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2012年中考复习二次函数(典型试题)

2012年中考复习二次函数(典型试题)
2012年中考复习二次函数(典型试题)

中考复习专题——二次函数知识点总结

二次函数知识点:

1.二次函数的概念:一般地,形如2

y ax bx c =++(a b c ,

,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,

可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.

⑵ a b c ,

,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:

结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结:

2. 2y ax c =+的性质:

结论:上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质:

结论:左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质:

总结:

二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k

=-+,确定其顶点坐标()

h k

,;

⑵保持抛物线2

y ax

=的形状不变,将其顶点平移到()

h k

,处,具体平移方法如下:

【或左(h<0)】

向右(h>0)【或左(h

平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

三、二次函数()2

y a x h k

=-+与2

y ax bx c

=++的比较

请将2

245

y x x

=++利用配方的形式配成顶点式。请将2

y ax bx c

=++配成()2

y a x h k

=-+。

总结:

从解析式上看,()2

y a x h k

=-+与2

y ax bx c

=++是两种不同的表达形式,后者通过配

方可以得到前者,即

22

4

24

b a

c b

y a x

a a

-

??

=++

?

??

,其中

2

4

24

b a

c b

h k

a a

-

=-=

,.

四、二次函数2

y ax bx c

=++图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数2

y ax bx c

=++化为顶点式2

()

y a x h k

=-+,确

定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般

我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点()

0c

,、以及()

0c

,关于对称轴对称的点

()

2h c

,、与x轴的交点()

1

x,,()

2

x,(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对

称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

五、二次函数2

y ax bx c

=++的性质

1. 当0

a>时,抛物线开口向上,对称轴为

2

b

x

a

=-,顶点坐标为

2

4

24

b a

c b

a a

??

-

-

?

??

,.

2

b

x

a

<-时,y随x的增大而减小;当

2

b

x

a

>-时,y随x的增大而增大;当

2

b

x

a

=-时,

y有最小值

2

4

4

ac b

a

-.

2. 当0

a<时,抛物线开口向下,对称轴为

2

b

x

a

=-,顶点坐标为

2

4

24

b a

c b

a a

??

-

-

?

??

,.当

2

b

x

a

<-时,y随x的增大而增大;当

2

b

x

a

>-时,y随x的增大而减小;当

2

b

x

a

=-时,y有

最大值

2

44ac b

a

-.

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);

2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都

可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.

⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.

总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决

定开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,

当0b >时,02b

a -

<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b

a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;

当0b <时,02b

a

->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.

⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即

当0b >时,02b

a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;

当0b =时,02b

a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;

当0b <时,02b

a

-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.

总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.

3. 常数项c

⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;

⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.

总之,只要a b c ,

,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y a x b x c =---;

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =---;

2. 关于y 轴对称

2y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y a x b x c =-+;

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =++;

3. 关于原点对称

2y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y a x b x c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称

2

y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是22

2b y a x b x c a

=--+-;

()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =--+. 5. 关于点()m n ,

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ,

对称后,得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因

此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:

① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠

的两根.这两点间的距离21AB x x =-=

② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >;

2'

当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,

b ,

c 的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

图像参考:

y=-2x 2

y=3(x+4)2

2

y=3x 2

y=-2(x-3)2

2

2-3

2

第二部分 典型习题

1.抛物线y =x 2

+2x -2的顶点坐标是 ( D )

A.(2,-2)

B.(1,-2)

C.(1,-3)

D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )

A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c

>0 D.ab <0

,c <0

第2,3题图 第4题图

3.二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示,则下列结论正确的是( D ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0

4.如图,已知?ABC 中,BC=8,BC 上的高h =4,D 为BC 上一点,EF BC //,交AB 于点E ,交AC 于点F (EF 不过A 、B ),设E 到BC 的距离为x ,则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致

为( D )

D

2482,484

EF x

EF x y x x

-=?=-∴=-+ 5.抛物线322

--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为 4 .

6.已知二次函数11)(2k 2

--+=x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x (21x x <)

,则对于下列结论:①当x =-2时,y =1;②当2x x >时,y >0;③方程011)(22

=-+-x k kx 有两个不相等的实数

根1x 、2x ;④11-<x ,12>-x ;⑤21x x -,其中所有正确的结论是 ①③④ (只需填写序号).

7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;一抛物线的解析式为

()c x b x y ++-=102.

(1)若该抛物线过点B ,且它的顶点P 在直线b x y +-=2上,试确定这条抛物线的解析式; (2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过C 点,试确定直线b x y +-=2的解析式.

