极坐标和球坐标下的导热微分方程的推导
圆的极坐标方程
2012—2013学年下学期高二文数学案第4周 第三节 圆的极坐标方程（第1课时） 学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解 学习重点：圆的极坐标方程的求法 学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用 学习过程： 一、复习引入 问题1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 问题2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 二、新知探究 1.引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(,0)(0)a a >， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：cos O M O A θ=，即：=2cos a ρθ ①， 可以验证点(0,)2 O π、(2,0)A a 满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条 件.反之，适合等式①的点都在这个圆上. 2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 三、例题展示 类型一：圆心在极点的圆 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ 类型二：圆心在极轴上且过极点的圆 例2：求圆心坐标为(,0)(0)C a a >、半径为a 的圆的极坐标方程？ 类型三：圆心在点?? ? ??2,πa 处且过极点的圆
例3：求圆心在?? ? ??2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？ 变式训练：求下列圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程； （2） 圆心为2π（，） ，半径为2的圆的极坐标方程； （3） 圆心在3(2,)2 A π处并且过极点的圆的方程。 类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化 例4．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程sin 2ρθ= 为直角坐标方程。 变式训练：化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状。 （1）cos 2ρθ= （2）=2cos ρθ （3）2cos 22ρθ = （4）11cos ρθ=- 四、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A.2cos 4πρθ??=- ??? B.2sin 4πρθ??=- ??? C.()2cos 1ρθ=- D.2sin(1)ρθ=- 2.将下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1) 22230x y x y + -+= (2) 210x y -+= (3) 22x y +=９ (4) x =３ 3.说明下列极坐标方程表示什么曲线 （1）π ρθ＝２cos(-) 4（2）πρθ＝cos(-)3（3）sin ρθ＝3 (4) ρ＝６
圆的极坐标方程教学案例
师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系： ①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解； ②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢？我们一起来探讨一下下面的问题。 探究：如图，半径为a 的圆的圆心坐标 为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？ (多媒体演示,学生思考，互相讨论) 师：大家先回忆一下我们在直角坐标系 中求曲线方程的一般步骤。 生众：建系→设点→列式→化简→结论 师：其实，采用相同的办法，我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以以点O 为极点，Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系， 设圆与极轴的另一个交点为A ，那么=||OA ？ 生众：2a 师： 设),(θρM 为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则⊥OM ？ 生众：AM 师：在AMO RT ?中，=||OM ？ ，即=ρ ？ 生众：ρ=||OM ，θθρcos 2cos a OA =?= ······① 师：注意，我们可以可以验证，点O （0,0） ，A （2a ，0） 的坐标满足等式①，也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件。， 师：像这样（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解； （2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程 【设计意图】由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐标方程的一般步骤，从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲线的极坐标方程的定义，层层递进，有利于我们对知识点的理解。 （教师板书） 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 师：那么，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？
4常见曲线的极坐标方程
第4课时：常见曲线极坐标方程 教学目标 （1）了解曲线的极坐标方程的求法， （2）了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。 教学重难点：曲线的极坐标方程的求法 教学过程： 一、新课讲解 1、直线的极坐标方程 若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=- 2、圆心是A （0ρ，0θ），半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+＝ 二、例题选讲： 例1、按下列条件写出直线的极坐标方程： （1）经过极点，且倾斜角是π6的直线； （2）经过点 A(2, π4 ),且垂直于极轴的直线； （3）经过点 B(3, - π3),且平行于极轴的直线； （4）经过点C(4，0),且倾斜角是3π4 的直线. 例2、按下列条件写出圆的极坐标方程. （1）以（2,0）为圆心，2为半径的圆； （2）以（4，π2 ）为圆心，4为半径的圆；
（3）以（5，π）为圆心，且过极点的圆； （4）以（2，π4 ）为圆心，1为半径的圆。 例3、在圆心的极坐标为点A （4,0），半径为4的圆中，求过极点的O 的弦的中点的轨迹方 程。 例4. 已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ =??=?，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=． ⑴．将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； ⑵．设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值． 例5在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6, 3(πC ，半径1=r ，Q 点在圆C 上运动. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若P 在直线OQ 上运动，且3:2:=QP OQ ，求动点P 的轨迹方程. 课堂反馈： 1．两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 . 2.极坐标方程cos()4π ρθ=-所表示的曲线是 . 3．极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是 . 4、 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ． 三、课堂小结：
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 (2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r, https://www.wendangku.net/doc/2017771706.html,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.
