最小方差性的证明

最小方差性的证明：

假设*1

?β

是其他方法得到的关于1

β的线性无偏估计量： ∑=i i Y c *1

?β其中，i i i

d k c

+=，i d 为不全为零的常数。

∑∑∑∑∑+=+===i

i i i i i i i i X c c X c Y E c Y c E E 1010*1)()()()?(βββββ由*

1

?β

的无偏性，即1*1

)?(ββ=E 可知：

∑∑=+1

10βββi i i X c c 从而有： ∑=0i

c

，∑=1

i i X c

*1

?β的方差

∑∑∑∑====2222*1)var()var()var()?var(σμβi i

i i i i i c c Y c Y c =∑∑∑∑++=+i

i i i i i d k d k d k 2

2222222)(σσσσ由于

∑∑∑∑-=-=2

)(i

i i i i i i i k c k k c k d k =∑∑∑∑∑∑

∑∑∑=-=--=

-0112222

22i

i i

i

i

i

i i i i

i

x x k

x c X c X k c x x 故

∑∑∑∑∑+=+=+=22122222222*1

)?var(1)?var(i i i

i i d d x d k σβσσσσβ因为 ∑≥0

2

i

d 所以 )?var()?var(1

*1ββ≥当0=i

d

，（

n

i ,2,1 =）等号成立，此时：

i i k c =，*1

?β就是OLS 估计量1

?β。

OLS估计量的性质的推导证明(一些补充)

OLS 估计量的性质的推导证明（一些补充） 1、 线性： 2 2 2 2 2 2 (()()0) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x y x Y Y x Y Y x x x x x x Y x kY k x X X X n X x x ββΛ Λ -===-==-=-===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ｉ 由于（１）证明斜率系数估计量是Ｙ的线性函数。　，　其中＝ 22 2222 (0)(1,0)01,1·0,0()1()101,1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x k x x k x x x k x x x x k X k x X k x X k k X x x k x k k X k X =========+=+=+====∑∑ ∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 注意：　（由于对确定量而＝（）=故又故言是定值)前已证前已证记得与对后面的故证明会有用。 211 ),i i i i i i Y Y X k X Y w Y w k X n n ααβΛ Λ Λ =-=-==-∑∑（）　证明截距系数估计量是的线性函数。 （其中

11 )111):(0)10(1;)1,i i i i i i i i i i i i i i i i i i w k X n k X X k n n w X k X X X X k X n n X k k X w w X X n =-=-=-===-=-====-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 注意　（ 前已证前已证注意　０，对后面的 １；（证明有用。 2、无偏： 112211221122)()(...)()()...()()()...(1,0)()i i i i i i i i n n n n n n kY k X k k X k k E k E k k k E k E k E k k E k E k E k X k E βββαβεαβεβεεεεεεεεεεεΛ Λ ==++=++=+==+++=+++=++=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑ｉｉｉｉｉ ｉ　 ｉｉｉ(1) 是的无偏估计量。 （ 由于 （前已证注 意假设　0())((0)i i i k E E k ββεεεβββ Λ Λ ==+=+=∑∑ｉｉ 所以对等式　＝两边取期望有，） (1,i i i i i w w E w X k ααεαααααεα Λ ΛΛ Λ ==+=+∑∑∑∑ｉｉ课件上有错误：(2) 是的无偏估计量,即） 证明方法同上，参考课＝应改为＝注意利用 件０。 3、有效性：

正交试验设计及其方差分析

第三节正交试验设计及其方差分析 在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果. 1.正交试验设计的基本方法 正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表. 正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义： (1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2. 列数 ↓ L4 （23） ↑↑ 行数水平数 （2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个. 最多能安排的因素数 ↓ L4(23) ↑↑ 试验次数水平数 (3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的. L4(23) ↑↑ 实际试验数理论上的试验数 正交表的特点： （1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，

