已知ABC是平面上不共线三点

已知ABC是平面上不共线三点，O是三角形ABC外心，动点P满足OP（向量）=[（1-m）OA+(1-m)OB+(1+2m)OC]/3; （OA 、OB、OC皆为向量）。m属于R,则P的轨迹一定通过三角形ABC的什么点？为什么？

空间中的平行关系练习题

1.2.2空间中的平行关系 【目标要求】 1.理解并掌握公理4，能应用其证明简单的几何问题. 2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，明确线线平行与面面平行的关系. 3.能够熟练的应用线面平行的性质定理和判定定理. 1.以下说法中正确的个数是（其中a，b表示直线，表示平面α） ( ) ①若a∥b，b∥α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b ③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b∥α，则a∥b A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a∥α，b∥β，a∥b，则α与β的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是d，则直线AB和平面α的位置关系一定是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB?α 4.当α∥β时，必须满足的条件（） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且 不相交.；其中可能成立的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 7.已知直线a∥平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是 （） A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面 8. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 9.设α，β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（） A.l?α，m?α，且l∥β，m∥β B.l?α，m?β，且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β，且l∥m 10.已知直线a、b，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是（） ①a?α，b?β，a∥b；②a?α，b?α，a∥β，b∥β；③a∥b，a⊥α，b⊥β. A.① B.② C.③ D.均不能 11.若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a，b的位置关系是（） A.垂直 B.平行 C.相交 D.不相交 12.梯形ABCD中AB∥CD，AB?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.平行或相交 C.相交 D. CD平行平面α或CD?α 13.正方体AC1中，E、F、G分别为B1C1、A1D1、A1B1的中点 求证：平面EBD//平面FGA.

证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。 解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C CC B S AC C B S ??= 又易证1 1 AC C CC B ?? .则112 2 2AC C CC B S AC b S CB a ????== ???. 同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222 1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c ??=??=. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。 2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线） 例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数 证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。 记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。 联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ， 易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=， ∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD 因为2AM AE AB AH AD =?=?（B 、D 、H 、E 四点共圆）， 即 AM AD AH AM = ；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ?? ，故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。 因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。 3、利用面积法 如果S S EMN FMN =??，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与 EF 的中点三点共线。 A B C C 1 B 1A 1

平面内点的坐标.1平面内点的坐标教学设计

课题：11 .1.1 第1课时平面内点的坐标 学习目标： 1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点坐标等的概念 2、认识并能画出平面直角坐标系 3、能在给定的直角坐标系中由点的位置写出它的坐标 重点：理解平面直角坐标系的有关知识，在规定的直角坐标系中根据点的位置与它的坐标。 难点：坐标轴上的坐标有什么特点的总结 学习内容及学习流程教学行为提示及方法指导 一目标导学（2分钟） （1）请同学们回顾一下数轴的概念？ 答：规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴 （2）数与数轴有怎样的位置关系 答：是数与数轴上的点是一一对应的关系 二自学自研（14分钟） 知识点1：用有序实数对表示平面上物体的位置 阅读教材P2的问题完成下面的内容 物体在平面内的位置需要从横向和纵向两个方向来确定，因此可以利用有序实数对（a,b）来准确的表示物体的位置。 归纳：用有序实数对（a,b）表示一个物体的位置时，一般用a表示物体的横向位置，用b表示物体的纵向位置，注意a b两者位置不能互换。 范例：如果将一张电影票“2排1号”简记为（2,1）那么电影票（7,9）表示的是什么位置？ 解：（7,9）表示7排9号 变例：小丽在教室里的座位记作（2,5）表示她坐在第二排第五列，那么小强坐在第四列第三排记作（3,4） 知识点2：平面直角坐标系的相关概念 阅读P3~4页回答 1.定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的 数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵 轴，取向上为正方向，两轴的交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面。 建立平面直角坐标系后x轴与y轴把坐标平面分成四部分，每一个部分叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限；坐标轴上的点也就是x轴y轴上的点，不属于任何一个象限。 2.点的坐标[来源学科网] 平面内的任意一点都可以用一对实数来表示，这个实数对就叫做这个点的坐标。已知点P是平面直角坐标系中的一点，若由点P向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，由点P向y轴作垂线，垂足N在y轴上的坐标 是b，a是横坐标，b是纵坐标；则（a,b）就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标。提示：让学生自由举手抢答：答对小组加2分 教学行为提示：学生阅读教材P2~4页后，独立完成知识点1、2，要求做完的组长督促迅速完成。教师及时巡查并帮助自学中有困难的学生。 注意： （1）P（x,y）的横坐标X和纵 坐标Y的顺序是不能任意 交换。如A（3,2）和B（2,3） 表示两个不同点 （2）对于坐标平面内任意一点 P,都有唯一的一个有序实 数对（x,y）和它对应；反 之，对于任意一个有序实 数对（x,y），在坐标平面 内都有唯一的一点P和它 对应

