2018-2019 大学数学(B1) 练习题
第一章
一、选择题
1. 下列函数中不是基本初等函数的是…………………………………………( )
A. 反三角函数
B. 符号函数
C. 对数函数
D. 幂函数
2. 下列函数是无界函数的是……………………………………………………( )
A.x y sin =
B.x y arctan =
C.x
y 1
sin
= D.3x y = 3. 下列各组函数中相等的是……………………………………………………( )
A.2
ln )(,ln 2)(x x g x x f ==
B.0
)(,1)(x x g x f ==
C.1)(,11)(2-=-?+=
x x g x x x f D.2)(|,|)(x x g x x f ==
4. 下列函数中为奇函数的是……………………………………………………( )
A.)1ln()(2++=x x x f
B.||)(x e x f =
C.x x f cos )(=
D.1
sin )1()(2--=
x x
x x f
5. 下列说法中正确的是…………………………………………………………( )
A. 有界数列必定收敛
B. 收敛数列必定有界
C. 单调数列必定收敛
D. 收敛数列必定单调 6. 极限x
x
x x sin lim
+∞
→的值为……………………………………………………( ) A .0 B .1 C .2 D .∞ 7. 极限)21(
lim 2
22n n n n n +++∞→ 的值为………………………………………( )
A .0
B .1
C .2
1
D .∞
8. 极限x
x x 10
)
1(lim -→-的值为 ……………………………………………………( )
A .1
B .e -
C .e
1
D .e 9. 极限x
x x
x 2)1(
lim +∞
→的值为 ……………………………………………………( )
A .1
B .
e C .e D .2e
10. 当0→x 时,下列各项中与 2
3
x 为等价无穷小的是………………………( )
A .x x sin tan -
B .x cos 1-
C .)1(3-x e x
D .)1ln(x + 11. 设12)(-=x x f ,则当0→x 时,有……………………………………….( )
A .)(x f 与x 是等价无穷小
B .)(x f 与x 同阶但非等价无穷小
C .)(x f 是比x 高阶的无穷小
D .)(x f 是比x 低阶的无穷小 12. 设1,1
()0,1x f x x ≤?=?
>?
,则([()])f f f x = ……………………………………( )
A .0
B .1
C .1,10,1x x ≤??>?
D .1,1
0,1x x >??≤?
13. 函数2sin ,0()0,
0x
x f x x x x ?≠?
=-??=?的间断点个数为………………………………( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
14. 设函数??
?
??<≤--<≤≤≤-=01,110,
21,2)(2x x x x x x x f ,则下述结论正确的是………………( ) A .在0=x ,1=x 处间断 B .在0=x ,1=x 处连续
C .在0=x 处间断,在1=x 处连续
D .在1=x 处间断,在0=x 处连续
15. 设?????=≠-=0,
,sin )(x A x x
x x f 在0=x 处连续,则A 为………………………( ) A. 0
B. 1
C. -1
D. 任意常数
二、填空题
16.
函数ln y x =的定义域为(用区间表示) . 17. 函数x
x
y -+=
11的定义域为(用区间表示) .
18. 已知x
x
x f +=
1)(,则=))((x f f . 19. 已知x e x g x x x f =?????≥<=)(,1,01
,1)(,则=))((x g f .
20. 函数x x y 235
3+-=的反函数为 .
21. =→x
x x 1sin lim 2
0 .
22. 当________=α时,α
x 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.
23. 设1sin lim
0-=→x
kx
x ,则=k .
24. 设2
1
)1(lim e kx x
x =+→,则=k .
25. 2
cos lim 2
π
π
-
→x x x = .
26. 22
43
lim 351
n n n n n →∞++=-+ . 27. =+++∞
→1
)1
232(
lim x x x x . 28. 设?????
≤+>=0
,0
,1sin )(2
x x a x x
x x f 在点0=x 处连续,则=a . 三、解答与证明题
29. 求下列数列极限 (1)????
?
?+?++?+?∞→)1(1
321211lim n n n ; (2))12(lim +-+∞→n n n n ; (3)???
?
?++++++∞→n n n n n n n n 22221lim ; (4)n n n n
x 10...21lim +++∞→. 30. 求下列函数极限
(1)15723lim 2323+++-∞→x x x x x ; (2)1
34lim 22++∞→x x x ; (3)5030
20)12()23()32(lim ++-∞→x x x x ;
(4)1
1
lim 31--→x x x ; (5)28
lim 32--→x x x ; (6))1311(lim 31x x x ---→; (7))1(lim x x x -
++∞
→; (8)x x x x ln )1(lim
1-→; (9)x
x
x sin ln lim 0→;
(10)x x
x 3sin 2sin lim 0→; (11)30sin tan lim x
x x x -→; (12)x x x 1
0)51(lim -→; (13)
x
x x sin 3
)21(lim +→; (14
)2
x →; (15
)lim x →+∞
;
(16)lim [ln(21)ln(2)]x x x x →+∞
+-.