解:(1)102

-=x y 或642

--=x x y

将0)b (,代入,得c b =.顶点坐标为21016100

(,)24

b b b +++-,由题意得

第9题

21016100224

b b b b +++-?+=-,解得1210,6b b =-=-.

(2)22--=x y

8.有一个运算装置,当输入值为x 时,其输出值为y ,且y 是x 的二次函数,已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-. (1)求此二次函数的解析式;

(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.

解:(1)设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,

则???

????-=++-=+?+?=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即???

??-=+=--=1

423

b a b a

c ,解得?????-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . (2)函数图象如图所示.

由图象可得,当输出值y 为正数时, 输入值x 的取值范围是1-x .

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一

头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下

图.请根据图象回答:

⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多

少时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到

22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式.

解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

⑶()221024216

12

≤≤++-

=x x x y 10.已知抛物线4)33

4(2

+++=x a ax y 与x 轴交于A 、

B 两点,与y 轴交于点

C .是否存在实数a ,使得 △ABC 为直角三角形.若存在,请求出a 的值;若不 存在,请说明理由.

解:依题意,得点C 的坐标为(0,4).

设点A 、B 的坐标分别为(1x ,0),(2x ,0), 由04)334

(2

=+++x a ax ,解得 31-=x ,a

x 342-=. ∴ 点A 、B 的坐标分别为(-3,0),(a

34

-,0). ∴ |334

|+-

=a

AB ,522=+=OC AO AC , =+=22OC BO BC 22

4|34|+-

a

. ∴ 98

91693432916|334|2222

+-=+??-=+-

=a

a a a a AB , 252

=AC ,169162

2+=a BC . 〈ⅰ〉当2

2

2

BC AC AB +=时,∠ACB =90°. 由2

2

2

BC AC AB +=,

得)16916

(259891622++=+-a

a a .

解得 41

-=a .

∴ 当41-=a 时,点B 的坐标为(316,0),96252=AB ,252

=AC ,9

4002=BC .

于是2

2

2

BC AC AB +=.

∴ 当4

1

-=a 时,△ABC 为直角三角形.

〈ⅱ〉当2

2

2

BC AB AC +=时,∠ABC =90°. 由2

2

2

BC AB AC +=,得)16916

()98916(252

2+++-=a a a . 解得 94

=

a . 当94=a 时,39

434

34-=?=-a ,点B (-3,0)与点A 重合,不合题意.

〈ⅲ〉当2

2

2

AB AC BC +=时,∠BAC =90°. 由2

2

2

AB AC BC +=,得)98

916(25169162

2+-+=+a a

a . 解得 9

4

=

a .不合题意. 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当4

1

-=a 时,△ABC 为直角三角形.

11.已知抛物线y =-x 2+mx -m +2.

(1)若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且AB

m 的值; (2)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.

解: (1)A(x 1,0),B(x 2,0) . 则x 1 ,x 2是方程 x 2-mx +m -2=0的两根. ∵x 1 + x 2 =m , x 1·x 2 =m -2 <0 即m <2 ;

又AB =∣x 1 — x 2

=∴m 2-4m +3=0 .

解得:m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . (2)M(a ,b),则N(-a ,-b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,

∴2

22,2.a ma m b a ma m b ?-+-+=??

---+=-?? ①

①+②得:-2a 2-2m +4=0 . ∴a 2=-m +2 . ∴当m <2时,才存在满足条件中的两点M 、N.

∴a = .

这时M 、N 到y

, 又点C 坐标为(0,2-m ),而S △M N C = 27 , ∴23

1

2

3(2-m

∴解得m=-7 .

12.已知:抛物线t ax ax y ++=42

与x 轴的一个交点为A (-1,0). (1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标;

(2)D 是抛物线与y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以AB 为一底的

梯形ABCD 的面积为9,求此抛物线的解析式;

(3)E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点,如果点E 在(2)中的抛物线上,且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧,问:

在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△APE 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解法一:

(1)依题意,抛物线的对称轴为x =-2. ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A (-1,0),

∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).

(2)∵ 抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1, 0), ∴ 0)1(4)1(2=+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342++=.

∴ D (0,3a ).∴ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线a ax ax y 342++= 上,

∵ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4.

∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ 9)(2

1=OD CD AB ?+.∴ 93)42(21

=+a .

∴ a ±1.

∴ 所求抛物线的解析式为342

++=x x y 或342

---ax x y =. (3)设点E 坐标为(0x ,0y ).依题意,00<x ,00<y ,

且2

5

00

=x y .∴ 0025x y =-.

