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二级倒立摆数学模型的建立与仿真

专业：控制工程

姓名：淡丹

学号：1406073

摘要

本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了仿真模拟，分析研究。并通过分析比较得出，加状态观测器并不影响系统的输出的结论。

关键词：倒立摆状态空间极点配置状态反馈

ABSTRACT

Newtonian mechanics analysis method and the Lagrange equation of a mathematical model of double inverted pendulum has been used in this paper. According to the established mathematical model of inverted pendulum on the controllability, observability and stability of the analysis and research, and the state observer and state feedback is carried on the simulation ,analysis and research. And through the analysis and comparison of results, plus state observer does not affect the conclusions of the output of the system.

KEY WORDS: inverted pendulum state space pole allocation state feedback

一、二级倒立摆系统的组成

二级倒立摆主要由以下四部分组成:

1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;

2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;

3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;

4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位

置附近的控制器。

二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等;数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模转换;功率放大器用于电压和功率放大;电机是系统的执行元件;电位计是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道中心点的相对位置、下摆相对于铅垂线的角位移、上摆相对于下摆延长线方向的角位移。

图1 倒立摆系统的计算机控制系统

二级倒立摆系统的整套机械部件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、电机底座和转轮等装置。通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。

2、结构参数

通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下:

小车的等效质量:M =1.0kg;

小车与轨道间的滑动摩擦系数:b=5.0kg/s;

下摆的质量:m=0.1481kg;

下摆半长:1l =0.18m;

下摆绕其重心的转动惯量:1j =0.00192kgm ; 上摆质量:2m =0.0998kg; 上摆半长:2l =0.24m;

上摆绕其重心的转动惯量: 2j = 0.00182kgm ; 上、下摆重心之间的距离: 1L =0.29m;

上、下摆之间的转动摩擦系数: 2F =0.0l 2kgm /s; 下摆和小车之间的转动摩擦系数:1F =0.012kgm /s; 电机及功率放大器的增益: u K =15Nt/V 。 3、Lagrange 方程介绍

Lgarnage 方程为..11

(1,2,...,)1i q d T T V D

F i k dt q q i q q ??

?????-++== ??? ?????(1-1)

式中

T —系统的动能函数，

1q ，q ，—Lganarge 变量，分别成为广义坐标和广义速度

Qi —作用于系统上的广义力

(1,2,...,)i q V

Qi F i k q ?=-

+=?，(1-2) 式中：

V —系统的势能函数

q ?-

?—有势力的广义力 i q F —非有势力的广义力

将式(2-2)代入式(2-l)得.11

(1,2,...,)1i q d T T V

F i k dt q q q ??

????-+== ??? ????

二、二级倒立摆数学模型的推导

二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设: 1.上摆、下摆都是一个均匀的刚体;

2.力矩电机的输出驱动力与其输入电压成正比，且无滞后地直接作用在小车上;

3.车与轨道间的摩擦力仅与小车的速度成正比，下摆与车绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比，上、下摆绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比;

4.忽略电机的电感;

5.忽略钢丝的弹性。

在以上假设前提下，我们采用分析力学中的Lganarge 方程来建立系统的数学模型。令:为水平导轨运动的位移，拭、氏分别为下摆和上摆偏移竖直方向的角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个耗散系统，因此式(2-3)部分应该加上耗能部分，对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange 方程为:

..11

(1,2,...,)1i q d T T V D

F i k dt q q i q q ??

?????-

++== ??? ????? 式中：

i q —广义坐标，即r 、1θ、2θ

i q F —非有势广义力，当i q =r 时，i q F =0G U ,U 为控制量，0G 为增益常数，当i q =1θ、2θ时，i q F =0

T 、V 、D —分别是系统的动能、势能和消耗能

n i i T T ==∑、0

n i i V V ==∑、0

i i D D ==∑ (1-5)

式中：

n —倒立摆的级数，这里n=2

i T —小车和各级倒摆的动能 i V —小车和各级倒摆的势能 i D —小车和各级倒摆的消耗能

将上述各式i T ，i V ，i D (i=0，1，2)代入式(2-4)，得二级倒立摆的数学模型为

式(2-6)式是一个非线性向量微分方程。考虑到系统工作时，是在平衡位置附近运动，可将式(2-6)在u=0的平衡位置r=1θ=2θ=.

r =.

