课题：WS小世界网络模型构造
课题：WS小世界网络模型构造
姓名赵训
学号 2
班级计算机实验班
一、WS 小世界网络简介
1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念,并建立了WS模型。实证结果表明,大多数的真实网络都具有小世界特性(较小的最短路径) 和聚类特性(较大的聚类系数) 。传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性,但并不具有小世界特性;而ER 随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。 Watts 和Strogatz建立的WS小世界网络模型就介于这两种网络之间,同时具有小世界特性和聚类特性,可以很好的来表示真实网络。
二、WS小世界模型构造算法
1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。
2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡，如图a所示。
图a
相应程序代码（使用Matlab实现）
ws_net.m （位于“代码”文件夹内）
function ws_net()
disp('WS小世界网络模型')
N=input('请输入网络节点数');
K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数');
p=input('请输入随机重连的概率');
angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N;
x=100*cos(angle);
y=100*sin(angle);
plot(x,y,'r.','Markersize',30);
hold on;
%生成最近邻耦合网络；
A=zeros(N);
for i=1:N
if i+K<=N
for j=i+1:i+K
A(i,j)=1;
end
else
for j=i+1:N
A(i,j)=1;
end
for j=1:((i+K)-N)
A(i,j)=1;
end
end
if K for j=i-K:i-1 A(i,j)=1; end else for j=1:i-1 A(i,j)=1; end for j=N-K+i:N A(i,j)=1; end end end disp(A); %随机化重连 for i=1:N for j=i+1:N if A(i,j)==1 pp=unifrnd(0,1); if pp<=p A(i,j)=0; A(j,i)=0; b=unidrnd(N); while i==b b=unidrnd(N); end A(i,b)=1; A(b,i)=1; end end end %根据邻接矩阵连线 for i=1:N for j=1:N if A(i,j)==1 plot([x(i),x(j)],[y(i),y(j)],'linewidth',1); hold on; end end end hold off aver_path=aver_pathlength(A); disp(aver_path); 对应输出（取网络节点数N=16，K=2；p分别取0，0.1，1）。 p=0（ws_n=16_k=2_p=0.fig的截图） P=0.1（ws_n=16_k=2_p=0.1.fig的截图） p=1（ws_n=16_k=2_p=1.fig的截图） 输出结果与图a(图a位于第2页)吻合。 三、WS小世界网络模型平均路径长度L(p)与聚类系数C(p)归一化图平均路径长度 平均路径长度也称为特征路径长度或平均最短路径长度，指的是一个网络中两点之间最短路径长度（或称距离）的平均值。从一个节点s i出发，经过与它相连的节点，逐步“走”到另一个节点s j所经过的路途，称为两点间的路径。其中最短的路径也称为两点间的距 离，记作。而平均路径长度定义为： 这其中N是节点数目，并定义节点到自身的最短路径长度为0。如果不计算到自身的距离，那么平均路径长度的定义就变成： 集聚系数 集聚系数（也称群聚系数、集群系数）是用来描述图或网络中的顶点（节点）之间结集成团的程度的系数。具体来说，是一个点的邻接点之间相互连接的程度。例如在社交网络中，你的朋友之间相互认识的程度。一个节点s i的集聚系数C(i) 等于所有与它相连的顶点相互之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。显然C(i) 是一个介于0与1之间的数。C(i) 越接近1，表示这个节点附近的点越有“抱团”的趋势。 介于随机与规则之间 对于纯粹的规则网络，当其中连接数量接近饱和时，集聚系数很高，平均路径长度也十分短。例如完全耦合网络，每两个节点之间都相连，所以集聚系数是1，平均路径长度 是1。然而，现实中的复杂网络是稀疏的，连接的个数只是节点数的若干倍（）， 远远不到饱和。如果考虑将节点排列成正多边形，每各节点都只与距离它最近的 2K个节点相连，那么在K比较大时，其集聚系数为： 课题：无标度网络模型构造 姓名赵训 学号201026811130 班级实验班1001 一、源起 无标度网络（或称无尺度网络）的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。 “网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”。复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。这样的网络会出现在简单网络中没有的特殊拓扑特性。 自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER模型。ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有个节点，并假设每对节点之间相连的 可能性都是常数。