31. 若43
2lim
23=-+-→x a
x x x ,求a 的值. 32. 若已知41
1
lim
2
1
=-++→x b a x x ,求a , b 值. 33. 当 a 取何值时,函数)(x f 在 x =0 处连续:
(1)???≥+<=0,0
,)(x x a x e x f x ;
(2)??
?
??≤+>-+=0),cos(0,1
1)(x x a x x
x x f . 34. 证明(1)方程0142
3
=+-x x 在区间(0,1)内至少有一个根;
(2)方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下: 1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。 2. 掌握极限四则运算法则。 3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。 4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。 第一章共12学时,课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价: 恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里。 华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。 张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了(《数学通报》数学与文化2001.1.封二) 初等数学与高等数学的根本区别:用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究,有很多问题不能得到最终答案,甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系,极限的方法是研究变量的一种基本方法,贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题,计算往往比较简单,且能获得最终的结果。
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
第一章:函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数(m 是常数)叫做幂函数。幂函数的定义域,要看m 是什么数而定。例如,当m = 3时,y=x3 的定义域是(-∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是[0,+∞ );当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值,幂函数在(0,+∞)内总有定义。 1.1.2 指数函数与对数函数 1.指数函数 函数y=a x(a是常数且a>0,a≠1)叫做指数函数,它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x,总有a x >0,又a0=1,所以指数函数的图形,总在x轴的上方,且通过点(0,1)。 若a>1,指数函数a x是单调增加的。若00,a≠1),叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称。 y=log a x的图形总在y轴上方,且通过点(1,0)。 若a>1,对数函数log a x是单调增加的,在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+∞)内函数值为正。 若0N时都有,我们就称a是数列{}的极限,或者称数列{}收敛,且收敛于a,记为,a即为的极限。 数列极限的几何解释:以a为极限就是对任意给定的开区间,第N项以后的一切数全 部落在这个区间内。 1.3 函数极限的概念 设函数f(x)在点附近(但可能除掉点本身)有定义,设A为一个定数,如果对任意各定,一定存在,使得当时,总有,我们就称A是函数f(x)在点的极限,记作,这时称f(x)在点极限存在,这里我们不要求f(x)在点有定义,所以才有。例如:,当x=1时,函数是没有定义的,但在x=1点函数的极限存在,为2。
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A. 3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx = ∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解: . 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C. 习题5.1 1.(1) sin x x ;3sin x (2)无穷多 ;常数(3)所有原函数(4)平行 2. 23x ;6x 3.(1)3223 x C --+(2)323sin 3x x e x C +-+(3)3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ (4 2103)x x C -++ (5)4cos 3ln x x C -++(6)3 23 x x ex C +-+ (7) sin 22 x x C -+(8 )5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++;(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.(1)1a (2)17(3)110(4)12-(5)112(6)12(7)2-(8)15(9)-(10)12 - 2. (1)515t e C + (2)41(32)8x C --+(3)1ln 122x C --+(4)231(23)2 x C --+ (5 )C -(6)ln ln ln x C +(7)111tan 11x C +(8)212 x e C --+ (9)ln cos ln sin x x C -++(10 )ln C -+(11)3sec sec 3 x x C -++ (12 )C (13)43ln 14x C --+(14)2sec 2 x C + (15 12arcsin 23x C + (16)229ln(9)22 x x C -++ (17 C (18)ln 2ln 133 x x C -+-+ (19)2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ (20)3cos ()3t C ?ωω +-+ (21)cos 1cos5210x x C -+ (22)13sin sin 232x x C ++(23)11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.(1)arcsin ,,u x dv dx v x === (2),sin ,cos u x dv xdx v x ===- 第五章 习题5-1 1.求下列不定积分: (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ; (4) 2cos 2 x ?d x ; (5) 23523x x x ?-??d x ; (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 22210 (1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题: (1) 一平面曲线经过点(1,0),且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程; (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数,求 ()f x '?d x ; (3) 已知f (x )的导数是sin x ,求f (x )的一个原函数; (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000(即P=0时,Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001( )3 P ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 1 2 ()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000( )ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0 大学高等数学(微积分)<下>期末考试卷 学院: 专业: 行政班: 姓名: 学号: 座位号: ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末 的括号中,本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =,则级数 1 n n a ∞ =∑( ); A.一定收敛,其和为零 B. 一定收敛,但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛,也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----,与AB 方向相同的单位向量是( ); A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ,则dy dx =( ); A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续,则其原函数()F x ( ) A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在 二、填空题(将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________(填收敛或者发散)。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ,则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时,()f x 和()g x 是等价无穷小,则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>,求2'()f x dx ?。高中数学之定积分与微积分基本定理含答案
微积分第五章第六章习题答案
微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)
定积分及微积分基本定理练习题及答案