点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法 公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR， PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、 K三点共线． 由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、

RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1 D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1 D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点

七年级数学平面上点的坐标练习题

读书破万卷下笔如有神 《平面直角坐标系》复习测试题 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，点P（2，-3）到x轴的距离为（） Ａ.-2 Ｂ.2 Ｃ.-3 Ｄ.3 米到3040米，再向南走如图1，小明从点O出发，先向西走2. 表示20)(10，40，-30)表示，那么(达点M，如果点M的位置用－）的位置是（图1 D D．点C ．点C A．点A B．点B ）（a-1，3）在（a3.若点A（a-2，）在x轴上，则点B C．第三象限A．第一象限B．第二象限

D．第四象限??在第四象限，在平面直角坐标系中，若点 4.1P?m?3,m）则m的取值范围为（ C.m＜-3 B.m1 A.-3＜m＜＞1 2 图-3 ＞D.m5.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图2所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（）

A．（-2，1）B．（2，1）C．（2，-1）D．（-2，-1）6.如图3，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）．．．图3 ，2（．D ）-2，0（．C ）2，0（．B 0) ，(4．A． 读书破万卷下笔如有神 0） 二、填空题 7.如图4，已知棋子“车”的坐标为（-2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为. 2+2007m）在第二象限，则且点（m-3，4m-5已知8．m为整数，的值为______． 9.已知点与点关于轴对称，则，x?m图4 )，1A(m?，3)nB(2．?n10.第四象限内

的点P(x,y)，满足︱x︱=2，，则点P的坐标29y 为． 11．如图5所示，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2），（－2，2）， 则，?）右图案中左眼的坐标是（3，4_______. 右图案中右眼的坐标是 图 5 图12.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图6所示的

向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用 蒋李萍 201１年１0月2４日 平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛． 应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N

三点共线与三线共点的证明办法

三点共线与三线共点的证明方法 公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD 中作截图PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ．求证M 、N 、K 三点共线． 由题意可知，M 、N 、K 分别在直线PQ 、RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、 DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上， 根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11 ADD A

与平面ABCD的交线DA上，故 D M、DA、CN三线交于点K，即三线 1 共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

平面与平面平行的性质教学设计

《2.2.4平面与平面平行的性质》教学设计 一、教材分析： 本节内容是人教版新教材必修②高一数学第二章第二节的第4课时 平行与垂直是空间中两种特殊而重要的位置关系，也是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与辅助面，找出符号语言与图形语言之间的关系解决问题。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 二、学情分析： 本节内容是在学生已经学习了平行公理，直线与平面平行的判定与性质等内容的基础上的学习，只要掌握了平行线的概念和面与面平行的概念，该性质定理的证明不难理解，难点是选择或添加适当的平面或线，将空间问题转化为平面问题，利用平面图形的几何特征解决问题。 三、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 （2）提高分析解决问题的能力,进一步渗透等价转化的思想。 2、情感态度与价值观 （1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用； （3）通过证明问题，树立创新意识。 四、教学重、难点： 1．重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。 2．难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。 五、教学设想： 学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题，解决问题的能力。学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。 六、教学方法设计： 由直线与直线平行的定义得到的两个平面平行性质定理是证明直线与直线

平行的重要方法。在两个平面平行的性质定理的研究中，重在引导学生如何将两个平面平行的问题转化为直线与直线平行、直线与平面平行的问题。 七、教学流程： ↓ ↓ ↓ 八、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。 2、教学用具：多媒体、长方体模型 九、教学过程： 复习提问：（大屏幕展示） 如何判断平面和平面平行? （答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.） 你会用符号语言描述判定定理吗？(目的:(1)通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理.(2)板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备) 探究新知 思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢?(学生议论，教师引导学生大胆猜想，同时提示研究问题的方法) 探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

