几个二次函数最值例题含答案

一．解答题（共6小题）

1．（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG 垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2011?南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

3．（2013?湖州校级模拟）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点

（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=+对称．

（1）A坐标为B坐标为；H坐标为；

（2）求二次函数解析式；

（3）在x轴上找一点P，使得|PA﹣PH|最大，求P点坐标；

（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

4．（2014?成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与

x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b

与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC

相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点

M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每

秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动

过程中用时最少？

5．（2013?成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形

ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

6．（2012?东莞）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，

连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l

平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系

式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，

与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

参考答案与试题解析

一．解答题（共6小题）

1．（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG 垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C

三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2|m﹣2|=EF，列方程求解；

（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．

【解答】解：（1）∵OA：OB=1：5，OB=OC，

设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，

由S△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），

即y=x2﹣4x﹣5；

（2）设E点坐标为（n，n2﹣4n﹣5），抛物线对称轴为x=2，

由2（n﹣2）=EF，得2（n﹣2）=﹣（n2﹣4n﹣5）或2（n﹣2）=n2﹣4n﹣5，

解得n=1±或n=3±，

∵n＞0，

∴n=1+或n=3+，

边长EF=2（n﹣2）=2﹣2或2+2；

（3）存在．

由（1）可知OB=OC=5，

∴△OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，﹣5），

设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得：，

解得：，

则直线BC解析式为y=x﹣5，

依题意△MBC中BC边上的高为，

∴直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，

联立，，

解得或，

∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．

2．（2011?南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，

0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边

形面积为12，求点P，Q的坐标；

（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积

最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

【考点】二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数的最值；待定系数法

求二次函数解析式；平行四边形的性质．

【专题】计算题；代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）把点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）代入直线y=﹣x+p上得到方程组，

求出方程组的解，得出A、B、C的坐标，设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），把C（2，﹣3）代入求

出a即可；

（2）AC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，得到PQ的解析式为y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，求出方程

组的解，即可得到P1（3，0），P2（﹣2，5），根据ACQP是平行四边形，求出Q的坐标；同法求出以AC为对角线时P、Q的坐标；

（3）设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，﹣t+3），求出MT=﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，求出MS=﹣（t﹣）2+，即可得到答案．

【解答】解：（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣x+p上

∴，

解得：，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），

设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），

∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），

∴a=1

∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．

答：抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）解：A（﹣1，0），C（2，﹣3），由勾股定理得：AC==3，

AC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣1，

∠BAC=45°，

∵平行四边形ACQP的面积为12，

∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，

过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，

∴DN=4，

∵四边形ACQP，PQ所在直线在直线ADC的两侧，可能各有一条，

∴根据平移的性质得出直线PQ的解析式为①y=﹣x+3或②y=﹣x﹣5，

∴由①得：，

解得：或，

由②得：，方程组无解，

即P1（3，0），P2（﹣2，5），

∵ACQP是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），

∴当P（3，0）时，当以AC为边时，Q1（6，﹣3），Q2（0，3），

∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）；

当P（﹣2，5）时，当以AC为边时，Q3（1，2），Q4（﹣5，8），

以AC为对角线时，P到AC的距离是12÷2÷（×3）=2，

过C作CR⊥AC交x轴于R，则AC=CR=3，由勾股定理得：AR=6，

则R的坐标是（5，0）过R作AC的平行线交抛物线于两点，

则此直线的解析式是y=﹣（x﹣6）﹣1=﹣x+5，

解方程组得：，，

即在AC的两旁各有一条直线，但当在AC下方时，直线和抛物线不能相交，

此时P坐标是（，），Q坐标是（，）或P的坐标是（，）Q

的坐标是（，﹣）

答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或（0，3）

或P2（﹣2，5），Q2（1，2）或（﹣5，8），或P3（，），Q3（，）或P4（，

），Q4（，﹣）．

（3）解：设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），

过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，﹣t+3），

MT=（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+6，

过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，

MS=MT=（﹣t2+t+6）=﹣（t﹣）2+，

则当t=时，M（，﹣），△PQM中PQ边上高的最大值为，

∵P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）．

∴当P（3，0），Q（6，﹣3）时，PQ==3．

当P（﹣2，5），Q（1，2）时，PQ==3，

∴S△PQM=×PQ×=．

答：△PQM的最大面积是，点M的坐标是（，﹣）．

【点评】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．

3．（2013?湖州校级模拟）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为

H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=+对称．

（1）A坐标为（﹣3，0）B坐标为（1，0）；H坐标为（﹣1，2）；

（2）求二次函数解析式；

（3）在x轴上找一点P，使得|PA﹣PH|最大，求P点坐标；

（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两

个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）设A（x1，0），B（x2，0），根据交点和系数的关系得出，解得x1=﹣3，x2=1，从而求

