小学数学

3 绝对值

Ⅰ学法导引

利用数轴，并把有理数与数轴结合，理解绝对值的概念，一个数的绝对值不可能是负数，利用求绝对值的方法比较两个负有理数的大小，方法更简单．在今后的学习中，有理数的运算，二次根式等内容都是以绝对值的知识为基础，因此，一定要学好本节内容．Ⅱ思维整合

解析重点绝对值的概念．几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0式子表示为

【例2】（1）当｜x－3｜＝x－3时，求x的取值范围；

（2）当｜x－3｜＝3－x时，求x的取值范围．

解析任意有理数的绝对值都是非负数，即不小于0．

解（1）∵｜x－3｜＝x－3≥0，∴x≥3；

（2）∵｜x－3｜＝3－x≥0，∴x≤3．

点击易错点误认为绝对值是正数的有理数只有一个，而把负的漏掉．

【例3】已知｜x｜＝4.5，求x值．

错解∵｜x｜＝4.5，∴x＝4.5．

错解分析错解原因在于没有理解和掌握在数轴上到某一点的距离为某一单位长度的点有两个，它们表示的数互为相反数．

正解∵｜x｜＝4.5，∴x＝±4.5．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级利用绝对值的代数定义可以得到简易方程，从而求得某些字母的取值．【例4】已知｜3x－1｜＝5，求x．

解析在求解时把3x－1看成一个整体，可知3x－1＝5或3x－1＝－5，然后分别解方程求x的值．

应用能力升级在日常生活中，借助绝对值的意义，可以判断某些产品的合格程度，还可以比较评判某些产品质量的好坏，用绝对值知识解决一些实际问题．

解析因为a、b为不等于0的有理数，所以a可能是正数或负数，b可能是正数或负数，故有以下几种情况：（1）a＞0，b＞0；（2）a＞0，b＜0；（3）a＜0，b＞0；（4）a＜0，b＜0．3 绝对值

参考答案

随堂练习（课本第49页）

习题2．3（课本第50页）

知识技能

1．（1）错误，有理数的绝对值一定大于0或等于0

（2）错误，有理数的相反数不一定比0小

（3）错误，这两个数相等或互为相反数

（4）正确

数学理解

1．第2个足球的质量好些，它比规定质量重10克，与规定质量相差最小．

联系拓广

1．－a表示a的相反数，－a未必是负数．

2．（1）a可能是正数，可能是0，不可能是负数；

（2）a不可能是正数，不可能是0，a一定是负数；

（3）不可能．

4 有理数的加法

Ⅰ学法导引

用数轴上点的移动规律理解加法法则，在应用法则时应注意先确定应用哪一条法则，再确定符号进行计算．在有理数运长中，小学学过的加法的交换律、结合律仍适用．Ⅱ思维整合

解析重点加法法则及加法运算律是本节重点，归纳如下：

有理数加法法则:

内容：（1）同号相加，符号不变，绝对值相加；

（2）异号相加，符号同大，绝对值相减；

（3）互为相反数相加得0；

（4）一个数同0相加，仍得这个数．

规律：进行有理数加法运算时先确定和的符号，再计算和的绝对值．

加法交换律：

内容：两个数相加，交换加数位置，和不变即a＋b＝b＋a

规律：（1）互为相反数的两个数，可先相加；（2）几个数相加可得整数时，先相加；（3）同分母的分数可先相加；（4）符号相同的数可先相加．

加法结合律：

内容：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加和不变即（a＋b）＋c ＝a＋(b＋c)

规律：（1）互为相反数的两个数，可先相加；（2）几个数相加可得整数时，先相加；（3）同分母的分数可先相加；（4）符号相同的数可先相加．

解析进行加法运算时，先判断两个加数符号是同号还是异号，是否有零，再确定用第几条法则．

解（1）（－3.6）＋（－1.9）（同号两数相加）

＝－（｜－3.6｜＋｜－1.9｜）（取相同的“－”，并把－3.6的绝对值与－1.9的绝对值相加）

＝－5.5；

（2）160＋（－20）（异号两数相加）

＝＋（160－20）（取160的符号“＋”并用160的绝对值减去－20的绝对值）

＝140；

（3）3＋（－3）（互为相反数的两数相加）

＝0；

剖析难点灵活运用运算律，使运算简化．

解析利用加法交换律、结合律可简化计算，根据加数特点从以下几方面进行：（1）同号的加数放在一起相加；（2）同分母的加数放在一起相加；（3）和为0的加数放在一起相加；（4）和为整数的加数放在一起相加．

点拨注意观察题目特点，适当地运用加法交换律和结合律．

点击易错点在进行有理数的运算时，由于忽略了法则内容而出现错误．

【例3】计算（＋3）＋（－5）．

错解（＋3）＋（－5）＝2．

错解分析本题计算没有按“先确定符号，后计算绝对值”的顺序．

正解（＋3）＋（－5）＝－（5－3）＝－2．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级当题中同时有分数、小数出现时，注意小数化为分数或分数化为小数，综合分析题中数字特点分别结合，使运算简便．

应用能力升级用有理数的加法可解决实际生活中的许多问题．

【例5】一个水利勘察队，第一天沿江向上游走了7千米，第二天沿江向下游走了5.3千米，第三天沿江向下游走了6.5千米，第四天沿江向上游走了10千米，第四天勘察队在出发点的上游还是下游？距出发点多少千米？

解析先确定向上游走为＋，向下游走为－，则题中四个数据为＋7，－5.3，－6.5，＋10求出这四个数的和．若和为正值即在上游，和为负值即在下游，和的绝对值即为距出发点的距离．

解（＋7）＋（－5.3）＋（－6.5）＋（＋10）

＝［（＋7）＋（＋10）］＋［（－5.3）＋（－6.5）］

＝17＋（－11.8）＝＋5.2．

∴在出发点的上游5.2千米处．

创新能力升级从题中构造出最基本的数学模型——数轴，使问题回到已学过的数轴、绝对值、有理数加法中，使问题解决，培养创新能力．

【例6】某检修小组乘坐一辆汽车沿公路检修线路，前进为正，后退为负，某一天从M地出发到收工时，所走路程（单位：千米）为＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6．（1）收工时检修小组离出发地M多远？（2）若每千米耗油0.2升，求这一天共耗油多少升？（3）在哪次记录时，距M地最远？

解析因为前进为正，后退为负，在求检修小组离出发地M多远时，应求各数据之和，若和为正，则检修小组在M前方，和为负则检修小组在出发地M后面；求耗油量时，无论前进还是后退都耗油，需求汽车一共走的路程，即求各数据的绝对值之和，再乘以0.2即可．解（1）（＋15）＋（－2）＋（＋5）＋（－1）＋（＋10）＋（－3）＋（－2）＋（＋12）＋（＋4）＋（－5）＋（＋6）＝39；

（2）（｜＋15｜＋｜－2｜＋｜＋5｜＋｜－1｜＋｜＋10｜＋｜－3｜＋｜－2｜＋｜＋12｜＋｜＋4｜＋｜－5｜＋｜＋6｜）30.2

＝6530.2

＝13；

（3）第一次15，第二次｜（＋15）＋（－2）｜＝13，

第三次｜（＋15）＋（－2）＋（＋5）｜＝18，

第四次｜（＋15）＋（－2）＋（＋5）＋（－1）｜＝17，

依次类推，第五次为27，第六次为24，第七次为22，第八次为34，第九次为38，第十次为33，第十一次为39．

∴最后一次距M地最远．

点拨本题实质是列式计算问题，解题时，应抓住事物的本质，弄清是各数之和，还是各数的绝对值之和，或是部分数的和的绝对值．4 有理数的加法

参考答案

随堂练习（课本第55页）

1．（1）－32 （2）－8 （3）－23 （4）0．

习题2．4（课本第56页）

知识技能

1．（1）－17 （2）4 （3）13 （4）22 （5）－22 （6）－60 （7）－84 （8）9 （9）－13

2．－123℃

数学理解

1．如在一次交易中，两件商品，一件亏本4元，另一件赢利3元，这次交易共赢利［（—4）＋3］元．

2．不正确，如两个负数相加，（－5）＋（－6）和为－11，小于其中任何一个加数．问题解决

1．下午3点

随堂练习（课本第58页）

1．（1）－3 （2）－30 （3）－50

2．水下29米

习题2．5（课本第59页）

知识技能

1．（1）100 （2）－2 （3）－92 （4）2 （5）50 （6）－90

（7）－13 （8）－30

2．18℃．

3．增产31千克．

4．在A地的南边距A地245米，小明共跑了5 867米．

5．（1）如（－2）＋（－3）＝－5 （2）如（－5）＋0＝－5

（3）如（＋6）＋（－11）＝－5

6．（1）只要是大于15的整数都可以

（2）只要是小于15的整数都可以

（3）15

问题解决

1．8 351.00

联系拓广

5 有理数的减法

Ⅰ学法导引

有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同，用减法是加法的逆运算理解有理数的减法法则．在进行有理数的减法计算时，先把有理数的减法转化为有理数的加法，转化时一定注意减法变加法的同时，把减数变为它的相反数，再运用有理数的加法法则进行计算．Ⅱ思维整合

解析重点有理数的减法法则，有理数减法运算步骤．

法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－（＋b）＝a＋（－b）．（这里的a、b表示任意有理数）

运算步骤：（1）将减号变成加号，同时把减数变成减数的相反数；（2）按照加法运算的步骤去做．

【例１】计算下列各题：

（1）8－（－6）；（2）－10－（－5）；（3）（－3）－4；（4）0－2．

解析首先弄清减数的符号（是正号、还是负号）（1）、（2）小题中减数的符号为“－”，而（3）、（4）小题中减数的符号为“＋”，将有理数减法转化为加法时，同时改变两个符号：一是运算符号，由减号变加号，另一个是性质符号，负号变正号，正号变负号．解（1）8－（－6）＝8＋（＋6）＝14；

（2）－10－（－5）＝－10＋（＋5）＝－5；

（3）（－3）－4＝－3＋（－4）＝－7；

（4）0－2＝0＋（－2）＝－2．

剖析难点理解有理数减法法则的推导过程．

如：∵（－2）＋（＋5）＝＋3，

∴（＋3）－（＋5）＝－2．（减法是加法的逆运算）

又∵（＋3）＋（－5）＝－2，

∴（＋3）－（＋5）＝（＋3）＋（－5）．

减法变加法的同时，减数由＋5变－5，而被减数＋3不变．

点击易错点在有理数减法转化为加法的过程中易出现错误．

【例2】计算－11－7－9＋6

错解－11－7－9＋6

＝－11＋（－7）＋9＋6

＝－18＋9＋6＝－3

错解分析在减法运算中应注意“两变”．即要减法变加法，也要改变减数的符号，本题中“－7－9”错误地变成了“－7＋9”只由减法变为加法而减数9没有变为相反数．正解－11＋（－7）＋（－9）＋6＝－11＋（－7）＋（－9）＋6