①设点E 在抛物线342

++=x x y 上,

∴3402

00++=x x y .

解方程组?????34,25020000++==-x x y x y 得???-;=,=15600y x ???

???

?'-'.=,=452

100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x =-2的同侧,∴ 点E 坐标为(21-

,4

5

). 设在抛物线的对称轴x =-2上存在一点P ,使△APE 的周长最小. ∵ AE 长为定值,∴ 要使△APE 的周长最小,只须PA +PE 最小. ∴ 点A 关于对称轴x =-2的对称点是B (-3,0), ∴ 由几何知识可知,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y +=,

∴ ?????-.03,4521=+-=+n m n m 解得???

???

?

.23,2

1==n m ∴ 直线BE 的解析式为2321+=

x y .∴ 把x =-2代入上式,得2

1=y . ∴ 点P 坐标为(-2,

2

1

). ②设点E 在抛物线342---x x y =上,∴ 3402

00---x x y =.

解方程组?????

---.

34,250200

00x x y x y ==- 消去0y ,得03x 23x 02

0=++.

∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根. 综上,在抛物线的对称轴上存在点P (-2,2

1

),使△APE 的周长最小. 解法二:

(1)∵ 抛物线t ax ax y ++=42

与x 轴的一个交点为A (-1,0), ∴ 0)1(4)1(2=+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342

++=. 令 y =0,即0342

=++a ax ax .解得 11=-x ,32=-x .

∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).

(2)由a ax ax y 342

++=,得D (0,3a ). ∵ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线

a ax ax y 342++=上,

∴ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴

9)(2

1

=+OD CD AB ?.解得OD =3.

∴ 33=a .∴ a ±1.

∴ 所求抛物线的解析式为342++=x x y 或342--=-x x y .

(3)同解法一得,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. ∴ 如图,过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q .设对称轴与x 轴的交点

F .

由PF ∥EQ ,可得EQ

PF BQ BF =

.∴ 4

5251PF

=.∴ 21=PF . ∴ 点P 坐标为(-2,2

1

).

以下同解法一.

13.已知二次函数的图象如图所示.

(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标.

(2)若点N 为线段BM 上的一点,过点N 作x 轴的垂线,垂足为点Q .当点N 在线段BM 上运动时(点N 不与点B ,点M 重合),设NQ 的长为l ,四边形NQAC 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围;

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使△PAC 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).

解:(1)设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ,

∴ )2(12-??=-a .∴ 1=a .∴ 22

--=x x y .

其顶点M 的坐标是??

? ??-

4921

,. (2)设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=,点N 的坐标为N (t ,h ),

∴ ???

??+=-+=.2

14920b k b k ,

.解得23=k ,3-=b .

∴ 线段BM 所在的直线的解析式为32

3

-=

x y . ∴ 323-=t h ,其中221<

1

432+-=t t .

∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ,自变量t 的取值范围是22

1

<

(3)存在符合条件的点P ,且坐标是1P ??? ??4725,,??

? ??-45232,P . 设点P 的坐标为P )(n m ,,则22

--=m m n .

222)1(n m PA ++=,5)2(2222=++=AC n m PC ,.

分以下几种情况讨论:

i )若∠PAC =90°,则2

22AC PA PC +=.

∴ ?????+++=++--=.

5)1()2(222222n m n m m m n ,

解得:251=

m ,12-=m (舍去). ∴ 点??

?

??47251,P . ii )若∠PCA =90°,则2

2

2

AC PC PA +=.

∴ ?????+++=++--=.

5)2()1(22

2222n m n m m m n ,

解得:02343==

m m ,(舍去).∴ 点??? ??452

32,-P . iii )由图象观察得,当点P 在对称轴右侧时,AC PA >,所以边AC 的对角∠APC 不可能是直

角.

(4)以点O ,点A (或点O ,点C )为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA (或边OC )

的对边上,如图a ,此时未知顶点坐标是点D (-1,-2),

以点A ,点C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上,如图b ,此时未

知顶点坐标是E ???

??-5251,,F ??

? ??-5854,.

图a 图b

14.已知二次函数22

-=ax y 的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图

象与x 轴的交点的个数. 解:根据题意,得a -2=-1.

∴ a =1. ∴ 这个二次函数解析式是22

-x y =.

因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x 轴有两个交点. 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB =5 cm ,拱高OC =0.9 cm ,线段DE 表示大桥拱内桥长,DE ∥AB ,如图(1).在比例图上,以直线AB 为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,以1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).

