文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 第4章--生产函数--习题

第4章--生产函数--习题

第4章--生产函数--习题
第4章--生产函数--习题

第四章生产函数分析

一、名词解释

1.固定投入比例生产函数

2.固定替代比例生产函数

3.短期生产

4.长期生产

5.边际报酬递减规律

6.等产量线

7.边际技术替代率

8.边际技术替代率递减规律

9.等成本线

10.等斜线

11.扩展线

12.规模报酬

13.规模报酬递增

14.规模报酬不变

15.规模报酬递减

二、选择题

7.如果生产函数为Q = min (3L,K),w = 5,r = 10,则劳动与资本的最优比例为( )。

A.3 : 1 B.1 : 2 C.1 : 3 D.2 : 1

8.下面情形表示生产仍有潜力可挖的是( )。

A.生产可能性边界上的任意一点B.生产可能性边界外的任意一点

C.生产可能性边界内的任意一点D.以上都有可能

知识点:总产出、平均产出、边际产出的概念及三者之间的关系

9.当生产函数Q = f (L,K)的AP L为正而且递减时,MP L可以是( )。

A.递减且为正B.为0 C.递减且为负D.上述任何一种情况都有可能

10.在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中,下列说法中正确的是( )。

A.总产量最先开始下降D.平均产量首先开始下降

C.边际产量首先开始下降D.平均产量下降速度最快

11.下列各项中,正确的是( )。

A.只要平均产量减少,边际产量就减少

B.只要总产量减少,边际产量就一定为负值

C.只要边际产量减少,总产量就减少

D.只要平均产量减少,总产量就减少

12.劳动(L)的总产量下降时( )。

A.AP L是递减的B.AP L为零C.MP L为零D.MP L为负

13.在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中,首先发生变化的是( )。

A.边际产量下降B.平均产量下降C.总产量下降D.B和C

14.如果一种投入要素的平均产量高于其边际产量,则( )。

A.随着投入的增加,边际产量增加

B.边际产量将向平均产量趋近

C.随着投入的增加,平均产量一定增加

D.平均产量将随投人的增加而降低

15.总产量最大,边际产量( )。

A.为零B.最大C.最小D.无法确定

16.当且AP L为正但递减时,MP L是( )

A.递减B.AP L为零C.零D.MP L为负

17.下列说法中错误的是( )。

A.只要总产量减少,边际产量一定是负数

B.只要边际产量减少,总产量一定也减少

C.随着某种生产要素投入量的增加,边际产量和平均产量增加到一定程度将趋于下降;

其中边际产量的下降一定先于平均产量

D.边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与之相交

知识点:短期生产函数条件下的“三阶段”