＝－（11＋7＋9）＋6＝－27＋6＝－21．

Ⅲ能力升级平台

应用能力升级灵活运用减法法则解决实际问题，把“下降”、“低多少”、“超出”等转化为有理数的减法．

【例3】用有理数减法法则解答下列问题：

（1）某冷库温度是零下10℃，下降－3℃后又下降5℃，两次变化后冷库温度是多少？

（2）某地夜间最低温度为零下12℃，白天最高温度是零上12℃，夜间比白天低多少？

解析理解题意“下降”、“低多少”是要做减法运算．

解（1）（－10）－（－3）－（＋5）

＝（－10）＋3＋（－5）

＝－12．

（2）12－（－12）

＝12＋12

＝24．

综合能力升级把有理数减法、数轴、绝对值及求两点的距离综合在一起，要灵活变通所学的知识，提高综合分析问题的能力．

【例4】已知数轴上点A表示的数为－28，点B表示的数为－15，求AB两点间的距离．

解析在数轴上，求任意两点的距离有两种方法：一种是较大数减去较小数，另一种方法是前一个数减去后一个数差的绝对值．

解法1 AB两点间的距离为－15－（－28）＝13．

解法2 AB两点间的距离为｜－28－（－15）｜＝13．5 有理数的减法

参考答案

随堂练习（课本第63页）

1．（1）－2 （2）8 （3）－8 （4）2 （5）0 （6）－7 （7）7 （8）－12 （9）20 习题2．6（课本第63页）

知识技能

1．（1）4 （2）－13 （3）60 （4）－12 （5）－11 （6）－20

2．（1）28 （2）－116 （3）16 （4）16

3．（1）－30 （2）－10 （3）168 （4）－20

4．9米．

数学理解

1．在一次潜水比赛中，小明潜入水中3米，小红潜入水中2米，以水面为基准则小明、小红的位置分别为－3米，－2米，这时小明比小红高出水面［（－3）－（－2）］米问题解决

1．（1）18：00 （2）此时巴黎是凌晨0：00，（至于是否合适，要看理由是否合理．）联系拓广

6 有理数的加减混合运算

Ⅰ学法导引

正确地进行有理数的加法、有理数的减法的计算有理数的加减混合运算就是先把减法统一成加法，然后再变成省略加号和括号的形式，根据具体问题，运用运算律简化运算．Ⅱ思维整合

解析重点有理数加减混合运算．

有理数加减混合运算的方法：（1）用减法法则将加法减法统一成加法运算，再省略加号和括号；（2）利用加法法则、加法交换律、结合律简化运算其原则是互为相反数的两数结合，正数和正数结合，负数和负数结合等．

【例1】计算4.5＋（－3.2）－（－1.1）＋（－1.4）

解 4.5＋（－3.2）－（－1.1）＋（－1.4）

＝4.5＋（－3.2）＋1.1＋（－1.4）（减法变加法）

＝4.5－3.2＋1.1－1.4（省略括号及加号）

＝1.3＋1.1－1.4

＝2.4－1.4＝1．

点拨统一成加法后可以写成省略括号及前面加号的形式．

剖析难点应用有理数的加减混合运算解决实际问题．

对实际应用问题，首先把具有相反意义的量，正确地用正数、负数表示出来再根据题意列出算式，进行计算．

【例2】某储蓄所办理了6笔储蓄业务，它们分别是：取出950元、取出780元、存入1200元、存入2500、取出1500元、取出820元，问这时储蓄所现款增减情况如何？

解析取出为“－”，存入为“＋”根据题意应为－950、－780，＋1200、＋2500，－1500、－820的代数和．

解－950－780＋1200＋2500－1500－820

＝（－950－780－1500－820）＋1200＋2500

＝－4050＋3700

＝－350．

所以这时储蓄所现款减少了350元．

点击易错点把算式写成省略括号的代数和的形式时，容易变错符号．

错解分析在做加减混合运算时，应将减法统一成加法后才能省略加号，而“－”号不能省略，跳步运算时，要慎重对待符号变化．

正解

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级利用加减混合运算解决一些数学问题．

【例4】从－2.6中减去－2.7，11.5，－3.9的和，所得的差是多少？

解析按已知条件列出算式，先写出－2.7，11.5，－3.9的和，可写成省略括号的和的形式，然后用－2.6减去这个整体的和．

解－2.6－（－2.7＋11.5－3.9）

＝－2.6－［（－2.7－3.9）＋11.5］

＝－2.6－4.9

＝－7.5

所得的差是－7.5．

点拨本题中的“从－2.6中减去－2.7”易列成－2.6－2.7，这是错误的，应是“－2.7，11.5，－3.9的和”作为减数．

应用能力升级有理数的加减混合运算在现实生活中的应用．

【例5】一名潜水员在水下80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物做垂死挣扎立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃．

（1）求鲨鱼吃掉猎物时所在位置；

（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，有什么变化？

解析向上游与向下游是一对具有相反意义的量，可用正数、负数来表示，若设向上游的高度为正数，则向下游的高度为负数，求出几个有理数的和，就可以判断鲨鱼吃掉猎物时所在位置．

解（1）－80＋25－42＋10

＝（－80－42）＋（25＋10）

＝－122＋35

＝－87．

所以鲨鱼在水下87米处吃掉猎物．

（2）鲨鱼原来位置－80＋25＝－55（米），

∴鲨鱼原来在水下55米处．

－87－（－55）＝－87＋55＝－32（米）．

所以与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，它向下游了32米．

创新能力升级从不同角度思考问题，培养学生的创造性思维，提高创新能力． 6 有理数的加减混合运算

参考答案

随堂练习（课本第68页）

习题2．7（课本第68页）

知识技能

问题解决

1．1～7日的客流量变化情况是：5月1日客流量增至高峰，2～4日逐渐回落，5～7日又逐渐上升，节末比节前上升18万人次．

2．41.3千克

随堂练习（课本第70页）

习题2．8（课本第71页）

知识技能

问题解决

（2）8千米（3）19千米

7 水位的变化

Ⅰ学法导引

从题中给出的有关数据中，读取有用的信息，综合运用有理数及其加减法的有关知识，解决实际问题．解决水位问题的步骤：第一，根据题意列出算式；第二，根据有关的运算法

则和运算律进行计算；第三，将结果结合实际情况进行分析，给出答案．学习中应尽量独立完成．

Ⅱ思维整合

解析重点运用有理数及其加法、减法的有关知识解决简单的实际问题．

“水位变化”问题是典型的利用有理数的加减混合运算的实际问题，首先要理解在水位变化图表下面标明的“注”或“注意”的含义，分清参考对象是前一天的水位还是某一具体参考水位值．

【例1】水库管理人员为了掌握水库蓄水情况，需要观测水库的水位变化，下表是某水库一星期内的水位高低的变化情况（注：水位比前一天上升记为正数，下降记为负数）：计算这周内水位总的变化是上升了，还是下降了？上升了（或下降了）多少米？

解析此表中的数据正号表示水位比前一天上升，负号表示比前一天下降，参考对象是前一天的水位，因此水位的变化具有连续性．

解本周的水位记录如表：（以上周末的水位为0点）

0.12＋0.10＋（－0.03）＋（－0.23）＋（－0.31）＋（－0.33）＋（－0.01）＝－0.69．

因此本周水位总的变化是下降了，下降了0.69米．

剖析难点根据实际问题，建立数学模型，体会数学与现实生活的联系．

【例2】某摩托车生产厂家本周计划每天生产150辆摩托车，由于一些特殊原因，实际每天的生产量不稳定，下表是本周每天的摩托车生产量与计划生产量的变化情况．注：正数表示每天的生产量比计划的生产量增加，负数表示每天的生产量比计划生产量减少．

问：本周星期五的生产量是多少？

错解150＋2－3＋7－1－6

＝150＋（2＋7）＋（－3－1－6）

＝149（辆）

∴本周星期五的生产量为149辆．

错解分析错解的原因是没有认真分析题目中给出的“注”的含义，表格中的增数是每天的生产量与计划生产量的差值，而上述解题错误地认为表格中的增减数是相对于前一天的变化情况．

正解150－6＝144（辆）．

Ⅲ能力升级平台

应用能力升级把“水位变化”这个数学模型用来解决生活中其他问题．提高学生解决问题的能力．

【例3】股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股2520元的价格买进某公司股票1000股，下表为本周内每天该股票的涨跌情况．

注意：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌．

（1）星期四收盘时，每股多少元？

（2）本周内哪一天股价最高？是多少元？

（3）与上周末相比，本周末该股票上涨了还是下跌了？

（4）已知小王买进股票时付了成交额千分之五的手续费，卖出时除了交成交额的千分之五的手续费外，还需交成交额的千分之一的交易税，如果小王在本周五收盘前将全部股票卖出，那么他赔了还是赚了？

（5）用折线统计图表示本周的股价变化情况．

解析利用有理数的加减混合运算求出本周内每天该股票的变化情况，便能解答出（1）（2）（3）三个问题，第（4）小题中，买进股票时，应交手续费，卖出股票时，应交手续费

和交易税，即到手的钱是成交额扣除手续费和交易税的钱数用实际到手的钱减去实际花的钱，若差大于0，就表示赚钱；若差小于0，就表示赔钱；若差等于0，就表示不赔不赚．第（5）小题中，可把上周末的股价情况看成0点，画出折线图．

解（1）25.20－0.1＋0.4－0.2－0.4＝24.90元，

∴星期四收盘时，每股24.90元．

（2）把上周五的股点情况看成0点，

∴周一的股价变化为0－0.1＝－0.1（元），

周二的股价变化为－0.1＋0.4＝0.3（元），

周三的股价变化为0.3－0.2＝0.1（元），

周四的股价变化为0.1－0.4＝－0.3（元），

周五的股价变化为－0.3＋0.5＝0.2（元），

∴0.3＞0.2＞0.1＞－0.1＞－0.3，25.20＋0.3＝25.50元．

∴周二的股价最高，是25.50元．

（3）由（2）可知，周五的股价变化为＋0.2元．

∴与上周末相比，本周末该股票上涨了．

（4）由（2）可知，周五的股价为25.20＋0.2＝25.40（元）．

25.40（1－5?－1?）31000－25.20（1＋5?）31000＝－78.4＜0，

∴本周五收盘前将全部股票卖出，他赔了．

（5）把上周末的股价情况看成0点，画折线统计图表示本周股价变化情况如图2－7－1所示．水位的变化

参考答案

随堂练习（课本第73页）

1．（1）略．

（2）小山最高，小亮最矮．

（3）11厘米．

习题2．9（课本第73页）

知识技能

1．（1）1.6 （2）－26.4 （3）30 （4）9 （5）69 （6）－6

问题解决

1．（1）185单位

（2）可以以160单位为0点，得到下图：

8 有理数的乘法

Ⅰ学法导引

类比前面学过的有理数的加法法则学习乘法法则，注意有理数的乘法与小学学过的乘法的不同之处在于先确定积的符号，然后求出积的绝对值．在掌握有理数乘法法则的基础上，灵活、合理地运用运算律，从而简化计算．

Ⅱ思维整合

解析重点乘法法则，乘法运算律．

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，任何数与0相乘积仍为0．乘法的运算步骤：（1）先确定积的符号；（2）再求出各因数绝对值的积．

乘法的运算律：

乘法交换律：两个数相乘，交换因数位置，积不变．即ab＝ba．

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变，即（ab）c＝a（bc）．

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同两个数相乘，再把积相加，即a（b＋c）＝ab＋ac．

解析两个有理数相乘，只需运用有理数的乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘．

解（1）（－8）3（－9）＝＋（839）＝72；

（2）（－7.5）30＝0；

点拨在进行乘法计算时，带分数要化成假分数、小数化成分数，便于约分．

剖析难点几个有理数相乘的积的符号确定．

（1）几个有理数相乘，只要有一个因数是0，则积为0．

（2）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正．

解析几个有理数相乘，先观察是否有零因数，若有，则积为零；若没有，先确定符号，再相乘．

点击易错点运用乘法分配律时漏乘项或漏掉了“－”号．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级绝对值、简易方程、有理数乘法的综合，用来求某些式子的值．

应用能力升级利用有理数的乘法解决实际问题． 8 有理数的乘法

参考答案

随堂练习（课本第76页）

习题2．10（课本第76页）

知识技能

2．9.9，9.3，－6.6，－9.3．

问题解决

1．－23℃

联系拓广

1．填表略，规律提示：每一行、每一列、每一斜列数各有什么递减规律．

随堂练习（课本第78页）

习题2．11（课本第79页）

知识技能

1．（1）10 （2）5 （3）15 （4）－4 （5）－48 （6）9 （7）－0.621 （8）5.85

联系拓广

1．两个数积为负数，则这两个数异号；两个数的积为正数，则这两个数同号（同正或同负）；多个数相乘，负因数为奇数个时，积为负；负因数为偶数个时，积为正．2．（1）a＞2a （2）a3b3c＞0

