微积分无穷级数作业
12.1 无穷级数的概念与基本性质
一、填空题
1．级数1
11(1)2n n n -∞
-=-∑的部分和n S = ，其和S = .
2．若级数1n n u
∞=∑收敛，则级数1(0.01)n n u ∞=+∑ （填收敛或发散）.
3．级数11(32)(31)n n n ∞
=-+∑的部分和n S = ，其和S = . 4．已知无穷级数的部分和212
n n n S -=，则级数的一般项n u = . 5．若级数1n n u
∞=∑收敛于S ，则级数11()n n n u u ∞+=+∑= .
6.已知12111(1)
2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑，则1
n n a ∞
==∑ . 二、判别级数12(3)5n n
n n ∞
=+-∑的收敛性，若收敛求和.
三、判别级数1111n n n ∞=??+ ???∑的收敛性
一、单项选择题
1.下列级数收敛的是 . A.21ln n n ∞
=∑ B.1121n n ∞=+∑
C.1n ∞=
D.211n n n ∞=+∑
2.正项级数1n n u
∞=∑收敛是级数21n n u ∞=∑收敛的 条件.
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充要
D.既非充分也非必要
二、判别以下级数的敛散性
1
．n ∞= 2.21sin 33n n n n π∞
=∑
3.
221(!)23n n n n ∞=∑ 4.(1)112n n n ∞+-=∑
三、求极限2
lim (!)n
n n n →∞
一、单项选择题
1．下列级数为绝对收敛的是 .
A ．11(1)n n n ∞
=-∑ B ．31arctan n n n ∞=∑ C ．11sin n n n ∞=∑ D
．1(1)n n ∞=-∑ 2．下列级数为条件收敛的是 .
A ．1(1)1n
n n n ∞=-+∑ B
．1(1)n ∞=-∑ C
．1(1)n n ∞=-∑ D ．211(1)n n n ∞=-∑ 3．设10(1,2)n a n n ≤<=，则下列级数中肯定收敛的是 . A ．1n n a
∞=∑ B ．1(1)n n n a ∞=-∑ C
．n ∞= D ．21(1)n n n a ∞
=-∑ 二、判断以下级数的敛散性，若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛 1．1sin 3n n n ∞=∑
2．
11(1)ln n n n
∞=-∑
三、已知级数2
1n
n a ∞=∑收敛，试证明1n n a n ∞
=∑均绝对收敛.
12.3 幂级数
一、填空题
1．幂级数12n
n n x n ∞
=∑的收敛半径为 ，收敛区间为 .
2．幂级数1(1)2n
n n x ∞
=-∑的收敛域为 ，其和函数()S x = . 3．幂级数11n n nx
∞-=∑的收敛域为 ，其和函数()S x = ， 级数112n n n ∞
-=∑的和为 . 二、求下列幂级数的收敛域
1．1(2)5n
n n x n ∞
=-∑
2．21
1(1)21n n
n x n +∞=-+∑
三、求幂级数1(1)2n
n n x n ∞
=-∑的收敛区间，并求和函数.
12.4 函数展开成幂级数
一、填空题
1．利用ln(1)x +的展开式，可以把()ln f x x =展开为2x -的幂级数，展开式为 .
2．将函数2()e
x f x -=展开为x 的幂级数，结果为 . 3．幂级数30
(1)!n
n n x n ∞+=-∑的和函数()S x = . 4．将1()3f x x
=
-展开为1x -的幂级数，结果= . 二、将下列函数展开为x 的幂级数，并求展开式成立的区间 1
．()f x =
2．2()cos f x x =
三、将24()253
x f x x x +=
--展开为1x -的幂级数，并求展开式成立的区间.
12.7 傅里叶级数
一、填空题
1．设()f x 是以2π为周期的周期函数，则在闭区间[,]ππ-上有
10()10x x f x x x ππ
--≤
二、将函数()f x x =在[,]ππ-上展开成傅里叶级数，并计算级数211(21)n n ∞
=-∑
的和.
三、将函数,022()0,2
x x f x x ππππ?+≤
微积分复习题题库超全
习题 1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）91 2 -=x y ； （2）x y a arcsin log =； （3）x y πsin 2 = ； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？ （1）2)(,)(x x g x x f ==； （2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ； （3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明： （1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ； （4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；
(微积分II)课外练习题 期末考试题库
《微积分Ⅱ》课外练习题 一、选择： 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．无关条件 2. 二元函数定义域是． ( ) B． D． 比较大小：． ( ) B． C． D．不确定 4.微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 5.下列广义积分发散的是． ( ) A． B． C． D． 6.是级数收敛的条件． ( ) A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( ) 最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对 微分方程是微分方程． ( ) A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。记，，，则的大小顺序是 ． ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是． ( ) B. D.