o
1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（） A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 ?过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线 C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ?以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选 D.由极 坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆. 2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ? p=2sin8 解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在 （1 , 0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2 所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0, 即 x 2 + y^=2 2x+ 2y ? 2 2 2 2 ］ _ 化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ? 4 4 4 4.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ? 解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗? 答案：u 圆的极坐标方程 3TT 求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点 是否在这个圆上. ［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0, A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA. 3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（） -rr-i ?椭 A.双曲线 B 闾 C.抛物线 解析：选D.p TT cos K 4 —0 IT =cos cos 0+sin A D ?圆 K 4 sin 0 = 2 2 COS 0 + 2 2 sin 0, 5TT —2, sin 6
极坐标与参数方程复习教案
精锐教育学科教师辅导教案 学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘欢 C-极坐标与参数方程C–极坐标与参数方程C-极坐标与参数方程授课类型 授课日期及时段 教学内容 知识点概括 一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定 了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交 点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算 角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O称为极点，射线OX称为极轴。） ①设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线OX ρθ称为点M的极坐 为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对(,) 标。其中ρ称为极径，θ称为极角。
约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 4．直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则 二、曲线的极坐标方程 1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： 00sin()sin()ρθ-α=ρθ-α 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2M b π 且平行于极轴 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： 几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,)2M r π 3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用： x = 2ρ= 三、参数方程
圆的极坐标方程教案
三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程
直线的极坐标方程教学设计
课题：2、直线的极坐标方程 教学目标： 知识与技能：掌握直线的极坐标方程 过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点：直线的极坐标方程的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、探究新知： 阅读教材P13-P14 探究1、直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是 4π 思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？ 探究2、如何表示过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点(,0)(0)A a a >，平行于极轴的直线l 的极坐标方程呢？ 二、知识应用： 例1、已知点P 的极坐标为(2,)π，直线l 过点P 且与极轴所成的角为 3π，求直线l 的极坐 标方程。
例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程 （1） 5()4R πθρ= ∈ （2）(2cos 5sin )40ρθθ+-= （3） sin()43πρθ-= 例3、判断直线sin()4πρθ+ =与圆2cos 4sin ρθθ=-的位置关系。 三、巩固与提升： P15第1，2，3，4题 四、知识归纳： 1、直线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置： 1、在直角坐标系中，过点(1,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ） A sin 1ρθ= B sin ρθ= C cos 1ρθ= D cos ρθ= 2、与方程(0)4πθρ= ≥表示同一曲线的是 （ ） A ()4R πθρ=∈ B 5(0)4πθρ= ≤ C 5()4R πθρ=∈ D (0)4πθρ=≤ 3、在极坐标系中，过点(2,)2A π -且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是 4、在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 5、在极坐标系中，过点3(2,)4 A π且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是
圆的极坐标方程教学案例
M
x C(a,0) O M A 师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系： ①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解； ②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢我们一起来探讨一下下面的问题。 探究：如图，半径为a 的圆的圆心坐标 为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(,)满足的条件吗 (多媒体演示,学生思考，互相讨论) 师：大家先回忆一下我们在直角坐标系 中求曲线方程的一般步骤。 生众：建系→设点→列式→化简→结论 师：其实，采用相同的办法，我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以以点O 为极点，Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系， 设圆与极轴的另一个交点为A ，那么=||OA 生众：2a 师： 设),(θρM 为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则⊥OM 生众：AM 师：在AMO RT ?中，=||OM ，即=ρ 生众：ρ=||OM ，θθρcos 2cos a OA =?= ······① 师：注意，我们可以可以验证，点O （0,0） ，A （2a ，0） 的坐标满足等式①，也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件。， 师：像这样（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解； （2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程 【设计意图】由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐标方程的一般步骤，从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲线的极坐标方程的定义，层层递进，有利于我们对知识点的理解。 （教师板书） 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 师：那么，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么
选修4-4曲线极坐标方程-教案
简单曲线的极坐标方程 【教学目标】 1.掌握极坐标方程的意义 2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程 3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美 【重难点分析】 ; 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法 教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【教学方法】 引导发现、讲授 【教学过程】 1.导入 问题设置 1、直角坐标系中怎样描述点的位置 # 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样 3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求 曲线方程 2、极坐标方程的概念 引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件 : [解] 设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有， OM=OAcosθ，所以，ρ＝2acosθ. [思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗
定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ) , (= θ ρ f,并且坐标适合0 ) , (= θ ρ f的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条 曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。 [注] 1.定义中的所涉及到的两个方面. 2.极坐标系下求曲线方程的步骤： Step1找到曲线上点满足的几何条件； Step2 几何条件坐标化； $ Step3 化简. 例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单 [分析]建系；设点M（ρ，θ）；列式OM＝r，即：ρ＝r. ) [思考] 和直角坐标方程2 2 2r y x= +相比较，此方程有哪些优点 [变式练习] 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (２)中心在(a,/2)，半径为a； 答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin 例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0 8 2 2= - +y y x为极坐标方程， & （2）化极坐标方程) 3 cos( 6 π θ ρ- =为直角坐标方程。 3、直线的极坐标方程 例3．求过极点，倾角为/4， π的射线的极坐标方程。