最小方差套期保值比率

附录：最小方差套期保值比率（对冲率） 可以通过股票指数期货演示如何得到对冲现货头寸的最优期货合约数量。假设A 持有充分分散化的股票组合现货头寸，并且完全模拟市场指数（如S&P500），但是担心价格下跌，希望使用期货合约对持有的头寸对冲。已知： S=S&P500指数现价 TVS 0=初始持有现货总值（就是150万美元） F=期货价格（S&P500指数期货） FVF 0=一份期货合约的账面价值 N S,0=现货持有的指数单位数量 N f =持有的期货合约数量 S 0=1500 F 0= “合约乘数”或者S&P500指数每点价值z=250美元。因此 FVF 0=F 0z （） 如果现货头寸是TVS0美元，投资者初始持有NS,0单位指数，则 N S,0=TVS 0/S 0=1500000/1500=1000单位指数 （） t=0时，对冲者在现货市场上为多头，因此在期货市场上空头卖出N f 份合约。在t=1时刻，结清持有的头寸，对冲的组合价值变化如下： z F N S N z F F N S S N A V f S f S )()()() 3.3(0,01010,?-?=---=+=?期货头寸的变化 即期市场头寸的变化 。其中，0101,F F F S S S -=?-=? 对冲组合的方差是 )4.3(2)()(,2 2222A z N N z N N F S f S F f S S V ????-+=σσσσ 其中，2 V ?σ是S 的变化的方差。对公式（）的Nf 微分，并使之为零（来得到最小值），也就 是0 2 =??f V N σ，得到最优值： )5.3(,0,2 2A z N z N F S S F f ???=σσ )6.3()( 2,0,A z N N F F S S f ???=σσ 代替公式（）中的0,S N ，得到最小方差对冲率 )7.3(0)(,2,00A t zS TVS N F S F F S f ???????? ??===βσσ时现货指数的价值现货头寸的总价值 其中，“beta ”为现货资产绝对变化量△S 对期货价格绝对变化量△F 回归得到的回归系数： )8.3()(,0A F S t F S εβα+?+=???

最小方差自校正控制Matlab程序

最小方差自校正控制Matlab 程序 1.自校正控制 自适应控制有很多种，例如模型参考自适应控制系统、自校正控制系统等。 自校正控制(STC)最早是由R.E. Kalman 在1958年提出的，他设计了基于最小二乘估计和有限拍控制的自适应控制器，并为了实现这个控制器，还建造了一台专用模拟计算机，但其发展受到了当时的硬件问题的闲扰。 图1间接自校正控制系统 图2直接自校正控制系统 自校正控制系统也有内环和外环。内环与常规反馈系统类似，外环由对象参数递推估计器和控制器计算机构组成，其任务是由递推估计器在线估计被控对象参数，用以代替对象的未知参数，然后由设计机构按一定的规则对可调控制器的参数进行在线求解，用以修改内环的控制器。 自校正控制器是在线参数估计和控制参数在线设计两者的有机结合。另外，在参数估计时，对观测数据的使用方式有两种。一种是不直接更新控制器参数，而是先估计被控对象模型本身的未知参数，然后再通过设计机构得到控制器参数，如图 1所示，称为间接算法，另一种是直接估计控制器参数，这时需要将过程重新参数化，建立一个与控制器参数直接关联的估计模型，称为直接算法，如图2。 2.最小方差自校正Matlab 算法仿真（直接自校正和间接自校正） 设被调对象为CARMA 模型 111()()()()()()d A z y t z B z u t C z t ξ----=+ 其中， 112 11 11()1 1.70.7()10.5()10.2A z z z B q z C z z -------=-+=+=+ 式中，()k ξ为方差为1的白噪声。 （一）取初值6?(0)10(0)0P I θ==、，0 ?f 的下界为min 0.1f =，期望输出()r y k 为幅值为10的方波信号，采用最小方差直接自校正控制算法，观察不同时滞d=1、4、8时，最小方差自校正算法的控制效果。

正交试验方差分析(通俗易懂)

