函数解析式定义域值域增减性综合
函数
1、求下列函数的定义域：
⑴2215
33
x x y x --=
+-
⑵2
11()1
x y x -=-+ ⑶021(21)4111
y x x x =
+-+-+-
2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2
的定义域为__；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x
+的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域
5、求下列函数的值域：
⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31
1
x y x -=
+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ 262
x y x -=+ ⑹ 22
5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ 245y x x =-++ ⑽ 2445y x x =--++ ⑾12y x x =--
6、已知函数22
2()1
x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式
1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， 3()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为
5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1
f x
g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式
四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间：
⑴ 223y x x =++ ⑵223y x x =-++ ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是
8、函数236x y x -=
+的递减区间是 ；函数236
x
y x -=+的递减区间是 五、综合题
9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3
)
5)(3(1+-+=
x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；
⑶x x f =)(， 2)(x x g =
； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵
B 、 ⑵、⑶
C 、 ⑷
D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3
44
2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）
A 、(－∞,+∞)
B 、(0,43]
C 、(43,+∞)
D 、[0, 4
3
)
11、若函数2()1f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数22()44f x x x =---的定义域是（ ） A 、[2,2]-
B 、(2,2)-
C 、(,2)
(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}-
14、函数1
()(0)f x x x x
=+
≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
15、函数2
2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
，若()3f x =，则x =
16、已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+?--<≤1
2
0的定义域为 。 17、已知函数2
1mx n
y x +=
+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 18、把函数1
1
y x =+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的图象的解析式为
19、求函数12)(2
--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值
20、若函数2
()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。 例1 证明函数23
()4
x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）
练习1 证明函数21
()3
x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）
练习2 证明函数2()23f x x x =--在区间2()3
-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）
练习3 求函数3
()2
x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)
练习4 求函数2()2f x x x =
+-定义域，并求函数的单调减区间（定义法）
（二） 函数单调性的应用
例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，求实数a 的范围。
练习1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2()(3)f x f a >-恒成立，求实数a 的范围
练习2 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2()(32)f a f a >+恒成立，求实数a 的范围
例2 若函数()f x 是定义在[]22-，上的减函数，且2(23)()f m f m +>恒成立，求实数m 的取值范围.
练习1 若函数()f x 是定义在[]13-，上的减函数，且(23)(54)f m f m +>-恒成立，求实数m 的取值范围.
例3 求函数2()12f x x x x =-+--在区间12??-∞????
，上的最大值.
练习1 求函数2()3214f x x x x =-++-在区间1144??
-????，上的最大值
二 、奇偶性题型
例1 判断下列函数的奇偶性 1)
()()21f x x x =+ 2）()2211f x x x =-+-
3）()22f x x x =-++ 4）()2
2110
2
110
2
x x f x x x ?+>??=?
?--
练习 判断下列函数的奇偶性
1）()()()()
2616x x f x x x -+=- 2）()2222
x f x x -=
+- 3）()22
33f x x x =-+-
4）()22f x x x =++- 5）()22
00
x x
x f x x x
x ?+??
例2 设()f x 是R 上是奇函数，且当[)0,x ∈+∞时()(
)
3
1f x x x =+，求()f x 在R 上的解析式
练习1已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时，()2
2f x x x =-+，求()f x 的表达式。
例3 已知函数()5
3
8f x x ax bx =++-且()210f -=，求()2f 的值
练习1 已知函数()7
5
3
4f x ax bx cx dx =-+--且()39f -=-，求()3f 的值
例4 设函数()f x 是定义域R 上的偶函数，且图像关于2x =对称，已知[2,2]x ∈-时，()2
1f x x =-+
求[]6,2x ∈--时()f x 的表达式。
练习1 设函数()f x 是定义域R 上的偶函数，且(2)(4)f x f x +=-恒成立，已知[1,2]x ∈-时，()2
23f x x =-+
求[]5,8x ∈时()f x 的表达式
例5 定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0-∞上单调递增，且有()()
22
21321f a a f a ++<-+
求a 的取值范围。
练习1 定义在()1,1-上的奇函数()f x 为减函数，且()()
2
110f a f a -+-<，求实数a 的取值范围
练习2 定义在[]2,2-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若()()1g m g m -<成立，求m 的取值范
围.
综合练习
1.判断函数59++=x x y 的奇偶性
2.求下列函数的单调区间
(1) 2
12y x x =--; (2)2123y x x =-- ； （3）()()
()
222231
2x x
x f x x x x ?-≥?=?