19.经济学中短期与长期的划分取决于( )。

A.时间长短B.可否调整产量

C.可否调整产品价格D.可否调整生产规模

20.关于生产函数Q = f(L,K)的生产的第二阶段,即厂商要素投入的合理区域,应该是( )。

A.开始于AP L开始递减处,终止于MP L为零处

E.开始于AP L曲线和MP L曲线的相交处,终止于MP L曲线和水平轴的相交处

C.开始于AP L的最高点,终止于MP L为零处

D.上述说法都对

21.根据生产的三阶段论,生产应处于的阶段是( )。

A.边际产出递增,总产出递增阶段B.边际产出递增,平均产出递减阶段

C.边际产出为正,平均产出递减阶段D.以上都不对

22.理性的厂商将让生产过程在( )进行。

A.第一阶段B.第二阶段C.第三阶段D.不能确定

23.如果仅劳动是变动投入,以边际产量等于平均产量作为划分生产三阶段的标志,则( )不是第Ⅱ阶段的特点。

A.边际报酬递减B.平均产量不断下降

C.总产量不断提高D.平均产量先上升,后下降

24.当MPP L为负时,我们处于( )。

A.对L的第一阶段B.对K的第三阶段

C.对L的第二阶段D.上述都不是

知识点:边际报酬(或边际收益)递减规律

25.如果是连续地增加某种生产要素,在总产量达到最大时,边际产量曲线( )。

A.与纵轴相交B.经过原点

C.与平均产量曲线相交D.与横轴相交

26.下列说法中正确的是( )。

A.生产要素的边际技术替代率递减是规模报酬递减规律造成的

B.生产要素的边际技术替代率递减是边际报酬递减规律造成的

C.规模报酬递减是边际报酬规律造成的

D.边际报酬递减是规模报酬递减造成的

27.边际收益递减规律发生作用的前提条件是( )。

A.连续增加某种生产要素的投入而保持其他要素不变

B.按比例增加各种生产要素

C.不一定按比例增加各种生产要素

D.以上说法都不对

28.在边际产量发生递减时,如果要增加同样数量的产品,应该( )。

A.增加变动生产要素的投入量B.减少变动生产要素的投入量

C.停止增加变动生产要素D.同比例增加各种生产要素

29.在边际收益递减规律的作用下,边际产量会发生递减,在这种情况下,如果增加相同产量的产出,该( )。

A.停止增加可变的生产要素B.减少可变生产要素的投入

C.增加更多可变要素投入的数量D.减少固定生产要素

30.如果一种投入要素的边际产量为正值,随着投入的增加,边际产量递减,则( )。

A.总的产量已经达到了最高点,正在不断下降

B.总的产量不断增加,但是增加的速度越来越慢

C.平均产量一定下降

D.厂商应当减少产出

31.如果边际生产力递减规律起作用,下列条件( )必须得到满足产量才能增加。

A.必须来自所有投入成比例增加

B.必须来自一些投入的增加,而且至少一些投入的数量不变

C .必然来自仅有一个投入的增加,而其它投入的数量不变

D .必然由于后来增加投入的能力或技术下降而减少

32.报酬递减规律( )。

A .仅适用于少数国家或少数行业

B .伴随在生产过程中的每个阶段

C .仅仅适用于市场经济

D .在知识经济时代将不会发挥作用

33.边际收益递减规律发生作用的前提条件是( )。

A .连续地投入某种生产要素而保持其他生产要素不变

B .生产技术既定不变

C .按比例同时增加各种生产要素

D .A 和B

知识点:等成本线、等产量线、边际技术替代率、边际技术替代率递减规律

34.在以横轴L 表示劳动数量,纵轴K 表示资本数量,w 表示劳动的价格,r 表示资本的价

格,相应的平面坐标中所绘出的等成本线的斜率为( )。

A .

r w B .r w - C .w

r D .w r -

35.如果以横轴L 表示劳动,纵轴K 表示资本,则等成本曲线的斜率是( )。

A .

K

L P P B .一

K

L P P C .

L

K P P D .一

L

K

P P 36.在以横轴表示生产要素L ,纵轴表示生产要素K 的坐标系中,等成本曲线的斜率等于2

表明( )。

A .

2=r w B .2=K

L Q Q C .2=w r

D .上述任意一项 37.等成本线的斜率表示的是:( )。

A .纵轴上的要素价格对横轴上要素价格的比率

B .横轴上的要素价格对纵轴上要素价格的比率

C .在既定成本下所能生产的各种产量

D .生产既定产量的总成本

38.等成本曲线向外平行移动说明了( )。

A .成本增加了

B .生产要素的价格上升了

C .产量提高了

D .以上都不对

39.等产量曲线是指这条曲线上的各点代表( )。

A .为生产同样产量投入要素的各种组合的比例是不能变化的

B .为生产同等产量投入要素的价格是不变的

C .不管投入各种要素量如何,产量总是相等的

D .投入要素的各种组合所能生产的产量都是相等的

40.等成本线平行向内移动,则( )。

A .产量减少

B .成本增加

C .生产要素价格按相同比例提高

D .生产要素价格按相同比例降低

41.等成本曲线围绕着它与纵轴 ( 纵轴表示生产要素Y ,横轴代表生产要素X ) 的交点逆

时针移动表明( )。

A .生产要素Y 的价格上升了

B .生产要素X 的价格上升了

C .生产要素X 的价格下降了

D .生产要素Y 的价格下降了

42.若劳动与资本的投入组合处于投入产出生产函数等产量线的垂直部分,则( )。

A .劳动与资本的边际产量都是负

B .劳动与资本的边际产量都是0

C .劳动的边际产量为0,资本的边际产量为正

D .劳动的边际产量为正,资本的边际产量为0

43.如果连续增加某种生产要素,在总产量达到最大值的时候,边际产量曲线与以下哪条线

相交( )。

A .平均产量曲线

B .纵轴

C .横轴

D .总产量曲线

44.能够表示固定的产量水平和变化的要素投入比例的线,最可能是( )。

A .射线

B .等产量线

C .脊线

D .等成本线

45.等产量曲线( )。

A .说明为了生产一个给定的产量两种投入要素各种可能的组合

B .除非得到所有要素的价格,否则不能画出这条曲线

C .表明了投入与产出的关系

D .表明了无论投入的数量如何变化,产出量都是一定的 46.若厂商增加使用一个单位的劳动,减少三个单位的资本,仍能生产相同产出,则MRTS LK

是( )。

A .1/3

B .3

C .1

D .6

47.以K 表示资本,以L 表示劳动,则在维持产量水平不变的条件下,如果企业增加2单位的劳动投入量就可以减少4单位的资本投入量,则有( )。

A .2=LK MRTS ,且

2=L K MP MP B .21

=LK MRTS ,且2=L K MP MP

C .2=LK MRTS ,且

21=L K MP MP D .21

=LK MRTS ,且2

1=L K MP MP

48.等产量线上某一点的切线的斜率等于( )。

A .边际替代率

B .等成本线的斜率

C .边际技术替代率

D .预算线的斜率

49.假定生产某一产品的最小成本是200单位劳动和100单位资本,则可以知道( )。

A .每单位资本的价格一定是每单位劳动价格的2倍

B .每单位劳动的价格一定是每单位资本价格的2倍

C .资本对劳动的边际技术替代率等于2

D .上述说法均不正确 50.如果厂商A 的劳动L 对资本K 的边际替代率是1/3,厂商B 的是2/3,那么,( )。

A .只有厂商A 的生产成本是递减的

B .只有厂商B 的生产成本是递减的

C .厂商A 的资本投入是厂商B 的2倍

D .如果厂商A 用3单位的劳动与厂商B 的2单位资本相交换,厂商A 的产量将增加 51.已知在等产量曲线的某一点上,以生产要素L 替代K 的边际替代率是2,这意味着( )。

A .

