北大版高等数学第八章习题参考答案 周建莹 李忠

高数教案第十章重积分

高数教案第十章重积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学教案

第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。 当(,)x y D ∈时,(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω。 （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

图10-1-1 从而 1n i i V ==?Ω∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω??i i i i i i i f ≈?∈()()( )ξησξησ (以不变之高代替变高, 求i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈=∑()ξησ?1 (4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i =→=∑lim (),λξησ01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。

高数教案第十章重积分

高等数学教案

第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。

当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑(将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

高数 第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题 A 组 一.填空题 1. 设L 是 12 2 =+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?L y dy e 2 = 2.设? MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分 ? ? +MN xdy ydx = 3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则 ? ++L y x xdy ydx e )( = 4. 设L 是从)0,1(A 沿12 2 2 =+y x 至点2,0(B )的曲线段， 则 ? +L y x y x dy ye dx xe 2 22 = 5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则 ?+L dx y x xy )(3 3 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则? + +L bdy adx )( = 7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-? dy y x dx y x L ，则L 所围成的 平面区域D 的面积等于 8. 常数 k = 时， 曲线积分? +L dy x kxydx 2 与路径无关。 9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分 ?? ∑ ++ds z y x 222 = 10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分? L ds = 11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则 ?-++L dy y x dx y x )()(= 12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则 ? +L dS y x 322)(= 13. 设为曲面2 2 2 2 a z y x =++， 则??∑ dS z y x 2 22= 二、选择题 1．设→ → +=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：? AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）

(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )

= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε 3 ) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε 2 ，ε 3 是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε 3 ，α2＝ε1＋ε 2－ε 3，α3＝ε 2＋ε 3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε 3 ）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1- ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且

高数 练习与答案 第十章

第十章 曲线积分与曲面积分 例1计算曲线积分 ? AB xydl ，弧AB 为圆周222R y x =+在第二象限的部 分。 解：法1取x 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22x R y -= ， )0(≤≤-x R ，于是得 dx x R R dx y dl 2 2 2 1-= '+=，故 23 222 2 R xdx R dx x R R x R x xydl R R AB -==-?-=???--。 法2 取y 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22y R x --=， )0(R y ≤≤，于是dy y R R dy x dl 2 2 21-= '+=，故 2 )(3 2 2 2 2R ydy R dy y R R y R y xydl R R AB -=-=-? --=? ?? 。 法3 将弧AB 化为参数方程 )2 (sin cos πθπ θθ≤≤ ?? ?==R y R x ，θRd dy dx dl =+=22)()(， ? ? ?? -===ππ ππ ππ θ θθθθθθθ2 3 2 3 2 cos cos sin cos sin cos d R d R Rd R R xydl AB 2]2cos [3 2 23 R R - =-=ππθ。 例2计算 ? L dl xy ||，L 是圆周222R y x =+的闭路。 解：由对称性，设1L 是第一象限的部分，则

320 32sin cos 44||1 R tdt t R xydl dl xy L L ===??? π 例3计算 ?++ABCDA y x dy dx ||||，ABCDA 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶 点的正方形。（1|||:|=+y x ABCDA ） 解：在弧AB 上，y=1—x,x 从1变到0；在弧BC 上，y=1+x,x 从0变到 —1； 在弧CD 上，y=—1—x,x 从—1变到0；在弧DA 上，y=—1+x,x 从0变到 1； 于是 22)] 1([2)]1([) 1(2)1(1 10 1001100 1=+=+--++---+--+++-+-+-=+++=?????? ????? ---dx dx x x dx x x dx dx x x dx x x dx dx DA CD BC AB ABCDA 例4计算 ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(，其中L 是原点为中心的单位圆，沿逆时针方向。 解：L 的参数方程为 )20(sin cos π≤≤ ? ??==t t y t x ，故 ππ2)1()()(202 2-=-=+--+??dt y x dy y x dx y x L 。 例5计算 ?-++L dy y x dx y x )() (222 ，其中L 是由A （1,1）、B （3,2） C （3,5）三点构成三角形的边界，沿正向。 解：