(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;

(2)如果DE 与AB 的距离OM =0.45 cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:4.12≈,计

算结果精确到1米).

解:(1)由于顶点C 在y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 109

2

+=ax y . 因为点A (25-,0)(或B (25

,0))在抛物线上, 所以109)25(02+=-?a ,得12518=-a .

因此所求函数解析式为)25

25(109125182≤≤-x x y +=-. (2)因为点D 、E 的纵坐标为209, 所以

109125182092+-x =,得245

±=x .

所以点D 的坐标为(245-,209),点E 的坐标为(245,20

9).

所以2

2

5)245(245=

-=

-DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为

385227501.0110002

2

5≈??=(米)

. 16.已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A 、B 是x 轴正半轴上的两点,点A 在点B 的左侧,如

图.二次函数c bx ax y ++=2

(a ≠0)的图象经过点A 、B ,与y 轴相交于点C .

(1)a 、c 的符号之间有何关系?

(2)如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项,试证

a 、c 互为倒数;

(3)在(2)的条件下,如果b =-4,34=AB ,求a 、c 的值. 解:

(1)a 、c 同号. 或当a >0时,c >0;当a <0时,c <0.

(2)证明:设点A 的坐标为(1x ,0),点B 的坐标为(2x ,0),则210x x <<.

∴ 1x OA =,2x OB =,c OC =.

据题意,1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ++的两个根. ∴ a

c x x =

?21. 由题意,得2

OC OB OA =?,即2

2

c c a

c ==.

所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时,a 、c 互为倒数. (3)当4-=b 时,由(2)知,0421>==-+a

a b x x ,∴ a >0. 解法一:AB =OB -OA =212

21124)(x x x x x x -+=-,

∴ a

a ac a c a

AB 3

2416)(4)4

(2

2

=-=

=-. ∵ 34=AB , ∴

343

2=a

.得21=a .∴ c =2.

解法二:由求根公式,a

a a ac x 3

22416424164±-±-±=

==

, ∴ a

x 3

21-=

,a x 322+=.

∴ a

a a x x OA OB AB 3

2323212=

--=

-=-=+. ∵ 34=AB ,∴

343

2=a

,得21=a .∴ c =2.

17.如图,直线33

3

+-

=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,⊙E 经过原点O 及A 、B 两点. (1)C 是⊙E 上一点,连结BC 交OA 于点D ,若∠COD =∠CBO ,求点A 、B 、C 的坐标; (2)求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式:

(3)若延长BC 到P ,使DP =2,连结AP ,试判断直线PA 与⊙E 的位置关系,并说明理由.

解:(1)连结EC 交x 轴于点N (如图).

∵ A 、B 是直线33

3

+-

=x y 分别与x 轴、y 轴的交点.∴ A (3,0),B )3,0(. 又∠COD =∠CBO . ∴ ∠CBO =∠ABC .∴ C 是的中点. ∴ EC ⊥OA .

∴ 2

32,2321====

OB EN OA ON . 连结OE .∴ 3==OE EC . ∴ 23=

-=EN EC NC .∴ C 点的坐标为(2

3

,23-). (2)设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y . ∵ C (23,23-). ∴)323(2323-?=-a .∴ 39

2

=a .

∴ x x y 8

3

29322-=

为所求. (3)∵ 3

3

tan =

∠BAO , ∴ ∠BAO =30°,∠ABO =50°. 由(1)知∠OBD =∠ABD .∴ ?=??-∠=∠30602

1

21ABO OBD .

∴ OD =OB 2tan30°-1.∴ DA =2. ∵ ∠ADC =∠BDO =60°,PD =AD =2. ∴ △ADP 是等边三角形.∴ ∠DAP =60°.

∴ ∠BAP =∠BAO +∠DAP =30°+60°=90°.即 PA ⊥AB . 即直线PA 是⊙E 的切线.

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.

二次函数经典例题及答案

二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点

2016年中考复习《二次函数》综合测试题及答案

2016年中考复习《二次函数》综合测试题及答案 一、与线段、周长有关的问题 1. 如图,抛物线y =x 2+bx +c 过点A (3,0),B (1,0),交y 轴于点C ,点P 是该抛物线上一动点,点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合),过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D . (1)求抛物线的解析式; (2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值; (3)在抛物线对称轴上是否存在点M ,使|MA-MC |的值最大?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 第1题图 备用图 2. (2015珠海)如图,折叠矩形OABC 的一边BC ,使点C 落在OA 边的点D 处,已知折痕BE =55,且 OE OD =3 4.以O 为原点,OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,抛物线l :y = -161x 2+21x +c 经过点E ,且与AB 边相交于点F . (1)求证:△ABD ∽△ODE ; (2)若M 是BE 的中点,连接MF ,求证:MF ⊥BD ; (3)P 是线段BC 上一动点,点Q 在抛物线l 上,且始终满足PD ⊥DQ ,在点P 运动过程中,能否使得PD =DQ ?若能,求出所有符合条件的Q 点坐标;若不能,请说明理由.