2=L K MP MP B .2=K L MP MP C .2=L K AP AP D .2=L

K Q Q

知识点:最有生产要素组合点,有效经济区间

52.对于生产函数Q = f (L ,K) 和成本方程C = w L + r K 而言,在最优的生产要素组合点

上应该有( )。

A .r

w

MRTS LK = B .等产量曲线和等成本线相切 C .

r

MP w MP K

L = D .上述说法都对 53.如果等成本曲线在坐标平面上与等产量曲线相交,那么要生产等产量曲线所表示的产量水平,则( )。

A .应增加成本支出

B .不能增加成本支出

C .应减少成本支出

D .不能减少成本支出

54.当某厂商以最小成本生产出既定产量时,那它( )。

A .总收益为零

B .一定获得最大利润

C .一定未获得最大利润

D .无法确定是否获得最大利润

55.如果确定了最优的生产要素组合,则( )。

A .在生产函数已知时可以确定一条总成本曲线

B .就可以确定一条总成本曲线

C .在生产要素价格已知时可以确定一条总成本曲线

D .在生产函数和生产要素价格已知时可以确定总成本曲线上的一个点

56.在生产的有效区域内,等产量曲线( )。

A .凸向原点

B .不能相交

C .负向倾斜

D .上述说法都对

57.已知等成本曲线与等产量曲线既不相交也不相切,此时,要达到等产量曲线所表示的产

出水平,应该( )

A .增加投入

B .保持原投入不变

C .减少投入

D .或A 或B 58-61题见图4-4。

58.假设AB 线代表的总成本为24元,则由等成本曲线AB 可知生产要素X 和Y 的价格分

别为 ( )。

A .4元和3元

B .3元和4元

C .8元和6元

D .6元和8元

59.生产200单位产量的最低成本是 ( )。

A .24元

B .48元

C .12元

D .36元

60.生产200单位产量的最优生产要素组合是 ( )。

A .3单位X 和4单位Y

B .4单位X 和3单位Y

C .8单位X 和6单位Y

D .6单位X 和8单位Y

61.等成本曲线从AB 平行移至CD ,表明总成本从24元增至( )。

A .32元

B .36元

C .48元

D .60元

图4-4

知识点:最优生产要素组合点的变动

62.生产理论中的扩展线和消费者理论中的( )类似。

A .价格一消费曲线

B .恩格尔曲线 C. 收入一消费曲线 D. 预算线

63.在生产者均衡点上( )

A .等产量曲线与等成本曲线相切

B .K

L

LK P P MRTS =

C .

K

K

L L P MP P MP =

D .上述情况都正确

知识点:规模报酬

65.规模报酬递减是在下述情况下发生的( )。

A .按比例连续增加各种生产要素 D .不按比例连续增加各种生产要素 C .连续地投入某种生产要素而保持其他要素不变 D .上述都正确

E ’

E

A B C D

0 4 8 12 15 X

3

4.5 6 9 Y 10 Q=300 Q=200

66.规模报酬递减是在( )的情况下发生的。

A .按比例投入生产要素

B .不按比例投入生产要素

C .连续投入某种生产要素而其余生产要素不变

D .不投入某种生产要素而增加其余生产要素的投入

67.对于生产函数Q = f (K ,L),如果规模报酬不变,单位时间里增加了10%的劳动使用量;

但保持资本量不变,则产出将( )。

A .增加10%

B .减少10%

C .增加大于10%

D .增加小于10%

68.已知某企业的生产函数LK Q 10 (Q 为产量,L 和K 分别为劳动和资本),则 ( )。

A .生产函数是规模报酬不变

B .生产函数是规模报酬递增

C .生产函数是规模报酬递减

D .企业处于内部经济阶段

69.当生产函数为Y =X 1+2X 2+5时,有( )。

A .规模报酬递增

B .规模报酬不变

C .规模报酬递减

D .劳动的边际产量递减

三、判 断 题

1.生产要素的边际技术替代率递减是规模报酬递减造成的。 ( )

2.在任何一种产品的短期生产中,随着一种可变要素投入量的增加,边际产量最终会呈现

递减的特征。 ( )

3.假定生产某种产品要用两种要素,如果这两种要素的价格相等,则该厂商最好就是要用

同等数量的这两种要素投入。 ( )

4.规模报酬递增的厂商不可能会面临报酬递减的现象。 ( ) 5.如果生产函数具有规模报酬不变特性,那么要素在生产上的边际替代率是不变的。 ( )

6.只要边际产量为正,总产量总是增加的。 ( )

7.只要边际产量为负,总产量总是减少的。 ( )

8.只要边际产量大于平均产量,平均产量递减。 ( )

9.只要边际产量小于平均产量,平均产量递减。 ( )

10.边际技术替代率等于两要素的边际产量之比。 ( ) 11.脊线以外的区域的等产量曲线的斜率都为负值,脊线以内的区域的等产量曲线的斜率都

为正值。( )

12.等成本线的斜率即为两种生产要素的价格之比。( )

13.边际技术替代率是正的,并且呈递减趋势。( )

14.任何生产函数都以一定时期内的生产技术水平作为前提条件,一旦生产技术水平发生变化,原有的生产函数就会发生变化,从而形成新的生产函数。( )

15.微观经济学的生产理论分为短期生产理论和长期生产理论。相应地,无论是短期还是长期,生产要素投入都可以分为不变要素投入和可变要素投入。( )