第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案

广义最小方差控制

%广义最小方差控制(显示控制) 考虑如下系统： () 1.7(1)0.7(2)(4)0.5(5) ()0.2(1)y k y k y k u k u k k k ξξ--+-=-+-++- 式中ξ(k )为方差为0.1的白噪声。 取111()1,()1,()2P z R z Q z ---===，期望输出y r (k )为幅值为10的方波信号。 clear all;close all; a=[1 -1.7 0.7];b=[1 2];c=[1 0.2];d=4; na=length(a)-1;nb=length(b)-1;nc=length(c)-1; nf=nb+d-1;ng=na-1; P=1;R=1;Q=2; %加权多项式 np=length(P)-1;nr=length(R)-1;nq=length(Q)-1; L=400; uk=zeros(d+nb,1); yk=zeros(na,1); yrk=zeros(nc,1); xik=zeros(nc,1); yr=10*[ones(L/4,1);-ones(L/4,1);ones(L/4,1);-ones(L/4+d,1)];

xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); [e,f,g]=singlediophantine(a,b,c,d); CQ=conv(c,Q);FP=conv(f,P);CR=conv(c,R);GP=conv(g,P); for k=1:L time(k)=k; y(k)=-a(2:na+1)*yk+b*uk(d:d+nb)+c*[xi(k);xik]; u1=-Q(1)*CQ(2:nc+nq+1)*uk(1:nc+nq)/b(1)-FP(2:np+nf+1)*uk(1:np+nf ); u2=CR*[yr(k+d:-1:k+d-min(d,nr+nc));yrk(1:nr+nc-d)]; u(k)=(u1+u2-GP*[y(k);yk(1:np+ng)])/(Q(1)*CQ(1)/b(1)+FP(1)); %更新数据 for i=d+nb:-1:2 uk(i)=uk(i-1); end uk(1)=u(k); for i=na:-1:2 yk(i)=yk(i-1);

最小方差控制

%最小方差控制(MVC) 考虑如下系统： () 1.7(1)0.7(2)(4)0.5(5)()0.2(1)y k y k y k u k u k k k ξξ--+-=-+-++-式中ξ(k )为方差为0.1的白噪声。 取期望输出y r (k )为幅值为10的方波信号。 clear all;close all; a=[1 -1.7 0.7];b=[1 0.5];c=[1 0.2];d=4;%对象参数 na=length(a)-1;nb=length(b)-1;nc=length(c)-1;%计算阶次 nh=nb+d-1;%nh 为多项式H 的阶次 L=400; uk=zeros(d+nb,1); yk=zeros(na,1); yrk=zeros(nc,1); xik=zeros(nc,1); yr=10*[ones(L/4,1);-ones(L/4,1);ones(L/4,1);-ones(L/4+d,1)];%期望输出 xi=sqrt(0.1)*randn(L,1);%方差为0.1的白噪声序列 [h,f,g]=singlediophantine(a,b,c,d);%求解单步Diophantine 方程 for k=1:L time(k)=k; y(k)=-a(2:na+1)*yk+b*uk(d:d+nb)+c*[xi(k);xik];%采集输出数据

u(k)=(-h(2:nh+1)*uk(1:nh)+c*[yr(k+d:-1:k+d-min(d,nc));yrk(1:nc-d)]-g* [y(k);yk(1:na-1)])/h(1);%求控制量 %更新数据 for i=d+nb:-1:2 uk(i)=uk(i-1); end uk(1)=u(k); for i=na:-1:2 yk(i)=yk(i-1); end yk(1)=y(k); for i=nc:-1:2 yrk(i)=yrk(i-1); xik(i)=xik(i-1); end if nc>0 yrk(1)=yr(k); xik(1)=xi(k); end end subplot(2,1,1); plot(time,yr(1:L),'r:',time,y);

附录3-1：高斯-马尔科夫定理的证明

高斯－马尔科夫定理（OLS 有效性）的证明 根据OLS 的一阶条件： 022) (='+'-=??βββX X y X S 设b 是解，则b 满足正则方程组 y X Xb X '=' 这正是我们曾分析的最小二乘正则方程组。因为X 是满秩的，所以X X '的逆存在， 从而得到解是 y X X X b ''=-1)( ββββX X y X y y S ''+''-'=2)( 022) (='+'-=??βββX X y X S 为了证实这确实是最小值，我们需要二阶编分矩阵 X X S b '=???=2') (2ββββ 是一个正定矩阵。 我们现在来证明这个结果。对任意一非零向量c ，令Xc X c q ''=，则 Xc q i i =='=∑νυ νν其中,2 除非ν的每一元素都为0，否则q 是正的。但若υ为零的话，则X 的各列的一个线性组合等于0，这与X 满秩的假定相矛盾。 三、最小二乘估计量的统计特性 在本节中，我们对回归量的两种情况，即非随机回归量和随机回归量下分别作讨论。 1、X 非随机回归量 若回归量当作非随机来进行处理时，则将X 当作常数矩阵处理就可导出最小二乘估计量的各种特性。可得 εβεβX X X X X X X b ''+=+''=--11)()()( （4） 若X 是非随机的，或0)(='εX E ，则（4）中第二项的期望值是0。所以，最小二乘

