2010年高考福建数学试题(理科解析)

2010年高考福建数学试题（理科解析）

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．cos13

计算sin43cos 43 -sin13的值等于（ ）

A.12

33

22

D.

32

【答案】A

【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=

2

，故选A 。

【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，

属保分题。

2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A.22x +y +2x=0

B. 22x +y +x=0

C. 22x +y -x=0

D. 22x +y -2x=0 【答案】D

【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的

半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A

【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以2

2

(1)11212(6)362

n n n S n n n n -=-+

?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

4．函数2x +2x-3,x 0

x)=-2+ln x,x>0f ?≤??

（的零点个数为 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】当0x ≤时，令2

230x x +-=解得3x =-；

当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

所以E H ∥F G ，故E H ∥F G ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ，

E H ∥11A D ，所以E H ⊥平面11ABB A ，又E

F ?平面11ABB A ， 故E H ⊥E F ，所以选

项B 也正确，故选D 。

【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。

7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线

22

2

1(a>0)a

x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支

上的任意一点,则OP FP ?

的取值范围为 ( )

A. 3,)+∞

B. [33,)++∞

C. 7[-,)4

+∞ D. 7[

,)4

+∞

【答案】B

【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方

程为

2

2

13x

y -=，设点

P 00(,)x y ，则有

2

2

0001(3)3

x y x -=≥

，解得

2

2

0001(3)3

x y x =

-≥

，因为00(2,)

FP x y =+

，

00(,)

OP x y =

，所以

2

000(2)O P F P x x y ?=++ =0

0(2)x x ++2013x -=2004213

x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034

x =-

，因为03x ≥，所以当03x =

时，O P F P ?

取得最小值

43313

?+=33+OP FP ?

的取值范围是[33,)++∞，选B 。

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

8．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥??

≥??≥?

所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线

3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A.

285

B.4

C.

125

D.2

【答案】B

【解析】由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为

|31419|

245

?-?-?

=，所以选B 。

A. ①④

B. ②③

C.②④

D.③④ 【答案】C

【解析】经分析容易得出②④正确，故选C 。

【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。 二、填空题：

11．在等比数列{}n a 中,若公比q =4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式

n a = .

【答案】n-14

【解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =n-14。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。 12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .

【答案】3

【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为

32434

?

=3216??=，所以其表面积为3。

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。

13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 【答案】0.128

【解析】由题意知，所求概率为2

4

2

5C 0.80.2=0.128??。

【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。 14．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6

π

ωω和g(x)=2cos (2x+)+1?的图象的对称轴完全相同。

若x [0,

]2

π

∈，则f(x)的取值范围是 。 【答案】3[-

,3]2

【解析】由题意知，2ω=，因为x [0,

]2

π

∈，所以52x-

[-

,]6

66

π

ππ

∈，由三角函数图象知：

f(x)的最小值为33sin (-

)=-

6

2

π

，最大值为3sin

=32

π

，所以f(x)的取值范围是3[-

,3]2。

【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。

15．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈

+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。给出如下结论：

①对任意m Z ∈，有m f (2)=0；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得

n

f (2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得

1

(,)(2,2

)k k a b +?”

。 其中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④

【解析】对①，因为m 2>0，所以m f(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。

所以Eξ=

1

6

?+

1

1

3

?+

1

4

3

?+

1

9

6

?=

19

6

。

17．（本小题满分13分）

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为

22

22

1(a>0,b>0)

x y

a b

+=，且可知左焦点为

概率为p 。

（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；

（ii ）记平面11A AC C 与平面1B O C 所成的角为θ(0<90)θ≤

，当p 取最大值时，求cos θ的值。

【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

【解析】（Ⅰ）因为1A A ⊥平面ABC ，B C ?平面ABC ，所以1A A ⊥B C ，

因为AB 是圆O 直径，所以B C ⊥A C ，又A C ?1AA A =，所以B C ⊥平面11A AC C ， 而B C ?平面11B BC C ，所以平面11A AC C ⊥平面11B BC C 。

（Ⅱ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则AB=1AA =2r ，故三棱柱111ABC -A B C 的体积为