16.微观经济学的生产理论分为短期生产理论和长期生产理论。短期和长期的划分是以时间长短为标准的。( )

17.连结总产量曲线上任何一点和坐标原点的线段的斜率都可以表示为该点上的劳动的平均产量的值。( )

18.过总产量曲线上任何一点的切线的斜率都可以表示为该点上的劳动的边际产量的值。

( )

19.当总产量在开始时随着劳动投入量的增加而增加时,总产量曲线的斜率为负。当总产量在以后随着劳动投入量的增加而减少时,总产量曲线的斜率为正。( )

20.平均产量曲线和边际产量曲线的关系表现为:两条曲线相交于平均产量曲线的最高点,在此点之前,边际产量曲线高于平均产量曲线,在此点之后。边际产量曲线低于平均产量曲线。( )

21.等产量曲线上某一点的边际技术替代率就是等产量曲线在该点的斜率。( )

22.边际技术替代率递减规律使得向右下方倾斜的等产量曲线必然凸向原点。( )

23.生产的经济区域指两条脊线以外的区域,因此,理性的厂商不可能在脊线以内进行生产。

( )

24.脊线是生产的经济区域与不经济区域的分界线。( )

25.在生产函数中,只要有一种投入不变,便是短期生产函数。( )

26.如果平均变动成本等于边际成本,则边际产量等于平均产量。( )

27.当平均产量最高时,平均成本最低。( )

28.当SMC=LMC,并且小于LAC时,LAC曲线处于下降阶段。( )

29.若生产函数K L Q 94?=

,且L ,K 价格相同,则为实现利润最大化,企业应投入

较多的劳动和较少的资本。 ( )

30.拥有范围经济的企业,必定存在规模经济。 ( ) 31.只有在两要素的边际技术替代率和两要素的价格之比相等时,生产者才能实现生产的均

衡。 ( )

32.可变要素的报酬总是递减的。( )

33.边际产量可由总产量线上的任一点的切线的斜率来表示。( )

34.边际产量总是小于平均产量。( )

35.边际技术替代率为两种投入要素的边际产量之比,其值为负。( )

36.如果连续地增加某种生产要素的投入量,总产出将不断递增,边际产量在开始时递增然后趋于递减。( )

37.只要边际产量减少,总产量一定也在减少。( )

38.随着某生产要素投入量的增加,边际产量和平均产量增加到一定程度将同时趋于下降。

( )

39.边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与它相交。( ) 40.边际产量曲线与平均产量曲线的交点,一定在边际产量曲线向右下方倾斜的部分。( )

41.利用两条等产量线的交点所表示的生产要素组合,可以生产出数量不同的产品。( )

42.利用等产量曲线上任意一点所表示的生产要素组合,都可以生产出同一数量的产品。

( )

43.生产要素的价格一旦确定,等成本曲线的斜率也随之确定。( )

44.假如以生产要素L 代替K 的边际技术替代率等于3,这意味着这时增加1个单位L 所增

加的产量,等于减少3个单位K 所减少的产量。( )

45.生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的。( )

46.可变投入是指其价格和数量都可以发生变化的投入。( )

47.不变投入是指在短期内不会随产出数量变化的投入。( )

48.生产阶段Ⅱ开始于边际产量递减点。( )

49.等成本线平行向外移动说明可用于生产的成本预算增加了。( )

50.等产量线与等成本线既不相交,又不相切,那么要达到等产量线的产出水平就必须提高投入的价格。( )

51.为实现一定量产出的成本最低的原则是要使每一种投入的边际产品彼此相等。( )

52.扩展线类似于恩格尔曲线。( )

53.边际产出是指增加一个产出单位所要增加的投入的数量。( )

54.如果可变投入出现递减报酬说明总产出一定是下降的。( )

55.生产函数与投入的价格变化没有直接的关系。( )

56.由于边际收益递减规律的作用,边际产品总是会小于平均产品。( )

57.只要总产出是下降的,那么边际产品必然是负数。( )

58.如果边际技术替代率是常数,说明投入的替代比例是不变的。( )

59.只要边际产品上升,平均产品也一定上升。( )

60.如果总产出达到极大值,那么边际产品曲线就会与平均产品曲线相交。( )

四、简答题

1.简述边际报酬递减规律的内容。

2.比较消费者行为理论和生产者行为理论。

3.在短期生产函数中,运用生产理论分析说明理性的厂商应如何确定生产要素的投入量?

4.简述规模报酬变动规律及其成因。

5.等产量曲线有哪些特征? 这些特征的经济含义是什么?

6.请说明为什么厂商要沿着扩展线来扩大生产规模?

7.为了实现既定成本条件下的最大产量或既定产量条件下的最小成本,如果企业处 于r w MRTS LK >

或者r

w

MRTS LK < 时,企业应该分别如何调整劳动和资本的投入量,以达到最优的要素组合?

8.试论下列各种均衡条件之间的联系与区别:

Y

Y

X X P MU P MU =

,r MP w MP K L =,B

B

A A P MR P MR =

9.生产的三阶段是如何划分的? 为什么厂商通常会在第二阶段进行生产?

======================================================================

10.是平均产量还是边际产量决定雇主增加雇佣工人的情况? 为什么?