估计量是无偏的，它的协方差矩阵是 ]))([(]['--=ββb b E b Var ])()[(11--''''=X X X X X X E εε 11)(][)(--''''=X X X E X X X εε 121)()()(--'''=X X X I X X X σ 12)(-'=X X σ 在前面的内容中，对K =2的特殊b 是β的最小方差的线性无偏估计量。现在我们给出这个基本结果的一个更一般的证明，令β是Cy b =~ 的另一个不同于b 的线性无偏估计量， 其中C 是一个K ×n 矩阵。若b ~是无偏的， ,][][βεβ=+=C CX E Cy E 这暗示着CX=I ，并且εβC b +=~。所以可以得到b ~的协方差矩阵是 C C b Var '=2]~[σ 现在令X X X C D ''-=-1)(，由假设知D ≠0。那么，,~ *Dy b b b =-= ,''*)(2DD D D b Var Y σ==∑ 于是'DD 是非负定矩阵。 则 ]))()()([(]~[112'''+''+=--X X X D X X X D b Var σ )])()()([(112--'+'''+=X X X D X X X D σ ))((12-'+'=X X D D σ 在展开这个四项和式之前，我们注意到 )()(1X X X X DX CX I ''+==- 由于上面最后一项是I ，有DX=0，所以 122)(]~[-'+'=X X D D b Var σσ D D b V a r '+=2 ][σ

最小二乘法估计量的性质(高斯—马尔可夫定理的初步证明)

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最小二乘法估计量的性质（高斯—马尔可夫定理的初 步证明） 高斯马尔可夫定理: 若一元线性模型满足计量经济基本假设， 则参数的最小二乘估计(OLS) 是最小方差的线性无偏估计。 （BLUE) 最小二乘法估计量 OLS 的性质（高斯马尔可夫定理的 初步证明） 1．线性性： 0 和1 都是iy的线性函数证明： ； 令=j=njiixxxxk12)()( 则有 iniiyk==11 ，且有0=ik， 1=iixk，=i=niixxk122)(1 从而1 是iy的线性函数；同理， 0 ＝ 令iikxnw=1，则有： iiyw=0，即0 也是iy的线性函数。 另有： 1=i w，0=iixw 2. 无偏性： 0 和1 都是0 、1 的无偏估计量；即有： ( )=,00=E ( )11=E 证明： 先证 ( )11E ，又， 1=iixk ()=i=++==iiiiinikuxkyk01011+1 +iiiiukxk ==+iiuk1 ( )(因为: ( )u1101=++=i0iiiiiEkxkkE =ik，1ixk) 同理，利用 1=i w和0=iixw可证得 ( ),00=E 3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0 和1 分别是0 、1 的方差最小的 1 / 2

有效估计量证明： 若1~ 是原值1 的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记=iiyc1~（∵线性估计），再根据无偏估计的特性，有：再记P==111==1, 0iiixcc。 ()iiiykc~，则有11~+= P ( )Cov(+)),(2)()(),(2),(),(),(~,~~1111111111PCovDPDPCovCovP PPPCovCovD++=+=++== 如果能证明0),(1=PCov，则利用方差不小于 0 的性质，判定)()()()~(111DDPDD+=，1 即为所有无偏的线性估计中方差最小的。 ∵2u2i2u1)())((),)((),(iiiiiiiiiikkckkcykykcCovPCov=== 又∵=j=njiixxxxk12)()( 且有： 0=ik，1=iixk，=i=niixxk122)(1 所以0)(1)(1212112i===j=j=i=injnjnniiiiixxxxxcxckkc，0),~((1 =PCov, 有： )()()()111DDPDD+=，命题得证。 （此处利用了==1, 0iiixcc）。

正交试验方差分析(通俗易懂)