1. ． ( ) B. C. D. 12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D． ．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D． ．微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 ．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． ．设，则 ( ) A． B． C． D． ．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． 18．下列等式正确的是． ( ) A．B． C．D． 19．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． 20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( ) A．B．C．D．|| ．． ( ) A． B． C． D． 22．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D．
微积分作业(对外经济贸易大学远程教育)
一、导数的运算 1， 已知2 211 x x y +-=，则y '=（ ）。 A, )1(22x x + B, 2)1(4x x + C, 22)1(2x x + D, 2 2)1(4x x + 解 2 22222) 1() 1()1()1()1(x x x x x y ++'--+'-=' 2 222) 1(2)1()1(2x x x x x +?--+= 2 2) 1(4x x +=。 2 x x y cos 22 =，则y '=（ ）。 A, x x x x x cos sin 2cos 42+ B, x x x x x 2 cos sin 2cos 4+ C, x x x x x 22cos sin 2cos 4+ D, x x x x 22cos sin 2cos 4+ 解 )cos /2(2 '='x x y x cox x x x x 222)(cos cos )(2' -'?= x x x x x 2 2cos ) sin cos 2(2+= x x x x x 22cos sin 2cos 4+=。
3 2 sin x y =，则y '=（ ）。 A, 2 cos x B, 2 cos 2x x C, 2 cos 2x D, x x cos 2 令 2x u =，则u y sin =， u y u cos ='， x u x 2='， 所以 x u x u y y ''=' u x cos 2= 2 cos 2x x =。 4 )1ln(2x x y ++=，则y '=（ ）。 A, 2 11x + B, 2 11x x ++ C, 2 12x x + D, 2 12x x ++ 令 y=lnu ，21 v x u +=，v=1+x 2 则 u y u 1='， 121 2 11-+='v u v ，x v x 2=' 所以 x v u x v u y y '''=' 2 11x += 。 今后可约定y y x '='，省略下x 标。 5 3 )sin(ln x y =，则y '=（ ）。
(完整版)第7章多元函数微积分测试题讲义
第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在
0201微积分(上)作业
《微积分（上）》作业 本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。 客观题部分 一、选择题（每题1分，共15分） 1．设函数()f x 在2x =处可导，且()'22 f =，则()() 22lim 2h f h f h →+-=（ ） A 、 1 2 B 、1 C 、2 D 、4 2．点0x =是函数 ()232,000sin 2,0x x f x x x x x ? ?+? 的（ ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、第二类间断点 D 、第一类间断点但不是可去间断点 3．设()f x 在(),a b 内二次可导，且()()'''0xf x f x -<，则在(),a b 内 ()'f x x 是（ ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、有增有减 D 、有界函数 4．当0x →时，下列函数为无穷小量的是（ ） A 、sin x x B 、2 sin x x + C 、 () 1ln 1x x + D 、21x - 5． 2 sin 1lim lim 22 1x x cosx x x x →∞→∞ -==- +，则此计算（ ） A 、正确 B 、错误，因为2 lim 1x cosx x →∞ + 不存在 C 、错误，因为2 lim 1x cosx x →∞ +不是 ∞∞ 未定式 D 、错误，因为2 lim lim 11x x cosx cosx x x →∞→∞ =++ 6．下列关系正确的是（ ） A 、()()d f x dx f x =? B 、()()'f x dx f x =? C 、 ()()d f x dx f x dx =? D 、 ()()d f x dx f x C dx =+?