11.为什么边际技术替代率递减 (或为什么等产量曲线凸向原点)?

12.利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。

13.固定比例生产函数和规模报酬不变是一回事吗? 请简要说明。

五、计 算 题

1.已知生产函数为2

2

32.05.0),(K L KL K L f Q --==,其中Q 表示产量,K 表示资本,L 表示劳动。令上式的K =10。试:

(1) 写出劳动的平均产量函数和边际产量函数; (2) 分别计算总产量、平均产量最大值。

2.已知某企业的生产函数为3

231K L Q =,劳动的价格w = 2,资本的价格r = 1。求: (1) 当成本C = 3 000时,企业实现最大产量时的L 、K 和Q 的均衡值。 (2) 当产量Q = 800时,企业实现最小成本时的L 、K 和C 的均衡值。

3.设某国有企业的生产函数为25.075

.030K L

Q =,劳动年工资为0.5万元,资本(万元)年利

率为10%,问:

(1) 当总成本为5 000万元时,企业能够达到的最大产量及其劳动、资本雇用量; (2) 当总产量为1 000单位时,企业必须投入的最低总成本及其劳动、资本雇用量; (3) 当总成本为5 000万元时,若劳动年工资从0.5万元下降到0.4万元,其总效应、替

代效应、产量效应各多少?

4.已知某企业的生产函数为Q =L 2/3K 1/3,劳动的价格W =2,资本的价格r =1。求: (1) 当成本C =3000时,企业实现最大产值时的L ,K 和Q 的均衡值。

(2) 当产量Q=800时,企业实现最小成本时L,K和Q的均衡值。

5.已知生产函数为:Q = min ( L, 2K ),试求:

(1) 如果产量Q = 20,则L和K分别为多少?

(2) 如果L和K的价格均为1,则生产10个单位产量的最小成本为多少?

6.已知生产函数Q=min (L, 4K)。求:

(1) 当产量Q=32时,L与K值分别为多少?

(2) 如果生产要素的价格分别为P L=2,P K=5,则生产100单位产量时的最小成本是多

少?

7.已知某企业的生产函数为:

Q=5L+12K一2L2一K2

L的价格P L=3,K的价格P K=6,总成本TC=160,

试求该企业的最佳要素组合。

8.设厂商生产一定量的某种产品需要的劳动和资本数量的组合如下图:

(1) 美元,则该厂商为使成本最低应

采取那种生产方法?

(2) 若劳动价格不变,每单位资本价格涨到8美元,则该厂为使成本最低应采取那种生

产方法?

一次函数经典例题大全

一.定义型 例1. 已知函数是一次函数,求其解析式。 解:由一次函数定义知 , ,故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意:利用定义求一次函数y=kx+b解析式时,要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1),求这个函数的解析式。 解:一次函数的图像过点(2, -1), ,即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法:已知一次函数y=kx-3 ,当x=2时,y=-1,求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4),则这个函数的解析式为_____。 解:设一次函数解析式为y=kx+b,由题意得 ,故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。 解:设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________。 解析:两条直线;。当k1=k2,b1≠b2时,

直线y=kx+b与直线y=-2x平行,。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2,故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析:设函数解析式为 y=kx+b, 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1,故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为___________。 解:由题意得Q=20-0.2t ,即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20()注意:求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________。 解:易求得直线与x轴交点为,所以,所以|k|=2 ,即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 (1)x轴对称,则直线的解析式为y=-kx-b (2)y轴对称,则直线的解析式为y=-kx+b (3)直线y=x对称,则直线的解析式为 (4)直线y=-x对称,则直线的解析式为 (5)原点对称,则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称,则直线l的解析式为____________。 解:由(2)得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4),B(2, 2)两点,请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程。 解:(1)若经过A、B两点的函数图像是直线,由两点式易得y=-2x+6 (2)由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线,解析式为 (3)其它(略)

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1. 下列数列{}n a 是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1) mi ni a n -+= 11; 2) n n i a -?? ? ? ?+=21; 3) ()11++ -=n i a n n ; 4) 2i n n e a π-=; 5) 21i n n e n a π-= 。 2. 证明:??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在, 3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性: 1) ∑∞ =1n n n i ; 2) ∑∞ =2n n n i ln ; 3) ()∑∞=+0856n n n i ; 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4. 下列说法是否正确?为什么? 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;

2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点; 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5. 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散? 6. 求下列幂级数的收敛半径: 1) ∑∞ =1n p n n z (p 为正整数); 2) ()∑∞=12n n n z n n !; 3) ()∑∞=+01n n n z i ; 4) ∑∞=1n n n i z e π; 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ; 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7. 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ,证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示:()n n n n z c z c

函数概念典型例题

函数概念及其表示---典例分析 例1.下列各组函数中,表示同一函数的是( C ). 选题理由:函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评:有利于理解函数概念,强化函数的三要素。 变式: 1.函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ,则(2)f -=( ). A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2.集合{}22M x x =-≤≤,{}02N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( B ). 选题理由:更好的帮助学生理解函数概念,同时也体现函数的重要表示法图像法,图形法是数形结合思想应用的前提。 变式: 1.下列四个图象中,不是函数图象的是(B ). 2.设集合A ={x |0≤x ≤6},B ={y |0≤y ≤2},从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ). A. f :x →y = 1 2x B. f :x →y = 1 3x C. f :x →y =1 4x D. f :x →y =1 6 x A. B. C. D.

