线性代数试题及答案

第一部分选择题单项选择题

1.设行列式a a

a a

1112

2122

=m,

a a

a a

1311

2321

=n,则行列式

a a a

a a a

111213

212223

+

+

等于(D)

A. m+n

B. -(m+n)

C. n-m

D. m-n

2.设矩阵A=

100

020

003

?

?

?

?

?

?

?

,则A-1等于(B)

A.

1

3

00

1

2

001

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

B.

100

1

2

00

1

3

?

?

?

?

?

?

?

?

??

C.

1

3

00

010

00

1

2

?

?

?

?

?

?

?

??

D.

1

2

00

1

3

001

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3.设矩阵A=

312

101

214

-

-

-

?

?

?

?

?

?

?

,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是(B)

A. –6

B. 6

C. 2

D. –2

4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有(D )

A. A =0

B. B≠C时A=0

C. A≠0时B=C

D. |A|≠0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于(C)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则(D)

A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0

C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0

D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+

λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r,则A中(C )

A.所有r-1阶子式都不为0

B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0

D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是(A)

A.η1+η2是Ax=0的一个解

B.1

2

η1+

1

2

η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆,则必有(A)

A.秩(A)

B.秩(A)=n-1

C.A=0

D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是(B)

A.如存在数λ和向量α使A α=λα,则α是A 的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α,使(λE -A )α=0,则λ是A 的特征值

C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1,λ2,λ3是A 的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A 的属于λ1,λ2,

λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根,A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ,则必有(A ) A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵,则下列结论错误的是(B ) A.|A|2必为1 B.|A |必为1

C.A -1=A T

D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C T AC .则(D ) A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价

C. A 与B 有相同的特征值

D. A 与B 合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为(C ) A.2334??

?

?

? B.3426??

?

?

? C.100023035--?? ??

???

D.111120102?? ??

??? 第二部分 非选择题(共72分)

二、填空题

15.111

35692536

= 6 .

16.设A =111111--??

???,B =112234--?? ???.则A +2B =337137--?? ?

?

?

17.设A =(a ij )3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 . 18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a )线性相关,则a= –10 .

19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c 为任意常数.

20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r(

21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)=–5. 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为–2.

23.设矩阵A =010********---?? ?????,已知α=212-?? ??

?

??是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为1.

24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为z z z z 12223242

++-. 三、计算题

25.设A=

120

340

121

-

?

?

?

?

?

?

?

,B=

2

2

3

4

1

-

-

?

?

?

?

?.求(1)AB T;(2)|4A|.

解(1)AB T=

120

340

121

22

34

10 -

?

?

?

?

?

?

?

-

-

?

?

?

?

?

?

?=

86

1810

310

?

?

?

?

?

?

?

.

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

|A|=120

340

121

2 -

=-.

所以|4A|=64·(-2)=-128

26.试计算行列式3112 5134 2011 1533

-

--

-

--

.

解3112

5134

2011

1533

5111

11131

0010

5530

-

--

-

--

=

-

--

--

=

511

1111

550

--

--

=511

620

550

62

55

301040 -

--

=

-

--

=+=.

27.设矩阵A=

423

110

123

-

?

?

?

?

?

?

?

,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

(A-2E)-1=

223

110

121

143

153

164

1

-

-

?

?

?

?

?

?

?

=

--

--

-

?

?

?

?

?

?

?

-

.

所以B=(A-2E)-1A=

143

153

164

423

110

123

--

--

-

?

?

?

?

?

?

?-

?

?

?

?

?

?

?

=3862962129-----?? ??

???. 28.给定向量组α1=-?? ??

?

??

?

2103,α2=1324-?? ??????,α3=3021-?? ??????,α4=0149-?? ?

?????.

试判断α

4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。

解一 ----??

???????→?-----??

??

?

???

213

01

30102243

419053213010112013112 ?→?--??

?????

??→???

?

?

?

?

?

?

10

3

50112008800141410350

11200110000

?→???

?

?

?

?

?

?

1002010100110

000,

所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1). 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,

即 -++=-=-+=+-=???????230312243491231223123x x x x x x x x x x .

方程组有唯一解(2,1,1)T ,组合系数为(2,1,1).

29.设矩阵A =12102242662102333334-----??

??

????. 求:(1)秩(A );

(2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。 解 对矩阵A 施行初等行变换

A ?→?-----??

??

????12102000620328209632 ?→?-----?? ???????→?----?? ?

???

?

?121020328300062000217121

20328300031000

00=B .

(1)秩(B )=3,所以秩(A )=秩(B )=3.

(2)由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系,而B 是阶梯形,B 的第1、2、4列是

B 的列向量组的一个最大线性无关组,故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。

(A 的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)

30.设矩阵A=0222342

43----?? ???

??

的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .

解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=(2,-1,0)T , ξ2=(2,0,1)T .