这样构造出的网络就是ER模型网络。科学家们最初使用这种模型来解释现实生活中的网络。 ER模型随机网络有一个重要特性，就是虽然节点之间的连接是随机形成的，但最后产生的网络的度分布是高度平等的。度分布是指节点的度的分布情况。在网络中，每个节点都与另外某些节点相连，这种连接的数目叫做这个节点的度。在网络中随机抽取一个节点，它的度是多少呢？这个概率分布就称为节点的度分布。 在一般的随机网络（如ER模型）中，大部分的节点的度都集中在某个特殊值附近，成钟形的泊松分布规律（见下图）。偏离这个特定值的概率呈指数性下降，远大于或远小于这个值的可能都是微乎其微的，就如一座城市中成年居民的身高大致的分布一样。然而在1998年，Albert-László Barab ási、Réka Albert等人合作进行一项描绘万维网的研究时，发现通过超链接与网页、文件所构成的万维网网络并不是如一般的随机网络一样，有着均匀的度分布。他们发现，万维网是由少数高连接性的页面串联起来的。 绝大多数（超过80%）的网页只有不超过4个超链接，但极少数页面（不到总页面数的万分之一）却拥有极多的链接，超过1000个，有一份文件甚至与超过200万个其他页面相连。与居民身高的例子作类比的话，就是说大多数的节点都是“矮个子”，而却又有极少数的身高百丈的“巨人”。Barab ási等人将其称为“无标度”网络。 4.2 小世界网络 4.2.1 小世界网络简介 1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念，并建立了WS模型。实证结果表明，大多数的真实网络都具有小世界特性（较小的最短路径）和聚类特性（较大的聚类系数）。传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性，但并不具有小世界特性；而随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。Watts和Strogatz建立的小世界网络模型就介于这两种网络之间，同时具有小世界特性和聚类特性，可以很好的来表示真实网络。 4.2.2 小世界模型构造算法 1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。 2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。 在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p 的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡。 相应程序代码（使用Matlab实现） ws_net.m （位于“代码”文件夹内） function ws_net() disp('小世界网络模型') N=input('请输入网络节点数'); K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数'); p=input('请输入随机重连的概率'); angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N; x=100*cos(angle); y=100*sin(angle); plot(x,y,'r.','Markersize',30); hold on; %生成最近邻耦合网络； A=zeros(N); disp(A); for i=1:N if i+K<=N for j=i+1:i+K A(i,j)=1; end else for j=i+1:N A(i,j)=1; end for j=1:((i+K)-N) A(i,j)=1; end 复杂系统无标度网络研究与建模 XXX 南京信息工程大学XXXX系，南京 210044 摘要：21世纪是复杂性的世界，基于还原论的世界观与方法论已经无法满足当前人们对作为一个整体系统的自然界和人类社会的认识和研究，利用系统科学的方法对科学重新审视已近变为迫切的需要。现实生活中众多复杂网络都具有无标度性，这种无标度网络的增长性和择优连接性很好的解释了富者越富的“马太效应”。对无标度网络的深入研究，让人们深刻的认识到其在Internet、地震网、病毒传播和社会财富分布网中的理论与现实意义。本文通过对复杂网络中的无标度网络的分析与研究，介绍了无标度网络区别于一般随机网络的特性与现实意义，并利用了Matlab生成了一个无标度网络。 关键词：无标度网络，幂律特性，模型建立 1 引言 任何一种网络都可以看作是由一些节点按某种方式连接在一起而构成的一个系统，曾经关于网络结构的研究常常着眼于包含几十个到几百个节点的网络，而近几年关于复杂网络的研究中则常常可以见上万个节点的网络，网络规模尺度上的改变也促使网络分析方法做相应的改变，而复杂网络是近年来随着网络规模、理论和计算机技术的飞速发展而出现的一个新的研究方向。它的出现不仅顺应了现代科技的发展趋势，而且反映了在以信息科学为支柱的新世纪中，各学科理论及应用交叉、渗透和融合的发展趋势[1]。复杂系统主要研究其个体之间相互作用所产生的系统的整体性质与行为“复杂系统的复杂性体现在系统的整体性质与行为往往不是系统各个个体的状态的简单综合”因此，复杂系统的研究不能采用还原论的方法，而要从整体上进行研究。 在对复杂系统的研究中，美国物理学家Barabasi和Albert通过对万维网的研究，发现万维网中网页连接的度分布服从幂律分布，而万维网中少数网页(Hub点)具有非常大的连接，大多数网页的连接数甚小Barabasi等把度分布为幂律分布(Power law)的复杂网络称为无标度网络（scale-free net）[2]。 经过众多的科研工作者的努力，已经证实了现实世界中无论是自然界还是人类社会都广泛的存在着具有度分布符合幂律分布的无标度网络，如生物网络、Internet网、WWW网、演员合作网、科学研究合作网、财富分布网、地震网、电站供电网、科技引文网和病毒传播网等。