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(完整版)七年级下册数学压轴题培优北师大版

北师大版七年级下册数学培优压轴题

一.解答题(共8小题)

1.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

2.(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.

求证:EF=BE+FD;

(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD 上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?

(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.

3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.

(1)操作发现

如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:

①线段DE与AC的位置关系是;

②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是.

(2)猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如

图4).若在射线BA上存在点F,使S

△DCF =S

△BDE

,请直接写出相应的BF的长.

4.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.

(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=;(直接写结果)(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?请说明理由;

(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)

5.如图1,Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状,并加以证明.

说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明.

1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;

2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2).

附加题:如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF 的形状,并说明理由.

6.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).

(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?

点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由;

(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.

7.已知:等边三角形ABC

(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想;

(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:PA+PD+PC>BD.

8.认真阅读材料,然后回答问题:

我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,…下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式:

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”;仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题:

(1)多项式(a+b)n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数;(2)请你预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和.

(3)结合上述材料,推断出多项式(a+b)n(n取正整数)的展开式的各项系数之和为S,(结果用含字母n的代数式表示).

2018年05月08日wujun的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.解答题(共8小题)

1.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

【解答】解:∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,

在△ABE和△CBF中,

∴△ABE≌△CBF(SAS);

∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;

∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,

∴∠ABE=∠CBF=30°,

∴AE=BE,CF=BF;

∵∠MBN=60°,BE=BF,

∴△BEF为等边三角形;

∴AE+CF=BE+BF=BE=EF;

图2成立,图3不成立.

证明图2.

延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,在△BAE和△BCK中,

则△BAE≌△BCK,

∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,

∵∠FBE=60°,∠ABC=120°,

∴∠FBC+∠ABE=60°,

∴∠FBC+∠KBC=60°,

∴∠KBF=∠FBE=60°,

在△KBF和△EBF中,

∴△KBF≌△EBF,

∴KF=EF,

∴KC+CF=EF,

即AE+CF=EF.

图3不成立,

AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF.

2.(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.

求证:EF=BE+FD;

(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD 上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?

(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.

【解答】证明:(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,

∴△ABG≌△ADF.

∴AG=AF,∠1=∠2.

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.

∴∠GAE=∠EAF.

又∵AE=AE,

∴△AEG≌△AEF.

∴EG=EF.

∵EG=BE+BG.

∴EF=BE+FD

(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.

(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE﹣FD.

证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.

∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,

∴∠B=∠ADF.

∵AB=AD,

∴△ABG≌△ADF.

∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

=∠EAF=∠BAD.

∴∠GAE=∠EAF.

∵AE=AE,

∴△AEG≌△AEF.

∴EG=EF

∵EG=BE﹣BG

∴EF=BE﹣FD.

3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.

(1)操作发现

如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:

①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC;

②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.

(2)猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如

图4).若在射线BA上存在点F,使S

△DCF =S

△BDE

,请直接写出相应的BF的长.

【解答】解:(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,

∴AC=CD,

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,

∴△ACD是等边三角形,

∴∠ACD=60°,

又∵∠CDE=∠BAC=60°,

∴∠ACD=∠CDE,

∴DE∥AC;

②∵∠B=30°,∠C=90°,

∴CD=AC=AB,

∴BD=AD=AC,

根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;

故答案为:DE∥AC;S1=S2;

(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,

∴BC=CE,AC=CD,

∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,

∴∠ACN=∠DCM,

∵在△ACN和△DCM中,

∴△ACN≌△DCM(AAS),

∴AN=DM,

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;

(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,

所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,

此时S

△DCF1=S

△BDE

过点D作DF2⊥BD,

∵∠ABC=60°,F1D∥BE,

∴∠F2F1D=∠ABC=60°,

∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,∴∠F1DF2=∠ABC=60°,

∴△DF1F2是等边三角形,

∴DF1=DF2,

∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°,

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,

∴∠CDF1=∠CDF2,

∵在△CDF1和△CDF2中,

∴△CDF1≌△CDF2(SAS),

∴点F2也是所求的点,

∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,

又∵BD=4,

∴BE=×4÷cos30°=2÷=,

∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,

故BF的长为或.

4.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.