θ=.

θ=0附近线性化，

以线性化后的方程来代替式(2-6)的非线性向量微分方程。

具体线性化是忽略二次以上的项(或因为1θ，2θ在5±。以内，故sin θθ≈，

cos 1θ≈)，可求出关于dr ，d 1θ，d 2θ的线性化微分方程，而后将dr ，d 1θ，d 2

θ改写成r ，1θ，2θ，便可得到系统的状态方程。

根据物理模型的实测数据，可求得平衡点处的常数阵:

利用Matlab 中的求逆命令，可以解得1(0,0)M -阵

所以，对式（2-6）进行线性化后，系统状态方程为：

对于下摆有转角1

θ时，取上摆的相对角位移为21θθ-，故令

故式（2-7）可改写为

定义状态向量x 为

则由式（2-8）可得

将物理模型的实测参数代入式（2-9），得到二级倒立摆的系数矩阵为

由此可知，二级倒立摆系统的数学模型为

x Ax Bu y Cx ????

???

=+= 式中：A=

0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -1.9600 0.0940 -4.8000 0.0040 -0.0040 0 46.1200 -25.0100 18.7600 -0.1300 0.2400 0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700 B=

0 0 0 14.4137 -52.2864

62.2532 C=

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 三．二级倒立摆稳定性，可控性及可观测性分析

3.1 系统的稳定性，可控性，可观测性

（1）系统的稳定性

在设计和分析线性控制系统时，首先要考虑的是控制系统的稳定性[18-19]。一个线性控制系统能够正常工作的首要条件就是它必须是稳定的。由于控制系统在实际运行中，不可避免的会受到外界或内部一些扰动因素的影响，比如系统负载或能源的波动、系统参数和环境条件的变化等，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。如果系统是稳定的，那么随着时间的推移系统的各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随时间的推移而发散，即使在扰动因素消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态，显然不稳定的控制系统是无法正常工作的。

由于稳定性的研究角度不同，线性控制系统稳定性在不同意义下的描述不尽相同，但是不同意义下稳定性描述的本质是相同的。当线性系统用输入输出模型（微分方程或传递函数）表示时，其稳定性定义通常有如下两种：

第一种描述：如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称该系统不稳定。

第二种描述：若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的。否则如果系统在有界输入下，产生无界的输出，则称系统是不稳定的。

线性控制系统稳定性的充分必要条件：系统的所有极点必须位于s 左半平面。

（2）系统的可控性线性定常连续系统

Du Cx y Bu Ax x

+=+= （3-1）

如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间（t 0,t f ）内，使一系统由某一初始状态x(t 0)，转移到指定的任一终端状态x(t f )，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。能控性判据能控性判据一：

线性定常连续系统（如（3-1）式）状态完全可控的条件为：当且仅当向量组

B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[B A AB B n 1,...,,-]的秩为n 。

能控性判据二：

（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值n λλλ,,,21 互异，则状态完全可控的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型：

u B x x n +??

???

????

?=λλλ 2

（3-2）

的矩阵B 中不包含元素全为零的行。（2）当系统含有重特征值时，其重特征值

()()()，

时，且当重重重j i 12211;,,,,λλλλλ≠≠=∑=j i n m m m m k

i i k k 也就是说每一个重特征值只用一个约当块表示。则系统状态完全能控的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型

B x J J J x +??