Newman将这些复杂网络粗略地分成四类:社会网络、信息网络、技术网络和生物网络[3]。 程序仿真实例 例一、请输入最近邻耦合网络中节点的总数N:30 请输入最近邻耦合网络中每个节点的邻居数K:4 请输入随机化重连的概率p:0.9 例二、请输入最近邻耦合网络中节点的总数N:40 请输入最近邻耦合网络中每个节点的邻居数K:2 请输入随机化重连的概率p:0.7 Matlab的m文件代码如下： N=input('请输入最近邻耦合网络中节点的总数N:'); K=input('请输入最近邻耦合网络中每个节点的邻居数K:'); if K>floor(N-1)|mod(K,2)~=0; disp('参数输入错误：K值必须是小于网络节点总数且为偶数的整数'); return ; end angle=0:2*pi./N:2*pi-2*pi/N; angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N; x=100*sin(angle); y=100*cos(angle); plot(x,y,'ro','MarkerEdgeColor','g','MarkerFaceColor','r','MarkerSize',8); hold on; A=zeros(N); for i=1:N for j=i+1:i+K/2 jj=j; if j>N jj=mod(j,N); end A(i,jj)=1; A(jj,i)=1; end end %WS小世界网络的代码 p=input('请输入随机化重连的概率p:'); for i=1:N for j=i+1:i+K/2 jj=j; if j>N jj=mod(j,N); end p1=rand(1,1); if p1 function [DeD,aver_DeD]=Degree_Distribution(A) %% 求网络图中各节点的度及度的分布曲线 %% 求解算法：求解每个节点的度，再按发生频率即为概率，求P(k) %A————————网络图的邻接矩阵 %DeD————————网络图各节点的度分布 %aver_DeD———————网络图的平均度 N=size(A,2); DeD=zeros(1,N); for i=1:N % DeD(i)=length(find((A(i,:)==1))); DeD(i)=sum(A(i,:)); end aver_DeD=mean(DeD); if sum(DeD)==0 disp('该网络图只是由一些孤立点组成'); return; else figure; bar([1:N],DeD); xlabel('节点编号n'); ylabel('各节点的度数K'); title('网络图中各节点的度的大小分布图'); end figure; M=max(DeD); for i=1:M+1; %网络图中节点的度数最大为M,但要同时考虑到度为0的节点的存在性 N_DeD(i)=length(find(DeD==i-1)); % DeD=[2 2 2 2 2 2] end P_DeD=zeros(1,M+1); P_DeD(:)=N_DeD(:)./sum(N_DeD); bar([0:M],P_DeD,'r'); xlabel('节点的度 K'); ylabel('节点度为K的概率 P(K)'); title('网络图中节点度的概率分布图'); 平均路径长度 function [D,aver_D]=Aver_Path_Length(A) %% 求复杂网络中两节点的距离以及平均路径长度 %% 求解算法：首先利用Floyd算法求解出任意两节点的距离，再求距离的平均值得平均路 无标度网络 无标度网络（或称无尺度网络）的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”。复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。ER模型随机网络有一个重要特性，就是虽然节点之间的连接是随机形成的，但最后产生的网络的度分布是高度平等的。度分布是指节点的度的分布情况。在网络中，每个节点都与另外某些节点相连，这种连接的数目叫做这个节点的度。在网络中随机抽取一个节点，它的度是多少呢？这个概率分布就称为节点的度分布。 自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER模型。ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有n个节点，并假设每对节点之间相连的可能性都是常数。这样构造出的网络就是ER模型网络。 Matlab程序如下： SFNG： function SFNet = SFNG(Nodes, mlinks, seed) seed = full(seed); pos = length(seed); rand('state',sum(100*clock)); Net = zeros(Nodes, Nodes, 'single'); Net(1:pos,1:pos) = seed; sumlinks = sum(sum(Net)); while pos < Nodes pos = pos + 1; linkage = 0; while linkage ~= mlinks rnode = ceil(rand * pos); deg = sum(Net(:,rnode)) * 2; rlink = rand * 1; if rlink < deg / sumlinks && Net(pos,rnode) ~= 1 && Net(rnode,pos) ~= 1 Net(pos,rnode) = 1; Net(rnode,pos) = 1; linkage = linkage + 1; sumlinks = sumlinks + 2; end end end clear Nodes deg linkage pos rlink rnode sumlinks mlinks 课题：WS小世界网络模型构造 姓名赵训 学号 2 班级计算机实验班 一、WS 小世界网络简介 1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念,并建立了WS模型。