2014年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷含答案解析(word版)

2014年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）下列各数中是有理数的是（）

A． 3.14 B．C．D．

分析：根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．

解答：解：A、是有限小数，故A是有理数；

B、C、D是无限不循环小数，故B、C、D是无理数；

故选：A．

点评：本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．

2．（3分）据介绍，今年连盐铁路连云港段将完成征地拆迁和工程总投资30亿元．将30亿用科学记数法表示应为（）

A．3×109B．3×1010C．30×108D．

30×109

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于30亿有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．

解答：解：30亿=3 000 000 000=3×109．

故选A．

点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

3．（3分）下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C． D．

考点：中心对称图形；轴对称图形．

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．

故选A．

点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．（3分）下列计算正确的是（）

A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．

÷=3

考点：二次根式的加减法；二次根式的乘除法．

分析：分别根据二次根式的加减法则、乘除法则结合选项求解，然后选出正确答案．

解答：解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

C、×=，计算错误，故本选项错误；

D、÷==3，计算正确，故本选项正确．

故选D．

点评：本题二次根式的加减法、二次根式的乘除法等运算，掌握各运算法则是解题的关键．

5．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：

跳高成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75

跳高人数 1 3 2 3 5 1

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）

A． 1.65，1.70 B．1.70，1.65 C．1.70，1.70 D． 3，5

考点：众数；中位数．

专题：压轴题；图表型．

分析：根据中位数和众数的定义，第8个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．

解答：解：在这一组数据中1.70是出现次数最多的，故众数是1.70．在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.65，所以中位数是1.65．

所以这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.65，1.70．

故选A．

点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．

6．（3分）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（）

A．S△ABC＞S△DEF B．S△ABC＜S△DEF C．S△ABC=S△DEF D．不能确定

考点：解直角三角形．

专题：计算题；压轴题．

分析：在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．

解答：解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，

在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin 50°=5sin 50°，

在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°，

DH=DEsin∠DEH=5sin 50°，

∴AG=DH．

∵BC=4，EF=4，

∴S△ABC=S△DEF．

故选C．

点评：考查解直角三角形的知识和等底等高两三角形面积相等．

7．（3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是（）

A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对

考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．

专题：压轴题．

分析：根据题意，推出∠B=∠D=∠AMN，即可推出结论①，由AM=DA推出四边形AMND 为菱形，因此推出②．

解答：解：∵平行四边形ABCD，

∴∠B=∠D=∠AMN，

∴MN∥BC，

∵AM=DA，

∴四边形AMND为菱形，

∴MN=AM．

故选A．

点评：本题主要考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理，推出四边形AMND为菱形．

8．（3分）时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t 之间的函数关系的图象是（）

A．B．

C．D．

考点：函数的图象．

专题：压轴题．

分析：根据分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，即可得出符合要求的图象．

解答：解：∵设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，

∴当3：00时，y=90°，当3：30时，时针在3和4中间位置，故时针与分针夹角为：y=75°，又∵分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，故只有D符合要求，