??????????=k 21 （3-3）中，和每个约当块J i (i=1,2, ,k)的最后一行相对应的B 矩阵中的所有那些行，其元素不全为零。能控标准型:

()()()

t u t x a a a a t x

n ??

??????

????????+???????

?????????----=-100010

0001000010

121

（3-4）

[]()t x b b b y n 121

（3）系统的可观测性线性定常连续系统

y Ax x

== （3-5）

如果对任意给定的输入u ，都存在一有限观测时间t f >t 0，使得根据[t 0,t f ]期间的输出y 唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t 0)，则称此状态x(t 0)是能观测的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称此系统是状态完全能观测的，或简称系统是能观测的。能观测性判据能观测性判据一：

线性定常连续系统如式（3-5）状态完全可观测的充分必要条件是其能观测矩阵

?????

???

???=-1n O CA CA C Q 满秩。

能观测性判据二：

（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值n λλλ,,,21 互异，则状态完全能观测的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型

C y x x n =??

???

???????=λλλ 2

（3-6）

的矩阵C 中不包含元素全为零的列。（3）当系统含有重特征值时，其重特征值

()()()，

时，且当重重重j i 12211;,,,,λλλλλ≠≠=∑=j i n m m m m k

i i k k 则系统状态完全能观测的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型

C y x J J J x

=??

??????????=k 2

（3-7）

中，和每个约当块()k i J i ,,2,1 =的首列相对应的C 矩阵中的所有那些列，其元素不全为零。能观测标准型:

()()()()[]()

t x t y t u b b b t x a a a a t x

n n 1000100010001-00121121

0 =??????

????????+????????????????---=--

（3-8）

3.2二级倒立摆的可控性、可观测性及稳定性分析（1）二级倒立摆系统的可控性、可观测性

程序如下：

A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57];

B=[0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532];

B1=B';

C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];

rct=rank(ctrb(A,B1))

OB=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A]

Q=rank(OB)

rct =6

OB = 1.0000 0 0 0 0 0

0 1.0000 0 0 0 0

0 0 1.0000 0 0 0

0 0 0 1.0000 0 0

0 0 0 0 1.0000 0

0 0 0 0 0 1.0000

0 -1.9600 0.0940 -4.8000 0.0040 -0.0040

0 46.1200 -25.0100 18.7600 -0.1300 0.2400

0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700

0 9.7965 -0.8639 23.1980 -1.9807 0.1164

0 -55.0076 23.7731 -97.4668 46.2695 -25.2530

0 80.8145 -52.5041 115.9299 -51.2610 78.6255

>>Q = 6

由以上可知系统是可控和可观测的。

（2）二级倒立摆系统的稳定性

用函数eig（）求矩阵A的特征值与特征向量

A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57]; [V,D]=eig(A)

V = 1.0000 -0.0006 -0.0069 -0.0015 -0.0265 0.1019

0 0.0420 0.1606 0.0399 0.0795 0.2483

0 -0.0942 0.1362 -0.0846 0.1503 0.0825

0 -0.0059 -0.0319 0.0156 0.1516 -0.3481

0 0.4053 0.7453 -0.4246 -0.4553 -0.8487

0 -0.9083 0.6318 0.9004 -0.8603 -0.2821

D = 0 0 0 0 0 0

0 9.6476 0 0 0 0

0 0 4.6397 0 0 0

0 0 0 -10.6452 0 0

0 0 0 0 -5.7244 0

0 0 0 0 0 -3.4177

由此可知系统有两个极点位于s右半平面，有一个极点位于坐标原点，所以系统不稳定。因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。

四：系统反馈矩阵的设计及状态图：

首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。程序如下：

A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;

0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57];

B=[0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532];

B1=B';

C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];

rct=rank(ctrb(A,B1))

计算结果为：rct = 6

根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。

不失一般性，不妨将极点配置在

s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5,s5=-8,s6=-8.5

在MATLAB中输入程序：

A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;

0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57];

B=[0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532];

B1=B';