直线与圆的极坐标方程教学案
§1.3 直线与圆的极坐标方程 撰稿人：李林源 审稿人：马 龙 授课人：__________ 授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________ 【学习目标】 1.知识与技能：能在极坐标中表示直线和圆的极坐标方程； 2.过程与方法：掌握极坐标系点的正确表示，理解极坐标方程的意义； 3.情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 【重点难点】 重点：直线和圆的极坐标方程的求法 难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【自主探究】 探究1:直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？ 探究2:直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线的方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义; 3、求曲线方程的步骤; 【合作探究】 探究1：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。 因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。 探究2：过极点，倾斜角是6π的射线和直线的极坐标方程？ 探究3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 定义：一般地，如果一条曲线可以用含这两个变量θρ,的方程来表示，同时曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。 教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。 变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 答案：cos 1ρθ=- 例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。 分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。 反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。 例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程。 学生练习，准对问题讲评。 变式训练：求圆心在)2 ,3(π A 且过极点的圆A 的极坐标方程。 【运用探究】 课本P13页练习中1、2、3 小结：本节课学习了以下内容： 1．如何求直线和圆的极坐标方程 。 2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。 3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。 【延伸探究】 课本P18页A 组 4、8 B 组1 【教学反思】
直线与圆的极坐标方程
第三章参数方程、极坐标教案直线和圆的极坐标方程教案 教学目标 1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤． 3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应． 教学重点与难点 建立直线和圆的极坐标方程． 教学过程 师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？ 问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程． 师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．) 解设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|， (两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．) 师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？ (2)在极坐标系下：在△AOP中 |AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ， 即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化简整理，得 2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，
师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简 坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容． 一、曲线的极坐标方程的概念 师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ= (投影) 定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系： 1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同． (先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义) 曲线的极坐标方程定义： 如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系： 1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程． 师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程． 求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．
简单曲线的极坐标方程
第 周 第 课时教案 时间： 教学主题 简单曲线的极坐标方程 一、教学目标 1、掌握极坐标方程的意义，掌握直线的极坐标方程 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程，会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 3、过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、教学重点、极坐标方程的意义，理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程 的互化 教学难点：极坐标方程的意义 ，直线的极坐标方程的掌握 三、教学方法 讲练结合 四、教学工具 无 五、教学流程设计 教学 环节 教师活动 学生活动 圆的极坐标方程 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐 标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个
《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案
1.6《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案 一、教学目的： 知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程 能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式 教学难点：方程中字母的几何意义 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程： (一)、复习引入： 1、问题情境 情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？ 情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？ 2、学生回顾 (1)．求曲线方程的方程的步骤 (2)．两种坐标互化前提和公式 (3)．圆锥曲线统一定义 (二)、讲解新课： 1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直线上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线.那么当0
学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ ρ= 3、圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ ρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状. 4、思考交流：学生讨论交流课本P 18页的问题：当0
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 圆心位置极坐标方程图形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心在点(r，0) ρ＝2r cos θ (－ π 2 ≤ θ< π 2 ) 圆心在点(r， π 2 ) ρ＝2r sin θ (0≤θ<π) 圆心在点(r，π) ρ＝－2r cos θ ( π 2 ≤θ< 3π 2 ) 圆心在点(r， 3π 2 ) ρ＝－2r sin θ (－π<θ≤0) (2)00|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.
1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( ) A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线 B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线 C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆 D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆． 2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θ D ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C. 3．极坐标方程ρ＝cos ? ?? ??π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 解析：选D.ρ＝cos ? ????π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ， 所以ρ2 ＝22ρcos θ＋2 2ρsin θ， 即x 2 ＋y 2＝ 22x ＋22 y . 化简整理得? ? ???x －242＋? ????y －242＝14，表示圆．选D. 4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________． 解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2 ＝π. 答案：π 圆的极坐标方程 求圆心在C ? ????2， 3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点? ????－2，sin 5π6是否在这个圆上． [解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ， A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .
椭圆的极坐标方程及其应用
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF + 为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：2 2 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =u u u r u u u r ，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
常见曲线的极坐标方程1
常见曲线的极坐标方程（1） 学习目标： 1、能在极坐标系中给出简单图形（过极点的直线）的方程； 2、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义； 3、理解极坐标系中直线的方程。 活动过程： 活动一：知识回顾 1、曲线的极坐标方程的意义。 2、（1）直线1=+y x 的极坐标方程是 ； （2）曲线1cos =θρ的直角坐标方程是 。 活动二：直线的极坐标方程 探究：若直线l 经过),(00θρM ，且直线l 的倾斜角为α，求直线l 的极坐标方程。 （这里，直线l 的倾斜角是指极轴与直线l 向上的方向所成的角。） 小结：一些特殊位置的直线的极坐标方程： （1）当直线l 过极点时，直线l 的极坐标方程是： ； （2）当直线l 过点)0,(a M 且垂直于极轴时，直线l 的极坐标方程是： ； （3）当直线l 过点),(2π b M 且平行于极轴时，直线l 的极坐标方程是： 。
活动三：直线的极坐标方程的求解 例1：按下列条件写出直线的极坐标方程： （1）经过极点和点),6(5πA 的直线； （2）经过点),5(πB ，且垂直于极轴的直线； （3）经过点),8(6π C ，且平行于极轴的直线； （4）经过点)0,32(D ，且倾斜角为32 π的直线。 例2：分析极坐标方程6cos =θρ，6sin =θρ的特点，说明他们分别表示什么曲线？ 例3：求曲线01cos =+θρ关于直线4πθ= 对称的曲线方程。
活动四：课堂小结与自主检测 1、按下列条件写出直线的极坐标方程： （1）经过极点，且倾斜角是6π的直线；（2）经过点),2(4π A ，且垂直于极轴的直线； （3）经过点),3(3π -B ，且平行于极轴的直线； （4）经过点)0,4(C ，且倾斜角为43 π的直线。 2、直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ．
《极坐标系--简单曲线的极坐标方程》教案
三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】 1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程 0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。 1． 直线与圆的极坐标方程 ① 过极点，与极轴成α角的直线 极坐标议程为 αθραθtan tan )(=∈=或R ②以极点为圆心半径等于r 的圆的 极坐标方程为 r =ρ 【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线。 （2）过点)3 , 3(πA 且和极轴成 4 3π 角的直线。 解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4 ,2(π A ，所以|MH|=224 sin =?π 在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线 为2sin = θρ。 （2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。 )3 , 3(π A ， OA =3，3 π = ∠AOB x O
由已知4 3π=∠MBx ，所以125343π ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ= -=∠OAM 又θπ θ-= -∠=∠4 3MBx OMA 在?MOA 中，根据正弦定理得 12 7sin )43sin(3πρ θπ= - 又426)34sin(127sin +=+=πππ 将)4 3sin(θπ -展开化简可得23233)cos (sin += +θθρ 所以过)3 ,3(π A 且和极轴成 4 3π 角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ 〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。 例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。 解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。圆C 交极轴于另一点A 。由已知 OA =8 在直角?AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。 （2）由4==OC r 。连接CM 。因为M 为弦ON 的中点。所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。 〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）x y 42= （2）3 π θ= （3）12 cos 2 =θ ρ （4）42cos 2=θρ 解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得 θθρsin 4sin 2= （2）∵x y = θtan ∴ 33tan ==x y π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12 cos 1=+θ ρ。即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x 。 化简得 )1(42--=x y 。 （4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。 （2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>
极坐标教案(绝对经典)
极坐标 一、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点，从极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。记作M(ρ, θ)。当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角任意。 极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、 θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ <0，π -＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 即：1、极坐标?直角坐标 cos sin x y ρθρθ=??=? 2、直角坐标?极坐标2 2 2 tan (0)x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 图1 x ?（直极互化 图）
三、简单曲线的极坐标方程 在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，如果曲线C 上的点与一个一元二次方程f(ρ,θ)=0建立了如下的关系： 1、曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程f(ρ,θ)=0； 2、极坐标满足f(ρ,θ)=0的点都在曲线上。 那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫做极坐标方程f(ρ,θ)=0的曲线。 常见曲线的极坐标方程 (1)(2) 与极轴平行的直线 例1、在极坐标系中描出下列个点： （1）A （4,0） （2）B （3， 2π） （3）C （5，-2π） （4）D （-3，3 4π） 例2、将下列点的极坐标化为直角坐标： （1）A （2, 43π） （2）B （1，2） （3）C （-5，6 π ） （4）D （-3，-π） ρρ? ?(ρρρ