函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域: (1)1 21 y x = +-;(2 )y = . 选题理由:考查函数三要素,定义域是函数的灵魂。 解:(1)由210x +-≠,解得1x ≠-且3x ≠-, 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. (2 )由30 20 x -≥??≠,解得3x ≥且9x ≠, 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由:函数的重要表示法,解析式法。 变式: 1 .函数y =的定义域为( ). A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2.已知函数()f x 的定义域为[1,2)-,则(1)f x -的定义域为( ). A .[1,2)- B .[0,2)- C .[0,3)- D .[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求: (1)(2)f 的值; (2)()f x 的表达式 解:(1)由121x x -=+,解得13x =-,所以1 (2)3f =-. (2)设11x t x -=+,解得11t x t -= +,所以1()1t f t t -=+,即1()1x f x x -=+. 点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式: 1.已知()f x =2x +x +1,则f =______;f [(2)f ]=______. 2.已知2(21)2f x x x +=-,则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞,求f [f (0)]的值. 选题理由:分段函数生活重要函数,是考察重点。 解:∵ 0(,1)∈-∞ , ∴ f 又 ∵ >1, ∴ f )3)-3=2+ 12=52,即f [f (0)]=5 2 . 点评:体现了分类讨论思想。 2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t ,离开家里的路程为d ,下面图形中,能反映该同学的行程的是( ).

复变函数复习题

复变函数复习题(2012-4-10) 第一章自测题 (一)填空题(每题3分,共15分) 1.复数10 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3)i z i θθθθ+=-的复指数表示式为__________________; 2.设11i z i += -,则1005025____________________;z z z ++= 3.设35,arg(),4 z z i π =-=则______________;z = 4.不等式225z z -++<所表示的区域是_____________________; 5.方程232z i +-=所代表的曲线是__________________________. (二)选择题(每题3分,共15分) 1.设34,z i =-+则幅角的主值arg ( )z 4 4 .arctan .arctan 33 4 4 .arctan .arctan 3 3 A B C D π π π +-+- 2.41( )-= 22222 2 2 2 .cos sin .cos sin 4 4 4 4 33222222 2 2 .cos sin .cos sin 44 4 4 k k k k A i B i k k k k C i D i π π π π πππππππ π ππ ππ++- +- +++++-+- ++- (0,1,2,3)k = 3.设(i z t t t =+为参数),则其表示( )图形。 .A 直线; .B 双曲线; .C 圆; . D 抛物线。 4.一个向量顺时针旋转 ,3 π 向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为13i -,

函数·典型例题精析

2.2 函数2例题解析 【例1】判断下列各式,哪个能确定y 是x 的函数?为什么? (1)x 2+y =1 (2)x +y 2=1 (3)y =11 --x x 解 (1)由x 2+y =1得y =1-x 2,它能确定y 是x 的函数. (2)x y 1y y x 2由+=得=±.它不能确定是的函数,因为对1-x 于任意的x ∈{x|x ≤1},其函数值不是唯一的. (3)y y x =的定义域是,所以它不能确定是的函数.11 --?x x 【例2】下列各组式是否表示同一个函数,为什么? (1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)2=,==,=?t x 2 2 (3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)=2,==2,=x x x x x x +--+--111 11122 解 (1)中两式的定义域部是R ,对应法则相同,故两式为相同函数. (2)、(3)中两式子的定义域不同,故两式表示的是不同函数. (4)中两式的定义域都是-1≤x ≤1,对应法则也相同,故两式子是相同函数. 【例3】求下列函数的定义域: (1)f(x)2 (2)f(x)(3)f(x)=++==x x x x x x x --+----145 3210215 2||

(4)f(x)(4x 5)(1)x 10 4x 0 1x 4{x|1x 4}(2)3x 20x {x|x }=+-由-≥-≥得≤≤.∴定义域是≤≤由->,得>,∴定义域是>812323|| x -???解 (3)10x x 210 |x|503x 7x 5{x|3x 7x 5} 2由--≥-≠得≤≤且≠,∴定义域是≤≤,且≠??? (4)10 |x|0 4x 508x 00x x 8[80)(0)()由-≥≠-≠解得-≤<或<<或<≤∴定义域是-,∪,∪,854545454 8||x ?????? ??? 【例4】已知函数f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域: (1)y f (2)y f(2x)f (3)y f ==+=()()()123 2x x x a + 解(1)01x 1x 1f(){x|x 1x 1}由<≤,得≤-或≥,∴的定义域是≤-或≥1 122x x

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第四章课后的习题答案

习题四 1. 复级数1 n n a ∞=∑与1 n n b ∞=∑都发散,则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑和 1 n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否成立?为什 么? 答.不一定.反例: 2211111111 i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞ =====+=-+∑∑∑∑发散 但2 1 1 2()i n n n n a b n ∞ ∞ ==+=? ∑∑收敛 112()n n n n a b n ∞ ∞ ==-=∑∑发散 2411 11 [()]n n n n a b n n ∞∞ ===-+∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)2111i n n n +∞ =+∑ (2)115i ( )2n n ∞=+∑ (3) π 1 e i n n n ∞=∑ (4) 1i ln n n n ∞ =∑ (5) 0 cosi 2n n n ∞=∑ 解 (1) 21111 1i 1(1)i 1(1)i n n n n n n n n n n +∞ ∞∞===++-?-==+?∑∑∑ 因为11n n ∞ =∑发散,所以21 1 1i n n n +∞ =+∑发散 (2)11 15i (22n n n n ∞ ∞ ==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222 n n n n →∞ →∞+=+≠ 所以1 15i ()2n n ∞ =+∑发散 (3) πi 1 1e 1 n n n n n ∞ ∞===∑ ∑发散,又因为π11 1 ππcos isin e 1ππ(cos isin )i n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛.