实证结果表明,大多数的真实网络都具有小世界特性(较小的最短路径) 和聚类特性(较大的聚类系数) 。传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性,但并不具有小世界特性;而ER 随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。 Watts 和Strogatz建立的WS小世界网络模型就介于这两种网络之间,同时具有小世界特性和聚类特性,可以很好的来表示真实网络。 二、WS小世界模型构造算法 1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。 2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。 在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡，如图a所示。 图a 相应程序代码（使用Matlab实现） ws_net.m （位于“代码”文件夹内） function ws_net() disp('WS小世界网络模型') N=input('请输入网络节点数'); K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数'); p=input('请输入随机重连的概率'); angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N; x=100*cos(angle); y=100*sin(angle); plot(x,y,'r.','Markersize',30); hold on; %生成最近邻耦合网络； A=zeros(N); 无标度网络 1.简介 传统的随机网络（如ER模型），尽管连接是随机设置的，但大部分节点的连接数目会大致相同，即节点的分布方式遵循钟形的泊松分布，有一个特征性的“平均数”。连接数目比平均数高许多或低许多的节点都极少，随着连接数的增大，其概率呈指数式迅速递减。故随机网络亦称指数网络。 现实世界的网络大部分都不是随机网络，少数的节点往往拥有大量的连接，而大部分节点却很少，一般而言他们符合zipf定律，(也就是80/20马太定律)。人们给具有这种性质的网络起了一个特别的名字——无标度网络。这里的无标度是指网络缺乏一个特征度值（或平均度值），即节点度值的波动范围相当大。 现实中的交通网，电话网和Internet都是无标度网络，在这种网络中，存在拥有大量连接的集散节点。分布满足幂律的无标度网络还具有一个奇特的性质—“小世界”特性。虽然万维网中的页面数已超过80亿，但平均来说，在万维网上只需点击19次超链接，就可从一个网页到达任一其它页面。 无标度网络具有严重的异质性，其各节点之间的连接状况（度数）具有严重的不均匀分布性：网络中少数称之为Hub点的节点拥有极其多的连接，而大多数节点只有很少量的连接。少数Hub点对无标度网络的运行起着主导的作用。从广义上说，无标度网络的无标度性是描述大量复杂系统整体上严重不均匀分布的一种内在性质。 1999 年, Albert、Jeong和Barabs发现万维网网页的度分布不是通常认为的Poisson 分布,而是重尾特征的幂律分布,而且万维网基本上是由少数具有大量超链接的网页串连起来的, 绝大部分网页的链接很少,他们把网络的这个特性称为无标度性(Scale-free nature, SF)。1999 年Barabs和Albert考察了实际网络的生成机制, 发现增长和择优连接是实际网络演化过程的两个基本要素, 他们创造性地构建了能够产生无标度特性的第一个网络模型——BA 模型。 BA 网络主要具有以下特性: 具有幂律度分布, 是一个无标度网络; 具有小世界特征。幂律度分布的重尾特征导致无标度网络中有少数具有大量连接边的中枢点, 择优连接必然产生“富者愈富”的现象。BA 网络同时具有鲁棒性和脆弱性，面对结点的随机失效, 网络具有鲁棒性；但面对蓄意攻击时, 由于中枢点的存在, 网络变得十分脆弱, 很容易陷于瘫痪。 特别地, 网络传染性疾病在无标度网络中不存在传播阈值, 疾病一旦产生就在网络上迅速传播并达到稳定状态。如果没有人为干预, 疾病将在网络中永远存在, 不会自动灭绝。这对制定无标度网络上的网络疾病防控策略提出了重大挑战。 2.BA无标度网络构成原则 ( 1) 增长: 网络开始于少数几个结点(初始设定为m0个) , 每个相等时间间隔增加一个新点, 新点与m个(m小于等于m0)不同的已经存在于网络中的旧点相连产生m条新边。 （2）择优连接：新点与旧点i相连的概率P取决于结点i的度数ki。 小世界网络的研究现状与展望 !"#$%#&#’()#&#*%+",-(.*(-/’*’01/%#+*&(/2("#,3*445/%406#(7/%8 黄萍张许杰刘刚 （华东理工大学商学院管理科学与工程系上海%$$$&’） 摘要近年来，真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了学术界对复杂网络的研究热潮，基于小世界网络的知识管理研究也得到了一定发展。在对小世界网络的研究背景、基础概念以及各个领域的研究进行简单综述的基础上，提出了其今后可能的发展趋势。 关键词复杂网络小世界网络流言传播无标度网络 现实世界中许许多多的复杂网络都是具有小世界或无尺度特征的复杂网络：从生物体中的大脑结构到各种新陈代谢网络，从()*+,)+*到---，从大型电力网络到全球交通网络，从科研合作网络到各种政治、经济、社会关系网络等等，数不胜数。