P=[-6 -6.5 -7 -7.5 -8 -8.5 ];

K=place(A,B1,P)

计算结果为：K =

4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320

5.7267

因此，求出状态反馈矩阵为

K =

4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320

5.7267

采用MATLAB/Simulink构造二级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。

五、状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真

首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输入以下程序

A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;

0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57];

B=[0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532];

B1=B';

C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];

rob=rank(obsv(A,C))

rob =

因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。

设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征值为：

1s-

，

，25

，

。

，

输入以下命令：

A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;

0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57];

A1=A';

C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];

C1=C';

P=[-20 -21 -22 -23 -24 -25];

G1=place(A1,C1,P);

G=G1'

求出状态观测器矩阵为：

G =

38.2600 0.1197 -0.2836

17.7903 44.7264 0.7555

-17.4652 0.6889 46.5137

275.9610 1.1437 -5.5261

690.8092 544.3198 -7.4808

-704.7150 -33.5983 609.9059

采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的二级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。

六．总结。

倒立摆作为一个多变量、非线性、不稳定的典型系统，是控制领域重要的研究对象，是验证各种控制算法的理想模型;很多抽象的概念如系统的稳定性、可控性、可观性、鲁棒性和系统的抗干扰能力等，都可以通过对倒立摆的控制直观的表现出来。针对倒立摆控制方法的研究对两轮自平衡小车及其它相似实验设备的开发都具有重要的研究意义。

本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了仿真模拟，分析研究。通过比较得出具有状态观测器的二级倒立摆状态反馈系统的控制效果和没有状态观测器的控制系统的控制效果是一样的。可见，加状态观测器并不影响系统的输出。

感言

通过本学期线性系统理论的学习使我受益良多，线性系统理论这门课理论性较强学起来非常吃力，加之之前本科是学电气工程的对控制类学科基础知识了解甚少，在刚开始学习时的确遇到了不少困难。很多时候都会产生放弃学习这门课的念头而去学习自己感兴趣的东西，但是最后还是一步步坚持了下来，从一开始的什么都不懂，到后来逐渐建立起概念，一直到现在开始去喜欢这门课，其实兴趣也是建立在你去了解的基础之上的，只有你去了解你才谈得上是否对它感兴趣，而从一开始遇到困难就觉得没兴趣就是典型的知难而退。

通过对本次二级倒立摆的仿真控制的学习研究，使自己深深认识到，理论终究还要付诸于实践，只有自己亲自尝试去做一遍才能真正检验自己知识是否真正掌握，好多书上不理解的东西通过这样一次实践，然后回过头再去看理论知识时你会有一种豁然开朗的感觉，而且往往还有额外的收获，通过仿真分析对比研究会使你知识更加准确清晰，往往通过这样一个环节下来，你会有这样的自信：对这块知识的掌握，我相信没有人会比我更清楚。刚开始做二级倒立摆时也遇到过许多难题，比如模型的建立，matlab的掌握与应用，必备的基础知识等，而这些的学习往往需要收集资料，看别人以前做过的东西，然后自己研究，先完成别人做过的，然后在添加自己的东西，这的确需要时间和一定的工作量，有时候即使是别人已经做好的东西看的时候也许要翻阅很多资料，因为它里面也会涉及好多陌生的概念，你必须去阅读才能一步步搞懂。科研本来就是一件苦差事，你必须耐得住寂寞，静得心来去研究，否则怎么会有成果呢？由于时间和学习精力有限，我选择做了二级倒立摆，但是在以后的学习中我会更加完善自我，精益求精，希望做到最后，我会向更高一级奋斗。很喜欢以前一位数学老师说过的话，奋斗后的成果最甜密，其实当你为追求某件事而全力以赴，当你站在某一个路口回头眺望时，心里的收获却是满满的，这就是奋斗后的喜悦。