高中数学 函数知识点总结与经典例题与解析

函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ,y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上?x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质 函数的三个基本性质:单调性,奇偶性,周期性 一、单调性 1、定义:对于函数)(x f y =,对于定义域内的自变量的任意两个值2 1 ,x x ,当 2 1x x <时,都有))()()(()(2 1 2 1 x f x f x f x f ><或,那么就 说函数)(x f y =在这个区间上是增(或减)函数。 2、图像特点:在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。(提示:判断函数单调性一般都使用图像法,尤其是分段函数的单调性。) 3.二次函数的单调性:对函数c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a , 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调减小,右侧单调增加; 当0

6.函数的单调性的应用: 判断函数)(x f y =的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域)。 例4:求函数12-=x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1.定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-,那么函数f(x)就叫偶函数; (等价于:0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ) 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-,那么函数f(x)就叫奇函数。 (等价于:0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ) 注意:当0)(≠x f 时,也可用1)()(±=-x f x f 来判断。 2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对 称。 若函数)(x f 为奇函数,且在x=0处有定义,则0)0(=f ; 3.判断一个函数的奇偶性的步骤

复变函数习题集(1-4)

第一章 复数与复变函数 一、选择题: 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π= -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 32 1+ - (D )i 2 12 3+ - 3.复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为( ) A .44-3(cos isin )5 5 ππ+ B . 443(cos isin )55ππ- C . 443(cos isin )5 5 ππ+ D .44-3(cos isin )5 5 ππ- 4.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1.设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5.=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题:

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--(3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=--

2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2 )1-+ (3)(sin cos )r i θθ+ (4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解:(1)2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= (2 )1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--

高中数学典型例题分析与解答:复合函数的导数

复合函数的导数 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析:当0=x 时因为)0(f '存在,所以应当用导数定义求)0(f ',当0≠x 时,)(x f 的关系式是初等函数x x 1sin 2,可以按各种求导法同求它的导数. 解:当0=x 时,01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当0≠x 时,x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明:如果一个函数)(x g 在点0x 连续,则有)(lim )(0 0x g x g x x →=,但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续,不能认为)(lim )0(0 x f f x →='. 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系. 1.m n bx a y )(+=;2.32ln +=x e y ; 3.)32(log 322+-=x x y ;4.)1sin(x x y +=。 分析:由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程. 解:函数的复合关系分别是 1.n m bx a u u y +==,; 2.2,3,ln +===x e v v u u y ; 3.32,log ,32 2+-===x x v v u y u ;

复变函数第四章学习方法导学

第四章级数 复级数也是研究解析函数的一种重要的工具,实际上,解析函数的许多重要性质,还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如,解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等。 根据所研究的解析函数所涉及的问题的需要,在本章中,我们重点介绍两类特殊的复函数项级数,一类是幂级数,通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时,用这类级数;另一类是洛朗级数,通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时,用这类级数. 本章,我们主要介绍以下内容: 首先,平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论. 其次,作为函数项级数的特例,我们平行介绍形式简单且在实际中的应用广泛的幂级数,并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法,以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质(比如:解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等).第三,进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双 <-<(0r≤,边幂级数)的概念及其性质,并建立(挖去奇点a的)圆环形区域r z a R R≤+∞)内解析函数的级数表示(即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式),然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质.作为解析函数孤立奇点性质的应用,再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数,即整函数与亚纯函数及其简单分类. 一、学习的基本要求

1.能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛等概念.掌握复级数收敛的必要条件和充要条件,特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系,并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题(比如:利用复级数的和求实级数的和的问题等). 2.了解复级数绝对收敛与条件收敛,掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质(比如收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性;绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等;二次求和的可交换性,即在 ,1 1 ()n m n m A ∞∞ ==∑∑,,1 1 ()n m m n A ∞∞ ==∑∑以及 ,,1 n m n m A ∞ =∑ 都收敛的条件下,有 ,,1 1 1 1 ()()n m n m n m m n A A ∞∞ ∞∞ =====∑∑∑∑ 成立). 3.了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭(紧)一致收敛的含义,掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法,并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛,掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性. 4.熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法: 记00()()n n n f z a z z ∞ ==-∑,l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点,

复变函数第二章答案

第二章 解析函数 1.用导数定义,求下列函数的导数: (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在;当0z =时,上述极限为0,故导数为 0. 2.下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-,当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续,故2().f z z z =?仅在0z =处可导,处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3.确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.