各种网络的研究目前在世界上受到了高度的重视，形成了日益高涨的热潮，已成为一个极其重要而且富有挑战性的前沿科研方向。 !小世界网络研究背景及其基本概念 !.!复杂网络拓扑结构人们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构［%］。网络拓扑结构经过以下&个发展阶段：在最初的!$$多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示。到了!"世纪/$年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，即两个节点之间连边与否不再是根据一个概率决定的［!］，这样生成的网络叫做随机网络（01)234），在接下来的5$年里它一直被认为是描述真实系统最好的网络。直到最近几年，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络，对于复杂网络的研究标志着第三阶段的到来［5%］。 复杂网络拓扑结构的不确定性是复杂网络研究的基本问题。%$世纪中叶，6,237和0+)89突破传统图论，用随机图描绘了复杂网络拓扑。近年来研究发现，很多实际的复杂网络既不完全规则也不完全随机，而是介于完全规则和完全随机这两个极端之间，既具有类似规则网络的较大集聚系数，又具有类似于随机网络的较小平均路径长度，这就是小世界网络。人际关系网络中的“六度分离”就是小世界网络的经典例子。 大多数早期文献中都有关于六度分离的描述，!":’年，哈佛大学社会心理学家斯坦利?米尔格拉姆（;*1)<+8=9<> ?,14）作了这样的一个实验，他要求&$$多人发信把他的一封信寄到某市一个“目标”人。于是形成了发信人的链条，链上 的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家庭成员、商业同事或偶然认识的人，以便尽快到达目标人。实验结果是，一共:$个链条最终到达目标人，链条中平均步骤大约为:。人们把这个结果说成“六度分离”并广为传播［&!!!］。 应该注意到三种概念在当代对复杂网络的思考中占有重要地位。1.小世界的概念。它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节点间却有一条相当短的路径的事实。@.集群即集聚度（A 关于小世界网络的文献综述 一、小世界网络概念方面的研究 Watts和Strogatz开创性的提出了小世界网络并给出了WS小世界网络模型。小世界网络的主要特征就是具有比较小的平均路径长度和比较大的聚类系数。所谓网络的平均路径长度，是指网络中两个节点之间最短路径的平均值。聚类系数被用来描述网络的局部特征，它表示网络中两个节点通过各自相邻节点连接在一起的可能性，以及衡量网络中是否存在相对稳定的子系统。规则网络具有大的特征路径长度和高聚类系数，随机网络则有短的特征路径长度和比较小的聚类系数[1]。 Guare于1967年在《今日心理学》杂志上提出了“六度分离”(Six Degrees of Separation) 理论，即“小世界现象”。该理论认为，在社交网络中存在短路径，即人们只要知道自己认识的人，就能很快地把信息传递到任何远方目标[2]。 .Stanleymilgram的邮件试验，后来的“培根试验”，以及1998年《纽约时代周刊》的关于莱温斯基的讽刺性游戏，都表现出：似乎在庞大的网络中各要素之间的间隔实际很“近”，科学家们把这种现象称为小世界效应[3]。研究发现，世界上任意两个人可以平均通过6个人联系在一起，人们称此现象为“六度分离” [2]。 二、小世界网络模型方面的研究 W-S模型定义了两个特征值：a.特征路径的平均长度L。它是指能使网络中各个结点相连的最少边长度的平均数，也就是上面说的小世界网络平均距离。b.集团化系数C。网络结点倾向于结成各种小的集团,它描述网络局部聚类特征。 稍后，Newman和WattS对上述的WS模型作了少许改动，提出了另一个相近但较好的(NW)小世界网络模型[5]，其做法是不去断开原来环形初始网络的任何一条边、而只是在随机选取的节点对之间增加一条边(这时，新连接的边很可能是长程边)。这一模烈比WS模型容易分析，因为它在形成过程中不会出现孤立的竹点簇。 其次，还有Monasson小世界网络模型[6]以及一些其它的变形模型包括BW 小世界网络模型等等[7]。 三、小世界网络应用方面的研究 ①、在生物学领域的应用 Wdt怡和StrogatZ证明疾病全球传播所需的时间和特征路径长度非常相似，只要在传播网络中加人一些捷径就可以使传播速度明显加快。运用病毒在小世界网络中的传播性质可推出信息在一个平均分离度为6的网络中传播要比在平均分离度为一百或一百万的网络中快得多[8]。 许多知名的生物网络表现出了小世界网络节点间的关连性。一般的小世界网络模型,也利用了网络的无向和无标度特性来展示网络中各节点之间的联系。这种网络模型能模拟一些神经网络的重要性质，例如，染色体结合的方向和标度。 [9][10]。 有学者研究了基于神经网络的有小世界结构的联想记忆模型。这一网络检索某一存储的模型的有效性展示了混乱的有限价值的阶段转换。更加常规化的网络很难恢复这个模型，而对混合的不对称的状态更有效。[11]。 ②、在博弈论方面的应用 小世界网络及其性质 复杂网络是多主体系统的一个子集，对它的研究是计算经济学的一个重要研究领域。而贸易网络又是复杂网络在社会科学领域的一个子集，因此要讨论贸易网络，首先要关注关于复杂网络的一般性研究。在本章中，我们先介绍复杂网络研究的一个重要成果，即小世界模型，这为后面讨论贸易网络做准备。因为小世界模型只是一个纯粹的数学问题，并不包含某一学科的特殊含义，因此要首先讨论贸易网络的经济学意义，这是从一个简单的分工协调问题开始的。之后，我们进一步的追问，贸易网络是否也具有小世界这样一个普遍存在的性质。 1、多主体系统中的复杂网络 我们生活在各种各样的网络之中。