模拟试卷B答案
《数值分析》模拟试卷（B ）
一、算法分析（20％）
1
的近似值的相对误差不超过410-，应取几位有效数字？（5％）
解：设取n 个有效数字可使相对误差小于410-，则 1411
10102n a --?<，
而34≤≤，显然13a =，此时，
114111
101010223n n a ---?=?
即141
10106n --?<， 也即561010n ?>
所以，n=5。
2、设近似值S 0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析用递推
式11
142.85
i i S S +=-计算S 20所得结果是否可靠。（5％）
解：设计算S i 的绝对误差为e(S i )=S i *－S i ，其中计算S 0的误差为ε，那么计算S 20的误差为
e(S 20)=S 20*－S 20＝（15S 19*－142.8）－（15S 19－142.8）=1
5(S 19*－S 19)
＝15e(S 19)=215e(S 18)=……=21
5
e(S 0)
20
2001()()5e S e S ??
= ???
，误差缩小，结果可靠。
3、判定解方程组1231231232211221
x x x x x x x x x +-=??
++=??++=?的高斯－赛德尔迭代法的收敛性？（10％）
解：
122111221A -??
?= ? ???，
因为
212322
10(2)00,222λλλλλλλλλλλ
-=?-=?===， 所以ρ(B G-S )=2>1
所以高斯—赛德尔迭代法发散。 二、基本计算（30％）
1、用合理途径计算100
1
1
(1)n n n =+∑
。（5％）
解：由小到大依次相加。
100100
111111100
()1(1)1101101n n n n n
n ===-=-=
++∑∑ 2、用秦九韶算法计算24()23p x x x x =+-+的值p(2)。（5％）
解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。
30112
26122246
36112348
- 所以，p(2)＝48。
3、作矩阵123252315A ??
?= ?
???
的LU 分解。（5%） 解：对矩阵
123252315A ?? ?= ? ???，
设
1112
132122233132
3312310025210031510
0u u u l u u l l u ??????
? ??
?= ? ??? ? ?????????
先计算U 的第一行，由矩阵乘法，有
111111121222121313233313111
212
313
a u u a u u u a u u u ==???∴==???∴==???∴= ＋00＋00＝＋0＋00＝＋0＋0u
再计算L 的第一列，由矩阵乘法，有
2121112121113131113231311121000/2
3010/3
a l u l a u a l u l l a u ==+?+?∴====+?+?∴==
然后计算U 的第2行L 的第2列，最后计算u33。 得
1112132122
233132
3310011231021,01413510
024u u u l u u l
l u ????????
? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????
4、给定矩阵1122A ??
= ?-??
，求12,,A A A ∞。(10%)
解：因为112112223,3a a a a +=+=， 所以13A =；
因为111221222,4a a a a +=+=， 所以4A ∞=；
因为121153122235T A A --??????
== ??? ?--??????，
所以T A A 的特征多项式为：
5
3
03
15
λλ-=-，
解之得128,2λλ==。
所以2A =
5、已知x=1,2,3,4,5，对应的函数值为f(x)=1,4,7,8,6，求出插分表，写出相应的等距节点插值多项式。（5%） 解：作差分表如下：
（下略）
三、数值计算（50％）
1、用高斯－赛德尔迭代法解1231231232213225
x x x x x x x x x +-=??
++=??++=?（取(0)(0,0,0)T x =）。（5％）
解：从三个方程中分离出未知变量123,,x x x ，将方程组改写成便于迭代的形式得
1232133
12221
3225
x x x x x x x x x =-++??
