有关离心率常见的解题策略(已改)
2013年全市普通高中开放周论文封面
论文题目：浅谈构造函数，妙解数学难题
单位（全称）：龙岩四中
作者姓名：林建华
联系电话： 159********
摘 要：离心率作为反映圆锥曲线形状的一个重要参量，其定义式a
c e = 一、根据离心率的范围估算
二、利用离心率的定义式a
c
e =
求解。 三、构造关于e 的一元二次方程求解 四．用平面几何求离心率
五、建立关于e 的不等式求e 的范围
关 键 词：离心率a
c
e = 第一定义 构建 方程 不等式
有关离心率常见的解题策略
离心率作为反映圆锥曲线形状的一个重要参量，其定义式a
c
e =
又是一个比值，因此，有关圆锥曲线离心率的求解是一类较常见题型，现有关离心率的一些常见题型及解法，作了简单的归纳，以便同学们掌握。 一、根据离心率的范围估算
A
e ，e ，：D C B A x x 选项为双曲线的离心率椭圆的离心率又和由方程得两根为解两椭圆的离心率
心率一椭圆和一抛物线的率两抛物线的离心率心率一椭圆和一双曲线的离的两个根可分别作为方程例∴><<=+-1
1022
1
....)
(02522
二、利用离心率的定义式 a c
e =
求解。
1、直接应用公式a
c
e =
计算
2223
1(2005 ·)1(0)2
()3 (2)
x y a x a A B C D -=>= 例全国文已知双曲线的一条准线为则该双曲线
的离心率为
22
23:232,3a x c c a c e a D
===
∴==∴=
==
∴ 解选
例2 双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（ ）
A ．23
B ．23
C ．26
D ．2
)
(2
666
23
6
2::22
C a c e a a c a c c 故选又由依题得解====∴==∴=
2、利用平方关系计算
B
e a
c e a
c c
c
a D C B A e d c d ，c ，故选则解等于心率那么该双曲线的离
且两条准线间的距离为已知又曲线的半焦距为例22
22:3.2.2.3.)
(,122
2
2
2
2
=∴===∴== 3
13
9
13)(9139944
923::)
(
0230)2008(:315352
656
5
3232132::)0(32222
2222222222222222222222=
∴=∴=-=-==-∴=∴±
=∴=±=-=
∴====+=∴=
=∴=->=-e a c c a a c a a c b a c a b a x b
a y y y x ，y x e m m
a
c e m
m m c m
b m a m y m x m m y x 得又双曲线的渐近线为轴上
双曲线的焦点在依题意解线的离心率为为渐近线的双曲且以无公共点与百所名校模拟变式故由已知解则此双曲线的离心率为
已知又曲线的方程为例
3、结合第一定义，构建a 、c 的关系，再计算
例1 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若
ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A ．33
B ．3
2 C ．22 D ．23
A e a c c
c F F a
a F F a
a ，故选即又则边长为正三角形的围长为由椭圆第一定义知解3
3,3323
3
223
3
234233
4
4::121==∴=∴==?=
三、构造关于e 的一元二次方程求解
例1 椭圆中心在原点，F 为左焦点，直线AB 1与BF 交于D ，
且∠BDB 等于90°，则椭圆的离心率为 。
c
b k a
b k
c F b B b B a A BF
AB -
==---1
),0,(),0()
,0()0,(:1则设解
2
152
151
02
1
5215011
22222222
1-=
∴-=
∴<<--=-=
∴-==-+∴=-∴=∴-=-=?∴e e e e e c a b e e ac c a ac b ac
b k k BF AB 又或又
。
D 。e e ，
e e ，
ac a c a c
a c c a ex PF c ，F F PF c
P P ，，MF D C B A ，MF ，F MF F F ，、b a b
y a x F F p 项故选舍去解得即得即由焦半径公式又的横坐标为则点的中点为如右图解则双曲线的离心率为的中点在双曲线上若边三角形为边作正
以线段右焦点的左是双曲线已知例)31(31022022,)2
(,
21
.
2
:1
3.2
1
3.
13.324.)
()0,0(1,2222121111212122
2221-=+==--=----?-=--===-++-+>>=-则该椭圆的离心率为
若的顶点与焦点分别为椭圆如图变式,
90)0(1
:0
22
22=∠>>=+ABC ，b a b y a x ，A、B、C
四．用平面几何求离心率
如图：从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线//，则该椭圆的离心率等于 。
a b
b a b a
c e a b y a
b y b y a
c b
y a x c M c M AF MF OB MF OA OF a c e M M M
y y
=
==∴=
∴==+∴=+--∴⊥===∴2
2
2
42222222
221
11111
),()
,
(|
|||||||//在椭圆又又解
五、建立关于e 的不等式求e 的范围
。
，
PF F ，，P b a b
y a x F F 。
c b a 求椭圆离心率的最小值是椭圆上一点的左右焦点是椭圆已知例的最值或取值范围的不等式求椭圆离心率构造一个关于02122
222190)0(1,,.1=∠>>=+2
2
2
245sin sin 459090:90)0(1.102220202102102122
2221值为
则椭圆的离心率的最小即数形结合
解法一求椭圆离心率的最小值是椭圆上一点的左右焦点是椭圆已知例的最值或取值范围的不等式求椭圆离心率、、构造一个关于=≥∠===
∴≥∠≥∠∴=∠=∠>>=+OBF BF OF a c e OBF BF F ，PF F 。，PF F ，
，P b a b
y a x F F 。c b a
2
22
220
24cos 90
:2
22
2
22
210
21椭圆离心率的最小值为
即利用余弦定理
解法二∴≥=
∴≤≤-+=∠∴≥∠a
c
e c a a c a a
BF F BF F
2
2
2
228)(22424:222222222
2221值为
则椭圆的离心率的最小即又有设利用均值不等式解法三≥=
∴≤=+≤++=∴+==+∴==a c e c a c n m mn n m a n
m a c n m n
PF m PF
10
1013111121
1,1111
:::,11:.,,.222
2
==∴=∴==--=+-
=-=+-
=??
?±=+=±=+===-a
c
e c a b b b ，C A B BC AB b X b X C B bx
y x y bx
y x y l c ，BC AB BC c l l A b
y x c c b a C B 又解得故的中点和为即交点又由于横坐标为、得交点两渐近线方程为的方程为依题意得解的离心率是
则双曲线且渐近线分别相交于点的两条
与双曲线若的直线作斜率为的左顶点过双曲线例心率的值或取值的范围的不等式求双曲线的离构造一个关于