在与同学、朋友、老师交往的时候，我们处于一个人际关系网络中；在我们使用各种电器的时候，我们处于一个电力网络中，很多发电厂、变电所、输电线构成了这个网络；我们去银行取钱的时候，便处于一个银行网络之中，而银行又可以与各种投资者，贷款人联系，这又是一个更大的网络。复杂网络是最近几年新兴起来的一个研究方向，如图 3.1 所示，复杂网络是多主体系统的一个子集，它里面还包括了社会关系网络（社会学）、神经网络（生物学）、计算机网络（计算机科学）、贸易网络（经济学）等等诸多的网络类别。复杂网络是多主体系统研究的一个重要分支，对社会网络、贸易网络的分析是计算经济学（ACE）的一个主要领域。 ACE 在社会科学角度对复杂网络的研究主要关注以下几个方面：（1）市场或 人际关系网络的拓扑结构究竟是什么样的。（2）这些网络结构的微观基础是什么，即如何从个体的行为出发，通过自下而上的建模涌现出这样的网络。（3）社会科学领域的网络与其它领域的网络能否找到一致的共性特征。社会科学可 小世界网络简介及MATLAB建模 1.简介 小世界网络存在于数学、物理学和社会学中，是一种数学图的模型。在这种图中大部份的结点不与彼此邻接，但大部份结点可以通过任一其它节点经少数几步就可以产生联系。若将一个小世界网络中的点代表一个人，而联机代表人与人之间是相互认识的，则这小世界网络可以反映陌生人通过彼此共同认识的人而起来产生联系关系的小世界现象。 在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。小世界网络就是对这种现象的数学描述。用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。除了社会人际网络以外，小世界网络的例子在生物学、物理学、计算机科学等领域也有出现。许多经验中的图可以用小世界网络来作为模型。因特网、公路交通网、神经网络都呈现小世界网络的特征。 小世界网络最早是由邓肯·瓦茨（Duncan Watts）和斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）在1998年引进的，将高聚合系数和低平均路径长度作为特征，提出了一种新的网络模型，一般就称作瓦茨-斯特罗加茨模型（WS模型），这也是最典型的小世界网络的模型。 由于WS小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性，纽曼(Newman)和瓦茨(Watts)提出了NW小世界网络模型，该模型是通过用“随机化加边”模式来取代WS小世界网络模型构造中的“随机化重连”。 在考虑网络特征的时候，使用两个特征来衡量网络：特征路径长度和聚合系数。 特征路径长度（characteristic path length）：在网络中，任选两个节点，连同这两个节点的最少边数，定义为这两个节点的路径长度，网络中所有节点对的路径长度的平均值，定义为网络的特征路径长度。这是网络的全局特征。 聚合系数(clustering coefficient)：假设某个节点有k个边，则这k条边连接的节点之间最多可能存在的边的个数为k(k-1)/2，用实际存在的边数除以最多可能存在的边数得到的分数值，定义为这个节点的聚合系数。所有节点的聚合系数的均值定义为网络的聚合系数。聚合系数是网络的局部特征，反映了相邻两个人之间朋友圈子的重合度，即该节点的朋友之间也是朋友的程度。 我们可以发现规则网络具有很高的聚合系数，大世界（large world，意思是特征路径长度很大），其特征路径长度随着n(网络中节点的数量)线性增长，而随机网络聚合系数很小，小世界（small world，意思是特征路径长度小），其特征路径长度随着log(n)增长中说明，在从规则网络向随机网络转换的过程中，实际上特征路径长度和聚合系数都会下降，到变成随机网络的时候，减少到最少。但这并不是说大的聚合系数一定伴随着大的路径长度，而小的路径长度伴随着小的聚合系数，小世界网络就具有大的聚合系数，而特征路径长度很小。试验表明，少量的short cut的建立能够迅速减少特征路径长度，而聚合系数变化却不大，因为某一个short cut的建立，不仅影响到所连接的节点的特征路径长度，而且影响到他们邻居的路径长度，而对整个网络的聚合系数影响不大。这样，少量的short cut的建立就能使整个网络不知不觉地变成小世界网络。 实际的社会、生态、等网络都是小世界网络，在这样的系统里，信息传递速度快，并且少量改变几个连接，就可以剧烈地改变网络的性能，如对已存在的网络进行调整， 复杂网络理论及其研究现状 复杂网络理论及其研究现状 【摘要】简单介绍了蓬勃发展的复杂网络研究新领域，特别是其中最具代表性的是随机网络、小世界网络和无尺度网络模型；从复杂网络的统计特性、复杂网络的演化模型及复杂网络在社会关系研究中的应用三个方面对其研究现状进行了阐述。 【关键词】复杂网络无标度小世界统计特性演化模型 一、引言 20世纪末，以互联网为代表的信息技术的迅速发展使人类社会步入了网络时代。从大型的电力网络到全球交通网络，从Internet 到WWW，从人类大脑神经到各种新陈代谢网络，从科研合作网络到国际贸易网络等，可以说，人类生活在一个充满着各种各样的复杂网络世界中。 在现实社会中，许多真实的系统都可以用网络的来表示。如万维网（WWW网路）可以看作是网页之间通过超级链接构成的网络；网络可以看成由不同的PC通过光缆或双绞线连接构成的网络；基因调控网络可以看作是不同的基因通过调控与被调控关系构成的网络；科学家合作网络可以看成是由不同科学家的合作关系构成的网络。复杂网络研究正渗透到数理科学、生物科学和工程科学等不同的领域，对复杂网络的定性与定量特征的科学理解，已成为网络时代研究中一个极其重要的挑战性课题，甚至被称为“网络的新科学”。 二、复杂网络的研究现状 复杂网络是近年来国内外学者研究的一个热点问题。传统的对网络的研究最早可以追溯到18世纪伟大数学家欧拉提出的著名的“Konigsberg七桥问题”。