第十一章正交设计试验资料得方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上得试验因素,若进行全面试验，则试验得规模将很大,往往因试验条件得限制而难于实施。 正交设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合得一种高效率试验设计方法. 第一节、正交设计原理与方法 (一）正交设计得基本概念 正交设计就是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果得一种设计方法。它从多因素试验得全部水平组合中挑选部分有代表性得水平组合进行试验，通过对这部分试验结果得分析了解全面试验得情况，找出最优水平组合. 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量得影响: Ａ因素就是氮肥施用量,设A１、Ａ2、A3 3个水平; B因素就是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平; C因素就是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这就是一个3因素每个因素3水平得试验,各因素得水平之间全部可能得组合有2７种。 如果进行全面试验，可以分析各因素得效应，交互作用,也可选出最优水平组合。 但全面试验包含得水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验得主要目得就是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验. 正交设计得基本特点就是:用部分试验来代替全面试验,通过对部分试验结果得分析，了解全面试验得情况。 正交试验就是用部分试验来代替全面试验,它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时,有可能出现交互作用得混杂。 如对于上述３因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用,可利用正交表Ｌ９(34）安排,试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含2７个水平组合得全面试验得情况，找出最佳得生产条件。 一、正交设计得基本原理 表１1－1 ３３试验得全面试验方案

计量经济学中相关证明

课本中相关章节的证明过程 第2章有关的证明过程 2.1 一元线性回归模型 有一元线性回归模型为：y t = ?0 + ?1 x t + u t 上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，?0称常数项，?1称回归系数（通常未知）。上模型可以分为两部分。（1）回归函数部分，E(y t) = ?0 + ?1 x t, （2）随机部分，u t。 图2.8 真实的回归直线 这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。 以收入与支出的关系为例。 假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。所以，在经济问题上“控制其他因素不变”实际是不可能的。 回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。 回归模型存在两个特点。（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。 通常，线性回归函数E(y t) = ?0 + ?1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = ?0 + ?1 x t 的估计，即对?0和?1的估计。 在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。 (1) u t 是一个随机变量，u t 的取值服从概率分布。 (2) E(u t) = 0。 (3) D(u t) = E[u t - E(u t) ]2 = E(u t)2 = ?2。称u i 具有同方差性。 (4) u t 为正态分布（根据中心极限定理）。以上四个假定可作如下表达：u t? N (0,??)。 (5) Cov(u i, u j) = E[(u i - E(u i) ) ( u j - E(u j) )] = E(u i, u j) = 0, (i?j )。含义是不同观测值所对应的随机项相互独立。称为u i 的非自相关性。 (6) x i是非随机的。 (7) Cov(u i, x i) = E[(u i - E(u i) ) (x i - E(x i) )] = E[u i (x i - E(x i) ] = E[u i x i - u i E(x i) ] = E(u i x i) = 0. u i与x i相互独立。否则，分不清是谁对y t的贡献。 (8) 对于多元线性回归模型，解释变量之间不能完全相关或高度相关（非多重共线性）。 在假定（1），（2）成立条件下有E(y t) = E(?0+ ?1 x t+ u t) = ?0+ ?1 x t。 2.2 最小二乘估计（OLS） 对于所研究的经济问题，通常真实的回归直线是观测不到的。收集样本的目的就是要对这条真实的回归直线做出估计。 图2.9

自适应控制结课论文-最小方差自校正控制器设计

最小方差自校正控制器设计

1 ．最小方差自校正控制器 自校正调节器用在参数缓慢变化的系统，在原理上是按系统输出的最小方差综合自校正控制律的，其工作原理如下图所示： 自校正控制器的自校正过程是根据输入 {}()u t 和输出{}()y t 序列数据，不断地对过程 参数进行在线递推估计，得到t 时刻过程参数估计值? ()t θ。最后用最小方差控制律计算控制器参数的新值 ()c t θ，并以此新值去修改控制器的参数，再用控制器在新参数()c t θ下产生的 控制作用()u t ，对过程进行控制。这样的估计和控制过程继续进行下去，直到递推过程参数估计值? ()t θ收敛到它的真值，控制器对过程的控制达到最小方差控制时，自校正调节过程才结束，此时的控制过程达到最优或次最优的特性。 2. 最小方差控制律 考虑一般的随机线性系统 111()()()()()()k A q y t q B q u t C q e t ----=+ 这里u 是控制器，y 是输出，{}()e t 是(0,)N σ独立正态随机变量序列，1q -是后移算符。 假定,,A B C 多项式的系数都是已知的，且在更一般的情形，若1 ()A q -阶数为a n ， 1()B q -阶数为b n ，1()C q -阶数为c n ，则1()F q -阶数为1k -，1()G q -阶数为1a n -。 3.最小方差自校正控制器通用程序设计