故选：D．

点评：本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）相反数等于2的数是﹣2．

考点：相反数．

分析：根据相反数的定义解答．

解答：解：﹣2的相反数是2，

故答案为：﹣2．

点评：本题考查了相反数的定义，主要利用了互为相反数的两个数的绝对值相等的性质．10．（3分）16的平方根是±4．

考点：平方根．

专题：计算题．

分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a 的平方根，由此即可解决问题．

解答：解：∵（±4）2=16，

∴16的平方根是±4．

故答案为：±4．

点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

11．（3分）已知x＜0时，函数y=的图象在第二象限，则k的值可以是﹣1．

考点：反比例函数的性质．

分析：根据反比例函数图象所经过的象限确定k的符号．

解答：解：∵x＜0时，函数y=的图象在第二象限，

∴函数y=的图象经过第二、四象限，

∴k＜0．

∴k可以取﹣1、﹣2、﹣3等．

故答案可以是：﹣1．．

点评：本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．

12．（3分）袋中有4个红球，x个黄球，从中任摸一个恰为黄球的概率为，则x的值为12．

考点：概率公式．

分析：根据黄球的概率为，列出关于x的方程，解方程即可求出x的值．

解答：解：设袋中有x个黄球，根据题意得

=，

解得x=12．

故答案为：12．

点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

13．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为130°．

考点：平行线的性质；直角三角形的性质．

分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．

解答：解：∵∠1=40°，

∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°，

∴∠4=180°﹣50°=130°，

∵直尺的两边互相平行，

∴∠2=∠4=130°．

故答案为：130°．

点评：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．

14．（3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=30°．

考点：圆周角定理．

分析：先根据全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BOC，故可得出∠A=∠B，由此可判断出AD∥BC，故可得出结论．

解答：解：在△AOD与△BOC中，

∵，

∴△AOD≌△BOC，

∴∠A=∠B，

∴AD∥BC，

∴=，

∵∠ABC=30°，

∴∠BAD=∠ABC=30°．

故答案为：30°．

点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

15．（3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是2．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．

专题：几何图形问题．

分析：首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF 的值，继而求得答案．

解答：解：如图，连接BE，

∵四边形BCED是正方形，

∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，

∴BF=CF，

根据题意得：AC∥BD，

∴△ACP∽△BDP，

∴DP：CP=BD：AC=1：3，

∴DP：DF=1：2，

∴DP=PF=CF=BF，

在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，

∵∠APD=∠BPF，

∴tan∠APD=2．

故答案为：2．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P 运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是4＜a＜5．

考点：矩形的性质；三角形中位线定理．

分析：根据矩形的性质求出AC，然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP．

解答：解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴对角线AC==10，

∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），

∴8＜AP＜10，

连接AP，

∵M，N分别是AE、PE的中点，

∴MN是△AEP的中位线，

∴MN=AP，

∴4＜a＜5．

故答案为：4＜a＜5．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的取值范围是解题的关键．

三、解答题（本题共11小题，共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）﹣|﹣5|+3tan30°﹣．

考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

专题：计算题．

分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．

解答：解：原式=2﹣5+3×﹣1=3﹣6．

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）先化简，再求值：，其中．

考点：分式的化简求值．

专题：计算题．

分析：线将括号内的分式通分，进行加减后再算除法，计算时，要将除法转化为乘法．

解答：解：原式=[﹣]×

=×

=，

当x=时，

原式==．

点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（8分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．

考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

分析：先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．

解答：解：∵解不等式2x+5＜4（x+2）得：x＞﹣，

解不等式x﹣1＜x得：x＜3，

∴不等式组的解集为，

在数轴表示不等式组的解集为：．

点评：本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．

20．（8分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．

（1）将条形统计图补充完整；

（2）本次抽样调查的样本容量是100；

（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数．

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

专题：图表型．

分析：（1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，利用条形图中喜欢武术的女生有10人，即可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数；

（2）根据（1）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量；

（3）用全校学生数×喜欢剪纸的学生在样本中所占百分比即可求出．

解答：解：（1）∵根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，

利用条形图中喜欢武术的女生有10人，

∴女生总人数为：10÷20%=50（人），

∴女生中喜欢舞蹈的人数为：50﹣10﹣16=24（人），

如图所示：

（2）本次抽样调查的样本容量是：30+6+14+50=100；

（3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，

∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数=1200×=360人．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（8分）如图，桌面上放置了红，黄，蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏．