平面内点的坐标教案

11．1 平面上点的坐标（第1课时） 一、教学内容 本节主要学习平面上点坐标的有关概念，能从平面直角坐标系中写出点的坐标，及能根据坐标确定坐标中点的位置。 二、教学目标 1、通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系； 2、经历画平面直角坐标系，由点写出坐标和由坐标描点的过程，进一步渗透数形结合的数学思想； 3、培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。 三、教学重点 正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点。 四、教学难点 各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系。 五、教学关键：充分体会有序实数对在实际中的应用 六、教学准备：多媒体教学课件、三角尺 七、教学方法：探讨、合作 八、教学过程： （一）设置问题情境： 1、回顾一下数轴的概念，及实数与数轴有怎样的关系？（学生回答） 2、情境：（多媒体显示） （1）如图所示请指出数轴上A、B两点所表示的数；直线表一条笔直公路，向东为正方向，原点为学校位置，A、B是位于公路旁两学生家的位置，你能说出它们的位置吗？这说明了什么？ 引申：确定一个点在直线上的位置，只需要一个数据，这个实数可称为点在数轴上的坐标。怎样确定平面上一个点的位置呢？

（2）上电影院看电影，电影票上至少要有几个数据才能确定你的位置？ （3）在教室里，怎样确定一个同学的位置？ （二）观察交流，构建新知 观察、交流、思考，回答教科书第2页的两个问题。 思考：1、确定平面上一点的位置需要什么条件？ 2、既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模 型来表示平面上任一点的位置呢？ 教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫x轴或横轴，取向右为正方向，垂直的数轴叫y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系。这个平面叫做坐标平面。 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。 引导观察：如左图中点P可以这样表示：由P 向 x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2，点P向 y轴作垂线，垂足N在y3，于是就说 点P的横坐标是-2，纵坐标3，把横坐标写在纵坐 标前面记作（-2，3），即P点坐标（-2，3）。 引导练习：写出点A、B、C的坐标。 学生相互交流，得出正确答案。 (强调点的坐标的有序性和正确规范书写)

初中数学竞赛：证明三点共线

初中数学竞赛：证明三点共线 【内容提要】 1.要证明A，B，C三点在同一直线上， 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角 ②连结AB，AC证明AB，AC重合 ③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 2.证明三点共线常用的定理有： ①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤两圆相切，切点在连心线上 ⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 【例题】 例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB， PN⊥CD 求证：M，N，P三点在同一直线上 ∵AB∥CD，∴EF∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 ∵PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴M，N，P三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上 已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点

求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N ， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ， ∥AB ∴BN ， ＝N ， C ，即N ， 是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ， ∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B ∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 ,

八年级数学上册--平面内点的坐标第2课时 坐标平面内的图形 学案(沪科版)

八年级数学上册--平面内点的坐标第2课时 坐标平面内的图形 学案（沪科版） 学习目标： 1、通过找点、连线、观察,确定图形的大致形状并能计算图形的面积. 2、会根据实际情况建立适当的坐标系. 3、通过点的位置关系探索坐标之间的关系以及根据坐标之间的关系探索点的位置关系,体会平面直角坐标系在实际中的应用. 学习重点：： 会根据实际情况建立适当的坐标系,用平面直角坐标系表示具体的地理位置. 学习难点： 通过点的位置关系探索坐标之间的关系以及根据坐标之间的关系探索点的位置关系 一、学前准备 1.在平面直角坐标系中描出A(5,1), B(2,1),C(2,-3)各点,并按次序 A →B →C →A 将所描出的点连接起来; 说出得到的是什么图形;并计算它的面积. 2.如图,矩形ABCD 的长与宽分别是6,4,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标。 D C

3.