努力将会一直存在，转眼间研一的上半学期学习生涯即将结束，很感谢郑老师陪我们度过了研一的上半学期生活，在郑老师的课堂上我们学到的不仅仅是基本理论知识，更重要的是他还向我们传递了正能量。在课堂上，他鼓励我们搞科研，引领我们进入学术的海洋，向我们传递最新的科研信息，也向我们介绍最新的就业需求，告诉我们社会需要什么样的人才，教会我们要有目标，要有方向。刚来的时候的确很迷茫，也不知道研究生三年将如何度过，也厌倦了现有的教学体制及教学方式，在课堂上很少学到知识，感觉就是浪费时间，但是在郑老师的课堂上更坚定了我走科研之路的信念，他严谨的治学态度及学术造诣更是令我深深折服。

求学，科研必将是一场孤独的旅行，路上少不了质疑和嘲笑，但那又怎样？即使遍体鳞伤，也要坚持到底。有时候不是看到了希望才去坚持，而是坚持了才看到希望。

最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用

题目最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用

目录摘要 (1) 前言 (3) 1倒立摆的研究 (3) 1.1 倒立摆的研究背景 (4) 1.2倒立摆的控制方法 (3) 2 二级倒立摆系统控制机理 (6) 2.1系统描述 (6) 2.2 二级倒立摆系统强迫运动的描述 (8) 2.3 二级倒立摆系统的控制规律 (8) 3直线二级倒立摆的建模 (9) 3．1 建模条件 (10) 3.2 利用力学建模 (11) 3.3利用拉格朗日方程建模 (14) 4 最优控制器的设计与调节 (18) 4.1 最优控制理论概述 (18) 4.2 应用软件MATLAB的简介 (21) 4.3LQR控制器的设计与调节 (22) 4.3.1 LQR控制器的设计 (22) 4.3.2 加入增益的LQR控制器的调节 (27) 4.4连续系统的离散化仿真设计 (28) 5 最优控制法与极点配置法的比较 (31) 5.1 极点配置法的基本原理 (31) 5.2 配置极点并与最优控制法比较 (33) 6总结 (38) 致谢 (39) 参考文献 (40) 附录 (41)

最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性而难以控制, 也因此成为自动控制实验中验证控制策略优劣的极好的实验装置。本文介绍了直线二级倒立摆的控制机理，详细的分析了直线二级倒立摆的建模过程。并且对最优控制理论和MATLAB做了简单的介绍，针对系统设计了最优控制器，并与极点配置法进行了比较。结果表明最优控制器对于二级倒立摆系统有着很好的控制能力。关键词：二级倒立摆；LQR；极点配置；MATLAB The application of Optimal Control on Double Inverted Pendulum Student：QIN Kai-yang Supervisor：Y AN Juan-juan (College of Electrical Engineering &Information Technology, China Three Gorges University) Abstract：Inverted pendulum system is difficult to control because of its instability. It becomes the wonderful experiment device to verify how about the control strategy in automatic control experiment. The text introduced the mechanism of the double inverted pendulum. It simply introduced optimal control theory and the software of Matlab. The double inverted pendulum is modeled and the controller is designed by using optimal control theory. The simulating results show that quadratic optimal control has the ability to control the representative nonlinear instability system. Key words：Double Inverted Pendulum；LQR；MATLAB；Pole Configuration

倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料

第1 页共11 页倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??①

绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有．第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其

一级倒立摆的建模与控制分析

控制工程与仿真课程设计报告报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准评分项目权重评价内容评价结果项目得分内容70设计方案较合理、正确，内容较完整 70-50分设计方案基本合理、正确，内容基本完整 50-30分设计方案基本不合理、正确，内容不完整 0-30分语言组织15语言较流顺，标点符号较正确 10-15分语言基本通顺，标点符号基本正确 5-10分语言不通顺，有错别字，标点符号混乱 5分以下格式15 报告格式较正确，排版较规范美观 10-15分报告格式基本正确，排版不规范 5-10分报告格式不正确，排版混乱 5分以下总分