随后两百多年中，各国的数学家们一直致力于对简单的规则网络和随机网络进行抽象的数学研究。规则网络过于理想化而无法表示现实中网络的复杂性，在20世纪60年代由Erdos和Renyi（1960）提出了随机网络。进入20世纪90年代，人们发现现实世界中绝大多数的网络既不是完全规则，也不是完全随机 无标度网络m a t l a b建模Last revision on 21 December 2020 复杂系统无标度网络研究与建模 XXX 南京信息工程大学XXXX系，南京 210044 摘要：21世纪是复杂性的世界，基于还原论的世界观与方法论已经无法满足当前人们对作为一个整体系统的自然界和人类社会的认识和研究，利用系统科学的方法对科学重新审视已近变为迫切的需要。现实生活中众多复杂网络都具有无标度性，这种无标度网络的增长性和择优连接性很好的解释了富者越富的“马太效应”。对无标度网络的深入研究，让人们深刻的认识到其在Internet、地震网、病毒传播和社会财富分布网中的理论与现实意义。本文通过对复杂网络中的无标度网络的分析与研究，介绍了无标度网络区别于一般随机网络的特性与现实意义，并利用了Matlab 生成了一个无标度网络。 关键词：无标度网络，幂律特性，模型建立 1 引言 任何一种网络都可以看作是由一些节点按某种方式连接在一起而构成的一个系统，曾经关于网络结构的研究常常着眼于包含几十个到几百个节点的网络，而近几年关于复杂网络的研究中则常常可以见上万个节点的网络，网络规模尺度上的改变也促使网络分析方法做相应的改变，而复杂网络是近年来随着网络规模、理论和计算机技术的飞速发展而出现的一个新的研究方向。它的出现不仅顺应了现代科技的发展趋势，而且反映了在以信息科学为支柱的新世纪中，各学科理论及应用交叉、渗透和融合的发展趋势[1]。复杂系统主要研究其个体之间相互作用所产生的系统的整体性质与行为“复杂系统的复杂性体现在系统的整体性质与行为往往不是系统各个个体的状态的简单综合”因此，复杂系统的研究不能采用还原论的方法，而要从整体上进行研究。 在对复杂系统的研究中，美国物理学家Barabasi和Albert通过对万维网的研究，发现万维网中网页连接的度分布服从幂律分布，而万维网中少数网页(Hub点)具有非常大的连接，大多数网页的连接数甚小Barabasi等把度分布为幂律分布(Power law)的复杂网络称为无标度网络（scale-free net）[2]。 小世界复杂网络模型研究 摘要：复杂网络在工程技术、社会、政治、医药、经济、管理领域都有着潜在、广泛的应用。通过高级计算机网络课程学习，本文介绍了复杂网络研究历史应用，理论描述方法及阐述对几种网络模型的理解。 1复杂网络的发展及研究意义 1.1复杂网络的发展历程 现实世界中的许多系统都可以用复杂网络来描述，如社会网络中的科研合作网、信息网络中的万维网、电力网、航空网，生物网络中的代谢网与蛋白质网络。 由于现实世界网络的规模大，节点间相互作用复杂，其拓扑结构基本上未知或未曾探索。两百多年来，人们对描述真实系统拓扑结构的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统要素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网；从20世纪50年代末到90年代末，无明确设计原则的大规模网络主要用简单而易于被多数人接受的随机网络来描述，随机图的思想主宰复杂网络研究达四十年之久；直到最近几年，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特性的网络，其中最有影响的是小世界网络和无尺度网络。这两种网络的发现，掀起了复杂网络的研究热潮。 2复杂网络的基本概念 2.1网络的定义 自随机图理论提出至今，在复杂网络领域提出了许多概念和术语。网络（Network）在数学上以图（Graph）来表示，图的研究最早起源于18世纪瑞士著名数学家Euler的哥尼斯堡七桥问题。复杂网络可以用图论的语言和符号精确简洁地加以描述。图论不仅为数学家和物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。 网络的节点和边组成的集合。节点为系统元素，边为元素间的互相作用（关系）。若用图的方式表示网络，则可以将一个具体网络可抽象为一个由点集V和 小世界网络小世界网络简介及简介及MATLAB 建模 1.简介 小世界网络存在于数学、物理学和社会学中，是一种数学图的模型。在这种图中大部份的结点不与彼此邻接，但大部份结点可以通过任一其它节点经少数几步就可以产生联系。若将一个小世界网络中的点代表一个人，而联机代表人与人之间是相互认识的，则这小世界网络可以反映陌生人通过彼此共同认识的人而起来产生联系关系的小世界现象。 在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。小世界网络就是对这种现象的数学描述。用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。除了社会人际网络以外，小世界网络的例子在生物学、物理学、计算机科学等领域也有出现。许多经验中的图可以用小世界网络来作为模型。因特网、公路交通网、神经网络都呈现小世界网络的特征。 小世界网络最早是由邓肯·瓦茨（Duncan Watts ）和斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz ）在1998年引进的，将高聚合系数和低平均路径长度作为特征，提出了一种新的网络模型，一般就称作瓦茨-斯特罗加茨模型（WS 模型），这也是最典型的小世界网络的模型。 由于WS 小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性，纽曼(Newman)和瓦茨(Watts)提出了NW 小世界网络模型，该模型是通过用“随机化加边”模式来取代WS 小世界网络模型构造中的“随机化重连”。 