（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；

（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率．

考点：列表法与树状图法；概率公式．

分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．

解答：解：（1）根据题意可得：桌面上放置了红，黄，蓝三个不同颜色的杯子，故随机翻一个杯子，翻到黄色杯子的概率为（3分）

（2）将杯口朝上用“上”表示，杯口朝下用“下”表示，画树状图如下：

由上面树状图可知：所有等可能出现的结果共有9种，其中恰好有一个杯口朝上的有6种，（7分）

∴P（恰好有一个杯口朝上）=．（8分）

点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

22．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，连结CE，交AD于点H．

（1）求证：AD⊥CE；

（2）如果过点E作EF∥BC交AD于点F，连结CF，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．

考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

分析：（1）欲证明AD⊥CE，只需证得△ACE为等腰三角形；

（2）四边形CDEF是菱形．由（1）的结论结合已知条件可以推知对角线FD、CE相互垂直平分．

解答：证明：（1）如图，∵∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，

∴在△ACD与△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AC=AE，

∴AH⊥CE，即AD⊥CE；

（2）四边形CDEF是菱形．理由如下：

∵由（1）知，AC=AE，AD⊥CE，

∴CH=EH，

∵EF∥BC，

∴=，

∴FH=HD，

∴四边形CDEF是菱形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形与平行四边形的判定，以及角平分线的性质，题目综合性较强，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．

23．（10分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题；数形结合．

分析：（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式；

（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=﹣3求得合适的a的值即可．

解答：解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c得，

，

解得：，

∴y=x2+2x﹣3

由x2+2x﹣3=0，

得：x1=﹣3，x2=1，

∴B的坐标是（1，0），

设直线BD的解析式为y=kx+b，则，

解得：，

∴直线BD的解析式为y=x﹣1；

（2）∵直线BD的解析式是y=x﹣1，且EF∥BD，

∴直线EF的解析式为：y=x﹣a，

若四边形BDFE是平行四边形，

则DF∥x轴，

∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为﹣3．

由，得

由y=x﹣a得，x=y+a，代入方程y=x2+2x﹣3得，

y2+（2a+1）y+a2+2a﹣3=0，

解得：y=．

令=﹣3，

解得：a1=1，a2=3．

当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；

∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意．

∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．

点评：综合考查二次函数的知识；用到的知识点为：平面直角坐标系中，两直线平行，一次项系数的值相等；两个点所在的直线平行，这两个点的纵坐标相等．

24．（10分）现在各地房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．合肥市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．

（1）合肥的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？

（2）有关规定：平行布置住宅楼，其建筑间距应不小于南侧建筑高度的1.2倍；按照此规定，是否影响北侧住宅楼住户的全年的采光？若有影响，试求哪些楼层的住户受到影响？（本题参考值：sin81.4°=0.99，cos81.4°=0.15，tan81.4°=6.61；sin34.88°=0.57，cos34.88°=0.82，tan34.88°=0.70）

考点：解直角三角形的应用．

分析：（1）过点C作CD垂直AB于点E．在直角三角形ACE中，由正切函数即可得到两栋住宅楼的楼间距；

（2）在直角三角形ACE中，由正切函数可得AE的长，进一步得到CD的长，从而求解．解答：解：（1）如图所示：

AC为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即∠ACE=34.88°，楼高AB为2.80×20=56米，窗台CD高为1米；

过点C作CE垂直AB于点E，

所以AE=AB﹣BE=AB﹣CD=55米；

在直角三角形ACE中，由tan∠ACE=，得：

BD=CE=

即两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米．

（2）利用（1）题中的图：此时∠ACE=34.88°，楼高AB为2.80×20=56米，楼间距

BD=CE=AB×1.2=67.2米；

在直角三角形ACE中，由tan∠ACE=，得：AE=CE×tan∠ACE=67.2×0.70=47.04m

则CD=BE=AB﹣AE=8.96m

而8.96=2.8×3+0.56，

故北侧住宅楼1至3楼的住户的采光受影响，4楼及4楼以上住户不受影响．

点评：本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．

25．（12分）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．

小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．

小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．

小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．

【利润=（销售价﹣进价）×销售量】

（1）请根据他们的对话填写下表：

销售单价x（元/kg）10 11 13

销售量y（kg）300250150

（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；

（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？

考点：二次函数的应用；一次函数的应用．

专题：应用题．

分析：（1）根据题意得到每涨一元就少50千克，则以13元/千克的价格销售，那么每天售出150千克；

（2）先判断y是x的一次函数．利用待定系数法求解析式，设y=kx+b，把x=10，y=300；x=11，y=250代入即可得到y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；