直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型图1.1 直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图1.2 系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。

图1.3 摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F =

最优化方法课程设计实验报告_倒立摆

倒立摆控制系统控制器设计实验报告

成员：陈乾睿 2220150423 郑文 2220150493 学院：自动化倒立摆控制系统控制器设计实验一、实验目的和要求 1、目的（1）通过本设计实验，加强对经典控制方法（LQR控制器、PID控制器）和智能控制方法（神经网络、模糊控制、遗传算法等）在实际控制系统中的应用研究。（2）提高学生有关控制系统控制器的程序设计、仿真和实际运行能力. （3）熟悉MATLAB语言以及在控制系统设计中的应用。 2、要求（1）完成倒立摆控制系统的开环系统仿真、控制器的设计与仿真以及实际运行结果（2）认真理解设计内容，独立完成实验报告，实验报告要求：设计题目，设计的具体内容及实验运行结果，实验结果分析、个人收获和不足，参考资料。程序

清单文件。二、实验内容倒立摆控制系统是一个典型的非线性系统，其执行机构具有很多非线性，包括：死区、电机和带轮的传动非线性等。本设计实验的主要内容是设计一个稳定的控制系统，其核心是设计控制器，并在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真实验，并在倒立摆控制实验平台上实际验证。算法要求：使用LQR以外的其它控制算法。三、倒立摆系统介绍倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的应用开发前景。倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：非线性，不确定性，耦合性，开环不稳定性，约束限制。经过相关论文和文献的查询，我们决定采用模糊控制的方法进行倒立摆的控制。

一级倒立摆地Simulink仿真

单级倒立摆稳定控制直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。图1 直线一级倒立摆系统图2 控制系统结构假设小车质量M =0.5kg ，匀质摆杆质量m=0.2kg ，摆杆长度2l =0.6m ，x (t )为小车的水平位移，θ为摆杆的角位移，2 /8.9s m g =。控制的目标是通过外力u (t)使得摆直立向上（即0)(=t θ）。该系统的非线性模型为： u ml x m M ml mgl x ml ml J +=++=++22)sin ()()cos (sin )cos ()(θθθθθθθ ，其中231ml J =。解：一、非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近（0,0==θ θ ）对系统进行线性化，所以可以做如下线性化处理：32 sin ,cos 13!2!θθθθθ≈-≈-

当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’^2≈0；因此模型线性化后如下：（J+ml^2）θ’’+mlx ’’=mgl θ (a) ml θ’’+(M+m) x ’’=u (b) 其中23 1ml J = 取系统的状态变量为,,,,4321θθ ====x x x x x x 输出T x y ][θ=包括小车位移和摆杆的角位移. 即X=????????????4321x x x x =????? ???????''θθx x Y=??????θx =??????31x x 由线性化后运动方程组得 X1’=x ’=x2 x2’=x ’’=m m M mg 3)(43-+-x3+m m M 3)(44-+u X3’ =θ’=x4 x4’=θ’’=ml l m M g m M 3)(4)(3-++x3+ml l m M 3)(43-+-u 故空间状态方程如下： X ’=????????????'4'3'2'1x x x x =????????????????? ?-++-+-03)(4)(300100003)(4300 0010ml l m M g m M m m M mg ????????????4321x x x x + ???????? ??????????-+--+ml l m M m m M 3)(4303)(440 u

直线二级倒立摆的建模和控制综述

西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号: 班级：指导教师：起止日期：

方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：方向设计学生日志

直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制

Modeling and Balance Control of the Linear Double Inverted Pendulum Abstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment. In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system. Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control