9 有理数的除法

Ⅰ学法导引

有理数的除法与乘法是互逆的运算，有理数的除法与有理数的乘法一样也是先确定符号，在能整除的情况下，直接除；在不能整除的情况下，特别是当除数是分数时，把除法转化为乘以除数的倒数较方便．

Ⅱ思维整合

解析重点除法法则及应用；倒数的意义．

有理数的除法法则有两个：（1）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何非零数都得0．（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数．

乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数，互为倒数的两个数同号．解析（1）能整除，所以选用法则一．

（2）不能整除，所以选用法则二，在计算之前需先把带分数化成假分数．

点拨负数的倒数仍是负数．

剖析难点求一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数求一个整数的倒数，直接写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只需把这个分数的分子分母颠倒位置即可；求一个带分数的倒数，应先把这个带分数化成假分数，再求它的倒数；求一个小数的倒数，应先把这个小数化成分数，再求它的倒数．

点拨区分和掌握求小数、整数、分数、带分数的倒数的不同方法．

点击易错点（1）计算时忽略了运算顺序；（2）误认为除法有运算律．

错解分析错误的原因是忽略了运算顺序，因为除法与乘法是同级运算，所以应按从左到右的顺序进行计算．

错解分析乘法对加法满足分配律，但除法对加法并不满足分配律，只有当除法转化为乘法以后，才能运用分配律．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级有理数除法与互为相反数定义的综合运用，有理数除法与绝对值的综合运用，有理数除法与互为相反数定义、互为倒数定义、绝对值的综合运用．解析由a、b互为相反数，得到a＋b＝0；由c、d互为倒数，得到cd＝1；m的倒数等于它本身，∴m＝1或－1．代入要求的式子就可求出结果．

应用能力升级有理数的除法可以解决实际生活中的问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识，使问题得到解决．

【例6】某地区高度每增加500米，气温下降大约0.4℃，气象中心测得高空一气球的温度为24℃，地面温度30℃，求此时气球所在的高度．

解析高度每增加500米气温大约下降0.4℃，只要计算出由地面温度30℃到气球温度24℃下降了几个0.4℃，便可求出气球的高度有几个500米．

解（30－24）÷0.4＝6÷0.4＝15，

500315＝7500（米）．

∴此时气球所在的高度约为7500米． 9 有理数的除法

随堂练习（课本第81页）

习题2．12（课本第82页）

知识技能

问题解决

1．750米

10 有理数的乘方

Ⅰ学法导引

乘方是一种与加、减、乘、除一样的运算，由乘方的定义知道，乘方是乘法的特例（所有因数都相同），因此有理数的乘方可以用有理数的乘法运算完成，即把乘方形式转化为乘积的形式，得到乘方的结果．

Ⅱ思维整合

乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何非零次幂都为零；任何数a的偶次幂为非负数，即a2≥0．

剖析难点乘方的意义．

乘方是一种运算，一种特殊的乘法，要准确的把乘方化成积的形式．

【例2】某种细菌每经过30分钟，便由1个分裂成两个，经过6小时，这种细菌由1

个能分裂成多少个？

点击易错点错误理解乘方意义．

［想一想］有一张厚度是0.1毫米的纸，如果将它连续对折20次后，它的厚度能超过30层楼高吗？（每层楼高平均为3米）假如可以一直连续对折，那么经过若干次对折后，它的厚度能否超过珠穆朗玛峰的高度？

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级有理数的乘方与绝对值的综合，有理数乘方与乘除法的综合．

【例4】水浮莲是一种生长速度非常快的水生植物，如果在某个池塘中水浮莲每五天能生长到原来面积的3倍，那么面积是2平方米的水浮莲大约经过多少天就会铺满500平方米的池塘？

创新能力升级对于有理数的乘方，发散思维，可解决储蓄中的自动转存到期后的本息和．10 有理数的乘方

参考答案

随堂练习（课本第84页）

3．4或－4；可能，0的平方是0．

习题2．13（课本第85页）

知识技能

联系拓广

1．（1）1 （2）－1

随堂练习（课本第86页）

习题2．14（课本第87页）

知识技能

11 有理数的混合运算

Ⅰ学法导引

在有理数的加、减、乘、除、乘方这几种基本运算掌握的前提下学习混合运算，因此学习本节时认真复习、回顾以上五种运算的法则，运算技巧，力求解题时迅速、准确、简便，然后按有理数混合运算顺序进行计算．

Ⅱ思维整合

解析重点有理数的混合运算．

有理数的混合运算应把握好运算顺序．有理数的运算分三级，第一级是加减运算，第二级是乘除运算，第三级是乘方，其运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，应先算括号里面的；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行．

解析根据有理数运算法则确定此题的运算顺序，再按运算顺序逐一运算．

解原式＝－10＋8÷4－12

＝－10＋2－12

＝－20．

剖析难点有理数的运算规律．

有理数的五种运算分别有自己的运算技巧及规律，应认真复习，回顾，有时结合运算律，达到简化运算的目的．

解析本题除了含有加、减、除外，还含有括号，观察发现，先把除法转化为乘法，然后应用乘法分配律可使运算简便．

点击易错点在五种有理数运算中常见的错误，在混合运算中都可能出现，一定要注意；另外在混合运算中还容易出现运算顺序错误．

错解分析错解1的原因是没有按照同级运算从左到右的运算顺序进行计算；错解2

的原因是没有按先算乘除、后算加减的运算顺序进行计算．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级与绝对值的综合运用、运用运算律进行混合运算．

创新能力升级巧用“一加一减”法原题值不变，但运算省去了通分，降低了运算难度．解析观察本题后发现，后一项等于前一项的一半，如果我们对于最后一项，加它再减它就可解出此题．11 有理数的混合运算

参考答案

随堂练习（课本第89页）

1．（1）－10 （2）22

习题2．15（课本第90页）

知识技能

12 计算器的使用

Ⅰ学法导引

先熟悉计算器的常用键的功能，弄清有理数综合运算的输入顺序，其次通过反复实践，多动脑思考，正确地用计算器进行加、减、乘、除、乘方运算．

Ⅱ思维整合

解析重点认识计算器中常用按键功能、明确输入数据的顺序及运算顺序，用计算器进行有理数的混合运算．

输入多位数时，按键顺序从高位到低位依次输入，作四则运算时，按键顺序从左到右．解析由于计算器能够自动识别运算顺序，只需运用计算器各个键功能，按顺序输入各个算式．

点拨按键顺序与算式的书写顺序完全相同．

点击易错点明确功能键的功能；按下数字键后，查看显示器显示的数字是否正确，按运算键等指令键后应看显示的数是否闪动一下，若不闪动应重新按键．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级利用计算器，还可以探究寻找一些规律．

【例3】9的迷魂阵．

探究9的有趣的规律，进而得出这些规律产生的原因，培养观察能力和归纳分析能力．（要求利用计算器从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选一个数与9相乘后，所得结果乘以123456789，观察结果的变化规律．）

我们先任选一个数如5，539＝45→453123456789，利用计算器，计算结果为5555555505，它是一个10位数，再选一个最小的数试试，139＝9→93123456789＝1111111101，也是一个10位数，若取最大的一个数9，则有939＝81→813123456789＝9999999909，仍然是一个十位数，为什么用9会孵出这样清一色的“数字”来呢？仔细研究，可以发现，12345678939＝1234567893（10－1）＝1234567890－123456789＝1111111101，则选取的数为2，3，4，5，6，7，8，9时结果应为1111111101的2倍，3倍，……9倍，故出现了以上的有趣结果．

下面有两个神奇的八位数与9有关：8127436539＝731469285，7264583139＝653812479，你知道它神奇的地方在哪儿吗？想想看．12 计算器的使用

参考答案

随堂练习（课本第93页）

1．（1）76 （2）－5.32 （3）371 293 （4）－3 723 875 （5）190.462 93

习题2．16（课本第94页）

知识技能

1．（1）6.9 （2）11.13 （3）9.962 6 （4）－1.164 （5）1.464 1 （6）157.040 998 56 （7）94.412 4

问题解决

1．借助计算器尝试几次后会发现总能得到6 174这一结果，并固定在这一结果上，似乎掉进了一个“黑洞”里．

2．略

3．26次

复习题（课本第95页）

知识技能

1．依次为：－50点，＋60点，－30点，＋2点．

2．图略，相反数依次为：0.5，3.5，－7，4.5，4；绝对值依次为：0.5，3.5，7，4.5，4．

5．汽车

7．－50

数学理解

1．一袋大米的实际重量与标重10 kg相差不超过150 g．

2．（1）√（2）3（3）3（4）3（5）3

3．（1）1 （2）－l （3）－2，－1，0，1 （4）0 （5）－3，－4 （6）1，－3 4．（1）－1 （2）1．

5．答案可能不唯一．（1）后一个数比前一个数大5，后面两个数为－8，－3；

（3）第1个数减2得到第2个数，第2个数加4得到第3个数，再减2得到第4个数，加4得到第5个数，后面两个数为0，4．

6．－5

7．0

8．（1）黑色牌，黑色牌；（2）两者总分和为零；（3）54分．

问题解决

1．盈余173万元

2．92.4米，58.5米，33.9米

3．159.875厘米．

4．1 099 989；1 199 988；1 299 987；1 399 986

（1）积的前两位是乘数与1的差，末两位是100与乘数的差，中间是三个9．

（2）1 899 981

5．以收入60元为基准，低于60元记为正，超过60元记为负．因此用去100元记为＋160元，收入100元记为－40元．

6．依次是：伦敦、罗马、北京、纽约、悉尼．

联系拓广

1．（1）一定（2）不一定（3）不一定（4）不一定

2．－a；a是负数．

3．a和2在数轴上对应点之间的距离为｜a－2｜．当a＞2时为a－2，当a＜2时为2－a；当a＝2时为0．

第三章字母表示数

1 字母能表示什么

Ⅰ学法导引

回忆以前学过的公式和运算律，加法交换律可以表示成a＋b＝b＋a，这里a、b分别表

示两个数，因此数和字母是个别和一般的关系，即字母可以表示任意数．课堂上动手用火柴棒摆一摆，边摆边思考，进而找到图形的数量变化与火柴棒数量变化的规律．Ⅱ思维整合

解析重点经历探索过程，体会字母表示数，形成初步符号感．

【例１】如下图3—1—1，搭一个正方形需要4根火柴棒．

按上图的方式，搭2个正方形需要________根火柴棒，搭3个正方形需要________根火柴棒．

（1）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？

（2）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？

（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？

解析本题对第（1）问还可以画出火柴棒的根数；但对第（2）问，数数的方法失效，若正方形的数目再大，数火柴棒的方法更不可行．

若能找出正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系，问题将迎刃而解．

用x表示正方形的个数，用不同的方法给出火柴棒的根数的表达式．

第一个正方形用4根，每增加一个增加3根，若搭x个正方形，则增加3（x－1）根，故火柴棒的根数可表示为：4＋3（x－1）．

把每一个正方形都看成4根火柴棒搭成的，然后再减去多算的根数，x个正方形所需的根数即为：4x－（x－1）．

把每一个正方形看成3根火柴棒搭成的，然后再加上最后一根，这样，x个正方形所需的根数为：3x＋1．

当搭100个正方形，即x＝100时，上述三种做法算得火柴棒都是301根．

解搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒．

（1）搭10个这样的正方形需要31根火柴棒．

（2）搭100个这样的正方形需要301根火柴棒，方法为：33100＋1＝301（根）．

（3）搭x个这样的正方形需要（3x＋1）根火柴棒．

点拨用字母表示数，简洁明了地表示了正方形个数与火柴棒根数之间的关系．

剖析难点探索过程中，找不到规律或不能用字母把找到的规律正确表达出来．

【例2】如图3－1－5①是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图②；再分别连结图②中间小三角形三边的中点，得到图③．