（2）根据每天获取的利润=每千克的利润×每天的销售量得到W=（x﹣8）y=（x﹣8）（﹣50x+800），然后配成顶点式得y=﹣50（x﹣12）2+800，最后根据二次函数的最值问题进行回答即可．

解答：解：（1）∵以11元/千克的价格销售，可售出250千克，

∴每涨一元就少50千克，

∴以13元/千克的价格销售，那么每天售出150千克．

故答案为300，250，150；

（2）y是x的一次函数．

设y=kx+b，

∵x=10，y=300；x=11，y=250，

∴，解得，

∴y=﹣50x+800，

经检验：x=13，y=150也适合上述关系式，

∴y=﹣50x+800．

（3）W=（x﹣8）y

=（x﹣8）（﹣50x+800）

=﹣50x2+1200x﹣6400

=﹣50（x﹣12）2+800，

∵a=﹣50＜0，

∴当x=12时，W的最大值为800，

即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．

点评：本题考查了二次函数的应用：先得到二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k，当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＜0，x=h时，y有最小值k．也考查了利用待定系数法求函数的解析式．

26．（12分）（在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．

（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；

（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

考点：切线的性质；勾股定理．

专题：计算题．

分析：（1）根据BC与AC垂直得到BC与圆相切，再由AB与圆O相切于点P，利用切线长定理得到BC=BP，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠ACP+∠BCP=90°，等量代换即可得证；

（2）在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AC与BC垂直，得到AC 与圆O相切，连接OP，AO，再由AB与圆O相切，得到OP垂直于AB，设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，求出PB的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出AO的长，根据AC=AP，OC=OP，得到AO垂直平分CP，根据面积法求出CP的长，由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，即可确定出CP的范围．

解答：解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，

∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，

∴BC与⊙O相切．

∵⊙O与AB边相切于点P，

∴BC=BP，

∴∠BCP=∠BPC=，

∵∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣=∠B．

即2∠ACP=∠B；

（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB==10，

如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，

∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，

∴AC与⊙O相切，

连接OP、AO，

∵⊙O与AB边相切于点P，

∴OP⊥AB，

设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，

∵AC=AP，

∴PB=AB﹣AP=2，

在△OPB中，∠OPB=90°，

根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，

解得：x=，

在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，

∴AO==．

∵AC=AP，OC=OP，

∴AO垂直平分CP，

∴根据面积法得：CP=2×=，

由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，

综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，切线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

27．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0），B（2，0），AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC 叫做点P的关联图形，如图1所示．

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积．

（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断△OCD的形状，并加以证明．

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值．

考点：圆的综合题．

分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积===8，二者相加即为点P的关联图形

的面积是12．

（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．

（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．

解答：解：（1）∵A（﹣2，0），

∴OA=2，

∵P是半圆O上的点，P在y轴上，

∴OP=2，∠AOP=90°，

∴AC=2，

∴四边形AOPC是正方形，

∴正方形的面积是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，

∴梯形OPDB的面积===8，

∴点P的关联图形的面积是12．

（2）判断△OCD是直角三角形．

证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴△OCD是直角三角形．

（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．

理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积===16为定值，

要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，

∵CD为定长，

∴P到CD的距离就要最小，

连接OC，设交半圆O于点P，

∵AC⊥OA，AC=OA，

∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，

∴OC⊥CD，OC=2，

∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，则P′H+P′O＞OH＞OC，∵OC=PC+OP，

∴P′H＞PC，

∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大．

∵CD=4，CP=2﹣2，

∴△PCD的面积===16，

∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积=16﹣（8﹣4）=8+4．

点评：本题考查了圆的相关知识，涉及新定义“关联图形”，同时要注意直角三角形的判定，梯形的面积的运算，强调逻辑推理，注重数形结合．