函数的三要素典型例题

函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 (一)常规函数 函数解析式确定且已知,求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件,列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组),即得函数定义域。 例1.求函数y = 的定义域。 (二)抽象函数 1.有关概念 定义域:函数y=f(x)的自变量x 的取值范围,可以理解为函数y=f(x)图象向x 轴投影的区间;凡是函数的定义域,永远是指自变量x 的取值范围; 2.四种类型 题型一:已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n],如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域? 例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3],求函数y=f(3+2x)的定义域 强化训练: 1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5],求函数y=f(3x-5)的定义域; 2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2],求函数y=f(log 2x)的定义域; 3.已知(x)f 的定义域为[-2,2],求2(x 1)f -的定义域。 题型二:已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求抽象函数y=f(x)的的定义域? 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域. 强化训练: 1.已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域. 2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9],求函数y=f(x)的定义域.

题型三:已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域? 例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(3+x)的定义域. 强化训练: 1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3],求函数y=f(2x-1)的定义域. 2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1],求函数y=f(log 2x)的定义域. 3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2,2],求f(x 2)定义域。 题型四:已知f(x)的定义域,求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。 例6.已知f(x)的定义域为[-3,5],求φ(x )=f(-x)+f(2x+5)定义域。 强化训练: 1.已知f(x)的定义域为(0,5],求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域,其中-1﹤a ≦0。 二、与函数定义域相关的变形题型 (一)逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例7.已知函数的定义域为R ,求实数m 的取值范围。 例8.已知函数27 (x)43 kx f kx kx += ++的定义域是R ,求实数k 的取值范围。 (二)参数型 对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例9.已知(x)f 的定义域为[0,1],求函数(x)(x )(x a)F f a f =++-的定义域。

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1.下列数列a是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: n 1)a n 1 1 ni mi ; 2) a n n i 1; 2 3)a i n n1; n1 4) ni 2 a n e; 1ni a n e。 n 5)2 0,a1 2.证明:lim n a n 1 , , a a1 1 不存在,a1,a1 3.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:n i 1) ;n n1 n i 2) ;ln n n2 3) 65i n 08 n;

4) n cos 02 n in 。 4.下列说法是否正确?为什么? 1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛; 1

2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点; 3)每一个在z连续的函数一定可以在z 0的邻域内展开成泰勒级数。 5.幂级数 n c能否在z0收敛而在z3发散? n z2 n0 6.求下列幂级数的收敛半径: 1) n1 n z p n (p为正整数); 2 n! n 2)z ; n nn1 3) 1 n n iz; n0 4) i n ez; n n1 5) n1 i n chz1; n nz 6) 。ln in n1 7.如果 n c n z的收敛半径为R,证明 n Re的收敛半径R。[提示: c n z n n Re c n zcz] n n0n0 8.证明:如果 c n1 lim存在,下列三个幂级数有相同的收敛半径 nc n n c n z; c n1z n1 n1 ; n1 nc n z。

2

9.设级数c收敛,而 n c发散,证明 n n c n z的收敛半径为1。 n0n0n0 10.如果级数 n c n z在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收n0 敛。 11.把下列各函数展开成z的幂级数,并指出它们的收敛半径: 1) 11 3 z ; 2) 11 z 22 ; 3) 2 cos z; 4)shz; 5)chz; 6)e 2 z sin; 2 z z 7) z1 e; 8) 1 sin。 1z 12.求下列各函数在指定点z处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半 径: 1) z z 1 1 ,z1; 2) z z 1z2 ,z2; 3

高中函数部分知识点及典型例题分析

智立方教育高一函数知识点及典型例题 一、函数的概念与表示 1、映射 (1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B. 注意点:(1)对映射定义的理解.(2)判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射,多对一是映射2、函数 构成函数概念的三要素①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同 例1、例2、}3 0| { }, 2 0| {≤ ≤ = ≤ ≤ =y y N x x M给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( C ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 由题意知:M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3}, 对于图①中,在集合M中区间(1,2]的元素没有象,比如f( 3 2 )的值就不存在,所以图①不符合题意; 对于图②中,对于M中任意一个元素,N中有唯一元素与之对应,符合函数的对应法则,故②正确; 对于图③中,对于M中任意一个元素,N中有唯一元素与之对应,且这种对应是一一对应,故③正确; 对于图④中,集合M的一个元素对应N中的两个元素.比如当x=1时,有两个y值与之对应,不符合函数的定义,故④不正确 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O

二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; 例1、y = 函数的定义域为 根号下的数必须为正数,又当底数为大于0小于1的数时,只有当真数大于0小于1时,才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1,解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f (1)= -f (-1)知a=2 (Ⅱ)解由(Ⅰ)知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ,易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ,因f(x) 为减函数,由上式推得:t^2-2t>k-2t^2 .即对一切t ∈R 有:3t^2-2t-k>0 ,从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D ) 1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A ) i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321 +- (D )i 2 123+- 3.复数)2 ( tan πθπ θ <<-=i z 的三角表示式是( ) (A ) )]2 sin()2 [cos(sec θπ θπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=-

(C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +-4 3 (B )i +43 (C )i -4 3 (D ) i --4 3

高中函数部分知识点及典型例题分析

1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; 例1、y = 函数的定义域为 根号下的数必须为正数,又当底数为大于0小于1的数时,只有当真数大于0小于1时,才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1,解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f (1)= -f (-1)知a=2 (Ⅱ)解由(Ⅰ)知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ,易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ,因f(x) 为减函数,由上式推得:t^2-2t>k-2t^2 .即对一切t ∈R 有:3t^2-2t-k>0 ,从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3 六.函数的周期性:

相关文档