得A（﹣3，0），B（1，0），由直线l：y=+可知，tan∠OAC==，求得OC=，作HE⊥AB于E，根

据三角形中位线的性质求得H的纵坐标，根据A、B的坐标求得H的横坐标；

（2）把H点的坐标代入y=ax2+2ax﹣3a（a≠0），求得a的值即可；

（3）根据|PA﹣PH|≤AH，即可求得P和A重合，即可求得P的坐标；

（4）根据待定系数法求出过A和H点的直线解析式，因为过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，所以直线BK 的斜率和直线AH的相等，又过B，所以可求出直线BK的解析式，再把直线l的解析式和BK的解析式联立，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

【解答】解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），

∴，解得x1=﹣3，x2=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

由直线l：y=+可知，tan∠OAC==，

∴OC=×3=，

作HE⊥AB于E，如图1，

∴OC∥HE，

∵HC=BC，

∴HE=2OC=2，

∵=﹣1，

∴H（﹣1，2）；

故答案为（﹣3，0），（1，0），（﹣1，2）；

（2）把H（﹣1，2）代入y=ax2+2ax﹣3a得，2=a﹣2a﹣3a，

解得a=﹣，

∴二次函数解析式为y=﹣x2﹣x+；

（3）∵|PA﹣PH|≤AH，

∴当P点和A点重合时|PA﹣PH|最大，

∴P（﹣3，0）；

（4）设直线AH的解析式为y=kx+b，把A和H点的坐标代入求出k=，b=3，

∵过点B作直线BK∥AH，

∴直线BK的解析式为y=mx+n中的m=，

又因为B在直线BK上，代入求出n=﹣，

∴直线BK的解析式为：y=x﹣，

联立，解得：，

∴交点K的坐标是（3，2），

则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2），

∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2，

过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2，

则QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB==8，

∴HN+NM+MK的最小值为8．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与x轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．

4．（2014?成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与

x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b

与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC

相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点

M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每

秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动

过程中用时最少？

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；

（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB 或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；

（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），

令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），

∴﹣×4+b=0，解得b=，

∴直线BD解析式为：y=﹣x+．

当x=﹣5时，y=3，

∴D（﹣5，3）．

∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，

∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，

∴k=．

∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．

（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，

∴C（0，﹣k），OC=k．

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：，

∴y=x+k．

∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），

得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），

∴P（8，5k）．

∵△ABC∽△APB，

∴，即，

解得：k=．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．

与①同理，可求得：k=．

综上所述，k=或k=．

（3）如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），

如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan∠DBA===，

∴∠DBA=30°．

过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．

过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣2）+=2，

∴F（﹣2，2）．

综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．

【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．

5．（2013?成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形

ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．

若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点；

②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点．

ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

【解答】解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）

∴点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，

∴，解得：b=2，c=﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1．

（2）i）∵A（0，﹣1），C（4，3），

∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．

∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），

则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．

解方程组：，

解得，

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．

过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则

PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．

∴PQ==AP0．

若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．

如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，

∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．

解方程组，得：，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．

如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．

由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．

过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，

∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．

解方程组，得：，

∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

ii）存在最大值．理由如下：

由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．

连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四边形PQFN为平行四边形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．

∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．

∴的最大值为=．

【点评】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．

6．（2012?东莞）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，进而确定AB、OC的长．

（2）直线l∥BC，可得出△AED、△ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题干条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围．

（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE、m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值；

②过E做BC的垂线EM，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解．

【解答】解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；

当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；

当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；

∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，

∴△AED∽△ABC，

∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．

（3）解法一：∵S△ACE=AE?OC=m×9=m，

∴S△CDE=S△ACE﹣S△ADE=m﹣m2=﹣（m﹣）2+．

∵0＜m＜9，

∴当m=时，S△CDE取得最大值，最大值为．此时，BE=AB﹣AE=9﹣=．

记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．

在Rt△BOC中，BC===3．

∵∠OBC=∠MBE，∠COB=∠EMB=90°．

∴△BOC∽△BME，

∴=，

∴=，

∴r==．

∴所求⊙E的面积为：π（）2=π．

解法二：∵S△AEC=AE?OC=m×9=m，

∴S△CDE=S△AEC﹣S△ADE=m﹣m2=﹣（m﹣）2+．

∵0＜m＜9，

∴当m=时，S△CDE取得最大值，最大值为．此时，BE=AB﹣AE=9﹣=．

∴S△EBC=S△ABC=．

如图2，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．

在Rt△BOC中，BC==．

∵S△EBC=BC?EM，

∴×r=，

∴r==．

∴所求⊙E的面积为：π（）2=π．

【点评】该题主要考查了二次函数的性质、相似三角形的性质、图形面积的求法等综合知识．在解题时，要多留意图形之间的关系，有些时候将所求问题进行时候转化可以大大的降低解题的难度．