第2题图 1x2+bx+c 3. (2015孝感改编)在平面直角坐标系中,抛物线y= - 2 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在AC上方的抛物线上有一动点P. ①如图①,过点P作y轴的平行线交AC于点D,当线段PD 取得最大值时,求出点P的坐标; ②如图②,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE∶OE=3∶8,求k的值. 图①图② 第3题图 1x2+bx+c(b、4. (2015天水)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=- 2 c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限. (1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式; (2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在AC上并沿AC方向滑动

中考二次函数压轴题经典题型

中考二次函数压轴题经典题型 1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM 有最大面积,求矩形PNDM的面积最大值? 2、如图,二次函数的图象经过点D(0, 3 9 7 ),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 3.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(1 2 , 5 2 )和B(4,m),点P是线段AB 上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.

4、如图,二次函数y=a+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值。 5、如图1,对称轴x=为直线的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第一象限内抛物线上一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在轴上是否存在这样有点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.

初三数学二次函数测试题及答案

初三数学二次函数测试附详细答案 一、选择题:(把正确答案的序号填在下表中,每题3分,共24分) 1.(3分)与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同,只有位置不同的抛物线是() .C D 2 22 2 5.(3分)直角坐标平面上将二次函数y=﹣2(x﹣1)2﹣2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其 2 7.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有() 8.(3分)(2008?长春)已知反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为()

.C D. 二、填空题:(每空2分,共50分) 9.(10分)已知抛物线y=x2+4x+3,请回答以下问题: (1)它的开口向_________,对称轴是直线_________,顶点坐标为_________; (2)图象与x轴的交点为_________,与y轴的交点为_________. 10.(6分)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过第二、三、四象限,则a_________0,b_________0,c_________ 0. 11.(4分)抛物线y=6(x+1)2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向_________平移_________个单位得到. 12.(2分)顶点为(﹣2,﹣5)且过点(1,﹣14)的抛物线的解析式为_________. 13.(2分)对称轴是y轴且过点A(1,3)、点B(﹣2,﹣6)的抛物线的解析式为_________. 14.(2分)抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是_________. 15.(2分)抛物线y=x2+(m﹣2)x+(m2﹣4)的顶点在原点,则m=_________. 16.(2分)已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方,则m_________. 17.(2分)已知二次函数y=(m﹣1)x2+2mx+3m﹣2,则当m=_________时,其最大值为0. 18.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a_________0,b2﹣4ac_________0. 19.(8分)如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(﹣1,0)、点B(3,0)和点C (0,﹣3),一次函数的图象与抛物线交于B、C两点. (1)二次函数的解析式为_________; (2)当自变量x_________时,两函数的函数值都随x增大而增大; (3)当自变量_________时,一次函数值大于二次函数值; (4)当自变量x_________时,两函数的函数值的积小于0. 20.(2分)已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧,则点M(a,c)在第_________象限. 21.(4分)已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴的正半轴交于B、C两点,且BC=2,S△ABC=3,那么b=_________.

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函

数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误.

最新北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题

二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下:

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得 到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若 与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.

二次函数最经典综合提高题

周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y =-(x +2)2 -3的顶点坐标是( ). (A) (2,-3); (B) (-2,3); (C) (2,3); (D) (-2,-3) 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点,则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣(x ﹣1)2+5,当m ≤x ≤n 且mn <0时,y 的最小值为2m ,最大值为2n ,则m +n 的值为( )A . B .2 C . D . 4、下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( ) A .y = (x ? 2)2 + 1 B .y = (x + 2)2 + 1 C .y = (x ? 2)2 ? 3 D .y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式,则y = . 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是 ( ) A .k <2 B .k <2且k ≠0 C .k ≤2 D .k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ,可知( ) A .其图象的开口向下 B .其图象的对称轴为直线3-=x C .其最小值为1 D .当3

二次函数经典中考试题(含答案)

