【广东省2013-2014学年高二寒假作业数学(七) Word版解析

广东省2013-2014学年高二寒假作业（七）数学

一、选择题

1．如图，A是半径为1的球面上一定点，动点P在此球面上运动，且，

记点P的轨迹的长度为，则函数的图像可能是( )

2．下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

①正方体②圆锥③正三棱台④正四棱锥

A．①②B．①③C．①③D．②④

3．球O与锐二面角α－l－β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为()

A．B．4πC．12πD．36π

4．已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是（）

A．B．C．D．

5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

Ks5u

A ．1

B ．

C ．

D ．

6．网格纸的小正方形边长为1，一个正三棱锥的左视图如图所示，则这个正三棱锥的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．正方体的全面积为6,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是 ( ）

A ．π3

B ．π4

C ．π6

D ．π8 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），这个几何体的体积是（ ）

A ．

3

4000cm 3

B ．

3

8000cm 3

C ．3

2000cm

D ．3

4000cm

二、填空题

9．下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于 。

正视图

侧视图

俯视图

10．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm 3．

11．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为

，底面周长为3，那么这个球的体积为 。

12．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ． 13．已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积

．

14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．Ks5u

三、解答题

15．（本小题满分12分）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、G 分别是AB 、

DF 的中点.

(1）求证：CM 平面FDM

(2）在线段AD 上（含A 、D 端点）确定一点P ，使得//GP 平面FMC ，并给出证明；

M

(3）一只小飞虫在几何体ADF BCE -内自由飞，求它飞入几何体F AMCD -内的概率.

Ks5u

A

B

M

F

E

D

C

G

16．几何体ABE DCF -的三视图如图，EC 与BF 交于点O ，,M N 分别是直线,DF EF 的中点，

(I ） //MO 面ABCD ； (II ）AM ⊥面NMC ；

(Ⅲ）求二面角M NC F --的平面角的余弦值． Ks5u

D

B

O A C

F

M

E N

侧视图

俯视图

2

2正视图

17．（本小题满分13分）如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图，俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

(1）求该几何体的体积；

(2）求证：AN∥平面CME；

(3）求证：平面BDE⊥平面BCD

Ks5u

广东省2013-2014学年高一寒假作业（七）数学

一、选择题

1．D

【解析】由题意，设点P的所在的圆的半径为r，则在三角形OAP中，，

∴，∴，当x=时，

，排除A、C，又因为是曲线，故排除为A，故选D

2．D

【解析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可

正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D

3．B

【解析】设球O与平面α，β分别切于点P,Q，过点O作OR l于低能R，连接PR,QR,PQ,设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO PR,OQ QR,故P,O,Q,R四点共圆，

此圆的直径为2，由正弦定理得，又二面角α－l

－β为锐二面角，所以

Ks5u

即球的半径为1，球O的表面积为S=，故选B.

4．B

【解析】此球是正方体的外接球，正方体的体对角线等于球的直径，即

，表面积

5．D

【解析】几何体是一个三棱锥，它的体积。故选D 。

6．B

【解析】根据题意，由于一个正三棱锥的左视图中底边长为3，高为3，则说明了原三棱锥

的底面的边长为， 底面积为,则体积为,故

选B. 7．A

【解析】本试题主要是考查了正方体的外接球的表面积的求解。

因为正方体的全面积为6，所以正方体的棱长为：1，

顶点都在球面上，所以正方体的对角线就是外接球的直径，

球的表面积为：2

=3π．故选A 。 解决该试题的关键是理解正方体的外接球的直径就是正方体的体对角线的长度。 8．B

【解析】如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形,且边长为20，那么利用体积公式可知318000202020cm 33

V =???=,故选B. 二、填空题 9．

【解析】由三视图可知该几何体是圆柱，底面圆直径为2，圆柱高为4，所以其体积为

10．16

【解析】由三视图可知原几何体为四棱锥，底面是梯形上底是2下底是4高为4，四棱锥的高是4，()11

24441623

V ∴=+??

??= 11． Ks5u

【解析】底面是正六边形，侧棱垂直底面，顶点都在同一球面上，所以球心到每个顶点的距离为球半径，且球心在高度的中心轴上，球的半径为1，所以球的体积为.

12．

【解析】设圆柱的底面半径为r,母线长为l ，由题意r=l ，∴

13．

【解析】∵正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，∴

14．3:1:2.