被控对象：111()()()()()()k A q y t q B q u t C q e t ----=+ 其中：112()1 1.50.7A q q q ---=-+ na=2 1 1 2 ()0.50.40.1B q q q ---=- + nb=2 112()10.80.5C q q q ---=-+ nc=2 {e(t)}为方差为0.1的白噪声。 取期望输出yr(k)为幅值为5的方波信号，采用MVC 算法。 程序如下： a=[1 -1.5 0.7]; b=[0.5 -0.4 0.1]; c=[1 -0.8 0.5]; d=1; %对象参数 na=length(a)-1; nb=length(b)-1; nc=length(c)-1; %na 、nb 、nc 为多项式A 、B 、C 阶次 nf=nb+d-1; %nf 为多项式F 的阶次 L=400; %控制步数 uk=zeros(d+nb,1); %输入初值：uk(i)表示u(k-i); yk=zeros(na,1); %输出初值 yrk=zeros(nc,1); %期望输出初值 xik=zeros(nc,1); %白噪声初值 yr=5*[ones(L/4,1);-ones(L/4,1);ones(L/4,1);-ones(L/4+d,1)]; %期望输出 xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %白噪声序列 [e,f,g]=sindiophantine(a,b,c,d); %求解单步Diophantine 方程 for k=1:L time(k)=k; y(k)=-a(2:na+1)*yk+b*uk(d:d+nb)+c*[xi(k);xik];%采集输出数据 u(k)=(-f(2:nf+1)*uk(1:nf)+c*[yr(k+d:-1:k+d-min(d,nc));yrk(1:nc-d)]-g*[y(k);yk(1:na-1)])/f(1);%求控制量 %更新数据 for i=d+nb:-1:2 uk(i)=uk(i-1); end uk(1)=u(k); for i=na:-1:2 yk(i)=yk(i-1); end yk(1)=y(k); for i=nc:-1:2

FIR最小方差法带阻滤波器.

南华大学数字信号处理课程设计 学院：电气工程学院 学生姓名：王明明 学号： 20094470149 题目编号： 0904 设计题目：基于最小方差法的数字频变带阻滤波器 指导老师：陈忠泽 2013年1月

一 手工计算完成最小方差FIR 带阻滤波器初始设计 带阻滤波器的设计指标： =49 ⑴ 通带下截止频率, =0.53289πrad*0.6=0.319734πrad=1.004474rad/sample ⑵ 带下截止频率, =0.79934πrad*0.6=0.479604πrad=1.506720rad/sample ⑶ 带上截止频率, =1.86512πrad*0.6=1.11907πrad=3.515662rad/sample ⑷通带上截止频率 , =2.13156πrad*0.6=1.27893πrad=4.017877rad/sample ⑸通带最大衰减, ⑹阻带最小衰减 由π ω 2= f 得到性能指标在MATLAB 中的常用形式 再将其除以采样频率Fs 转换为归一化频率： 通带下截止频率：0.159867πrad/sample 阻带下截止频率：0.239802πrad/sample 阻带上截止频率：0.55954πrad/sample 通带上截止频率：0.63947πrad/sample 将a p =1dB ，a s =60dB 带入公式 ξ1=10^(a p /20)-1)/(10^(a p /20)+1， ξ2=10^(-a s /20) 得 ξ1=0.057501128 ξ2=0.001 由凯泽提出逼近n 的公式 求得 Ws-Wp=（0.479604π-0.319734π）+（1.27893π-1.11907