二次函数经典中考试题(含答案) —、解答题(共30小题) 1. (2013?武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表) : 温度 x/C … -4 - 2 0 2 4 4.5 … 植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度x 的函数,且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. (1) 请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理 由; (2) 温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大? (3) 如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ,那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?请直接写出结果. 2. (2013?莆田)如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 (花坛为轴对称图形).矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形 ABCD 的边长AB=4米,/ ABC=60 °设AE=x 米 (0v x V 4),矩形EFGH 的面积为S 米2. (1) 求S 与x 的函数关系式; (2) 学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草?已知红色花草的价格为 20元咪2,黄色花草的价格为40元咪2?当x 为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求 出最低总费用(结果保留根号)? y 的二元一次方程组 (1) 若a=3.求方程组的解; (2) 若S=a (3x+y ),当a 为何值时,S 有最值. 4. (2013?南宁)如图,抛物线 y=ax 2+c (a 旳)经过C (2,0),D (0,- 1)两点,并与直 线y=kx 交于A 、B 两点,直线I 过点E (0,- 2)且平行于x 轴,过A 、B 两点分别作直线 l 的垂线,垂足分别为点M 、N . (1) 求此抛物线的解析式; (2) 求证:AO=AM ; (3) 探究: ①当k=0时,直线y=kx 与x 轴重合,求出此时 的值; 3. (2013?资阳)在关于 x ,

二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义

解:(1)根据题意,得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y .……4分 (2)令y =0,得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C (5, 0).……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点, 连结AB ,由于262 2= +=OB OA AB , 要使△ABP 的周长最小,只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称,连结BC 交对称轴于点P ,则PB PA += BP +PC =BC ,根据两点之间,线段最短,可得PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=,根据题意,可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解,解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为(2,-3).……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论,求出函数关系式,再求各种情况的最值,最后求出最值。 典型例题: 1如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,BC =6,AD =3,∠DCB =30°.点E 、F 同时从B 点出发,沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍,以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG .设E 点移动距离为x (x >0). ⑴△EFG 的边长是____(用含有x 的代数式表示),当x =2时,点G 的位置在_______; ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ,求 ①当0<x ≤2时,y 与x 之间的函数关系式; ②当2<x ≤6时,y 与x 之间的函数关系式; ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时,存在最大值,并求出最大值. A D

初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .21xy x += B . 220x y +-= C . 22y ax -=- D .2210x y -+= 12.在同一坐标系中,作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象,它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间:120分钟满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列函数不属于二次函数的是() A.y=(x﹣1)(x+2)B.y=(x+1)2 C.y=2(x+3)2﹣2x2D.y=1﹣x2 2.二次函数y=2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是() A.(1,3)B.(﹣1,3)C.(1,﹣3)D.(﹣1,﹣3)3.若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位,再向下平移2个单位,则所得抛物线的解析式为() A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2﹣2 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法不正确的是() A.b2﹣4ac>0 B.a>0 C.c>0 D. 5.给出下列函数:①y=2x;②y=﹣2x+1;③y=(x>0);④y=x2(x<﹣1).其中,y随x 的增大而减小的函数是() A.①②B.①③C.②④D.②③④6.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是() A.B. C.D.

7.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表,则y>0时,x的取值范围是() A.﹣1<x<2 B.x>2或x<﹣1 C.﹣1≤x≤2D.x≥2或x≤﹣1 8.抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为() A.二个交点B.一个交点C.无交点D.三个交点9.在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,则y 与x的函数关系式为() A.y=πx2﹣4 B.y=π(2﹣x)2C.y=﹣(x2+4)D.y=﹣πx2+16π10.如图,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是() A.B.C.D. 二、填空题(每小题3分,共18分) 11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),则二次函数的解析式是. 12.二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为. 13.抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为. 14.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价元,最大利润为元.

初中数学二次函数经典测试题及答案

初中数学二次函数经典测试题及答案 一、选择题 1.四位同学在研究函数2y x bx c =++(,b c 是常数)时,甲发现当1x =时,函数有最小值;乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当 2x =时,4y =,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析,分别求出二次函数的解析式,再判断与假设是否矛盾即可得出结论. 【详解】 解:A .假设甲同学的结论错误,则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得:13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为:2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时,y 的最小值为25 36 -,与丙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意; B .假设乙同学的结论错误,则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时,解得y=4,当x=-1时,y=7≠0 ∴此时符合假设条件,故本选项符合题意; C . 假设丙同学的结论错误,则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得:23b c =-??=-?