在考虑网络特征的时候，使用两个特征来衡量网络： 特征路径长度和聚合系数。 特征路径长度（characteristic path length ）：在网络中，任选两个节点，连同这两个节点的最少边数，定义为这两个节点的路径长度，网络中所有节点对的路径长度的平均值，定义为网络的特征路径长度。这是网络的全局特征。 聚合系数(clustering coefficient)：假设某个节点有k 个边，则这k 条边连接的节点之间最多可能存在的边的个数为k(k-1)/2，用实际存在的边数除以最多可能存在的边数得到的分数值，定义为这个节点的聚合系数。所有节点的聚合系数的均值定义为网络的聚合系数。聚合系数是网络的局部特征，反映了相邻两个人之间朋友圈子的重合度，即该节点的朋友之间也是朋友的程度。 我们可以发现规则网络具有很高的聚合系数，大世界（large world ，意思是特征路径长度很大），其特征路径长度随着n(网络中节点的数量)线性增长，而随机网络聚合系数很小，小世界（small world ，意思是特征路径长度小），其特征路径长度随着log(n)增长中说明，在从规则网络向随机网络转换的过程中，实际上特征路径长度和聚合系数都会下降，到变成随机网络的时候，减少到最少。但这并不是说大的聚合系数一定伴随着大的路径长度，而小的路径长度伴随着小的聚合系数，小世界网络就具有大的聚合系数，而特征路径长度很小。试验表明，少量的short cut 的建立能够迅速减少特征路径长度，而聚合系数变化却不大，因为某一个short cut 的建立，不仅影响到所连接的节点的特征路径长度，而且影响到他们邻居的路径长度，而对整个网络的聚合系数影响不大。这样，少量的short cut 的建立就能使整个网络不知不觉地变成小世界网络。 实际的社会、生态、等网络都是小世界网络，在这样的系统里，信息传递速度快，并且少量改变几个连接，就可以剧烈地改变网络的性能，如对已存在的网络进行调整， 无标度网络的争议* 史定华 上海大学数学系 摘要：所有无标度网络都是稀疏的吗？从无标度网络随机抽样所得的子网络是否无标度呢？阿波罗尼斯(Apollonius)网络度指数要不要加1？如何判断一个实际网络是否无标度以及估计其度指数？等等，这些问题都涉及到无标度网络的界定。通过对提出无标度网络原创论文的研究，结合概率论中的相关分布概念，我们的理解是：无标度网络不应仅限于其网络度分布为幂律分布，而应该是指其网络度分布具有幂律行为的一大类网络。 关键词：幂律分布，幂律度序列，幂律行为，无标度网络。 1. 引言 自从1999年Barabási和Albert[1]在《科学》上提出无标度网络起，迄今为止，普遍认为无 P k kγ?(这里记号~指渐近正比)。由于标度网络是指度分布有(或至少近似地有)幂律形式()~ 人们对这个幂律形式的认识和理解不同，以及网络尺度上有限与无限的巨大差异，关于无标度网络概念的讨论一直没有停止过。发表讨论文章的都是一些大人物或名单位，我们按时间倒叙的方式择其要者来介绍。2011年德国马普研究所的Genio等人和美国休斯顿大学物理系的Bassler[2]在PRL上以“所有无标度网络都是稀疏的”为题阐述了他们对无标度网络的理解。 γ>。2005年，混沌领军人物之一、牛津大学的May[3]等人这里网络稀疏是指度分布指数2 在PNAS上曾抛出了一篇重磅炸弹文章“无标度网络的子网络都不是无标度网络”，以说明他们对无标度网络的看法。更具戏剧性的是从2005年到2011年为确定阿波罗尼斯网络度指数在PRL上先后发表了三篇文章[4~6]。其中争议的焦点是度指数要不要加1，起因是Barabási 等人[7,8]提出的确定性几何增长模型网络度指数曾出现过反复。可见在物理学界关于什么是无标度网络认识并不一致。事实上，在此之前加州理工学院的Li等人和AT&T实验室的Willinger[9]就质疑过无标度网络的定义，但由于不是物理学家，他们的长文2005年发表在Internet Math.上。而在无标度网络提出不久，随机图论的权威人物剑桥大学的Bollobás和牛津大学的Riordan等人[10]就指出，作为无标度网络典型代表的BA模型“不明确”。他们修改了模型并给出了严格的数学证明，文章2001年发表在Random Structures and Algorithms上。鉴于无标度网络概念在网络科学中的基本重要性，概念的含混不清会引发许多其它连带的问题。例如，网络科学界名人Newman所提出的度相关系数测度[11]和度指数极大似然估计公式[12]就值得商榷。因此有必要进一步探讨无标度网络的界定，通过对提出无标度网络原创论文的研究，我们的理解是：无标度网络泛指网络度分布具有幂律行为比较合适。度分布有幂律分布的网络只是其中的一部分，难怪网络世界似乎是无标度网络的天下。 在文献上我们经常会见到产生无标度网络的多种情况：(1)给定幂律度序列的网络；(2) 来自实际网络的数据子网络；(3)确定的几何增长模型网络；(4)类似于BA随机模型的网络； P k kγ?，人们通常就认为是无标度网络，从而等等。如果它们的度分布近似幂律形式()~ 据此得出种种无标度网络性质的推论。“近似”是科学的研究手段之一，采用近似方法无可非议，但用在这里则是造成许多误解和争议的根源。在科学研究中，虽然方法可以近似，但概念则必须明确，当涉及部分与全体时，两者在逻辑上不能混淆。 我们将依次展开讨论，阐明文献上对无标度网络的理解和认识，着重挖掘无标度网络原无标度网络模型构造
小世界网络
无标度网络matlab建模
WS小世界网络模型的程序代码(matlab)
复杂网络模型的matlab实现
基于Matlab的无标度网络仿真
课题：WS小世界网络模型构造
无标度网络及MATLAB建模
小世界网络的研究现状与展望
小世界网络综述
小世界网络及其性质
小世界网络简介及MATLAB建模
复杂网络理论及其研究现状
无标度网络matlab建模
小世界复杂网络模型研究
看看挺有用的(小世界网络简介及MATLAB建模)
无标度网络的争议