最小方差自校正控制系统研究

最小方差自校正控制系统研究 无锡宏源技师学院宗珏 摘要 自校正控制基本思想:参数估计递归方法的基本思想和各种不同类型的控制算法,可以形成一个实时的计算机控制系统控制参数的自动校正。然而,根据不同类型的算法所使用的不同类型的自调优控制系统。自调整控制器自适应控制从理论到实践是最成熟的控制方法之一。 这个课题主要是最小方差自校正控制系统的研究。最小方差自调整控制器参数不变但是未知SISO离散时间系统,输出与最小方差自调优控制律设计为目标,直接使用递归最小二乘算法估计控制器的参数。通过建立最小方差控制系统的结构模型以及广义最小方差控制系统的结构模型；建立起性能指标；在Matlab下对最小方差控制系统及广义最小方差控制系统进行仿真并且对两种仿真结构进行对比分析。 关键词：自校正控制；递推最小二乘法；最小方差控制；广义最小方差控制 1.1研究目的和意义 在如今,自动化水平已成为衡量各行各业现代化的一个重要标志,对连续和现代工业生产,大规模网络的快速发展和自动化方向,控制系统的质量也提出了更高的要求,除了简单的控制系统,各种复杂的、多变量、时变、非线性和随机控制系统研究尤为重要。所以出现了很多新的控制理论和控制理论的不断发展,它跨越学科界限,正朝着控制论和信息论的基础上,仿生智能控制理论发展。因此对这些控制理论的研究和验证是非常必要的。 随着计算机技术的飞速发展,微电子技术、自调优控制应用程序和在理论上取得了很大的进步,它已经成为现代控制理论,在重要领域极为活跃。在应用上，它涉及多方面的工业部门，大大提高了性能指标及产品质量，节约了能源，并且取得了较为显著的效果。在理论研究方面，研究者也取得了一系列有价值的研究成果。 各种自动化工程学院开了自动化研究课程,但随着现代控制理论是抽象,很难结合实际,缺乏一些不错的实验设施，影响教学质量和人才培养质量,和控制方案的确定及其系统设计、参数设定和过程应基于对象的特点,和对象的特征复杂,很难实现,通过理论计算研究完全控制系统设计和控制参数设置,到目前为止仍然是不可能的。 本文研究的对象是最小方差自校正控制系统。最小方差自校正调节器输出根据最小方差自调优控制律,采用递归最小二乘参数估计算法直接估计控制器参数。基于自适应控制、自调优控制和最小方差自校正控制算法推导,建立最小方差控制系统结

基于最小方差法低通FIR的设计论文

基于最小方差法低通FIR的设计论文

基于最小方差低通FIR 滤波器设计说明书 （一）设计目标 根据所学的数字信号处理和MATLAB 相 关知识，用最小方差法设计一个低通FIR 滤波 器。从FIR 数字滤波器的系统函数可以看出， 极点都是在z 平面的原点，而零点的分布是任意 的。不同的分布将对应不同的频率响应，最优化 设计实际上就是调节这些零点的分布，使得实际 滤波器的频率响应H d (e j ω)与理想滤波器的频率 响应H d (e j ω)之间的最大绝对误差最小。 （二）低通FIR 滤波器技术指标 1 π25.0=p w （通带截止频率） π35.0=s w （阻带截止频率） dB P 1=δ（通带衰减） dB s 40=δ （阻带衰减） )() (lg 200c jw j p e H e H a = （通带最大衰减） )() (lg 200s jw j s e H e H a = （阻带最小衰减） (三)低通FIR 滤波器的设计 3.1 低通FIR 滤波器阶数的估计

πωωδδ2/)(6.1413 )lg(20p s s p N ---≈≈46 由于N 为偶数，所以可以设计一个1型的低 通FIR 滤波器。 3.2 对于基于最小方差的线性相位FIR 滤波器 的设计下面式子为误差的简化为 []{}21)()()(∑=∨-=k i i i i D H W ωωωξ 其中)(ω∨H 是低通FIR 的振幅响应，)(ωD 是要求 的振幅响应，)(ωW 是权重函数。由于所有四种类 型的线性相位FIR 滤波器的振幅响应可以表示 为 []∑=∨=l k k a Q H 0~)()(ωωcos(wk) 3.3 []∑=∨=l k k a Q H 0~)()(ωωcos(wk) 式中)(ωQ 、[]k α~、L 的确定 a )(ωQ 的确定 由于不同类型)(ωQ 也就不尽相同，不同 类型时)(ωQ 的表达式如下 )(ωQ =1 对于1型 )(ωQ =cos(2/ω) 对于 2型