∴223y x x =-- 当x=2时,解得:y=-3,与丁的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意; D . 假设丁同学的结论错误,则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时,解得y=7≠0,与乙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意. 故选B . 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式,利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键. 2.抛物线y =-x 2+bx +3的对称轴为直线x =-1.若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t =0(t 为实数)在﹣2<x <3的范围内有实数根,则t 的取值范围是( ) A .-12<t ≤3 B .-12<t <4 C .-12<t ≤4 D .-12<t <3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y =-x 2?2x +3,将一元二次方程-x 2+bx +3?t =0的实数根看做是y =-x 2?2x +3与函数y =t 的交点,再由﹣2<x <3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解:∵y =-x 2+bx +3的对称轴为直线x =-1, ∴b =?2, ∴y =-x 2?2x +3, ∴一元二次方程-x 2+bx +3?t =0的实数根可以看做是y =-x 2?2x +3与函数y =t 的交点, ∵当x =?1时,y =4;当x =3时,y =-12, ∴函数y =-x 2?2x +3在﹣2<x <3的范围内-12<y≤4, ∴-12<t≤4, 故选:C . 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质,能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键. 3.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,下列结论①24b ac >,②0abc <,③20a b c +->,④0a b c ++<.其中正确的是( )

初中数学二次函数经典综合大题练习卷

1、如图9(1),在平面直角坐标系中,抛物线经过A (-1,0)、B (0,3)两点, 与x 轴交于另一点C ,顶点为D . (1)求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标; (2)经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ,若点F 是抛物线上一点,以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形,求点F 的坐标; (3)如图9(2)P (2,3)是抛物线上的点,Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点,求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标. 2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y 2与投资成本x 成二次函数关系,如图②所示(注:利润与投资成本的单位:万元) 图① 图② (1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式; (2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木,请求出他所获得的总利润Z 与投入种植花卉的投 资量x 之间的函数关系式,并回答他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?

3、如图,为正方形的对称中心,,,直线交于,于,点 从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点从出发沿方向以 个单位每秒速度运动,运动时间为.求: (1)的坐标为; (2)当为何值时,与相似? (3)求的面积与的函数关系式;并求以为顶点的四边形是梯形时的值及 的最大值. 4、如图①,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为,顶点C,D在第一象限.点P从点 A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E(4,0)出发,沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t秒. (1)求正方形ABCD的边长. (2)当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示),求P,Q两点的运动速度. (3)求(2)中面积S(平方单位)与时间t(秒)的函数关系式及面积取最大值时点的坐标. (4)若点P,Q保持(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间的增大而减小.当点沿着这两边运动时,使∠OPQ=90°的点有个.

九年级数学《二次函数》综合练习题及答案

九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1.把抛物线y=2x2向上平移1个单位,得到抛物线_______,把抛物线y=-2x2?向下平移3 个单位,得到抛物线________. 2.抛物线y=3x2-1的对称轴是_____,顶点坐标为________,它是由抛物线y=3x2?向_______平移______个单位得到的. 3.把抛物线2向左平移1个单位,得到抛物线_________,把抛物线2?向右平移3个单 位,得到抛物线________. 4.抛物线x-1)2的开口向________,对称轴为______,顶点坐标为_________,?它是由抛物线 2向______平移______个单位得到的. 5.把抛物线y=-1 3 (x+ 1 2 )2向_____平移______个单位,就得到抛物线y=- 1 3 x2. 6.把抛物线y=4(x-2)2向______平移_______个单位,就得到函数y=4(x+2)2的图象. 7.函数y=-(x-1 3 )2的最大值为________,函数y=-x2- 1 3 的最大值为________. 8.若抛物线y=a(x+m)2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2x2的形状相同,?开口方向相同,则点(a,m)关于原点的对称点为________. 9.已知抛物线y=a(x-3)2过点(2,-5),则该函数y=a(x-3)2当x=________?时,?有最____值______.10.若二次函数y=ax2+b,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则x取x1+x2时,函数的值为________.11.一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价格为y?万元,则y与x的函数关系式为() A.y=50(1-x)2 B.y=50(1-x)2 C.y=50-x2 D.y=50(1+x)2 12.下列命题中,错误的是() A.抛物线x2-1不与x轴相交; B.抛物线x2-1与(x-1)2形状相同,位置不同; C.抛物线y=1 2 (x- 1 2 )2的顶点坐标为( 1 2 ,0); D.抛物线y=1 2 (x+ 1 2 )2的对称轴是直线x= 1 2 13.顶点为(-5,0)且开口方向、形状与函数y=-1 3 x2的图象相同的抛物线是() A.y=-1 3 (x-5)2 B.y=- 1 3 x2-5 C.y=- 1 3 (x+5)2 D.y= 1 3 (x+5)2 14.已知a<-1,点(a-1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函数y=1 2 x2-2的图象上,则() A.y1