倒立摆实验报告

倒立摆实验报告机自82 组员：李宗泽李航刘凯付荣

倒立摆与自动控制原理实验一．实验目的: 1.运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型的建立、根轨迹分析和控制器设计、频率响应分析、PID 控制分析等内容. 2.运用现代控制理论中的线性最优控制LQR 方法实验控制倒立摆 3.学习运用模糊控制理论控制倒立摆系统 4.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用 5.掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。二. 实验设备计算机及等相关软件固高倒立摆系统的软件固高一级直线倒立摆系统,包括运动卡和倒立摆实物倒立摆相关安装工具三．倒立摆系统介绍倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种

技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，本次实验采用的是直线一级倒立摆。倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1) 非线性2) 不确定性3) 耦合性4) 开环不稳定性5) 约束限制倒立摆控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，本小组采用的控制方法有：PID 控制、双PID 控制、LQR控制、模糊PID控制、纯模糊控制四．直线一级倒立摆的物理模型：系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励

单级倒立摆系统的分析与设计

单级倒立摆系统的分析与设计小组成员：武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一．倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型图1：单级倒立摆系统的物理模型

单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)面内运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&& ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有

θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =??? ????+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=?????? ? ???????-+?????????? ??? ? +- =???? ????????=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到： [][]0,0001,1010,01100 1000010000 1 0==-=? ? ??? ? ??? ???-=D C B A T

倒立摆建模

系统建模系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入---输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原则： 1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。 2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式； 3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制. 在忽略空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车忽然均匀质杆组成的系统,如下图所示: 图中F 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，φ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。 M 小车的质量 0.5Kg m 摆杆的质量 0.2Kg X φ F M 图1 直线一级倒立摆系统 θ

倒立摆实验报告

目录一、倒立摆系统介绍 (2) 1.1倒立摆系统简介 (2) 1.2 倒立摆组成及其原理 (2) 1.3 倒立摆特性 (3) 二、一级倒立摆 (3) 2.1一级倒立摆建模 (3) 2.2 一级倒立摆控制方法 (11) 2.2.1 单输入—单输出控制方法 (11) 超前滞后控制方法 2.2.2 单输入—多输出控制方法 (22) 双PID控制方法 2.2.3 多输入—多输出控制方法 (30) 极点配置法二次线性最优控制法三、二级倒立摆 (36) 3.1二级倒立摆建模 (36) 3.2 二级倒立摆控制方法 (46) 3.2.1 二次线性最优控制法 (46) 3.2.2 基于融合技术的模糊控制法 (48) 四、总结 (60) 五、参考文献 (63)

一、倒立摆系统介绍 1.1倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 1.2倒立摆组成及其原理倒立摆的组成包括计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘、反馈测量元件等几大部分，组成一个闭环系统。对于直线型倒立摆，可以根据伺服电机自带的码盘反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到；各个摆杆的角度由光电码盘测得并直接反馈到控制卡，速度信号可以通过差分方法得到。计算机从运动控制卡中实时读取数据，确定控制策略（电机的输出力矩），并发送给运动控制卡。运动控制卡经过DSP 内部的控制算法实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。

倒立摆仿真报告

计算机控制系统课题报告 1.倒立摆基本背景：倒立摆，Inverted Pendulum ，是典型的多变量、高阶次，非线性、强耦合、自然不稳定系统。倒立摆系统的稳定控制是控制理论中的典型问题，在倒立摆的控制过程中能有效反映控制理论中的许多关键问题，如非线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定、跟踪问题等。因此倒立摆系统作为控制理论教学与科研中典型的物理模型，常被用来检验新的控制理论和算法的正确性及其在实际应用中的有效性。从 20 世纪 60 年代开始，各国的专家学者对倒立摆系统进行了不懈的研究和探索。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。由中国的大连理工大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。因此，中国是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 2.倒立摆模型分析倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力F平行