经正交标准化,得η1=255550//-?? ?????,η2=2515451553///?? ??

?

??.

λ=-8的一个特征向量为

ξ3=122-?? ??

???

,经单位化得η3=132323///.-?? ?

????

所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--?? ?

?

?

??.

对角矩阵 D =100010008-?? ?

?

?

??.

(也可取T =25521515130532355451523////////---?? ??

?

??.)

31.试用配方法化下列二次型为标准形

f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 122232

12132323444+-+--, 并写出所用的满秩线性变换。

解 f(x 1,x 2,x 3)=(x 1+2x 2-2x 3)2-2x 22+4x 2x 3-7x 32

=(x 1+2x 2-2x 3)2-2(x 2-x 3)2-5x 32.

设y x x x y x x y x 1123

2233

322=+-=-=???

?

???, 即x y y x y y x y 112223332=-=

+=?????, 因其系数矩阵C =120011001-?? ?

?

?

??可逆,故此线性变换满秩。

经此变换即得f(x 1,x 2,x 3)的标准形 y 12-2y 22-5y 32 .

四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)

32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且(E -A )-1=E +A +A 2. 证 由于(E -A )(E +A +A 2)=E -A 3=E ,

所以E -A 可逆,且

(E -A )-1= E +A +A 2 .

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

(1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解; (2)η0,η1,η2线性无关。

证 由假设A η0=b ,A ξ1=0,A ξ2=0.

(1)A η1=A (η0+ξ1)=A η0+A ξ1=b ,同理A η2= b , 所以η1,η2是Ax =b 的2个解。 (2)考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0,

即 (l 0+l 1+l 2)η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.

则l 0+l 1+l 2=0,否则η0将是Ax =0的解,矛盾。所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.

又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l 1=0,l 2=0,从而 l 0=0 .

所以η0,η1,η2线性无关。

一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)

1. 若02

2

1

50

1

31

=---x ,则=χ_____5 _____。 2.若齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足1≠λ。

3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是n n s s ??,阶矩阵。

4.矩阵???

?

?

??=32312221

1211

a a a a a a A 的行向量组线性相关。 5.n 阶方阵A 满足032

=--E A A ,则=-1

A E A 3-。

二、判断正误

1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。(× )

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( √ )

3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。(√)

4. ????

?

?

??????=0100100000010010A ,则A A =-1。(√)

5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1

-A 的特征值为λ。 (× )

三、单项选择题

1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T

A A (③ )。

① n 2 ② 12-n ③ 1

2+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是(③ )

。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关

② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,,, 21中不含零向量

3. 下列命题中正确的是(③ )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关

4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是(②)。

① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B

可逆

③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆,则 A ,B

均可逆

5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的(① )

① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量

四、计算题 ( 每小题9分,共63分)

1. 计算行列式

x a b c d a

x b c d

a b x c d a

b c x d ++++。

解·

3

)(0

0000

000

01)

(1

111

)

(x d c b a x x

x x d c b d c b a x d

x c

b d

c x b

d c b x d c b d c b a x d x c

b

d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c

b

a

d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=

++++

2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103???

?

? ??= 求B 。

.

A

B E A =-)2(

??

??

?

?????-----=--111122112)2(1

E A ,

??

??

?

?????-----=-=-322234225)2(1A E A B

3. 设,100011000110

0011

??????

?

?---=B ??????

??=2000120

0312043

1

2C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。

()[]

()

[]

?????

???????---=-=?????????

???---=-?????

??

?????=-??

???????

???=---121

01

21001200011210012100120001

12

3

4

012300120001)(1000

21003210

43

2

11

'1

''B C E X B C B C B C ,,

4. 问a 取何值时,下列向量组线性相关?123112211

,,221122a a a ααα????-?? ? ?- ? ? ?

? ? ?=-==- ? ? ?

? ? ?- ? ? ?-?? ?

????

)22()12(81

2

12121212

1212321-+=-----

-=a a a a a a a a ,,当21-=a 或1=a 时,向量组

321a a a ,,线性相关。

5. λ为何值时,线性方程组???

??-=++-=++-=++2

23321

321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组

有无穷多解时求其通解。

① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解

③当1=λ时,有无穷多组解,通解为????

??????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c

6. 设.77

103 ,1301 ,3192 ,01414321????

??

? ??--=??????? ??--=??????? ??--=??????? ??=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。

????

?

????

???-=?????

???????------→????????????--------→?????????

???------=000011002010200113130016160024103121713010430241031217130731110094312

1)(4321a a a a ,,,

则 ()34321=a a a a r ,,,,其中321a a a ,,构成极大无关组,321422a a a a ++-=

7. 设100010021A ?? ?

= ? ???,求A 的特征值及对应的特征向量。

0)1(1

20

01

013=-=----=-λλλλλA E

特征值1321===λλλ,对于λ1=1,??????????-=-020*******A E λ,特征向量为????