（1）图①、图②、图③中分别有多少个三角形？

（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？

因此第n个图形中三角形个数为1＋43（n－1），即4n－3．

解（1）1，5，9；

（2）4n－3．

点击易错点不能把找到的规律用字母表示出来．

【例3】图中的各个图形是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断S与n的关系式是________．错解S＝3n．

错解分析由于每条边上都有n盆花，共有3条边，便直接用3和n相乘，而忽略了端点处3盆花各重复了一次，应再减3．

正解S＝3n－3．

［想一想］观察下列各式：

想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为________3________＝________＋________．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级用字母表示数是代数的基础，它常和以前学过的公式综合出题，它容身于代数、几何的各个角落．

【例4】如图3－1－7，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2c＜b＜a＝，然后作成一个长方体盒子，用字母表示它的容积．解析根据长方体的容积（体积）公式V＝Sh．欲求长方体的容积需知长方体的底面积S和长方体的高，又可根据S＝ab，欲求底面积需知底面的长和宽，用图中虚线部分作成长方形盒子的底面，它的长为（a－2c），宽为（b－2c）由作法可知，盒子高为c，故盒子容积为（a－2c）（b－2c）2c．

解根据长方体的容积公式可知：此盒子的容积为：（a－2c）（b－2c）2c

创新能力升级对于方案设计及判断不同方案的优劣，用字母表示数从不同角度解决问题，培养学生创新意识．

【例5】用a米的竹篱笆在空地上围成一个养鸡场，有两种方案：一种围成正方形，另一种围成圆形，试比较两种方案的面积大小，并说明理由．

应用能力升级把学到的知识用到生活中，求某些图形的周长或面积．

【例6】学校决定修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米，并在草坪上修建如图3－1－8所示的两条小路，已知两条小路的宽都是x米，求

（1）修建的两条小路的面积是多少平方米？

（2）草坪的面积是多少平方米？

解析两条小路分别为长方形和平行四边形，长方形面积为长3宽＝a3x，平行四边形的面积为x3b，求两条小路的面积时不要忽略重合部分，草坪的面积就为大长方形面积减去两条小路面积．1 字母能表示什么

参考答案

随堂练习（课本第104页）

1．3y

2．mn－pq

习题3．1（课本第104页）

知识技能

数学理解

1．结果是正确的，她认为每一个正方形都有四根，所以搭x个这样的正方形需4x根，又它们共用了（x－1）根，所以应减去（x－1）根．

问题解决

1．（1）略（2）（5n＋2）根

2 代数式

Ⅰ学法导引

明白代数式的特征：只含有加、减、乘、除、乘方等运算符号及括号，而不含“等号”、“大于号”、“小于号”．注意单独一个数或字母也是代数式，思考代数式的优点，如代数式10x＋5y可表示什么，加深体会字母可以表示任何数，列代数式时，要正确判断各数量关系中的运算顺序，并抓住关键词语．

Ⅱ思维整合

解析重点在具体情境中列出代数式．

【例1】一家商店某种服装成本价为a元，按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，用代数式表示这种服装的实际售价．

解析列代数式时抓住关键词：提高、理顺运算顺序，先说先算，分层处理，先找出标

价，最后打八折．

解实际售价为：a（1＋40%）380%．

点拨正确书写代数式，数字与字母或字母与字母相乘时乘号写作“2”或省略不写，数字与数字相乘仍用“3”．

剖析难点用代数式表示实际问题中的数量关系，理解代数式表示的实际意义．

【例2】甲、乙两地相距x千米，某人计划用a小时从甲地到乙地，如果必须提前2个小时到达，那么他每小时需多走____．

点击易错点本节常见易错点有：

（1）对代数式的意义叙述不准确；

（2）列代数式时审题不仔细，弄错运算顺序．

【例3】说出下列代数式的意义．

正解（1）x的平方的3倍与5的差；

（2）a与b的差的立方的5倍．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级代数式与数字问题的综合、代数式与简单方程的综合．

【例4】一个十位数字为0的三位数，它恰好等于各位数字和的m倍，交换它的百位数字与个位数字的位置，得到新的三位数是其各位数字之和的n倍，则n的值是（） A．99－m B．101－m

C．100－m D．101＋m

解析设原三位数为100a＋b，则交换百位数字与个位数字后的三位数为100b＋a，则由题意可得：100a＋b＝m（a＋b），100b＋a＝n（a＋b），两式左右两边相加，得101a＋101b ＝（m＋n）（a＋b）即101（a＋b）＝（m＋n）（a＋b），∴m＋n＝101，即n＝101－m．解 B

应用能力升级列代数式解决实际问题，如水费，电费、稿费、出租车收费固定电话收费等分段收费问题．

解析此题中关系复杂，关键在于用水量是否超标，由于结算方法不同，所列代数式也不同．

解分两种情况：

（1）当x≤12时未超标，此时应交纳水费1.4x元；

（2）当x＞12时，用水量超标，此时应交纳水费［1.4312＋（x－12）32.6］元．创新能力升级用字母表示学过的公式并灵活运用，把求平均数的方法用到求平均速度中．

【例6】某人以每小时a千米的速度上山，然后又沿原路以每小时b千米的速度下山，如果上山的路程s千米，那么此人上山、下山的平均速度是多少？

解析首先将行程问题的基本数量路程、速度、时间三者之间的关系列述出来，然后再回到题目中来：上下山的平均速度＝（上山路程＋下山路程）÷（上山时间＋下山时间），最后用代数式将上山时间、下山时间表述出来，

2 代数式

参考答案

随堂练习（课本第107页）

1．说法不是唯一的．比如：如果1条长凳可以坐6个小朋友，那么6p可以表示p条长凳可以坐6p个小朋友．

2．（1）10b＋a （2）100c＋10b＋a

3．（1）可以表示为：原来单价是x元，现在提价8％后，现在的单价（2）略

习题3．2（课本第108页）

知识技能

2．B．

数学理解

1．（1）可以表示为单价为x元／千克的苹果，购买0.5千克的这样的苹果所需要的钱．（2）可以表示为长为（a＋b）米，宽为（a－b）米的长方形的面积．

（3）可以表示为由边长为a个单位长度的8个小立方块组成的几何体的体积．

（4）可以表示为5个人去分m千克的苹果，每人分得苹果的数量．

3 代数式的求值

Ⅰ学法导引

代数式求值就是用给定的数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序，计算出结果，有些代数式的求值，在未明确给定或不能求出单个字母的取值时，要用整体代入法．（如例5）

Ⅱ思维整合

解析重点求代数式的值的方法是先代入，后按代数式指明的运算顺序进行计算．

剖析难点利用代数式求值推断代数式所反映的规律．

【例2】当a＝4，b＝2，c＝－1时，求a－bc的值

错解1 当a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－23（－1）＝23（－1）＝－2．

错解2 当a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－23－1＝－2．

错解分析错解1的原因是计算时弄错了运算顺序；

错解2的原因是没有把“－1”用括号括上．

正解a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－23（－1）＝4＋2＝6．

解析把n＝40代入，看所求的数是质数吗？如果是，再验证；如果不是，则得出结论．Ⅲ能力升级平台

综合能力升级互为倒数的定义与整体代入法综合去求较为复杂的代数式值．

应用能力升级用代数式求值解决实际问题，求立方体的体积等．

【例4】挖一条长为l的水渠，渠道的横断面是等腰梯形（如图3－3－1），梯形的底分别为a、b，水渠深为h，若l＝200米，a＝6米，b＝4米，h＝1.5米，求挖这条小渠的土方量．

解析求水渠的土方量，即求棱柱的体积，棱柱的体积＝底面积3高，这里即等腰梯形的面积3水渠的长度．为了方便，设水渠的土方量为V．3 代数式求值

参考答案

随堂练习（课本第111页）

1．（1）6％a千克～7.5％a千克．

（2）亮亮的血液质量大约在2.1千克到2.625千克之间．

（3）略．

2．（1）h（地球）：0，19.6，78.4，176.4，313.6，490；

h（月球）：0，3.2，12.8，28.8，51.2，80．

（2）地球．

（3）通过表格，估计当n＝20米时，t（地球）≈2（秒），t（月球）≈5（秒）习题3．3（课本第112页）

知识技能

1．当f＝68时，c＝20；当f＝98.6时，c＝37．

2．（1）略（2）4x＋6y （3）4xy－0.5xy （4）46；77

数学理解

问题解决

1．（1）1.82米（2）略

联系拓广

4 合并同类项

Ⅰ学法导引

弄清几个基本概念，特别是同类项的概念，另外代数式中的项由系数（包括前面的符号）和字母（π除外）两部分组成，分清哪些项是同类项，是合并同类项的关键，合并同类项的根据是乘法分配律，根据法则进行合并，对于求代数式的值这类题要会书写格式．Ⅱ思维整合

解析重点同类项的概念，合并同类项．

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．

判断时，同时具备2个条件：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，缺一不可，引申为同类项与系数无关、与字母排列顺序无关；概念具有双重性．

合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，即“一变二不变”．

【例2】说出下列各题的两个项是不是同类项？为什么？

解析观察所含字母是否相同，相同字母的指数是否相同．

解（2）、（4）不是同类项，因为（2）中相同字母的指数不同，（4）所含字母不同，（1）、（3）、（5）是同类项，因为（1）、（5）中都是常数，（3）中所含字母相同，相同字母的指数也相同．

点击易错点本节的易错点：

①判定同类项容易出错，

②合并同类项时容易出错，

③确定代数式项的系数有误．

【例3】下列各题合并同类项的结果对不对？不对的，指出错在哪里．错解认为都对．

错解分析（1）3a与2b不是同类项，不能合并；

（2）合并同类项只是系数的运算，字母不变，字母不参与运算；

（3）（4）都不是同类项，不能合并；

（5）保留了字母和字母的指数不变，又忘记了互为相反数的两个系数的和为0．结果应为0．

正解（1）不对，因为3a与2b不是同类项，不能合并；

（2）不对，丢掉了字母及字母指数；

（3）（4）不对，分别不是同类项，所以不能合并；

（5）不对，因为－3＋3＝0，0与xy相乘为0，而不是xy．

Ⅲ能力升级平台

综合能力升级合并同类项与数字问题、数的整除性的综合．

【例4】随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字（不为0）对调后，得到一个新的两位数，并把两个两位数相加，所得的和一定能被11整除吗？为什么？

解析一个数能否被11整除也就是看这个数能否写成11的倍数形式．用代数式把原、新两个十位数表示出来，并求和．

解设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得

（10x＋y）＋（10y＋x）

＝10x＋y＋10y＋x

＝（10x＋x）＋（y＋10y）

＝11x＋11y

＝11（x＋y）．

因此，所得的和一定能被11整除．

应用能力升级用合并同类项知识解决日常生活中的问题，如用字母表示付费、图形周长等．

【例5】以物易物在农村是普遍存在的一种现象．一天，王大妈用玉米换苹果，交易条件是1公斤玉米换0.8公斤苹果，当称完带口袋的玉米后，小贩要称皮（口袋）时，王大妈说话了：“不用称皮了！称玉米带皮，称苹果时也带皮，这样既省事又互不吃亏．”想一想：王大妈讲的有道理吗？用学过的有关代数式的知识解答．