北大版高等数学第八章总结

第一型曲线积分的概念与性质 意义：在考虑物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题的时候，需要用第一型曲线积分的概念。再一次强调，积分是由极限推来的，极限不存在积分就不存在。 第一型曲线积分有下列形式： f(x,y)L ds 存在条件为极限存在 ds 为弧长 其性质有： 此时ds= 1+y ′(x)2dx 若有则有。 其实参数方程的特殊方式是y=y(x),x=x 。 在空间上 考法：计算函数y=f(x)从A 点到B 点的积分。方法，1.我们用x 代y ，然后对x 做积分。反过来对y 做积分也一样。 然后记得乘上一个 1+y ′2！ 第二型曲线积分 假如一个物体受力为F(x,y)=F(P(x,y),Q(x,y)).我们计算力对物体做功，有dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.由此推出第二型曲线积分W= Pdx +Qdy AB 假如x=φ(t),y=Ψ(t),利用微分中值定理可得， P x,y dx +Q x,y dy =AB P(φ(t),Ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),Ψ(t))Ψ′(t) dt AB * 这里利用参数方程的意义就是与定积分建立关系。 如果我们用以直代曲的思想来做积分的话，那么我们可以选定一小段曲线上的任何一点来 做切线，设τi 在t i ?1与t i 之间 P(ξi,ηi )?n i=1x i = P(x i,y i )?n i=1x i 。设ξi,=φ(τi )，ηi =Ψ(τi ) 因此有 P(x i,y i )?n i=1x i = P(ξi,ηi )?n i=1x i = P φ τi ，Ψ τi φ‘ τi ?n i=1t i ，因此可以推出 式子*。推广到空间上是一样的道理。

高数 第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题 A 组 一.填空题 1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?L y dy e 2 = 2.设? MN 是从M (1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分 ? ? +MN xdy ydx = 3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则?++L y x xdy ydx e )( = 4. 设L 是从)0,1(A 沿12 2 2 =+ y x 至点2,0(B )的曲线段， 则?+L y x y x dy ye dx xe 2 2 2 = 5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则 ?+L dx y x xy )(3 3 + dy y x x )(2 42+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则?+ +L bdy adx )( = 7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-?dy y x dx y x L ，则L 所围成 的平面区域D 的面积等于 8. 常数 k = 时， 曲线积分?+L dy x kxydx 2 与路径无关。 9.设∑是球面 12 2 2 =++z y x ，则对面积的曲面积分?? ∑ ++ds z y x 2 22 = 10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分?L ds = 11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则?-++L dy y x dx y x )()(= 12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则?+L dS y x 3 22)(= 13. 设∑为曲面2 2 2 2 a z y x =++， 则?? ∑ dS z y x 2 22= 二、选择题 1．设→ → +=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：? AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）

高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章 双线性函数与辛空间 个线性函数，已知 解此方程组可得 f ( 1) ＝4，f ( 2)＝－7，f ( 3)＝－ 3 ＝4 X 1－7 X 2 － 3 X 3 设 f 为所求 V 上的线性函数，则由题设有 解此方程组可得 f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ) 1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间， 12 3 是它的一组基， f 是 V 上的 f ( 1+ 3 )=1,f ( 2 -2 3 )=-1,f ( 1+ 2 )=-3 求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ). 解 因为 f 是 V 上线性函数， 所以有 1) ＋ f ( 3)=1 2 )-2 f ( 3)=-1 1)+f ( 2 )=-3 f (X 1 1+X 2 2+X 3 3).＝X 1 f ( 1)＋X 2 f ( 2)＋X 3 f ( 3) 2、 设V 及 1 ， 2 ， 3 同上题，试找出一个线性函数 f ,使 f ( 1+ 3) ＝ f ( 2 -2 3)=0, f ( 1+ 2 )=1 1) ＋ f ( 3)=0 2 )-2 f ( 3)=0 1)+f ( 2 )=1 1) ＝－1，f ( 2)＝2，f ( a V,当 a 在 V 的给定基 3 下的坐标表示为 a= X 1 1+X 2 2 +X 3 3 时， 就有

