2012-2013高二北师大数学选修2-21.2综合法与分析法-综合法导学案
第一章 推理与证明
第二节 综合法与分析法
综合法
学习目标
1．理解综合法的思维过程及其特点；
2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。
学法指导
在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。
事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。
重点: 理解综合法的思维过程和特点；
难点：运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线”；
教学过程：
学生探究过程：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题：
已知a,b>0,求证2222
()()4a b c b c a abc +++≥
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
证明:因为222,0b c bc a +≥>,
所以22()2a b c abc +≥,
因为222,0c a ac b +≥>,
所以22()2b c a abc +≥.
因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.
P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论
1. 综合法
综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是： ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→?
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法
例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之
间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？
典例分析
例1 设1,0,0=+>>b a b a ，求证：
8111≥++ab b a 分析：左边乘以“b a +=1”，然后运用均值不等式。
变式练习1
已知4,0,0=+>>b a b a ，求证：
111≥+b
a 证明：左边=1442144≥++=+++
b a a b b b a a b a 例2已知二次函数
c bx ax x f ++=2)(（c b a ,,均为实数）
，满足0)1(=-f ，对于任意的实数x 都有0)(≥-x x f ，并且()2,0∈x 时，总有221)(??
? ??+≤x x f 。 （1）求)1(f 的值；
（2）证明：0,0>>c a ；
（3）当[]1,1-∈x 时函数mx x f x g -=
)()(（其中m 为实数），是单调的，求证：0≤m 或1≥m 。 分析：注意到221)(??
? ??+≤≤x x f x 对()2,0∈x 恒成立，用1=x 即可求得)1(f ，这是用不等式求值的一般思路。运用条件：“对于任意的实数x 都有0)(≥-x x f ”可证（2）
，（3）的证明思路就是利用二次
函数的单调区间。
变式练习2 已知：??
?
??+-=21121)(x x x f ，求证：（1）)(x f 为偶函数；（2）0)(>x f 例3.已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13
(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca . 解题导引 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立，再进一步得出结论．
变式迁移1 设a ，b ，c >0，证明：
a 2
b ＋b 2
c ＋c 2a
≥a ＋b ＋c .
基础训练
1．(12分)(2011·宁波月考)已知a 、b 、c >0，求证：a 3＋b 3＋c 3≥13
(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．
2.求证：π是函数
)
42sin()(π+=x x f 的一个周期。
3.（韦达定理）已知1x 和2x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个根。求证：
a c x x a
b x x =-=+2121,。
4.已知：x,y,z 为互不相等的实数，且
,111x z z y y x +=+=+
求证：.1222=z y x
课堂小结
1．综合法的思考过程（如图）：
2．综合法的特点： ①综合法的证题过程是从“已知”看“可知”，再由“已知（包
括上一步的结果）”看“可知”，……，最后推导出“未知”的“由
因导果”的过程；
②由于已知条件有不同组合，每个组合又有不同的中间结果出
现，这些中间结果不是对解题都有用，因此如何找到有效的推理“路
线”是运用综合法的难点，换言之：运用综合法解题有一定的盲目
性。
③运用综合法解题，步骤严谨，逐层递进，条理清晰，宜于表
达。是我们在解题中的主要的表达方式。
第二节 综合法与分析法
综合法答案
例1证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C ． ①
因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以A + B + C=π． ⑧
由①② ，得B=3π
.由a, b ，c 成等比数列，有2b ac =.
由余弦定理及③，可得
222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.
再由④，得22a c ac ac +-=.
2()0a c -=,
因此a c =.
从而A=C.
由②③⑤，得 A=B=C=3π
.
所以△ABC 为等边三角形．
例2证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a
0)(0
≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b
a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a b
a b a 故原不等式得证。 典例分析
例1证明：∵b
a b a a b ab b a b b a a b a ab b a 1111111+++++=+++++=++ 81144≥++++=++++≥b
a a
b b b a a b a 例3证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋
c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，
三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，
∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )
＝(a ＋b ＋c )2.
∴a 2＋b 2＋c 2≥13
(a ＋b ＋c )2； ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，
∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )
≥ab ＋bc ＋ca ＋2(ab ＋bc ＋ca )，
∴ (a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ca )．
∴原命题得证． 变式迁移1 证明 ∵a ，b ，c >0，根据基本不等式，
有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c . 三式相加：a 2
b ＋b 2
c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )． 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥a ＋b ＋c . 变式迁移1 证明 ∵a ，b ，c >0，根据基本不等式，
有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c . 三式相加：a 2
b ＋b 2
c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )． 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥a ＋b ＋c . 基础训练
1．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 、b 、c >0，
∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )，(3分)
∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2ab (a ＋b )＝2a 2b ＋2ab 2，
∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.(6分)
同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2，a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，
将三式相加得，
2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2.(9分)
∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋b 2a ＋b 2c )＋(c 3＋c 2a ＋c 2b )＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)．
∴a 3＋b 3＋c 3≥13
(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．(12分) 2．证明：)()42sin()422sin(4)(2sin )(x f x x x x f =+=++=??????++=+ππππππ
∴由函数周期的定义可知：π是函数)42sin()(π+=x x f 的一个周期。
3．证明：由题意可知：;24,242221a ac b b x a ac b b x ---=-+-= ∴
,24242221a b a ac b b a ac b b x x -=---+-+-=+
.444)4(242422222221a c a ac a ac b b a ac b b a ac b b x x ==--=---?-+-= 4．证明：根据条件,11z y y x +=+
可得
.11yz z y y z y x -=-=-
又由x,y,z 为互不相等的实数， 所以上式可变形为 .y x z y yz --=
同理可得 ,,z y x z zx x
z y x xy --=--= 所以
.1222=------=
z y x z x z y x y x z y z y x