解析本题的关键是列代数式求值比较吃亏还是不吃亏的过程．

解王大妈讲的没有道理，王大妈自己吃亏．

设玉米重x公斤，口袋重y公斤，则应换苹果（0.8x）公斤，若不称皮，则实换苹果为0.8（x＋y）－y＝0.8x＋0.8y－y＝0.8x－0.2y，也就是说，这样王大妈要少得苹果0.2y 公斤，口袋越重吃亏越大．4 合并同类项

参考答案

随堂练习（课本第115页）

习题3．4（课本第115页）

知识技能

习题3．5（课本第118页）

知识技能

3．（1）（2）（3）（4）均不正确．

4．（1）12x （2）6a＋2 （3）3n＋3 （4）60x＋12y．

5 去括号

Ⅰ学法导引

我们第二章学过有理数减法，如7－（－5）＝7＋5＝12，这就是有理数减法中遇到的去括号，根据它来学习去括号法则的第二条，需要注意本节在去括号时，若括号内多于一项时，在去括号后，括号内各项要么全变号，要么全不变号，同时还应正确运用乘法分配律，这节内容今后经常用到，一定要打好基础．

思维整合解析重点去括号法则，正确去括号．

【例1】先去括号，再合并同类项：

（1）8a＋2b＋5（a－b）；

（2）6a－2（a－c）．

解析这两个题都需要先利用分配律计算5与（a－b），2与（a－c）的积，再去括号，最后合并同类项．

解（1）8a＋2b＋5（a－b）

＝8a＋2b＋（5a－5b）

＝8a＋2b＋5a－5b

＝（8a＋5a）＋（2b－5b）

＝13a－3b；

（2）6a－2（a－c）

＝6a－（2a－2c）

多媒体在小学数学教学中的应用案例-word

多媒体在小学数学教学中的应用案例在小学数学教学过程中，恰当、正确地借助计算机辅助教学，有利于小学生对新知识的获取，有利于小学生智力的开发，有利于小学生能力的培养，有利于小学生获得信息进行思考活动，有利于小学生学习方式的改善。 一、借助信息技术，创设情境，激发学生学习兴趣 教学有法，但无定法，贵在有法，妙在得法。由于小学生具有好奇、好动、有意注意时间短、持久性差等特点，往往影响课堂学习效果。因此，利用信息技术辅助教学的课件不仅用来传递教学内容，而且还会改变传统的教学方法和学习方式，有利于调节课堂气氛，创设学习情境，激发学生学习数学的兴趣。 在小学数学教学中，运用信息技术，可为小学生增设疑问和悬念，激发小学生主动获取知识的积极性，创设出利于他们开发智力，求知探索的心理环境。如：《数数》一课中，设计色彩鲜艳的花朵，形象生动可爱的小动物等作为课件内容，以引起学生们的审美感，有时还用拟人化的手法，引导学生设身处地去想象。在教学比较时，课件先呈现一片草地，绿草如茵。小朋友，你们见过草地吗？草地上的景色是怎样的？接着，画面上又出现母鸭和小鸭，鸭妈妈也带着它的孩子们来了。大家在草地上玩得开心吗？开心！这样，美丽的画面和学生生活体验融合在一起欢悦的笑容已经在孩 子们的脸上绽开。于是转入鸡妈妈和鸭妈妈的对话。鸭妈妈对鸡妈妈说：我的小鸭比你的小鸡多。而鸡妈妈却对鸭妈妈说：不对，我的小鸡比你的小鸭多。怎样知道鸭妈妈的孩子多，还是鸡妈妈的孩子多呢？这就引发了比多比少的问题。 学生经过讨论后，决定让小鸡和小鸭分别排队，然后一个对一个，就把多少比出来了。这样，学生饶有兴趣地学会了一一对应的方法比较两个数量的多少，同时又感受到了美的熏陶。 二、借助信息技术，化抽象为直观，促进学生理解数学知识小学生生活知识面窄，感性知识少，抽象思维能力较弱，运用信息技术能直观形象地把整个

小学数学课前小游戏

数学课前小游戏集锦 1、讲“方程”一课，采用数学游戏“猜你心中想的数” 师：请同学们想好一个数，经过加减乘除一系列运算，把运算过程和结果告诉我，我就能猜中你想的是什么数，看哪个先想好。 生：一个数乘以3，加上7，减9，再减去所想的数结果是10. 师：你想的数是6. 2、传话游戏。 课前：把同学分成几组，然后你告诉每组第一个同学一句话，小声说，不能让别的同学听见。然后同样让那些同学去转告第二个同学。传到最后看看那组完成的最好！之后把第一组到最后一组的话连到一起说。（当然，那几组的话连一起是一首大家不熟悉的诗或短文）看看到最后变化成了什么样。 规则： 每人只有一次机会告诉下一个人他说的是什么（根据难易程度可以改变）。不可做动作也就是肢体语言，前面的同学说的时候后面的都闭上眼睛，直到前面的同学招呼的时候才可睁开。以免互相看口型！ 3、听指令，快速反应。指令由慢到快，难度逐渐加强，最后则是听指令，做相反动作，做错的同学淘汰，很快就能决出第一名，稍加奖励。这个游戏的优点是身心结合，既锻炼了学生们的反应能力和迅速应变能力，又能在有限的空间里活动身体。 4、反口令。教师说“大西瓜”学生说“大西瓜”，手时却做出小西瓜的动作。教师说“站”，说生坐下，反之，教师说“坐”，学生站起来。 5、一边说一边示范做:(师)请你摸摸右耳,(生)我就摸摸右耳,(师)请你摸摸左耳,(生)我就摸摸左耳.……请你跟我拍拍手，（我就跟你拍拍手）；请你跟我跺跺脚，（我就跟你跺跺脚）；请你跟我弯弯腰，（就跟你弯弯腰）；请你跟我点点头，（我就跟你点点头）；请你跟我坐坐好，（我就跟你坐坐好）。 6、在教“分数的基本性质”这一课中，可以创设这样的情境，使学生在愉快而又紧张的氛围中学会这一抽象的知识。刚上课，我就给学生讲一个“猴子分饼”的故事：猴山上的小猴喜欢吃猴王做的饼。一天，猴王做了3个大小同样的饼，先把第一个饼平均分成4块，给猴（1）1块。猴（2）看到说：“太少了，我要2块”，猴王把第二个饼平均分成8块，给他2块。猴（3）更贪心，说：“我要3块”，猴王又拿出第三个饼平均分成12块，给他3块。小朋友，你们知道哪只猴子吃得多？”不一会儿，学生都说：“同样多”。于是，我追问道：“聪明的猴王是用什么办法来满足小猴子的要求，而且又分得公平呢，你们想知道吗？”正当学生聚精会神地听完故事，而又百思不得其要领时，我说“学了分数的基本性质，你们就知道

小学数学教育教学经验总结

小学数学教育教学经验总结 马集小学卓玉 时光如梭，转眼一个学期的教育教学工作又告以段落。这一学期我主要承担五年级的数学课程教学任务。这一切对于我来说又是一个新的开始，面对不同的群体，性格迥异的新学生，我必须改变原有的教学思路和教育手段，从各方面严格要求自己，积极向老教师请教，结合本校的实际条件和学生的实际情况，勤强褚恳，兢兢业业，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展。回顾本学期的工作，我思绪万千、感慨良多，以下是我在教育教学工作中的一些经验总结： 一、注重课前教材的认真研读，做到了解全面、分析透彻。 认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都课前做好充分的准备，并制作各种有利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学后记，并认真搜集每课书的知识要点，归纳成集。学期前我对整册书做了全面的了解和分析，注重知识的前后联系，注意结合我所教年级同学的年龄特点和学习习惯制订了详细的教学工作计划。做到上好每一节课，弄清每节课的教学目标和教学重难点，做到充分驾驭课堂。留意从教学辅导材料中取经，吸取好的教育教学方法为我所用，注意写好每一节课的教学反思。力求一节课比另一节课更精彩，力求将新课程理念渗透到课堂中来，力求让我的学生能在寓教寓乐中轻松学习数学，让孩子们成为新课程改革的最佳受益者。 二、注意激发兴趣，引导学生主动参与数学学习。

兴趣是最好的老师，如何引导学生有兴趣的参与到数学课的学习 中来尤为重要。本学期我利用生动形象的多媒体课件，创设情境，提 出问题。利用实物教具，让更多的学生感受数学。如在学习长方体和 正方体的表面积时我就是利用实物教具进行直观教学的，首先我提出 实际问题：做一个这样的包装盒至少要用多少纸板？根据现实情境和 信息，通过动手操作、小组合作、观察思考等方法，去探究长方体的 表面积的概念和计算方法，初步培养学生的探求意识和探究能力。在 解决问题的过程中探究长方体和正方体的表面积的计算方法。在一些 数学活动中引导学生自己动手制作观察物体所需的小正方体模型，注 重让更多的学生参与到观察物体的实践中来。让学生感受到生活中有 数学，数学来源于生活等等。为学生提供了主动参与合作交流的平台。调动学生学习积极性引导更多的学生全方位全过程的参与到数学课的 学习活动中来，以逐步形成学生的数学知识和技能为出发点，以形成 学生基本的数学思想和方法为精髓。增强上课技能，提高教学质量， 使讲解清晰化，条理化，准确化，条理化，准确化，情感化，生动化，做到线索清晰，层次分明，深入浅出。在课堂上要特别注意调动学生 的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主体作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注意精讲简练，在课堂上尽量做到老师讲 得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑 每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。现在学生普遍反映喜欢上数学课，就连以前极讨厌数学的学生都 乐于上数学课了。 三、注重反馈，加强课后的练习与巩固。 所学知识要想牢固掌握，光靠一节课的努力是远远不够的，需要课 后的联系与巩固才能测验出来。我在练习巩固时注重个别辅导，寻找 特定群体的薄弱环节，有针对性的开展练习。布置的作业不求多、杂，