=--+??=--+?， 据此建立迭代格式得
1232133
12(1)()
()(1)(1)()
(1)(1)(!)2213
225k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=-++??=--+??=--+??， 取迭代初值(0)(0,0,0)T x =进行迭代得
注：
212322
10(2)00,222λλ
λλλλλλλλλ
-=?-=?=== ρ(B G-S )=2>1
所以，高斯－赛德尔迭代法发散。
2、试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足
(1)(1)1,(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f p f ''''-=-=-========(5%)
解：设插值多项式为23401234()p x a a x a x a x a x =++++ 则231234()234p x a a x a x a x '=+++ 由插值条件得
0101234
01234
1234
2(0)0(0)1(1)1(3)3927811(3)627108p a p a p a a a a a p a a a a a
p a a a a ==??
'==??
-=-=-+-+??==++++?'?==+++? 解之得
012
34203413541108a a a a a ??
?=?
=???=-??
?=??
?=-??
所以
432
1133()2108544
p x x x x =-
+-+ 3、用最小二乘法求方程组2411
35326214
x y x y x y x y +=??-=?
?+=??+=?的近似解。（10%）
解：设方程组中各个方程的一般形式为i i i a x b y c +=，则
4
21[()]i i i i L a x b y c ==+-∑
对x 、y 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 4
1
4
1
444
2111
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i
i i i i i i i L a x b y c a x a x b y c a x a y a b a c =====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑∑
4
1
4
1444
21
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i i i
i i i i i L
a x
b y
c b y a x b y c b x a b y b b c =====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑∑
将数据代入得 153510
349690x y x y --=??
-+-=? 解之得 3.727
1.636x y =??
=?
4、五等分区间用梯形法求数值积分1
2
01dx
x +?
，计算数据取小数点后两位数。（5%） 解：五等分区间时，梯形法积分公式为 10512342011
[())]152dx y y y y y y x ≈++++++? 将区间5
所以，1
2
01dx
x +?
≈ 0.2× [0.5×(1＋0.5)＋0.96+0.86+0.74+0.61 ]=0.784 5、确定数值微分公式0001021()()()()f x A f x A f x A f x '''≈++的系数，使它具有尽
可能高的代数精度。（10%）
解：为了计算方便，令010,x x h ==，把2()1,,f x x x =依次代入使其成为等式，
得
02122
2002A A A A h A h ?+=?
+=??=? 解之得01222222,,A A A h h h
=-=-= 所以
000122
()[()()()]f x f x hf x f x h
'''≈
--+ 此公式对于3()f x x =不成立，故其代数精度为2。
6、用欧拉法求初值问题0.9(01)12(0)1
y y x x
y ?'
=-
≤≤?+??=?的数值解，取步长h=0.25，计小数点后保留2位。（5%） 解：将0.9
(,)12f x y y x
=-+代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：
10.9
12n n n n
y y h
y x +=-+，（0,1,2,3,4n =）
取0.25h =由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下：
00112233440,1
0.9
0.25,10.2510.78
120
0.9
0.5,0.780.250.780.66120.25
0.9
0.75,0.660.250.660.59
120.50.9
1,0.590.250.590.54
120.75x y x y x y x y x y ====-?
?=+?==-??=+?==-??=+?==-??=+?
7、判断方程2x 3-3x 2-12x+25=0有几个实根，并求出其隔根区间。（10%）
解：令y=2x3-3x2-12x+25，
y／=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2)
当y／=0时，有x=-1，x=2，而且函数没有不可导点。
显然，当x＜-1时，x+1＜0，x-2＜0，所以，y／=6(x+1)(x-2)＞0，同理可以判断出在其他几个区间上导数的符号。进一步可以得导函数在每一个区间上的单调性。列表如下：
∵y(-1)=32＞0，y(2)=5＞0，
∴在区间（-1,2）上方程无根。
又∵ y(2)=5＞0，函数在（2，＋∞）上又是单调增的，函数值不可能再变号，∴在区间(2，＋∞)上方程也没有根。
∵函数在（－∞，－1）上单调，
∴方程在该区间上最多有一个根。
而y(－2)＝21＞0，y(-3)=-20＜0，
∴方程在区间(－3，－2)内有一个根，区间(－3，－2)是方程的隔根区间。所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一个根，隔根区间为（－3，－2）。