(1)写出坐标:A( ),B( ),C( ),D( ) (2)对称点的坐标特点： 点A与点B关于____轴对称, 两个点的横坐标_____,纵坐标互为________ 点A与点C关于____轴对称, 两个点的纵坐标_____,横坐标互为________ 点A与点D关于______对称, 两个点的横、纵坐标分别互为________ (3)平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离: 点P(x,y)到x轴的距离是_____,到y轴的距离是______. 练一练： 1.已知点P关于x轴的对称点P 1的坐标是（2,3）,那么点P关于原点的对称点P 2 的坐标是 （） A．（－3,－2）B．（2,－3） C．（－2,－3） D．（－2,3） 2.点A（2,3）到x轴的距离为；点B（-4,0）到y轴的距离为； 预习疑难摘要________________________________________________________ ____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 二、探究活动 (一)师生探究·解决问题 例1. 在平面直角坐标系中描出A(-1,2), B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2)各点,并按次序 A→B→C→D→A将所描出的点连接起来; 说出得到的是什么图形;并计算它的面积. 例2. 某地为了发展城市群,在现有的四个中小城市A、B、C、D附近新建机场E,试建立适当的直角坐标系,并写出各点的坐标。

向量证明三线共点与三点共线问题.doc

用向量证明三线共点与三点共线问题 山东徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则 简捷得多． 证明A、 B、 C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AB AC ．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例 1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A、B、C 共线，则存在实数、，且1， A B C O 图1 使得OC OA OB ；反之，也成立． 的终点 A 、 B 、 C 共线，则证明：如图 1 ，若OA 、OB 、 OC AB BC BC m AB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, , ,且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和 BA OA OB OC 例 2．证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图 2，D、E、F 分别是ABC三边上的中

C D E G A F B 图２ 点． 设 CA a, CB b, AD BE G．设 AG AD, BG BE ．则 AG AB BG (b a) BE (b a) ( BC 1 CA) b a ( 1 a b) 1 ( 2 1 b) 2 1 b 1）a (1 )b ，又 AG AD (AC CD) ( a a 2 2 2 1 1 2 2 3 所以解得 1 2 1 2 3 则 CG CA AG a 2 AD a 2 ( a 1 b) 1 a 1 b 1 1 3 2 3 2 3 3 CF a b，所以 CG CF ，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点． 2 2 3

点共线问题的证明方法

一、点共线问题 证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上． 1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，AC BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线． 证明：连结11AC ，1C ∈ 平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ， 1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 又M AC M ∈∴∈ ， 平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈ ，平面1DBC ． M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点， O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点． 1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线． 2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β， 即 E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点． ∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴ E ，F ，G ，H 四点必定共线． 点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

平面上点的坐标(1)

12.1 平面上点的坐标(1) 学习目标： 1.通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等.体会平面上的点与有序实数对之间的对应关系. 2.认识并能画出平面直角坐标系. 3.能够在给定的直角坐标系中，会由坐标描点，由点写出坐标； 学习重点： 正确认识平面直角坐标系，能由点写出坐标，由坐标描点. 学习难点： 各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系. 一、学前准备 1.数轴:规定了______、_______、__________的_____叫做数轴 数轴上的点与______是一一对应. 2.如图是某班教室学生座位的平面图,请描述小明和王健同学座位的位置______________、_________________. 1 2 3 4 5 6 想一想：怎样表示平面内的点的位置？ 3. 平面直角坐标系概念： 平面内画两条互相、原点的数轴，组成平面直角坐标系. 水平的数轴称为或，习惯上取向为正方向； 竖直的数轴为或，取向为正方向； 两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的 . 4.如何在平面直角坐标系中表示一个点:

(1)以P（-2，3）为例，表示方法为： P点在x轴上的坐标为,P点在y轴上的坐标为， P点在平面直角坐标系中的坐标为(-2,3)，记作P（-2，3） 强调：X轴上的坐标写在前面。 (2)写出点A、B、C的坐标.______________________ (3)描点：G（0，1），H（1，0）（注意区别） 思考归纳：原点O的坐标是(___,____), 第二象限第一象限 横轴上的点坐标为（___,___），(___,____) （___,___） 纵轴上的点坐标为（__,___） 注意：平面上的点与有序实数对是一一对应的. 5.象限：(1) 建立平面直角坐标系后， 坐标平面被坐标轴分成四部分，第三象限第四象限 分别叫_________，__________，（___,___）（___,___） __________和____________。 (2)注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限 练一练： 1.点A(-3,2)在第_______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点C( 3, 2) 在第______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点E(0,2)在______轴上, 点F( 2, 0) 在______轴上. 2.若点M的坐标是(a,b),且a>0,b<0,则点M在( ) A.第一象限; B.第二象限; ? C.第三象限; D.第四象限 预习疑难摘要________________________________________________________ ____________________________________________________________________