多媒体在小学数学中的应用

多媒体在小学数学中的应用 发表时间：2013-10-22T13:56:34.107Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2013年10月供稿作者：卫瑞先[导读] 随着科技的发展和信息时代的到来，多媒体教学已逐步被应用于课堂教学中。 河北省广宗县东牛庄小学卫瑞先 摘要：在数学教学中，恰当地运用计算机技术，能创设逼真的教学环境、动静结合的教学图像、生动活泼的教学气氛，充分调动学生的主动性和积极性，活跃课堂气氛，加深巩固教学内容，使学生感受到学习的喜悦。关键词：小学数学、多媒体、创设、迁移、过渡随着科技的发展和信息时代的到来，多媒体教学已逐步被应用于课堂教学中。在数学教学中，恰当地运用计算机技术，能创设逼真的教学环境、动静结合的教学图像、生动活泼的教学气氛，充分调动学生的主动性和积极性，活跃课堂气氛，加深巩固教学内容，使学生感受到学习的喜悦，寓教于乐。所以我们应重视多媒体在教学中的作用，并充分发挥其作用。 一、多媒体能有效的创设生活问题情景 根据学生的年龄特点。问题情境的内容、形式要根据学生所处的不同年龄阶段而有所变化。对低年级儿童而言，颜色、声音、动画等有极大的吸引力，教师可运用故事、游戏、模拟表演、直观演示等形式创设生动有趣的问题情境；对高年级的学生，则要侧重创设让学生自主学习、合作交流的情境，用数学本身的魅力去吸引学生，尽量让他们因内心的成功体验产生情感的满足，进而成为推动下一步学习的动力。 例如：教学“年、月、日”一课时，我们用多媒体课件，设计屏幕上出现太阳、月亮、地球三个天体的运行规律，即地球绕太阳转一周是一年，月亮绕地球一周是一月，地球绕地轴转一周为一日。再配以教师亲切的解说和悦耳动听的音乐，生动的画面把学生带入了奇妙的宇宙，感知年、月、日的来历，同时学生对年、月、日怎样产生、它们之间有什么关系等产生的疑问，通过这一新奇的演示，激发了学生探索求知的欲望，提高了学生认知程度，学生可以触类旁通地知道很多知识，扩大知识面，使他们增长见识。能极大地激发学生的学习兴趣，唤醒他们的有意注意，而且使学生的心一直被教师引导着，使教学过程顺利进行，还提高了教学效率。 二、多媒体能启发学生知识迁移 美国教育心理学家奥苏伯尔所说：“如果我们不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我们会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。”因此教师一方面必须深入钻研教材，分析每一个新知识点的内在构成和有机联系，从众多的已有知识中恰当地选择与新知识有密切联系的旧知识，迁移所依赖的主要条件是不同知识存在着共同的因素，前后教材的共同因素越多，就越容易产生正向的迁移。另一方面必须依据自己对学生学习状况的动态化的把握，分析那些与之相联系的旧知基础中，哪些是学生掌握得牢固熟练的，哪些还次之的，从而适当地而又经济地设计安排新授课前的复习铺垫内容方案，在新旧知识间架起一座知识的桥梁，让旧知自行同化新知，实现自然迁移。 在教学新课时，教师通过发掘新旧知识的共同因素，并充分利用这些共同的因素，创设迁移情境，就可以沟通新旧知识的内在联系，逐步提高学生学习和探索新知识的能力。所以在课堂教学中，教师应尽量在学生回忆有关旧知识的基础上引出新知识。例如，教学《圆的面积》一课时，学生对于“将一个圆平均等分的份数越多、拼成的图形就越接近于长方形”这一点比较难理解，实际操作起来也比较困难。我利用课件动画，分别演示了将一个圆平均分成16份、32份、64份、128份，再拼成长方形的情形，学生就能清楚地看到越来越接近长方形的过程了。 三、多媒体能促进思维过渡 实践表明：在小学数学课堂教学中运用多媒体辅助教学，利用声音、图像、文字、录像、动画等手段，“创设教学情境，能积极调动学生的多种感官参与，调控学生的注意力，激发学生去探究，去发现，去创造的欲望”。 例如：我在《角的认识》的教学中，借助CAI课件的鲜艳色彩和优美图案，直接形象地再现客观事物，给学生以如见其物的感受。因此在让学生观察实物感知角的形状时，我设计出示CAI课件的三幅图案：1、出示一条色彩鲜艳的红领巾，让学生找出红领巾的三个角； 2、出示逼真的钟表实物图，让学生找出时针、分针、秒针之间的夹角； 3、出示一把漂亮的实物折扇图，让学生观察折扇打开时的角的大小。让学生观察这些实物图形中的角，图像显示模拟逼真，有助于提高学生的学习兴趣，“使学生产生数学美感，激发他们的求知欲，充分调动学生的学习积极性”。 在学生找到所出示物体各自的角后，再利用课件中动画光点的闪烁，演示实物图上角的形成，紧接着把实物的模像移走，只剩下图形的轮廓，抽象出几何角。在教学角的各部分名称时，我把三种不同的角（锐角、直角、钝角）放到一起，让学生观察这些角都什么共同的特点，这时计算机屏幕上分别同时闪烁三种角的顶点和三种角各自的两条边，帮助学生抽象概括出“角都有一个顶点”和“两条直的边”，这样就顺利地完成了由形象思维向抽象思维的过渡。 四、注重数学实践活动的充分开展 恰当利用多媒体辅助教学不仅会改变传统的教学方法和学习方式，而且有利于调节课堂气氛，创设学习情境，激发学生学习数学的兴趣。例如，我在教学一年级《认识大面额人民币》时，课件出现一个服装店的动态情景视频，视频中人们正在买衣服，这样让学生从再现的生活情景中直观感知了大名额人民币在生活中的作用，让学生更加明白数学来源于生活，服务于生活的道理，培养了学生的数学应用意识。学生兴趣十分浓厚，很快就进入了主动学习的状态。整节课学生都保持愉悦的心情，直观的知识呈现和灵活的练习训练，学生思维活跃，兴趣浓厚，参与效果好，轻松地完成了教学任务。由此可见，多媒体信息技术创设情景产生的作用是传统教学手段无法比拟的。 总之，作为现代教育重要的教学手段，多媒体教学其实也是一种新型的教学方式。对于更新教育观念，改进教学方法，提高教学质量，有着很大的潜力。我们如果正确利用多媒体技术，合理安排师生双边活动，形成较佳的教学结构，以达到更有效地突破教学难点，进而加快学生理解掌握知识的速度，拓宽学生数学知识的深度与广度，真正发挥多媒体的作用是可以促进课堂教学的整体优化，从而提高教学效率。但利用多媒体技术辅助教学时，要从实际出发，要适时、适量、适度的使用，同时也要发挥多媒体技术与常规教学手段的各自优势，相互促进、相辅相成，共同促进教育事业的进步。

数学教育学课件

数学教育学课件 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

第一讲：为什么要学习数学教育学 第一节数学教育成为一个专业的历史 数学教师是一种职业，是一种需要特殊培养的专业人士。 古代：学校教育的主要目的是培养大大小小的官吏、僧侣和文职人员 西方：数学教育的目的主要是为了训练学生的心智，<七艺教育：文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐）b5E2RGbCAP 中国：古代算学以测量田亩、计算税收等为目的，主要用于国家管理,数学教育的主要目的是为了经世致用，地位不高。(六艺教育：礼、乐、射、御、书、数>p1EanqFDPw 进入19世纪，数学在学校教育中占据重要地位： 西方——古典教育与科学教育之争； 中国——西方传教士兴办教会学校，但数学未普及。 Jeremy Kilpatrick<杰瑞M·克伯屈）《一份数学教育研究的历史》：19世纪末，人们意识到，教好数学需要既懂数学又懂教案法。DXDiTa9E3d 20世纪，数学教育开始成为一门专业 ⑴1911年，F·Klein指导的第一个数学教育博士Rudolf Schimmack毕业。 ⑵隶属于国际数学联合会的国际数学教育委员会

有两门学科对数学教育研究有过根本性影响的，而且继续发挥影响：数学和心理学 此外，哲学、社会学、人类学、经济学、政治学、生态学等不断影响数学教育领域，尤其是人类文化视角深刻地影响着人们对数学教育的认识。RTCrpUDGiT ⑴数学——Felix Klein，首任ICMI主席，热心倡导数学教育改革，一再强调： ①数学教师应该具有较高的观点——掌握或了解数学概念、方法及其发展与完善的过程及数学教育演化的经过； ②教育应该是发生性的——空间直观、数学应用、函数概念非常必要； ③应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题； ④应该以函数为中心将算术、代数与几何综合起来。 总之，数学影响教案内容的选取。 第三节数学教育研究热点的改变 第二节数学教育研究关注的对象年龄范围在逐渐扩大中学→两头；校内→校外 第三节数学教育研究关注的问题范围在拓展。 宏观：课程→教师教育→学习问题→课堂教案问题→社会、文化、语言问题以及评价问题 微观：符号化与形式化、问题解决、应用与建模、证明与论证、各个学习领域的教与学、各个层次的数学教育问题

小学数学教育随笔

小学数学教育随笔 小学数学教育除了让学生获得一定的数学知识外，还担负着发展学生智力，培养学生良好的习惯，提高学生的能力，让学生获得成功的体验，享受人类文明成果等重要使命。目前，因为应试教育的影响，使小学数学教育走入了一些误区，数学让学生望而生威，甚至望而却步。主要原因是有的数学教师对数学教学的研究不够，不能有效开发和合理利用课程资源，教学中仅限于对数学知识的传授，不能有效合理地渗透数学文化内容，不能有效地组织学生探索和发现数学规律和方法，在教学中缺少等待，让学生进行思考的时间少，教师讲解得多，以讲代学，作业机械重复，大搞题海战术，学生负担加重。以上种种问题的存在，严重阻碍了数学教育的发展，削弱数学教育的效果，使数学教育的有些功能被异化。 如何使数学教育走上良性循环的轨道，真正使数学成为学生喜爱的学科，从而发挥数学教育的基本功能呢？本文就此谈一些个人的思考，以期抛砖引玉，供广大数学教育工作者们讨论和研究。 一、充分挖掘数学自身的魅力，让学生热爱数学。 数学的魅力无处不在，我们不能视而不见，教师要根据教材内容，不断充实和挖掘数学中新奇有趣的事实和现象，让学生觉得数学真奇妙，数学有意思！从而对数学学习产生持久的兴趣，真正地喜爱数学这门学科。如学了比的知识后，可让学生认识“黄金比”，使学生体验到世上美的事物都符合“黄金比”这一规律，引导学生用数学的眼

睛观察世界，揭示周围事物的数学本质，让学生充分体悟数学的美、体验数学的博大精深；再如学了“因数和倍数”后，让学生去寻找“完美数”，使学生认识到原来看似很平凡的一个数，其中却隐藏着这么多的奥秘，从而让学生觉得数学有意思；再如学了“找数列中规律”后，向学生讲述天文学家观察太阳系中各行星和太阳的距离这一数列后，发现在其中火星和木星与太阳的距离这两个数之间不符合这一数列的排列规律，通过计算后确认其间肯定还有另处的行星，果然后来的天文学家发现了“谷神星”、“智神星”等许多小行星，从而使学生觉得数学真了不起，产生学好数学的内驱力。这样的例子很多很多，关键是我们数学教师要去搜集，要广泛阅读相关的数学读物，不断充实自己的数学知识宝库，同时要组织学生阅读数学读物，师生在数学阅读中同成长，小学数学虽然姓“小”，但只有让它置身于“大数学”的滚滚洪流和背景之下，才能使它焕发出应有的生机和活力，产生应有的魅力，才能使学生真正地喜欢上数学。 二、培养学生的数学思考能力，发展学生的智力。 数学的主要特点是论证严密，逻辑推理性强，数学更有其特有的思维方式，被大家广泛认同的数学思考能力的培养是小学数学教育的重要功能之一，通过数学思考能力的培养达到发展学生智力的目的，数学学习要让学生变得越来越聪明。这就要求数学教师具有较高的课堂教学驾驭能力，随时根据教学情况调控自己的教学策略，在教学中要精心设计好问题，提问是一门艺术，提问要有深度和广度，具有较强的思考性，切忌自问自答，没有耐心等待学生去思考，或者与少数

小学数学课堂教学的55个细节读后感

小学数学课堂教学的55个细节读后感 随着新课程改革的深入，新课程理念正被越来越多的教师所接触和理解，几乎可以说所有的教师尤其是中小学教师都有意识地把新课程理念转化为教学行为渗透到课堂教学中去，但要说新课程所倡导教学理念和思想完全被我们教师所接纳并转化为行为应该说尚需时日。可能绝大多数教师对新课程理念大多耳熟能详，而事实上，我们的课堂、我们的教学在很多情况下是理念与行为想分离的。读了这本书，印象比较深刻的有以下问题： 如“小学数学课堂教学中存在的主要问题”课堂活动重表现、轻体验；有一位外国专家听了中国一位特级教师的一堂无可挑剔的、非常顺利的数学课说：“我有一个疑问：既然学生都懂了，我们还教什么？”简单的一句话，道出了现在的课堂尤其是公开课堂重表现的实质。文中还例举了其他的一些存在问题：小组合作重形式、轻实质；探究重执行、缺思维；评价重结果、轻过程；书中提到一旦发现学生的解题结果与标准答案不符，一定要引导学生说出解题思路，然后才能作出相应的评价。而我们平常的可能因为时间较紧而忽略。 以小组合作为代表的合作学习被教师们广泛采用。那种人人参与、组织互动、竞争合作常常有思维碰撞、火花闪现的课堂，能切实给人以享受和启迪。实际教学中，我们可能