= X 1 f ( 1)＋X2 f ( 2)＋X3 f ( 3) =-X 1 +2 X 2+ X3 3、设 1，2，3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3 是它的对偶基，令 1＝ 1 －3， 2 ＝1＋2－3，3＝ 2 ＋3 试证： 1 ，2， 3 是V 的一组基，并求它的对偶基。 证：设 ( 1，2，3)＝( 1 ，2，3)A 由已 知， 得 1 1 0 A＝0 1 1 1 1 1 因为A ≠0，所以1，2，3是V 的一组基。 设g1,g2,g3 是 1 ， 2 ， 3 得对偶基，则 g1,g2,g3)＝( f1,f2,f3 )(Aˊ) 0 1 1 ＝( f1,f2,f3 ) 1 1 2 1 1 1 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2 , ?fs 是V*中非零向量，试证：∈V，使 fi( )≠0 (i=1,2 ?,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s＝1 时，f1≠0,所以∈V，使fi( ) ≠0，即当s＝1 时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即∈V，使fi( )= i ≠0 (i=1,2 ?,k) 下面证明s=k+1 时命题成立。 若f k1( )≠ 0,则命题成立，若 f k1( ) ＝0，则由 f k 1≠0知，一定∈V 使f k1( )＝b,设fi( )=di(i=1,2 ?,k), 于是总可取数c≠0，使 c ，则∈V，且 ai+cdi ≠0(i=1,2 ?,k)

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第十章 双线性函数与辛空间 1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间， 1， 2 ， 3 是它的一组基， f 是 V 上的 一个线性函数，已知 f ( 1+ 3 )=1,f ( 2 -23 )=-1,f ( 1+ 2 )=-3 求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ). 解 因为 f 是 V 上线性函数，所以有 f ( 1)＋ f ( 3 )=1 f ( 2 )-2 f ( 3 )=-1 f ( 1)+f ( 2 )=-3 解此方程组可得 f ( 1)＝ 4， f ( 2 )＝－ 7， f ( 3 )＝－ 3 于是 f (X 1 1 +X 2 2 +X 3 3 ).＝ X 1 f ( 1)＋ X 2 f ( 2 )＋X 3 f (3 ) ＝4 X 1 － 7 X 2 － 3 X 3 2、 设 V 及 1 ， 2 ， 3 同上题，试找出一个线性函数 f ,使 f ( 1+ 3 )＝ f ( 2 -2 3 )=0, f ( 1+ 2 )=1 解 设 f 为所求 V 上的线性函数，则由题设有 f ( 1)＋ f ( 3 )=0 f ( 2 )-2 f ( 3 )=0 f ( 1)+f ( 2 )=1 解此方程组可得 f ( 1) ＝－ 1， f ( 2 )＝ 2， f ( 3 )＝ 1 于是 a V,当 a 在 V 的给定基 1 ， 2 ， 3 下的坐标表示为 a= X 1 1 +X 22 +X 3 3 时，就有 f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 )