于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。我们的分析对象是一阶倒立摆。很多国内实验都说可以合理的假设空气阻力为0，但查阅了更多的文献和真正仿真做出模型并在网络上开源的一些实验后，我认为这是不正确的。空气阻力或许可以忽略，但是对于运动过程中的所有阻碍都忽略那就太为理想。也就是说，我们需要自己假设一个阻碍模型，即收到的所有阻力等效成一个包含速度，位姿等的广义函数。当然，我们的时间精力和所学知识都还有限，却也不想太过简单。我选取了一个阻力和速度成正比的函数关系，来在以后的建模和仿真过程中来模拟倒立摆所受的一切阻碍。 3.1 倒立摆物理建模：基于经典牛顿力学受力分析如上图。那我们在本实验中定义如下变量： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.3 m）

倒立摆MATLAB建模

线控大作业如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：2l=1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。要求：1、建立倒立摆系统的状态方程 2、定量分析,定性分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、极点配置设计分析报告

1 系统建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。图一级倒立摆模型其中： φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += 即：

θθθθsin cos 2 ml ml x m N -+= 把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： )cos (22 θl dt d m mg P =- θθθθ cos sin 2 ml ml mg P --=- 力矩平衡方程如下： θ θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++ 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dt d θφθθ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： 2(+)()I ml mgl mlx M m x bx ml u ????-=?++-=? 对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到 ?????=Φ-++=Φ-Φ+) ()()()()()()()()(22222s U s s m l s s bX s s X m M s s m lX s m gl s s m l I 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= 或 m g l s ml I mls s X s -+=Φ222 )()()( 如果令x v =，则有：

2021年倒立摆实验报告(根轨迹)

*欧阳光明*创编 2021.03.07

I 摆杆惯量0.0034 kg*m*m g 重力加速度9.8 kg.m/s （2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理基于根轨迹法校正的基本思想是：假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；否则，可在系统中串联一个超前校正装置。常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。 2. 实验方法（1）直线倒立摆建模、仿真与分析利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步骤得到系统的控制器，利用MA TLAB Simulink中的工具进行仿真分析。（3）直线一级倒立摆根轨迹校正控制利用MATLAB Simulink来实现根轨迹校正控制参数设定和仿真，并利用该参数来设定只限一级倒立摆的根轨迹校正控制器值，分析和仿真倒立摆的运行情况。 3. 实验装置直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。图1 一级倒立摆实验硬件结构图对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电

二级倒立摆模糊控制设计

绪论 (1) 1倒立摆系统的建模 (2) 1.1倒立摆系统的特性分析 (2) 1.2二级倒立摆系统的数学建模 (3) 1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立4 1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理 (5) 2线性二次型最优控制（LQR）的方案设计 (8) 2.1二级倒立摆性能分析 (8) 2.1.1稳定性分析 (8) 2.1.2能控性能观性分析 (9) 2.2线性二次型最优调节器原理 (11) 2.3加权阵Q和R的选择 (13) 3模糊控制的基本原理 (14) 3.1模糊理论的基本知识 (14) 3.1.1模糊控制概述 (14) 3.1.2模糊集合 (15) 3.1.3 模糊规则和模糊推理 (16) 3.1.4反模糊化 (17) 3.2模糊控制系统的设计 (17) 3.2.1模糊控制系统的组成及原理 (17) 3.2.2模糊控制器设计的基本方法与步骤 (19) 3.3二级倒立摆模糊控制器的设计 (20) 4二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真 (23) 4.1基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (24) 4.2基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (26) 4.2.1二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形 (26) 4.2.2量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响 (28)

4.3两种控制系统的MATLAB仿真对比研究 (29) 结束语 (30) 致 (31) 参考文献 (32) 附录 (33)

本文以二级倒立摆模型为控制对象，首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究发展过程和现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并详细推导了二级倒立摆的数学模型。其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR 最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求，而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。最后完成了二级倒立摆系统控制程序的设计和调试，实验取得较好的仿真控效果，并对实验结果进行了详细的分析。结论部分对本课题的意义、目的和工作内容进行总结。关键词：二级倒立摆，最优控制，模糊控制