僵化地理解合作学习，浅白地追求小组学习的形式。甚至有时将小组合作等同与小组讨论，有的合作学习内容没有价值，有的合作学习缺乏深入自主和个体体验，有的合作时间不足、没有反馈交流等，不一而足。 又如：课堂提问是教师在组织、引领和实施教学的过程中不可或缺的教学行为。有价值的提问是促进学生思维、评价学习效果、增进师生感情、活跃课堂气氛以及激活学生自主学习潜能的基本控制手段。但是，有的课堂上是一问到底，不可否认，大量的问题固然能带动学生积极思考，但数量过多，学生忙于应付，根本就无暇思考。试问，这样能有多少收获呢？ 书中提到的三不要四要让我印象深刻：不要什么培训时的感觉很好，也不要观摩时的感觉很好，更不要教学时的感觉很好；要的是回到课堂还是会操作，要的是学生的感觉很好，要的是学生学有所获，要的是不走样的体现学生主体理念与行为的有效融合。是不是可以这样理解：我们需要不断关注学生，将学生作为自己教学的出发点；需要不断学习，将学生的全面发展作为自己的第一需要；需要不断反思，将反思作为自己的必修课；需要不断关注细节，将细节作为一个成功教师的基本视角。从某种意义上说，教学活动是由一个一个的细节构成的。细节虽小，却能透射出教育的大理念、大智慧，所以，成功的教学必定离不开对细节的研究与雕琢。

发挥多媒体在小学数学教学中的作用

发挥多媒体在小学数学教学中的作用 开阳县第三小学阮德会内容摘要：由于信息技术对小学数学教育的影响，特别是计算机，它的产生和发展以及在教学上的广泛使用，对于提高教学质量和教学水平，推动教育改革都具有非常重要的意义。多媒体技术与网络技术可实现对数学教学最有效的组织与管理。管理的信息不仅是文字，而且还包含图形、图像、声音、视频等媒体信息。通过这些载体，可以在极大程度上增大课堂信息容量和提高教师控制教学信息的灵活性。多媒体以及网络技术，给学生的多重感官刺激和直观教学提供了最有效的准备，可提高改善学生的学习方式，加快学生的理解进程，增强学生的认知能力。本文从五个方面对多媒体在小学数学教学中的作用进行论述：关键词：多媒体；小学数学课堂；辅助教学 正文： 新数学课程标准提出：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术、特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”这就要求我们的数学老师从学科教学的角度出发，研究如何使用计算机来帮助自身的教学，把多媒体技术融入到小学数学科教学中去。 数学课程与信息技术的整合应体现数学学习的发现、探索教学过程的原则。它强调利用信息技术对数学知识的发生发展过程给学生以展示，强调对数学知识的探索，强调对数学知识的应用，强调对数学知识的迁移。这种整合，是以数学教学的具体任务为

完成目的，有意识地与信息技术相结合的教学。其目的是使学生的数学学习始终处于发现问题、用数学的方式提出问题、探寻解决方法、解决问题的自主的、动态的过程中。在解决问题的同时，让学生做到个性学习与协作和谐统一，以达到数学学习的目标。 数学课程与信息技术的整合应体现“教师为主导，学生为主体”的教学理念原则。数学课程与信息技术的整合中，应根据小学数学教学本身的特点，利用信息技术的优势，从数学课堂教学和数学实践教学中寻找切入点，创设具有丰富性、挑战性和开放性的教学环境。教师所做的一切努力，都应是为学生的发展提供更为宽广、有弹性且具有创意的学习空间，使以学生为中心、基于资源及交流讨论的全新教学方法得以实现。 一、运用多媒体计算机辅助教学，有利于再现生活情境，激发学生学习数学的兴趣 建构主义认为，学生在学习之前就已经有了生活的经验，他不是空着脑袋走进课堂的。所以在数学探究学习之始，我们应最大限度地唤起学生原有的生活经验和生活中的数学。同时新《标准》提出：学生的数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，而内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足学生多样化的学习需求。多媒体技术与网络技术可实现对数学教学最有效的组织与管理。管理的信息不仅是文字，而且还包含图形、图像、声音、视频等媒体信息。通过这些载体，可以在极大程度上增大课堂信息容量和提高教师控制教学信息的灵活性。多媒体

数学教育学

期末作业考核 《数学教育学》 满分100分 一、名词解释（每题5分，共20分） 1．数学认知结构 答：数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。2．中学数学课程 答：中学数学课程是按照一定社会的要求、教学目的和培养目标，根据中学生身心发展规律，从前人已经获得的数学知识中间，有选择地组织起来的、适合社会需要的、适合教师教学的、经过教学法加工的数学学科体系 3．数学教学模式 答：数学教学模式是指在一定的教学思想指导下，为了完成某项数学教学任务，实现某种教学目的，在教学过程中，所创设的教学环境的相对稳定的“样式” 4．数学课程体系 答：数学课程体系是课程的内容安排所展现的知识序列，及各知识间的相互联系，是数学科学知识体系经教学法加工而得到的学科知识体系。 二、简答题（每题10分，共50分） 1．举例说明数学具有高度的抽象性。 答：数学具有严谨的逻辑性和高度的抽象性及应用的广泛性。数学教学侧重于培养学生分析、比较和综合能力；抽象、概括能力；判断、推理能力；学生的迁移类推能力；引导学生揭示知识间的联系，探索规律、总结规律；培养学生思维的灵活性；培养学生学习数学的兴趣，良好的思想品德和学习习惯。在教学过程中不可避免地出现了相当一部分“学困生”。课外辅导是课堂教学的辅助形式，是贯彻因材施教原则的重要措施。根据数学教材系统性强的特点，学困生有了知识缺陷，就必须及时查漏补缺。课外辅导可以解决课堂教学没有或不能解决的问题，弥补课堂教学的不足。因此，课外辅导也是学困生转化工作中不可缺少的组成部分。课外辅导的形式多种多样，应根据学困生的不同情况来确定。有针对普遍性问题的集体辅导，有针对部分学困生小组辅导，有针对个别学困生个别辅导。辅导内容包括给学困生解答疑难，指导他们完成课外作业，每次辅导要有针对性，以解决一两个问题为主，防止随意性。比

小学数学教育教学经验总结.

小学数学教育教学经验总结 「摘要」：很多学生都反应学习数学知识很难，学习数学应用题更难，其实他们只学会了数学的基本算法，而没有真正的理解数学的含义。因此，数学老师有必要结合各种实际情况开展数学教学活动。 关键字：数学问题生活化学习数学兴趣性 时间如梭,我参加教导处工作已有两年多时间了，回顾本学期的工作，我思绪万千、感慨多多，每次在上课和对同事们的一些数学教育教学经验都取了硕果，虽说教无定法，但也规律，教数学更是如此，所以我觉得我应该把我的一些数学教育经验写成总结跟大家分享，也是使自己在今后的教学工作中不断的前进和完善自己。 一、注重课前教材的认真研读，做到了解全面、分析透彻。 认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学后记，并认真按搜集每课书的知识要点，归纳成集。学期前我对整册书做了全面的了解和分析，注重知识的前后联系，注意结合我所教的年级同学的年龄特点和学习习惯制订了详细的教学工作计划。做到上好每一节课，搞清每节课的教学目标和教学重难点，注重和数学师就教学难点问题做详细的分析，做到充分驾驭课堂。留意从教学辅导材料中取经，吸取好的教育教学方法为我所用，注意写好每一节课的教学反思。力

求一节课比另一节课精彩，力求将新课标理念渗透到课堂中来，力求让学生能在寓教寓乐中轻松学数学，让孩子们成为新课程改革的最佳受益者。 二、注意激发兴趣，引导学生主动参与数学学习。 兴趣是最好的老师，如何引导学生有兴趣的参与到数学课的学习中来极为重要。本学期我利用生动形象的多媒体课件，创设情境，提出问题。利用实物教具，让更多的学生感受到数学。在一些数学活动中引导学生自己动手制作观察物体所需的模型，注重让更多的学生参与到观察物体的实践中来。为学生提供生活场景，让学生感受到生活中有数学，数学来源于生活，并且利用数学解决生活问题等等。为学生提供了主动参与合作交流的平台。调动学生学习积极性引导更多的学生全方位全过程的参与到数学课的学习活动中来，以逐步形成学生的数学知识和技能为出发点，以形成学生基本的数学思想和方法为精髓。增强上课技能，提高教学质量，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。现在学生普遍反映喜欢上数学课，就连以前极讨厌数学的学生都乐于上课了。 三、注重反馈，加强课后的练习与巩固。 所学知识要想牢固掌握，光靠一节课的努力是远远不够的，需要

浅谈小学数学课堂教学中“细节”的重要性

浅谈小学数学课堂教学中“细节”的重要性高尔基说：“细节是隐藏在文字间的魔术。”对于数学课堂，细节是隐藏在数字、数学符号、运算符号，乃至图形间的魔术。关注数学课堂细节，可使简单中充盈灵动的智慧，洋溢人性的光辉。关注课堂细节，能突出教学重点，凸显教学亮点，提高课堂教学质量。 一、规划细节，巧设情境 布鲁姆指出：“有效教学始于准确的知道需要到达的教学目标是什么。”有效教学的显著特点是以明确具体的教学目标作为教学的导向，使整个教学活动始终置于教学目标的控制下，使师生双方在教学过程中均有目标指向性，教学活动结束时均有目标达到性，避免由于目标模糊不清或脱离实际所带来的随意性和盲目性。这就是启迪我们在备课构思时，是要规划细节。 在创设情景时，教师对细节的巧妙处理往往能彰显教师的智慧。 例如，学完三角形的分类后，大部分教师都会出示不同类型的三角形，让学生判断它们分别是什么三角形。学生看着图形，运用所学的知识就能判断出结果，这样的情景没有多少智慧的成分。我在判断三角形类型的环节，用一张纸遮住三角形的两个角，让学生判断被遮住的是什么三角形。第一次露出一个直角，学生不假思索地喊“直角三角形”。当教师拿出纸时，学生不约而同地喊：“耶，猜对了！”第二次，露出一个钝角，学生兴奋地叫：“钝角三角形”。当教师移开纸时，学生开心地喊叫：“耶，又猜对了。”第三次，露出一个锐角，学生胸有成竹地说：“一定是锐角三角形”。当教师慢慢地移开纸片时，学生看到是一个钝角三角形后沉默了。教师趁机引导学生讨论：“为什么会这样呢？”学生讨论后明白：“三角形里最多只有一个钝角或直角，所以只要看到一个钝角或直角就能确定这个三角形的类型。但是一个三角形最少有两个锐角，因此，不能根据露出的一个锐角确定三角形的类型。”教师用一张纸把三角形遮住一部分，不仅增加了情景的吸引力，而且更好地突破了学生的认知盲点。 二、让细节成为数学学习的有效导向 新课运行环节，教师若能捕捉细节，抓住细节进行拓展，一方面有助于抓住教学重点，突破教学难点，另一方面能进行动态建构，有效促进学生思维的发展。如教学《圆的认识》时，某教师设计了小白兔抱萝卜的情景（图中兔子们站在同一条直线上，中间那只兔子的正前方有一棵萝卜）。教师问：“哪只小白兔能抱到萝卜？”学生抢着回答：“很可能是正中间那只。”教师接着问：“这样的抢萝卜游戏公平吗？为什么？”学生思考后，得出：“小白兔与萝卜的距离不相等，抢到的可能性就不相等，这样的游戏不公平。”教师继续引导：“怎样设计游戏才公平呢？”学生讨论后，认为要公平，就要保证参赛的兔子到萝卜的距离相等。这