= X 1 f ( 1) ＋ X 2 f ( 2 )＋ X 3 f ( 3 ) =-X 1 +2 X 2 + X 3 3、 1 ， 2 ， 3 是 性空 V 的一 基， f1,f2,f3 是它的 偶基，令 1＝ 1 － 3 ， 2＝ 1 ＋ 2 － 3 ， 3＝ 2 ＋ 3 ： 1， 2， 3 是 V 的一 基，并求它的 偶基。 ： （ 1， 2， 3）＝（ 1 ， 2 ， 3 ）A 由已知，得 1 1 0 A ＝ 0 1 1 1 1 1 因 A ≠0，所以 1， 2， 3 是 V 的一 基。 g1,g2,g3 是 1， 2， 3 得 偶基， （ g1,g2,g3）＝（ f1,f2,f3 ）（ A ） 1 1 1 ＝（ f1,f2,f3 ） 1 1 2 1 1 1 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4. V 是一个 性空 ， f1,f2 , ? fs 是 V * 中非零向量， ： ∈ V ，使 fi( ) ≠ 0 (i=1,2 ? ,s) ： s 采用数学 法。 当 s ＝ 1 ， f1 ≠ 0, 所以 ∈ V ，使 fi( ) ≠0，即当 s ＝ 1 命 成立。 假 当 s=k 命 成立，即 ∈ V ，使 fi( )= i ≠ 0 (i=1,2 ? ,k) 下面 明 s=k+1 命 成立。 若 f k 1 ( ) ≠ 0, 命 成立，若 f k 1 ( ) ＝ 0， 由 f k 1 ≠0 知，一定∈ V 使 f k 1 ( ) ＝ b, fi( )=di(i=1,2 ? ,k), 于是 可取数 c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2 ?,k) 令 c ， ∈ V ，且

同济大学(高等数学)-第十章-重积分

第十章重积分 一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数 f x 在区间a,b 上的定积分， 并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形， 便得到重积分的概念.本 章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用 第1节二重积分的概念与性质 1.1二重积分的概念 F 面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义 1.1.1.曲顶柱体的体积 曲顶柱体 是指这样的立体，它的底是 xOy 平面上的一个有界闭区域 D ，其侧面是以D 的 边界为准线的母线平行于 z 轴的柱面，其顶部是在区域 D 上的连续函数 z f x,y ，且 现在讨论如何求曲顶柱体的体积 分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的 .可以用与定积分类似的方法 （即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图 10— 2）. （1）分割闭区域D 为n 个小闭区域 1 ， 2，L ， n , f x, y 0所表示的曲面（图 10— 1 ) 图 10—1 图 10—2

同时也用A ^表示第i 个小闭区域的面积，用 d A CT 表示区域 A °的直径(一个闭区域的直径 是指闭区域上任意两点间距离的最大值) ，相应地此曲顶柱体被分为 n 个小曲顶柱体. (2) 在每个小闭区域上任取一点 E ， n ， E ， n ， L , 旨，n 对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为 f ( E, n )而底为A i (y 的平顶柱体的体积来近似代替 . (3) 这n 个平顶柱体的体积之和 n f ( i , i ) i i 1 就是曲顶柱体体积的近似值 ? ⑷用X 表示n 个小闭区域 A 0的直径的最大值，即 入m i axd A 0 ?当入0 (可理解为 A ° 收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积： n V lim 0 f( i , i ) i . i 1 1.1.2平面薄片的质量 设薄片在xOy 平面占有 平面闭 区域D ，它在点(x , y)处的面密 度是p P x,y).设 (x, y) 0且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3). 图 10-3 先分割闭区域D 为n 个小闭区域 1， 2 丄， n 在每个小闭区域上任取一点 E , n ， E , n ， L , E , n 近似地，以点(E ，n )处的面密度p E , n )代替小闭区域 A 0上各点处的面密度，则得到第 i 块小薄片的质量的近似值为 p E , n ) A 0，于是整个薄片质量的近似值是 n ( i , i ) i i 1 用入maxd A 莎表示n 个小闭区域 A 0的直径的最大值，当 D 无限细分，即当 入0时， 1 i n 上述和式的极限就是薄片的质量 M ，即 n M lim 0 p E , n )A r. X 0 i 1 以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限 .抽象出来 就得到下述二重积分的定义 . 定义1设D 是xOy 平面上的有界闭区域，二元函数 z f(x,y)在D 上有界.将D 分为n