-+
3函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是
4.若函数()f x 在区间3
3,2a a ??-??上是奇函数，则a=( )
A.-3或1 B 。 3或-1 C 1 D -3 已知函数()2
334x f x x
-+=
-，则它是（ ）
A 奇函数
B 偶函数
C 即是奇函数又是偶函数
D 既不是奇函数又不是偶函数 5．判断下列函数的奇偶性
（1）()()2
13f x x x =-≤≤ （2）()()()()
1
00
01
0x x f x x x x ->??==??+
7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
8.已知函数f (x )=x
a
x x ++22，x ∈[1，＋∞)
（1）当a =
2
1
时利用函数单调性的定义判断其单调性，并求其值域． （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0 恒成立，求实数a 的取值范围．
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －
高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
高中函数定义域值域单调性及高考题
函数知识综合复习 讲课时间： 知识点：函数的定义域、值域、单调性及奇偶性 考点：函数知识的全面考察 一、定义域 1.基本函数求定义域： 例1：（1）236)(2+-= x x x f （2）42113)(+-+-=x x x f （3）y=x x -||1 （4）y=3102++x x （5）)352(log )(21-+-=-x x x f x 练习：236)(2+-=x x x f 2 )1(102-+-=x x y 2.抽象函数求定义域： 例2：（1）已知)(x f 的定义域为]1,1[-，求)12(-x f 的定义域。 （2）已知)12(-x f 的定义域为]1,1[-，求)(x f 的定义域 学生练习：（1）已知)12(-x f 定义域为]1,0[，求)3(x f 的定义域 （2）已知)(x f 的定义域为[]4,2-，则)()()(x f x f x g +-=的定义域为 。 （3）若[]0,3)1(的定义域为+x f ，求)(x f 的定义域。 例3：（1）已知函数()f x =的定义域为R ，求实数a 的范围. （2）已知函数y =的定义域为R ，求实数m 的范围 二、值域 例1：求下列函数的值域()2f x x =+，2211)(x x x x f +++=（?） 21+-=x x y ，1y x x =+，)1(1222->+++=x x x x y 练习：（1）x x x f 211)(--+=，（2）x x x f 212)(-+=，
（3）212)(x x x f +=，（4）x x x f 82)(+= 例2：求52)(++-=x x x f 的值域 练习：求13)(+--=x x x f 的值域 例3：设函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的减函数，且()()()f xy f x f y =+，1)3 1(=f 。（1）求(1)f 的值； （2）若存在实数m ，使得()2f m =，求m 的值； （3）如果()(2)2f x f x +-<，求x 的取值范围。 练习：若()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ?? =- ???。 （1）求)1(f 的值；（2）解不等式：(1)0f x -<； （3）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x +-< 三、单调性 1.基本函数的单调性及证明方法 例1：函数x x f a log )(=在区间]9,2[上的最大值比最小值大2，求a 例2：判断函数)0(1)(2≠-=a x ax x f 在区间)1,1(-上的单调性。 2.复合函数的单调性 例2：（1）函数22)13()(a x a ax x f +--=在],1[+∞-上是增函数，求实数a 的取值范围． （2）求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 练习：（1）函数2()42f x ax x =+-在[]1,3-上为增函数，求a 的取值范围 （2）已知函数)(log )(22m mx x x f +-=的定义域是R ，并且在(-∞,1)上单调递减，则实数m 的取值范围 （3）已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，求a 的取值范围
函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
函数的单调性与值域的关系
函数的单调性和值域 1．函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I某个区间D上的任意两个自变量的值 x,2x，当 1 x<2x时，都有f(1x)
（3） 解、证不等式 （4）作函数的图象 （5）讨论方程根的分布。 4．判断函数单调性的方法： （1）常用方法有：定义法、导数法、图象法、特殊值法（主要用于解选择题） （2）利用有关于单调性的一些结论：①奇函数在其对称区间上单调性相同；②偶函数在其对称区间上单调相反；③在公共定义域：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数. 注意：f(x)为增函数,若a>0,则af(x)为增函数,若a<0,则af(x)为减函数. (3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性 (4)利用复合函数的“同增异减”原则，若f(x)与g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则复合函数y=[g(x)]是减函数。（简称同增异减） 例如：①函数f(x)=log ()23x 1-在其定义域为增函数；②f(x)=函数 log ()12 3x 1-在其定义域是减函数。函数f(x)=log ()23x 2-在定义域 ∞)为增函数,在定义域(-∞, 是减函数 5.函数的值域和最值 （1）函数的值域（见函数的概念一节） （2）函数的最值 ①函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，若存在
函数的定义域和值域映射
函数定义域、值域、解析式、映射 知识点一：求各种类型函数的定义域 类型一: 含有分母和偶次方根 例1 求下列函数的定义域 1. y= 3102++x x 2. y = 类型二: 偶方根下有二次三项式 例2 求下列函数的定义域 1.. 1 ||1 42 -+-=x x y 2.2 3 568 4x x x y ---= 类型三:含有零次方和对数式 例3 求下列函数的定义域（用区间表示） （1）02 )23() 12lg(2)(x x x x x f -+--=； 练习:求下列函数的定义域 1. y=x x -||1 2. 122+--=x x y
3.()f x = 4.)13(log 2+=x y 5. 函数y ＝1122---x x 的取定义域是（ ） A.[－1，1] B.(][)+∞-?-∞-,11, C.[0，1] D.｛－1，1｝ 6. 求函数的定义域。 知识点二:抽象函数定义域 类型一:“已知f(x)，求f(…)”型 例1：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。 类型二: “已知f(…) ，求f(x)”型 例2：已知f(x+1) 的定义域是[0，5]，求f(x)的定义域。 类型三: “已知f(…)，求f(…)”型 例3：已知f(x+2)的定义域为[-2，3），求f(4x-3)的定义域。 练习: 1、函数()f x 的定义域是[0，2]，则函数(2)f x +的定义域是 ___________. 2、已知函数()f x 的定义域是[-1，1]，则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.