(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=a;(直接写结果)(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?请说明理由;

(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)

【解答】解:(1)设AP的长是x,则BP=2a﹣x,

∴S

△APC +S

△PBD

=x?x+(2a﹣x)?(2a﹣x)

=x2﹣ax+a2,

当x=﹣=﹣=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值,故答案为:a;

(2)α的大小不会随点P的移动而变化,

理由:∵△APC是等边三角形,

∴PA=PC,∠APC=60°,

∵△BDP是等边三角形,

∴PB=PD,∠BPD=60°,

∴∠APC=∠BPD,

∴∠APD=∠CPB,

∴△APD≌△CPB,

∴∠PAD=∠PCB,

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,

∴∠AQC=180°﹣120°=60°;

(3)此时α的大小不会发生改变,始终等于60°.

理由:∵△APC是等边三角形,

∴PA=PC,∠APC=60°,

∵△BDP是等边三角形,

∴PB=PD,∠BPD=60°,

∴∠APC=∠BPD,

∴∠APD=∠CPB,

∴△APD≌△CPB,

∴∠PAD=∠PCB,

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,

∴∠AQC=180°﹣120°=60°.

5.如图1,Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状,并加以证明.

说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明.

1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;

2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2).

附加题:如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF 的形状,并说明理由.

【解答】解:△DEF是等腰三角形

证明:如图,过点C作CP⊥AC,交AN延长线于点P

∵Rt△ABC中AB=AC

∴∠BAC=90°,∠ACB=45°

∴∠PCN=∠ACB,∠BAD=∠ACP

∵AM⊥BD

∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°

∴∠ABD=∠CAP

∴△BAD≌△ACP

∴AD=CP,∠ADB=∠P

∵AD=CE

∴CE=CP

∵CN=CN

∴△CPN≌△CEN

∴∠P=∠CEN

∴∠CEN=∠ADB

∴∠FDE=∠FED

∴△DEF是等腰三角形.

附加题:△DEF为等腰三角形

证明:过点C作CP⊥AC,交AM的延长线于点P ∵Rt△ABC中AB=AC

∴∠BAC=90°,∠ACB=45°

∴∠PCN=∠ACB=∠ECN

∵AM⊥BD

∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°

∴∠ABD=∠CAP

∴△BAD≌△ACP

∴AD=CP,∠D=∠P

∵AD=EC,CE=CP

又∵CN=CN

∴△CPN≌△CEN

∴∠P=∠E

∴∠D=∠E

∴△DEF为等腰三角形.

6.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).

(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由;

(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.

【解答】解:(1)判断:EN与MF相等(或EN=MF),点F在直线NE上,

(2)成立.

连接DF,NF,证明△DBM和△DFN全等(AAS),

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC=BC.

又∵D,E,F是三边的中点,

∴EF=DF=BF.

∵∠BDM+∠MDF=60°,∠FDN+∠MDF=60°,

∴∠BDM=∠FDN,

在△DBM和△DFN中,,

∴△DBM≌△DFN,

∴BM=FN,∠DFN=∠FDB=60°,

∴NF∥BD,

∵E,F分别为边AC,BC的中点,

∴EF是△ABC的中位线,

∴EF∥BD,

∴F在直线NE上,

∵BF=EF,

∴MF=EN.

(3)如图③,MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立).连接DF、DE,

由(2)知DE=DF,∠NDE=∠FDM,DN=DM,

在△DNE和△DMF中,

∴△DNE≌△DMF,

∴MF=NE.

7.已知:等边三角形ABC

(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想;

(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:PA+PD+PC>BD.

【解答】猜想:AP=BP+PC,

(1)证明:延长BP至E,使PE=PC,连接CE,

∵∠BPC=120°,

∴∠CPE=60°,又PE=PC,

∴△CPE为等边三角形,

∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,

∵△ABC为等边三角形,

∴AC=BC,∠BCA=60°,

∴∠ACB=∠PCE,

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP,

即:∠ACP=∠BCE,

∴△ACP≌△BCE(SAS),

∴AP=BE,

∵BE=BP+PE,

∴AP=BP+PC.

(2)证明:在AD外侧作等边△AB′D,则点P在三角形ADB′外,连接PB',B'C,∵∠APD=120°∴由(1)得PB′=AP+PD,在△PB′C中,有PB′+PC>CB′,

∴PA+PD+PC>CB′,

∵△AB′D、△ABC是等边三角形,

∴AC=AB,AB′=AD,

∠BAC=∠DAB′=60°,

∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD,

即:∠BAD=∠CAB′,

∴△AB′C≌△ADB,

∴CB′=BD,

∴PA+PD+PC>BD.

8.认真阅读材料,然后回答问题:

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