向量法证明三点共线的又一方法及应用 -

向量法证明三点共线的又一方法及应用 平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线 思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线. 证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质； 3. 特别地，12λμ==时，1()2 OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例 例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明 BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. D A B C M N

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：

β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα

向量证明三线共点与三点共线问题

用向量证明三线共点与三点共线问题 山东 徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多． 证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ， 且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立． 证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-， OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得 OB OA OC μλ+=． 若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线. 例2． 证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ?三边上的中 A O B C 图1

点． 设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===?==,,,．设．则 =-+-=++-=+-=+=)2 1( )2 1()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(2 1μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2 1)2 1()(+-=+-=+== ?????? ? ==??????? -=-=-323 2121121μλμλμλ解得 所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(323 2+ = + -+=+ =+= b a CF 2 121+ = ，所以CF CG 3 2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B C E D F 图２ G

空间中的平行(经典)

空间中的平行 一、知识梳理 <一>线线平行与线面平行 1.线线平行： 定义：空间中两直线共面且没有交点，则两直线平行. 证明两直线平行的主要方法是： ①三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形两组对边分别平行； ③梯形的一组对边平行； ④直线平行的传递性：若a//b,b//c,则a//c. 2.线面平行 定义：若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行. 判定1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以） ////a b a a b ααα???????? 判定2:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行. a a a a αβαββααβ????? ????? 或 线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行. <二>面面平行 1.定义：若两个平面没有交点，则两个平面平行 2.判断：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. ,,a b a b A a b αααβββ????=????

,,,a b a b A a a b b a b ααββ?? ?=???''? ?''?? 判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行. 3.两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行. a a b b αβ αγβγ=?=????? 性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行； 性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等； ,,A C AC BD B D AB CD αβ αβ∈?=∈? ???? ?? 二、典例精析 【例1】如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ， F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC . 【练习】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求 证：MN ∥平面P AD .

空间直线和平面总结知识结构图例题

空间直线和平面 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥ 三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：

12.1 平面上点的坐标(1)(含答案)

12.1.1平面上点的坐标（1） 课标解读 了解实际情景中物体位置的多种表示方法，并能正确表示物体的位置；理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出平面直角坐标系；理解平面内点的坐标的意义，会根据坐标确定点和由点求得坐标。 一、选择题（每小题分，共25分） 1. 如图是沈阳市地图简图的一部分，图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是( ) A.D7,E6 B. E7,D6 C. D 6,E7 D.E6,D7 2. 在海战中，欲确定每艘战舰的位置，需要知道每艘战舰对我方潜艇的( ) A.距离 B.方位角 C.方位角和距离 D.以上都不对 3. 若点P （a +1，2 2b --），则点P 所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 4. 若 0=x y ，则点P （x , y ）的位置是（ ） A. 在横轴上; B. 在去掉原点的横轴上; C. 在纵轴上; D. 在去掉原点的纵轴上 5. 若点P 在x 轴的下方, y 轴的左方, 到每条坐标轴的距离都是3,则点P 的坐标为( ) A. (3,3) B. (-3,3) C. (-3,-3) D. (3,-3) 二、填空题（每小题分，共25分） 6. 如果将电影票上“10排6号”简记为（10，6）,那么“5排8号”可表示为 ；（7，1）表示的含义是 。 7. 如图,用(0,0)表示O 点的位置, 用(2,3)表示M 点的位置, 则用 表示N 点的位置.

8. 如图, 在直角坐标系中, O 是原点, A 在x 轴上, B 在y 轴上, 点O 的坐标是 ,点A 的坐标是 , 点B 的坐标是 . 9数轴上的点与 一一对应，平面直角坐标系上点与 一一对应。 如图指出坐标平面内各点的坐标：A ,B ,C , D , E ,F . 10.已知点A 的坐标为（x ，y ），且x ，y 满足()2 3620x y ++-=，则A 点的坐标为（ ， ）。 三、解答题（50分） 11. （12分）如图所示，此图是某城市第二中学周围街巷的示意图，A 点表示1街与1巷的十字路口，B 点表示3街与4巷的十字路口，它们分别可简化为（1，1），（4，3）． （1）二中可简化表示成什么？ （2）分别从A 、B 两地到二中共有几条路线（不要绕远路），并将其表示出来．