函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性
精锐教育学科教师辅导讲义 年 级： 高 一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性 教学目的 1.理解函数的概念；理解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），了解映射的概念． 2.理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数． 3.理解和熟记函数的单调性和最值的定义； 4.掌握求解函数的值域和最值的基本方法，并能解决与函数值域和最值有关的问题． 5.理解和熟记函数的奇偶性和周期的定义； 6.掌握判定函数的奇偶性和周期性的基本方法，并能解决与函数奇偶性和周期性有关的问题． 教学内容 教材回归 ◎基础重现： 1．函数的概念： 设A ，B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈．其中 叫做函数()y f x =的定义域；将所有 叫做函数的值域． 2．函数的相等 函数的定义含有三个要素： 、 和 ．当函数的定义域及对应法则确定后，函数的值域也随之确定．因此，定义域和对应法则是函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的 和 都分别对应相同时，两个函数才是同一个函数． 3．映射的定义 设A 、B 两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有 的元素与之对应，那么，这样的对应关系叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →． 4．函数的表示法 （1）解析法： ； （2）列表法： ； （3）图象法： ． 5．函数的定义域： （1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式 x 的取值范围． （2）实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的 ． 6．函数的值域： 当函数的自变量取遍定义域中 所有值时叫做函数的值域． 求函数值域主要有以下一些方法： （1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接 求得值域，有时也称为 ； （2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题常用 求值域；
必修一函数定义域值域和单调性奇偶性练习题
高一数学函数练习题 一、 求函数的定义域 1、 求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，， 则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 225941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y =⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式系 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是
函数的定义域和值域
函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) 定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020. 函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域. 例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数; . 专题三：三角函数的定义域与值域（习题库） 一、选择题 1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（） A、[﹣，] B、[，] C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） 分析：由题意知，求出x的围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴， 解答（k∈Z） ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D． 2、函数的定义域是（） A、. B、. C、 D、. 解答：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B． 3、函数的定义域为（） A、B、 C、D、 解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+）， ∴，故选D． 4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（） A、[1，] B、 C、 D、 解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f（x）≤故选A． 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（） A、[﹣1，1] B、[﹣，1] C、[﹣，﹣1] D、[﹣1，] 解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣． sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B． 6、函数值域是（） A、B、C、D、[﹣1，3] 解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 解答：∵= =∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤，则的取值围是（） A、[﹣2，2] B、 C、 D、 解答：=2（sinx+cosx）=2sin（）， ∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1， 则函数f（x）的取值围是：．故选C． 函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-3 2 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式 x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ?? ?≠-≥+020 1x x ?? ?≠-≥2 1 x x 第二节函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为 I .如果对于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个 自变量的值 x1 2 ， x 定义 当 x1 f x1－ f x2 ①>0? f(x)在 [a， b]上是增函数； x1－ x2 f x1－ f x2 <0? f(x) 在[a， b] 上是减函数． x1－ x2 ②(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2 )]>0 ? f(x)在 [a， b]上是增函数； (x1－ x2 )[f(x1)－ f(x2)]<0? f(x)在[ a，b]上是减函数． 2．复合函数y＝ f[ g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝ f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝ f[g(x)] 必为减函数． [ 自测练习 ] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞ )上单调递减的是 ( ) 1 A ． f(x)＝x B ． f(x)＝ (x－ 1) 2 C．f(x)＝ e x D ．f(x)＝ ln( x＋1) 2．函数 f(x)＝ log5(2x＋ 1)的单调增区间是________． － x2－ ax－ 5， x≤ 1， 3．已知函数 f(x)＝ a 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是 () x， x>1 A ． [－ 3,0) B ． [－3，－ 2] C．( －∞，－ 2] D ．(－∞， 0) 知识点二函数的最值 前提设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈ I ，都有 f(x) ≤M 对于任意 x∈ I，都有 f(x)≥ M 条件 存在 x0∈I ，使得 f( x0)＝ M 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M 结论M 为最大值M 为最小值 易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 必备方法求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有 意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
定义域和值域的求法
数学必修一定义域值域知识点总结
三角函数的定义域与值域题库
函数定义域、值域求法总结(精彩)
(完整word版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值.doc
函数定义域值域及表示
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