11V =

A C

B

C 2r 2

??=A C B C r ??，又因为2222

AC BC =AB =4r +，

所以22

AC +BC

AC BC 2

?≤

=22r ，当且仅当2r 时等号成立，

从而31V 2r ≤，而圆柱的体积23V=r 2r=2r ππ?，

故p =313

V 2r

1

=

,V

2r

ππ

≤

当且仅当2r ，即O C A B ⊥时等号成立，

所以p 的最大值是

1

π

。

（ii ）由（i ）可知，p 取最大值时，O C A B ⊥，于是以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz （如图），则C （r ，0，0），B （0，r ，0），1B （0，r ，2r ），

因为B C ⊥平面11A AC C ，所以B C =(r,-r,0)

是平面11A AC C 的一个法向量，

设平面1B O C 的法向量n =(x,y,z) ，由1

n O C

020

n O B rx ry rz ?⊥=????+=⊥??? 得

，故0

2x y z =??

=-?， 取1z =得平面1B O C 的一个法向量为n =(0,-2,1)

，因为0<90θ≤ ，

所以210cos |cos ,BC |=

5

||||

52n BC r n n BC r

θ?===

??

19．（本小题满分13分）

O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，

轮船位于港口O 北偏西30

且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得

=10,>,,>AC O C O C AC AC =≥故且对于线段上任意点P 有OP OC ，而小艇的最

高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相

遇，设C O D =(0<<90),Rt C O D C D θθθ∠?=

则在中，，

OD=

cos θ

，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10330

t θ

+=

和3cos t v θ

=

，

所以

10103tan 30

θ

+103cos v θ

=

33,30,sin (+30)sin (+30)

2

v v θθ=

≤≥

又故，

从而30<90,30tan θθθ≤= 由于时，取得最小33

，于是

当30θ=

时，10330

t θ

+=

取得最小值，且最小值为

23

。

此时，在O A B ?中，20O A O B A B ===，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数3(x)=x -x f ，其图象记为曲线C 。 （i ）求函数(x)f 的单调区间；

（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111P (x ,f(x ))处的切线交于另一点

222P (x ,f(x ))，曲线C 与其在点222P (x ,f(x ))处的切线交于另一点333P (x ,f(x ))，线段 11223122

P P ,P P ,S ,S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S 则

为定值；

（Ⅱ）对于一般的三次函数32

g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。

【解析】（Ⅰ）（i ）由3

(x)=x -x f 得'

2

(x)=3x -1f =333

3

，

当x (-3

∈∞和

3

+∞）时，'

(x)>0f ；

当x (-

,

3

∈)3

时，'

(x)<0f ，

因此，(x)f 的单调递增区间为(-,-

)3

∞和

3

+∞（），单调递减区间为(-

,

3

)3

。

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=11a b

??

???，20

c

N d ??= ???，且2

02

0M N ??

=

?-??

， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2

3,2

252

x y ?=-

????

=??（t 为参数）。在极坐标系（与直

角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为5ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为5， 求|PA|+|PB|。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

（1）选修4-2：矩阵与变换

【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=??+=??+=-??+=?，解得11

22

a b c d =-??=-??=??=?；

（Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，3），

由0

1

11

1-????= ? ?-?

???0

?? ??

?，1

3

1111-????= ? ?-?

???22-??

???

得：点（0，0）

，（1，3）在矩阵M 所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而

直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y x =-。 （2）选修4-4：坐标系与参数方程

【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】

（Ⅰ）由ρθ=

得220,x y +-=

即22

( 5.x y +-

=

（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C

的直角坐标方程，得2

2

(3))52

2

-

+=，

即240,t -+=

由于2

4420?=-?=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，

所以121225),4

t t l P t t ?+=??

=??又直线过点故由上式及t 的几何意义得：

|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t =2

（3）选修4-5：不等式选讲 【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+， 又已知不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以3135

a a -=-??

+=?，解得2a =。

（Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是 ()=|x-2||3|g x x ++=21,<3

5,3221,>2x x x x x ---??

-≤≤??+?

，所以

当x <-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。