正交试验方差分析(通俗易懂)复习过程

正交试验方差分析(通 俗易懂)

第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。

正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案

最小方差自校正控制

用最小方差自校正控制算法对以下系统进行闭环控制： () 1.7(1)0.7(2)(4)0.5(5)()0.2(1) y k y k y k u k u k k k ξξ--+-=-+-++-式中ξ(k )为方差为0.1的白噪声, 取期望输出y r (k )为幅值为10的方波信号。 解：上式可以化为： 12411 (1 1.70.7)()(10.5)()(10.2)()z z y k z z u k z k ξ------+=+++ 则有 112 111 1 ()1 1.70.7()10.5()10.24 A z z z B z z C z z d -------=-+=+=+= Diophantine 方程为： 1111()()()()d C z A z F z z G z -----=+ 又有 111()()()H z B z F z ---= 6P(0)=10,(0)0θ∧ =取初值 递推公式为： ????()(1)()[()()(1)]?(1)()()??1()(1)()?()[()()](1)T T T k k K k y k k d k P k k d K k k d P k k d P k I K k k d P k θθ?θ ?????=-+---? --? =?+---? ?=---? 程序清单如下： clear all; close all; a=[1 -1.7 0.7]; b=[1 0.5]; c=[1 0.2]; d=4; %对象参数

na=length(a)-1; nb=length(b)-1; nc=length(c)-1; %多项式A、B、C的阶次nh=nb+d-1; ng=na-1; %nh、ng为多项式H、G的阶次 L=400; uk=zeros(d+nh,1); %输入初值： yk=zeros(d+ng,1); %输出初值 yek=zeros(nc,1); %最优输出预测估计初值 yrk=zeros(nc,1); %期望输出初值 xik=zeros(nc,1); %白噪声初值 yr=10*[ones(L/4,1);-ones(L/4,1);ones(L/4,1);-ones(L/4+d,1)]; %期望输出 xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %白噪声序列 %递推估计初值 thetaek=zeros(na+nb+d+nc,d); P=10^6*eye(na+nb+d+nc); %P(k)的初始值 for k=1:L time(k)=k; y(k)=-a(2:na+1)*yk(1:na)+b*uk(d:d+nb)+c*[xi(k);xik]; %采集输出数据 %递推增广最小二乘法公式估计参数 phie=[yk(d:d+ng);uk(d:d+nh);-yek(1:nc)]; K=P*phie/(1+phie'*P*phie); thetae(:,k)=thetaek(:,1)+K*(y(k)-phie'*thetaek(:,1)); P=(eye(na+nb+d+nc)-K*phie')*P; ye=phie'*thetaek(:,d); %预测输出的估计值 %提取辨识参数 ge=thetae(1:ng+1,k)'; he=thetae(ng+2:ng+nh+2,k)'; ce=[1 thetae(ng+nh+3:ng+nh+2+nc,k)'];

第8章 正交试验设计的方差分析例题

8.3.2 考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大L27(313)，不讲解！只讲解二水平情况，因为二水平会，三水平自然也会！） 例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A ×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。 表8-12 因素水平表 表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。 由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。 表8-13 试验方案及结果分析 L27(313)

一、计算（计算过程省略） 1.计算各列各水平的K ij 值(K 1j ,K 2j ,K 3j )和K 2 ij (K 21j ,K 22j ,K 23j ) 各列各水平对应的试验数据之和K 1j ,K 2j ,K 3j ,及其平方和K 21j , K 22j , K 23j ,列于表8-13中,例如 K 1A = ∑=9 1 i i X =0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 11 ， K 2 11= 88.36 K 2A =∑=9 1i i X =0.40+0.50+……+6.15=33.05= K 21 ， K 221=1092.30 K 3A =∑=9 1 i i X =0.40+0.30+……+2.80=25.80= K 31 ， K 231 =665.64 表示A ×B 的有两列,即第3,4列,计算后可知 K 13 =32.75, K 23 =17.90; K 33 =17.60 K 14 =26.40; K 24 =24.55, K 34 =17.30 2.计算各列的偏差平方和(S j )及其自由度(f j ) 由式(8-4),可知: S j =CT Q n T K r j m i ij -=-∑=2 2 11 r=n/m=27/3=9; CT=T 2/n=1/27×68.252=172.52