【解析】设球的半径为r,则32

3

23124

22,2,333

r V r r r V r r V r πππππ=?==?==圆柱圆锥

球, 所以33

3

24::2:

:3:1:233

r V V V r r πππ==圆柱圆锥球. 三、解答题

15．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

1

2

【解析】由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC

(1) ,,,FD ABCD CM ABCD FD CM ⊥?∴⊥平面平面Q

,ABCD CD=2a,AD=a,M AB ,DM =CM CM DM ∴⊥在矩形中，为中点

,FD FDM DM FDM FD DM =M CM FDM ??∴⊥平面平面,平面Q I ……4分

(2)点P 在A 点处. Ks5u

……5分 证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA ∵G 是DF 的中点，GS//FC ，AS//CM

∴面GSA//面FMC ，而GA ?面GSA ，∴GP//平面FMC. ……9分

(3)311

,32

F AMCD AMCD V S DF a -=

?= 3

A D F

B C E

V a -

=， 由几何概型知，小虫飞入几何体的概率为1

:2

F AMCD ADF BCE V V --=

. ……12分

16．（I ）见解析；（II ）见解析； 【解析】由三视图知，四边形EFCB ．BCDA 均为边长为2的正方形，且

AB BE ⊥,BC AB BC BE BC ⊥⊥∴⊥面EBA

∴几何体ABE DCF -是直三棱柱．

．．．．．．．．．．．．．．2分 （1）连接BD ，

,M O 分别为,DF BF 的中点

//MO BD ∴，MO ?面ABCD ，BD ?面ABCD

∴//MO 面ABCD ．

．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）法一：在Rt AEN ?

中，由1AE EN ==得3AN = 同理在Rt ADN ?

中可得AM =Rt NMF ?

中可得NM =∴222AN AM NM =+ A M N M ∴⊥ 由M 是直线DF

的中点得CM =

AC =∴222AC AM CM =+ A M C M ∴⊥ 又NM

CM M ∴=

∴AM ⊥面NMC ．

．．．．．．．．．．．．．．8分 法二：如图以B 为坐标原点，以,,BE BC BA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标

B xyz -，则

(0,0,0)B ,(0,2,0)C ,(2,1,0)N ,(1,2,1)M ,(0,0,2)A ，则(1,2,1)AM =-

设面MNC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00

2020CN n x z z x x y y x CN n ?=+==-????????-===????

取1x =，则1

21x y z =??

=??=-?

，面MNC 的一个法向量为(1,2,1)n =-

所以//AM n ，∴AM ⊥面NMC ．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）如图以B 为坐标原点，以,,BE BC BA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标B xyz -，则

y

z

(0,0,0)B ,(0,2,0)C ,(2,1,0)N ,(1,2,1)M ,(2,2,0)F ,(0,2,0)BC ∴=

因为BC ⊥面DCF ，BC 是面DCF 的一个法向量．

(1,0,1)CM ∴=，(2,1,0)CN ∴=-

设面MNC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00

2020CN n x z z x x y y x CN n ?=+==-????????

-===???? 取1x =，则1

21x y z =??

=??=-?

，面MNC 的一个法向量为(1,2,1)n =-

cos ,||||6n BC n BC n

BC ∴<>=

== 所以二面角N MC F --．．．．．．．．．．．．．．13分 17．(1)4 ；(2)连接MN ，则MN ∥CD ，且.又AE ∥CD ，且

，

∴

∥

，

=

∴四边形ANME 为平行四边形，∴

AN ∥EM .∵AN 平面CME ，EM

平

面CME ，∴AN ∥平面CME (3)∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，∴AN ⊥BC ,又平面ABC ⊥平面BCD ，∴AN ⊥平面BCD 则(2)知：AN ∥EM ,∴EM ⊥平面BCD ，又EM

平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD

【解析】 (1)由题意可知：四棱锥B －ACDE 中，平面ABC ⊥平面ACDE ，AB ⊥AC ，

AB ⊥平面ACDE ，又AC ＝AB ＝AE ＝2，CD ＝4

， …………2分

则四棱锥B －ACDE 的体积为：

，

即该几何体的体积为4 …………4分

(2)证明：由题图知，连接MN ，则MN ∥CD ，

且.又AE ∥CD ，且

， …………6分

∴

∥

，

=

∴四边形ANME 为平行四边形，∴AN ∥EM .

∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME……………8分

(3)证明：∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD…………10分

则(2)知：AN∥EM,

∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD……13分Ks5u