??????+??????????100001l k 五、证明题 (7分)

若A 是n 阶方阵,且,I AA =T

1-=A 证明 0=+I A 。其中I 为单位矩阵。

()()'

+-='+-='+='+=+A I A I A I A A A A I A

∴()02=+A I , ∵()0=+A I

一、选择题

1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,则必有(C )

(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ; (C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。 2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,则必有(D )

(A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。 3、设A 为n m ?矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是(A ) (A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关; (C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是(A )

(A) A 的秩小于n ; (B) 0A ≠;

(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零; 二、填空题

5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,则*A =-125。

6、A 为n n ?阶矩阵,且220A A E --=,则1(2)A E -+=

2

π。 7、已知方程组???

?

? ??=????? ??????? ??-+4312123212

1321x x x a a 无解,则a =-1。

8、二次型222

1231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是

5

3>t 。 三、计算题

9、计算行列式1111

1

111

11111111x x D y y

+-=

+-

解:第一行减第二行,第三行减第四行得:

1111

001111x

x

x D y y y

-=

-

第二列减第一列,第四列减第三列得:000110

000101x x D y y

-=-

按第一行展开得

100001x D x y y -=-

按第三列展开得

220

1x D xy x y y

-=-=。

10、计算n 阶行列式

121212333

n n

n n x x x x x x D x x x ++=+

解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子???

??+∑=n i i x 13,再通过行列式的变

换化为上三角形行列式

2

2121

13313

n

n n n i i n x x x x D x x x =+??=+ ???+∑

2110

3030

3

n

n i i x x x =??=+ ???∑

1

13

3n n i i x -=??

=+ ???

∑ 四、证明题

11、若向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关。证明: (1) 1α能有23,αα线性表出; (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。

证明:

(1)、 因为332,ααα,线性无关,所以32αα,线性无关。, 又321ααα,,线性相关,故1α能由32αα,线性表出。 (4分)

123()3r ααα=,,, (2)、(反正法)若不,则4α能由321,ααα,线性表出, 不妨设3322114ααααk k k ++=。 由(1)知,1α能由32αα,线性表出, 不妨设32211αααt t +=。

所以3322322114)(αααααk k t t k +++=, 这表明432,ααα,线性相关,矛盾。

12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+。 证明

(1) (())()2E f A E A E ++=; (2) (())f f A A =。 证明

(1)1(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -++=+-++

1()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-=

(2)1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+

由(1)得:11

[()]()2

E f A E A -+=+,代入上式得

11111

(())[()()]()()()()()222f f A E E A E A E A E A E A E A E A --=--++=+--++

11

()()22

E A E A A =

+--= 五、解答题

13、设200032023A ?? ?

= ? ???

,求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。

解:(1)由0E A λ-=得A 的特征值为11λ=,22λ=,35λ=。

(2)11λ=的特征向量为1011ξ?? ?

=- ? ???,

22λ=的特征向量为2100ξ?? ?

= ? ???,

35λ=的特征向量为3011ξ?? ?

= ? ???

(3)因为特征值不相等,则123,,ξξξ正交。

(4)将123,,ξξξ

单位化得1011p ???=-???,2100p ?? ?

= ? ???

,3011p ???=???

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

(5)取(

)123010,,00P p p p ??

? ? == ?(6)1

100020005P AP -??

?= ? ???

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

14、已知方程组???

??=++=++=++0

402032213213

21x a x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解。

求a 的值。

解:该非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程组为

0=Ax

因3)(=A R ,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。

另一方面,记向量)(2321ηηηξ+-=,则

022)2(321321=--=--=--=b b b A A A A A ηηηηηηξ

直接计算得0)6,5,4,3(≠=T ξ,ξ就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为

????

??

? ??+??????? ??=+=543265431k k x ηξ,R k ∈。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知1η,2η,3η是它的三个解

向量,且

???????

??=54321η,??????? ??=+432132ηη

求该方程组的通解。

解:将①与②联立得非齐次线性方程组:

???????-=++=++=++=++.12,04,02,032132

213

213

21a x x x x a x x ax x x x x x

若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.

对③的增广矩阵A 作初等行变换得:

→??????? ??-=112104102101

112a a a

A ?????

?? ??-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .

1°当1a =时,有()()23r A r A ==<,方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部

公共解即为③的通解,此时

??????

? ??→0000000000100101A ,

则方程组③为齐次线性方程组,其基础解系为: ???

?

?

??-101,

所以①与②的全部公共解为???

?

? ??-101k ,k 为任意常数.

2° 当2a =时,有()()3r A r A ==,方程组③有唯一解, 此时

??????

? ??-→0000110010100001A ,

故方程组③的解为:

1

1

??

?

?

?

-??

, 即①与②有唯一公共解

1

1

x

??

?

= ?

?

-??

.

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