微积分习题之无穷级数共21页文档
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
微积分作业(应用题6题)
应用题： 1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x 2 +6x (万元) 求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当生量x 为多少时,平均成本最小? 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C （X ）=100+0.25X 2+6X c (X)= X 100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c (10)= 10100+0.25×10+6=18.5C '(10)=0.5×10+6=11 (2)令'C =－2 100X +0.25=0,得X=20(X=－20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小. 2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求: (1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大? 解：（1）成本函数C （q ）=60q+2000 因为q=1000－10p,即p=100－ 101q 所以收入函数R （q ）=p ×q=(100－101q)q=100q －10 1 q 2 （2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q －101 q 2－(60q+2000) =40q －10 1 q 2－2000 且'L (q)=(40q －10 1 q 2－2000)’=40－0.2q 令'L (q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。 3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的 试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少? 1、 解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p) =250000－400p R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2 利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令 'L (p)=2400－8p=0 得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。 （2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)
清华大学微积分试题库完整
(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。
微积分作业(对外经济贸易大学远程教育)
4x I 2 2 (1 ■ X ） 解 y = （ 2 χ2 / cos x ） cox X 2 2 (2 x cos X X Sin x) 2 cos X 2 2 cos X 导数的运算 1,已知y X 2 —1 A ， 2x (1 X ） B ， 4x 2 (1 X ) C ， 2x 2~2 (1 X ） D ， 4X 2^^2 （1 X ) 1）（1 2 (X —1） （1 2x(1 (1 2 2 X )-（X 1） 2x (1 X 2) 2x ,则 CoS X 2 4x cos X + 2x Sin X A, --------------------- B ， C ， cos X 4 X cos X 2x sin X 2 cos X 2 4x cos X 2x Sin X 2 cos X D, 2 4 cos X 2x Sin X 2 cos X （x ? cos X =2 - （cos x)
4 x cos x 2 XSinX 2 5 y =Sin(In x)3,贝U y =( ）。
3y = sin x,则 y = （) ° 令 u = x 2，贝U y = sin u , y u =CoSU ， U X =2X ， 所以 y xiu U x =2x cos U 2 二 2x cos X o r 2 . 4y = In( χ 订:1 X ）,则 y =( ）。 1 1 _ —1 则y u，U v=IV2 ， V X= 2x U 2 所以y Jx= y u U v V x 今后可约定 1 y^y ?，省略下标 A, cos χ2B, 2 C 2xcos X C, 2 2 cos X D, 2x cos X A, ：‘1 X B, X亠1亠x2 C, D, 1 令y=lnU 2 ,U = XV , V=1+X 1 2x
微积分第七章-无穷级数
第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即
清华大学微积分题库
(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 22 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。
高等数学无穷级数上课习题与答案
第一次作业 1.写出级数√x 2 + x 2?4 + x√x 2?4?6 + x2 2?4?6?8 +?的一般项。 解：一般项为u n=(x 1 2) n (2n)!! 2.已知级数∑2n n! n n ∞ n=1收敛，试求极限lim n→∞ 2n n! n n 。 解：由级数收敛必要条件可知 lim n→∞2n n! n n =0 3.根据级数性质，判定级数∑(1 5n +2n) ∞ n=1 的敛散性。 解：因为级数∑(1 5n ) ∞ n=1收敛，级数∑(2n)发散， ∞ n=1 所以由性质可推导出级数∑(1 n +2n)发散。 ∞ n=1 4.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n?1?√n)的敛散性， ∞ n=1 若收敛，求其和。 解：设u n=√n?1?√n ,S n=√2?1+√3?√2+√4?√3+?+√n?1?√n =√n+1?1= n 1+√n+1 因为lim n→∞S n=lim n→∞ n 1+√n+1 =∞ ,所以所求级数发散。 5.判定级数∑√ n+1 n ∞ n=1 的敛散性。 解：因为lim n→∞u n=lim n→∞ √ n+1 n =1≠0 ，
所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n ∞ n=1 发散 。 6.根据级数性质判定级数 1√2?1 ? 1√2+1 + 1√3?1 ? 1√3+1 +? 的敛散性。 解：原式=( 1√2?1 ? 1√2+1 )+( 1√3?1 ? 1√3+1 )+? =12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n ∞ n=1 第二次作业 1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1 (n +1)2(n +2) 2∞ n=1 的敛散性。 解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2 n 3 由∑1n 3∞ n=1 是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞ n=1 收敛。 2.如果∑a n ∞ n=1 ，∑b n ∞ n=1 为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞ n=1 的敛散性 。 解：因为√n b n ≤a n +b n 2 ,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞ n=1 收敛。 3.根据极限审敛法，判别级数∑sin π 2n 的敛散性 。∞ n=1 解：因为lim n→∞(sin π 2n π2n ?)=1 ,且级数∑π2 n ∞n=1收敛， 所以由极限审敛法知∑sin π 2 n ∞ n=1 收敛。 4.判别级数∑ 1 n 1+ 1n ∞ n=1 的敛散性 。
微积分10无穷级数联系和习题解答
第10章 无穷级数练习和习题解答 练 习 10.1 1.写出下列级数的一般项： (1) +-+-+-111111； 解：该级数一般项为1 )1(--=n n u (2) +-+-9 7535 432a a a a ； 解：该级数一般项为1 2)1(1 1 +-=++n a u n n n (3) ++++17 4 1035221； 解：该级数一般项为1 2+=n n u n (4) +++++-6 3 5241021. 解：该级数一般项为1 2 +-=n n u n 2.用定义判断下列级数的收敛性： (1) ∑∞ =-0 ) 1(n n 解： 01111112=-++-+-= n S ，1111111112=+-++-+-=+ n S 显然n n S ∞ →lim 不存在，故原级数发散. (2) ∑∞ =+1 1 ln n n n 解：ln )1ln(1 ln -+=+=n n n u n [])1ln(ln )1ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n S n ∞=∞ →n n S lim ，故原级数发散. (3) ∑∞ =? 1 5 199n n
解：)511(4995 11)511(51995199519911n n n k k n k k n S -=--==?=∑∑== 4 99 lim =∞→n n S ，故原级数收敛. (4) ∑∞ =-0)1(n n n x 解：x x x x x x S n n n k k n k k k n +--= ----=-=-=∑∑-=-=1)(1)(1)(1)()1(1 1 0 ??? ??≥-≤<<-+=+--=∞→∞→时 或不存在，时1111,111)(1lim lim x x x x x x S n n n n ，所以当11<<-x 时原级数收敛，当1-≤x 或 1≥x 时原级数发散. (5) ∑∞ =+-1 )12)(12(1 n n n 解：?? ? ???+--=+-= )12(1)12(121)12)(12(1n n n n u n ?? ????+-= )12(1121n S n ，21 lim =∞→n n S ，故原级数收敛. 练 习 10.2 1.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1) ∑∞ =-1 21 2n n n ； 解：因为通项)(121 2∞→→-=n n n u n ，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散. (2) ∑∞ =1 6 sin n n π； 解：因为6 sin lim lim π n u n n n ∞ →∞ →=不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.