多媒体在小学数学教学中的应用案例

多媒体在小学数学教学中的应用案例 扬中市联合中心小学杨勇 在小学数学教学过程中，恰当、正确地借助计算机辅助教学，有利于小学生对新知识的获取，有利于小学生智力的开发，有利于小学生能力的培养，有利于小学生获得信息进行思考活动，有利于小学生学习方式的改善。 一、借助信息技术，创设情境，激发学生学习兴趣 教学有法，但无定法，贵在有法，妙在得法。由于小学生具有好奇、好动、有意注意时间短、持久性差等特点，往往影响课堂学习效果。因此，利用信息技术辅助教学的课件不仅用来传递教学内容，而且还会改变传统的教学方法和学习方式，有利于调节课堂气氛，创设学习情境，激发学生学习数学的兴趣。 [案例1] 在小学数学教学中，运用信息技术，可为小学生增设疑问和悬念，激发小学生主动获取知识的积极性，创设出利于他们开发智力，求知探索的心理环境。如：《数数》一课中，设计色彩鲜艳的花朵，形象生动可爱的小动物等作为课件内容，以引起学生们的审美感，有时还用拟人化的手法，引导学生设身处地去想象。在教学“比较”时，课件先呈现一片草地，绿草如茵。“小朋友，你们见过草地吗？草地上的景色是怎样的？”接着，画面上又出现母鸭和小鸭，“鸭妈妈也带着它的孩子们来了。”“大家在草地上玩得开心吗？”“开心！”……这样，美丽的画面和学生生活体验融合在一起，欢悦的笑容已经在孩子们的脸上绽开。于是转入鸡妈妈和鸭妈妈的对话。鸭妈妈对鸡妈妈说：“我的小鸭比你的小鸡多。”而鸡妈妈却对鸭妈妈说：“不对，我的小鸡比你的小鸭多。”怎样知道鸭妈妈的孩子多，还是鸡妈妈的孩子多呢？这就引发了比多比少的问题。学生经过讨论后，决定让小鸡和小鸭分别排队，然后一个对一个，就把多少比出来了。这样，学生饶有兴趣地学会了一一对应的方法比较两个数量的多少，同时又感受到了美的熏陶。[案例2] 在计算机辅助教学环境下，教学信息的呈现是丰富的，面对如此众多的信息呈现形式，小学生一定会表现出强烈的好奇心理，而这种好奇心一旦发展为认知兴趣，将会表现出强烈的求知欲。如：《时、分，24时记时》教学内容，学生在实际生活中积累了一些感性生活经验，但往往是“知其然”，而难以道其“所以然”。教学中，我们运用多媒体的音、形、像等功能，再现生活实际。如学习24时记

小学数学教育理论学习心得总结

小学数学教育理论学习心得总结 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《小学数学教育理论学习心得总结》的内容，具体内容：在新课改背景下,小学数学教学越发强调学生学习积极性的调动,实现对传统小学数学教学模式的调整,是当前小学数学教师普遍关注的问题。下面是我为大家整理的，供你参考!篇1一个学...在新课改背景下,小学数学教学越发强调学生学习积极性的调动,实现对传统小学数学教学模式的调整,是当前小学数学教师普遍关注的问题。下面是我为大家整理的，供你参考! 篇1 一个学期的工作已经结束，下面对该学期的工作作总结。 一、思想认识。 在这一个学期里，我在思想上严于律己，热爱党的教育事业。去年下半年我向学区党支部递交了入党申请书，所以这一学期来我都是以党员的要求来约束自己，鞭策自己。对自己要求更为严格，力争在思想上、工作上在同事、学生的心目中树立起榜样的作用。在"七一"那天，我还荣幸地成为了一名预备党员。使自己的思想上了一个新的台阶，同时也是对自己思想上严格要求的一个新的开始。一学期来，我还积极参加各类政治业务学习，努力提高自己的政治水平和业务水平。服从学校的工作安排，配合领导和老师们做好校内外的各项工作。 二、教学工作。 在教学工作方面，整学期的教学任务都非常重。但不管怎样，为了把自

己的教学水平提高，我坚持经常翻阅《小学数学教学》、《优秀论文集》、《青年教师优秀教案选》等书籍。还争取机会多出外听课，从中学习别人的长处，领悟其中的教学艺术。平时还虚心请教有经验的老师。每上的一节课，我都做好充分的准备，我的信念是-决不打无准备的仗。在备课过程中认真分析教材，根据教材的特点及学生的实际情况设计教案。 这学期主要担任二年级两个班的数学、思想品德的教学及其中一个班的班主任工作。因为已经接手第二学期，学生的思想、学习以及家庭情况等我都一清二楚，并且教材经过上学期的摸索，对教材比较熟悉，所以工作起来还算比较顺利。培优扶差是一个学期教学工作的重头戏，因为一个班级里面总存在几个尖子生和后进生。对于后进生，我总是给予特殊的照顾，首先是课堂上多提问，多巡视，多辅导。然后是在课堂上对他们的点滴进步给予大力的表扬，课后多找他们谈心、交朋友，使他们懂得老师没有把他们"看扁"，树立起他们的信心和激发他们学习数学的兴趣。最后是发动班上的优生自愿当后进生们的辅导老师，令我欣慰的是优生们表现出非常的踊跃，我问他们为什么那么喜欢当辅导老师，他们说："老师都那么有信心他们会学好，我们同样有信心。""我相信在我的辅导下，他一定有很大的进步。""我想全班同学的学习成绩都是那么好。"于是，我让他们组成"一帮一"小组，并给他们开会，提出"老师"必须履行的职责，主要就是检查"学生"的作业，辅导"学生"掌握课本的基本知识和技能。给后进生根据各自的情况定出目标，让他们双方都朝着那个目标前进。"老师"们确实是非常尽责，而"学生"时刻有个"老师"在身旁指点，学起来也非常起劲。两个班所定的9对"一帮一"小组，"学生"们全班都有进步，有的进步非常

多媒体在小学数学教学中的运用

多媒体在小学数学教学中的运用 【内容摘要】在小学数学课堂教学中，多媒体的恰当使用，有利于激发学生学习的兴趣，使教学由静态变成动态、由抽象变为具体，突破时间和空间的限制，从而降低学生学习知识的难度，能较好吸引学生的注意力，有效提高教学效率。有利于促进数学与其他学科的有机结合，形成合理的知识体系，营造出轻松愉悦的课堂氛围，让课堂真正成为学生放飞心灵的天空。只要将多媒体这种现代化教学手段与传统教学相结合，相互渗透，补充和完善，引导学生有重点、有目的的进行观察思考，就能优化课堂教学，提高教学质量。多媒体的应用能充分调动学生主体性，通过创设情境，活跃课堂气氛，促进学生主动思考、主动探究、发展创造思维，使学生在学习过程中真正成为信息加工的主体和知识意义的主动构建者。我认为多媒体的恰当使用，不仅给我们教学手段的改进提供了新的机会，而且使学生的素质在新的课堂气氛中得到提高，大大激发了学生的学习乐趣。 【关键词】运用、创设情境、动态演示、巧用多媒体 在新课程改革的背景下，多媒体教学被越来越多的在课堂上使用，运用现代多媒体辅助教学已成为时代的需要，教学改革的需要。而且将会带来教育理念、教学内容、教学模式和教学过程的深刻变革。数学学习是抽象和枯燥乏味的，为了调动学生学习的积极性和自主性，营造一个轻松愉悦的教学氛围，在小学数学课堂教学中，合理运用多媒体进行有效的教学，不仅可以激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，使学生从被动的知识接收者转变为主动的探索者和个性化

的独立学习者，还能使一些抽象、难懂的内容变得易于理解和掌握。在实际教学工作中我们如何根据需要恰到好处地运用多媒体技术优化小学数学课堂教学呢？在这里想谈一谈个人的一点体会： 一、善用多媒体创设教学情境，激发学习兴趣 小学生因年龄小天生好动，尤其在学习时，很大程度上取决于情感因素，即：学生对学习的兴趣。只有对自己感兴趣的东西才有参与的可能，那么，怎样才能调动学生的感官，让他们对自己的学习活动充满兴趣呢？单纯的讲、读、说、教不利于调动学生积极的情感因素，相反容易使学生产生心理疲劳和情绪低落，而多媒体在教学中的运用，为学生学习获取知识、培养能力，创造了有利的条件，很容易使学生摆脱被动学习的状态。在传统的课堂教学中，由于传统教学手段等方面的限制，教师很难提供生动、直观的教学情境，因此数学被大多数人认为是一门枯燥、乏味、难教、难学的科目。心理学家皮亚杰说过：“一切有效的活动须以某种兴趣作为先决条件。”兴趣，是指人们积极探究某种事物或进行某种活动的心理倾向和情感状态。兴趣是兴奋剂，是学生获取知识的巨大内趋力。学生一旦对所学内容产生兴趣，就会表现出巨大的主动性和积极性，学习效率也会不断提高。教学实践中，充分利用多媒体来辅助我们的教学，可以使教学内容达到直观、生动、形象的效果，创设学生积极思维和创造的视听学习环境，让学生在饶有兴趣的观看生动画面的同时，渐入佳境，在愉悦的氛围中享受数学思维带来的快乐。小学生的学习兴趣最初是对学习过程和学习的外部活动感兴趣，积极创设情境，把学生带入一个精心设计的符合

数学教育学

第一章填空题 1 数学理性品质一般包括问题简化的意识，数学表达能力，量化模式化的意识和能力，数学操作能力等。 2 数学来自于实际并来自于抽象思维 3 数学是一门逻辑为检验标准的思维实验科学。 4 创新性数学教学体现在两个方面：一是数学概念学习的再创造，二是数学问题解决的新思路。 5 数学过程教学的实质是将数学概念被表述的顺序过程转化为数学概念真实发生的过程 6 数学创新能力是学生在独立地从事数学活动中不断积累经验而形成的 7 建构主义方式的数学教学是帮助学习者建构自我的数学知识系统 8 现代的“双基”目标包括在原有的基本知识中加入数学应用的知识，在原有的基本技能中加入运用数学解决实际问题的技能。 9 现代的“双基”目标包括在原有的基本知识中加入数学应用的知识，在原有的基本技能中加入运用数学解决实际问题的技能。10 数学模式观认为，数学是建立在经验基础上、通过从抽象到推理等多种数学活动，寻求研究对象的本质规律。11数学素质的内涵粗浅地可以概括为创造、归纳、演绎、模式化。12数学素质的表现涉及三个方面：知识层面；意识层面；表现层面。13课程标准是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求。14数学化是人们在观察认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。15数学现实就是客观实际与人们的数学认识的统一体，是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体。16现代数学教育的特征表现在三个方面：民主的数学教育、鲜活的数学教育以及素养的数学教育。 名词解释 数学理性品质一般包括问题简化的意识，数学表达能力，量化模式化的意识和能力，数学操作能力等。 数学产生的本质数学来自于实际并来自于抽象思维。数学依靠逻辑作为真理的标准，数学运用观察、模拟以至实验作为发现真理的手段。数学是一门逻辑为检验标准的思维实验科学。 数学过程教学的实质其实质是将数学概念被表述的顺序过程转化为数学概念真实发生的过程。 数学创新能力的形成数学创新能力是学生在独立地从事数学活动中不断积累经验而形成的。 数学模式观数学模式指事物的抽象表现形式，它概括地反映一类或一种事物的关系结构的数学形式。数学模式观认为，数学是建立在经验基础上、通过从抽象到推理等多种数学活动，寻求研究对象的本质规律。 数学素质的表现数学素质的表现涉及三个方面：知识层面——具有一定量的数学知识；意识层面——具备数学地思维方式；表现层面——运用数学知识解决实际问题。 课程标准课程标准是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求。将我国沿用已久的教学大纲改为课程标准，反映了课程改革所倡导的基本理念。 数学化人们在观察认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。或数学地组织现实世界的过程就是数学化。