二次函数典型例题50题

选择 1.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1 2 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 ( ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数,图象的顶点必在 ( ) A.直线y=-x 上 B. 直线y=x 上 C.y 轴上 D.x 轴上 4. 如图2,抛物线 ,OA=OC ,下列关系中正确的是 ( ) A .ac+1=b B .ab+1=c C .bc+1=a D .b a +1=c 5.如图6,是二次函数的图象在x 轴上方的一部分,若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ,则S 取值最接近( ). A.4 B.16 3 C.2π D.8 6.如图7,记抛物线 2 1y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ,将线段OA 分成n 等份,设分点分别为1P ,2P ,…1n P -,过每个分点作x 轴的垂线,分别与抛物线交于点 2 y ax bx c =+ +21 2 2y x =- +

1Q ,2Q ,…1n Q -,再记直角三角形11OPQ ,122PP Q 的面积分别为1S ,2S ,这样就有 21312n S n -=,22342n S n -= ,…;记121 n W S S S -=+++… ,当n 越来越大时,你猜想W 最 接近的常数是( ) A. 23 B. 12 C. 1 3 D.14 7.定义[]为函数 的特征数, 下面给出特征数为 [2m ,1 – m , –1– m] 的函数的一些结论: ① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是(,); ② 当m > 0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于; ③ 当m < 0时,函数在x >时,y 随x 的增大而减小; ④ 当m ≠ 0时,函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有( ) A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 8. (2010宿迁改编)如图11,在矩形ABCD 中, AB=4,BC=6,当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时,直角边线段 MP=A , 设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q .BP=x ,CQ=y ,那么y 与x 之间的函数图象大致是( ) ,,a b c 2 y ax bx c =++3138 23 41 C B A D

初中二次函数知识点及经典题型

二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般 一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应二次好方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式 ))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (3) 顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当a b x 2-=时,a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,那么,首先要看a b 2- 是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内,若在此范围内,则当x=a b 2-时,a b a c y 442-=最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而 增大,则当2x x =时,c bx ax y ++=222最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小;如 果在此范围内,y 随x 的增大而减小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2 x x =时,c bx ax y ++=222最小。 知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质

二次函数综合测试题

学习好资料欢迎下载 周周练(22.1.1~22.1.3) 一、选择题 2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点(=1.二次函数yax) A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2) 2+b(a≠0)的图象经过点(0,2),则-1)a+b的值是() 2.二次函数y=a(xA.-3 B.-1 C.2 D.3 3.(兰州中考)在下列二次函数中,其图象的对称轴为x=-2的是() 22-2x2 B.y=2) A.y=(x+22 2)2(x-.y=D-2 C.y=-2x ) 3),则此抛物线对应的二次函数有(4.如图,抛物线的顶点P的坐标是(1,-3 B.最小值-A.最大值1 1 .最小值 D C.最大值-3 可以近似地表示这一过程的图象是的变化而变化,h随时间t5.在一次足球比赛中,守门员用脚

踢出去的球的高度) ( 12) 的抛物线解析式为((-2,6.形状、开口方向与抛物线y=x0)相同,但是顶点为21122+2)B.y =(x -A.y=(x2) 221122 2)y=-(x+D.(x-2) C.y=-22 ) 7.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为 (

23 3(x-1)+A.y=-23 -1)+B.y=3(x23 +1)+C.y=-3(x23 +1)+D.y=3(x ) (8.图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是

.h=m An =kB.n C.k>0 >>0,kD.h ) 4分,共24分二、填空题(每小题2=________1)xm(m-.-m开口向下,则m9.若抛物线y =22.h的图象,则=________y若二次函数=2xy的图象向左平移2个单位长度后,得到函数=2(x+h)(10.甘孜中考)22,它的顶点坐标是________.=a(x-h)的形式,得+k__________y =11.把二次函数yx6x++4配方成2的大小关系是y的图象上的三点,则9y,, y2)(xy)yC(1)y3B()yA(012.若点,,-,,,为二次函数=+-311223.______________ ,降x.进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是13. 学习好资料欢迎下载 价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为______________. 22的相同,且其最小值为2 53565),则此二次函数解析y=0.6(x-14.二次函数y=axh+的开口方向与开口大小与式为______________________. 三、解答题(共44分) 22+(m-1)x+my=(mm)x-+1. 分15.(10)已知函数(1)若这个函数是一次函数,求m的值;

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