《微积分(下)》作业答案
《微积分（下）》作业 本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。 客观题部分 一、选择题（每题1分，共15分） 1．级数1 n n u ∞ =∑收敛的充要条件是（ C ） A 、lim 0n n u →∞ = B 、1lim 1 n n n u r u +→∞ =< C 、lim n n S →∞ 存在，()12n n S u u u =++…+ D 、2 1n u n ≤ 2．下列级数中，绝对收敛的是（ C ） A 、( ) 1 1 1n n ∞ -=-∑ B 、() 1121 n n n n ∞ =--∑ C 、1 2 1 3n n ∞ =∑ D 、() () 1 1 1 1ln 1n n n ∞ -=-+∑ 3．二元函数 z = B ） A 、0 x y + > B 、1x y +> C 、()ln 0x y +≠ D 、1x y +≠ 4．级数()() 1 1 2121n n n ∞ =-+∑ 的和是（ A ） A 、1 2 B 、2 C 、3 D 、1 3 5．若级数1 n n u ∞ =∑发散，则级数()1 0n n au a ∞ =≠∑（ A ） A. 一定发散 B 、一定收敛 C 、可能收敛也可能发散 D 、0a >时收敛，0 a <时发散 6．级数() 1 23 n n n x n ∞ =-?∑ 的收敛半径是（ D ）
A 、2 B 、1 2 C 、1 3 D 、3 7．设积分区域D 是由曲线2,1x y ==所围成的平面图形，则D dxdy ??=（ A ） A 、8 B 、 4 C 、 2 D 、4- 8．下列级数中，绝对收敛的是（ C ） A 、( ) 1 11n n ∞ +=-∑ B 、() ()110n n a n a ∞ =->+∑ C 、() () 1 2 1 121n n n -∞ =--∑ D 、( ) 1 1 11 n n n n ∞ =--+∑ 9．设12y x z -??= ??? ，则 z x ??=（ D ） A. 1ln 2 2y x - ?? ? ?? B 、2 2 y x y x -? C 、112y x y x - ?? -- ? ?? D 、2 2 ln 2 y x y x -? 10．微分方程'3xy y + =的通解为（ A ） A 、3C y x =+ B 、3y C x =+ C 、3 C y x =-- D 、3 C y x =- 11．已知级数1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑，n n u v 0≤≤，则（ C ） A 、当1n n u ∞ =∑收敛时，1n n v ∞ =∑发散 B 、当1n n v ∞ =∑发散时，1n n u ∞ =∑发散 C 、当1 n n u ∞ =∑发散时，1 n n v ∞ =∑发散 D 、当1 n n v ∞ =∑发散时，1 n n u ∞ =∑收敛 12．设()ln x y z e e =+，则 2 z x y ???=（ B ） A 、 y x y e e e + B 、 () 2 x y x y e e e e -+ C 、 () 2 x y x y e e e e + D 、 x x y e e e + 13． ()()//0000,,,x y f x y f x y 存在，则函数(),f x y 在点()00,x y （ C ）
关于清华大学高等数学期末考试
关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020
清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。
微积分基础作业
微积分基础形成性考核作业（一） ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 2．函数x x f -=51)(的定义域是 ． 3．函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ． 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ． 5．函数???>≤+=0e 0 2)(2x x x x f x ，则=)0(f ． 6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 7．函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ． 8．=∞→x x x 1 sin lim ． 9．若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数
3．函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于（ ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ ） ． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 6．函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是（ ）． A ． ),1(+∞ B ．),1()1,0(+∞? C ．),2()2,0(+∞? D ．),2()2,1(+∞? 7．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 10．当=k （ ）时，函数???=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连 续。