术领域， 还与其它许多数学分支有紧密的联系； ?近年来的热门课题： 将偏微分方程应用于计算机图像处理及金融保险领域； ?从事偏微分方程理论及其应用研究的人数众多：据说占所有从事数学及其应用研究的人数的一半以上。

一、本学期要学的主要内容 1、建立偏微分方程（PDE） 应用数学理论、方法及有关技巧，研究一些具有典型意义的物理现象，导出相应的数学模型──偏微分方程。 2、偏微分方程（PDE）理论初步 ①、一些基本的方法和技巧：包括特征线法、分离变量 法、Green函数法、Fourier变换法、能量不等式、极值 原理以及基本解、广义函数等等。 ②、讨论三类典型二阶方程定解问题的解的存在性、唯一 性和稳定性：包括波动方程、热传导方程和位势方程。 ③、二阶线性偏微分方程分类

二、《数学物理方程》课程的特点： 1、数学理论、解题方法与物理实际有机结合。 可以学到：如何根据物理现象建立偏微分方程模型及寻找求解方法，并用偏微分方程有关理论来解释物理现象。 2、需要综合应用多门数学学科知识 可以巩固、复习有关数学学科知识，提高综合运用这些知识的能力。如《数学分析》、《常微分方程》、《线性代数》等。 3、解题过程较繁、计算量较大 可以培养耐心、细致的计算能力，这也是数学专业学生必备的能力，是数学专业的基本功。

齐次弦振动方程的解法

齐次弦振动方程的MATLAB解法 【摘要】 弦振动问题是一个典型的波动方程的建立与求解问题。本文通过利用MATLAB特有的方程求解与画图功能，有效地构造和求解了齐次弦振动方程。并通过图像，可以直观感受方程的解，从而加深对这一问题物理意义的理解。 【关键词】 振动方程 MATLAB求解数学物理方法 【正文】 在细弦上任意取微元分析其受力情况，通过Newton定律建立细弦振 要得出振动方程的解，除了泛定方程外，我们还需要知道具体问题的初始条件与边界条件。在弦振动问题里，初始条件可以从初始位移和初始速度考虑，即：

边界条件是描述物理问题在边界上受约束的状态，在弦振动方程里可以归结为三类边界问题： （1） 称为固定端。 （ 2） （3） 第三类边界问题：第一类和第二类边界问题的线性组合。 一、 两端固定的弦振动问题 两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下： 1、初始位移不为0，初始速度为0 不妨设：

（1）特征函数求解解 由d ’Alembert 公式： 从而我们可以得到方程的级数解： 而我们知道，弦振动的泛定方程属于本征问题： 它在两个边界上都有第一类其次边界条件，它的本征值与本征函数为： 将系数带入方程，级数中每一项都是一个驻波，定义子程序计算不同n 的求和各项，再用主程序jxj 将它们加起来，得到动画图形。 （MATLAB 代码见附录1（1））

（2）差分方程求解 利用差分方程同样可以求出问题的解。令, x i x t j t =?= ?，将微分方程改写成差分方程，即有 ,11,1,,,1 ()2(1) i l i l i l i j i j u c u u c u u ++-- =++-- 其中， () () 2 2 2 t c a x ? = ? 于是，初始条件可以表示为： ,1 ,21,11,1,1 1 [()2(1)] 2 i i i i i u u c u u c u ? +- = =++- 作图时，先画出()x ?的图形，然后再用x at +或x at -代替其中的x，改变at的值，就画出了不同时刻() x at ?+，() x at ?-的图形。（MATLAB代码见附录1（2）） 解得的动态图形如下：

齐次弦振动方程的MATLAB解法

齐次弦振动方程的MATLAB 解法 【摘要】 弦振动问题是一个典型的波动方程的建立与求解问题。本文通过利用MATLAB 特有的方程求解与画图功能，有效地构造和求解了齐次弦振动方程。并通过图像，可以直观感受方程的解，从而加深对这一问题物理意义的理解。 【关键词】 振动方程 MATLAB 求解 数学物理方法 【正文】 在细弦上任意取微元分析其受力情况，通过Newton 定律建立细弦振动的运动方程，可以求得弦振动的泛定方程为2tt xx u a u =。 要得出振动方程的解，除了泛定方程外，我们还需要知道具体问题的初始条件与边界条件。在弦振动问题里，初始条件可以从初始位移和初始速度考虑，即： 00 ()()t t t u x u x ?ψ==?=??=?? 边界条件是描述物理问题在边界上受约束的状态，在弦振动方程里可以归结为三类边界问题：

（1） 第一类边界问题：0 0,0,x x L u u ==== 称为固定端。 （2） 第二类边界问题：0() 0,,x x x L F t u u SY ==== 特别的，若()0F t =，0,x x L u ==称x L =为自由端。 （3） 第三类边界问题：第一类和第二类边界问题的线性组合。 一、 两端固定的弦振动问题 两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下： 2000,0,0 0,0(),() tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x ?ψ====?=<<>? ==??==? 1、初始位移不为0，初始速度为0 不妨设： 734sin ,()()770,()l l x x x l otherwise π ??≤≤?=??? ，()0x ψ= （1）特征函数求解解 由d ’Alembert 公式： 1 (,)[()()]2 u x t x at x at ??=++- 从而我们可以得到方程的级数解： n A = ()1 43[sin(7)sin(7)](7)77 1 43 [sin(7)sin(7)],7(7)77 n n n n n n n π πππ ππ------=-≠-

弦振动研究试验(教材)

弦振动研究试验 传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。 本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。 【实验目的】 1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。 2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。 3. 测量弦线的线密度。 4. 测量弦振动时波的传播速度。 【实验原理】 张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。 图 1

为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：Y1＝Acos2π(ft－x/ λ) Y2＝Acos2π(ft＋x/ λ) 式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos2π（x/ λ）cos2πft ······①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2π(x / λ) |，只与质点的位置X有关，与时间无关。 由于波节处振幅为零，即｜cos2π(x / λ) |＝0 2πx / λ＝(2k+1) π / 2 ( k=0.1. 2. 3. ······) 可得波节的位置为： X＝（2K＋1）λ /4 ······②而相邻两波节之间的距离为： X K＋1－X K ＝[2（K＋1）＋1] λ/4－（2K＋1）λ / 4）＝λ / 2 ·····③又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos2π(X / λ) | =1 2πX / λ＝Kπ ( K=0. 1. 2. 3. ······) 可得波腹的位置为： X＝Kλ / 2＝ 2kλ / 4 ·····④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。 １