1.9 完全平方公式导学案(2课时)

1.9 完全平方公式（1）导学案

班级______________ 姓名_______________ 使用时间：__________年_____月_____日

【学习目标】

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 2．了解完全平方公式的几何背景

【自主学习】

（1）预习书p23-26

（2）思考：和的平方等于平方的和吗？

（3）预习作业：

（1）(32)(32)a b a b -+=

（2）(32)(32)a b a b --= （3）2(1)(1)(1)p p p +=++= （4）2(2)m += （5）2(1)(1)(1)p p p -=--= （6）2(2)m -=

（7）2()a b += （8）2()a b -=

【学习探究】

观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，

而221,422p p m m =??=??，恰好是两个数乘积的二倍．

（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，

（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．

因此我们得到完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍．

公式表示为：2()a b += 2()a b -=

口诀归纳：_____________________________________________________

【课内交流】

例1．应用完全平方公式计算：

（1）2(4)m n + （2）21()2y - （3）2()a b -- （4）2(2)x y -+

变式训练：

1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：

（1）22(21)221a a a -=-+ （2）22(21)41a a +=+

（3）22(1)21a a a --=---

2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来

（1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a --

（3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--

分析：完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同：222()2a b a ab b ±=±+ 22()()a b a b a b +-=-

结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项

3．计算：(分两步进行，先套用公式，再化简)

（1）2(12)x -- （2）2(21)x -+

（3）()()n m n m +--22 （4）??? ??-??? ??+

b a b a 21312131

例2.计算：

（1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）2

2)321()321(b a b a +-；

（3）)432)(432(-++-y x y x .

【方法小结】 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘

方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合

在一起，可构成平方差公式。

变式训练2.计算：

（1）])2()2)[(4(2222y x y x y x -++-； （2）22222)()()(y x y x y x ++-

【拓展训练】： 1.已知31=+

x x ，则=+221x

x ________________ 2.（2008·成都）已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________

3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m =

4、若22

()12,()16,x y x y xy -=+=则=

【回顾小结】：

1.完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同．

结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ±b ）2＝a 2 ±2ab+b 2;

平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a ?b ）＝a 2?b 2.

2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、

不弄错符号、2ab 时不少乘2。

3. 口诀：

1.10 完全平方公式（2）导学案

班级______________ 姓名_______________ 使用时间：__________年_____月_____日

【学习目标】

1．进一步理解完全平方公式，并会运用完全平方公式进行一些数的简便运算；

2. 利用公式特征，灵活应用乘法公式；

3. 在合作交流中，进一步体验学习数学的乐趣。

【课前导学】

1.认真阅读书本p26-27

2.思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算?

【自主检测】

1．利用完全平方公式计算（写出推算过程）

（1）298 （2）2203

（3）2102 （4）2197

2．计算：

（1）22

(3)x x +- （2）22(1)(1)ab ab +--

【课内探究】

1．从几何角度去解释完全平方公式：

从图（1）中可以看出大正方形的边长是

_________，

它是由两个小正方形和两个矩形组成，?

所以大正方形的面积等于这四个图形的

面积之和．

则S ＝ ＝

即：

如图（2）中，大正方形的边长是_____，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形

BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方

形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它

的面积是 ．从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积

减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积．?也就是： 2()a b -= ．这也正好符合完全平方公式．

2. 平方差公式和完全平方公式的逆运用

由()()22b a b a b a -=-+ 反之 ()()b a b a b a -+=-22

()2222b ab a b a +±=± 反之 ()2222b a b ab a ±=+±

【当堂巩固】 填空：

（1）24(2)()a a -=+ （2）225(5)()x x -=-

（3）22()()m n -= （4）264()()x -=

（5）2449(27)()m m -=-

（6）442222()()()()()a m a m a m -=+=+

（7）若22)2(4+=++x k x x ，则k =

（8）若92++kx x 是完全平方式，则k =

【例题精讲】

例1 计算：

1.()()42122+--+a a a 2．()()221212+--xy xy

【当堂训练】

（1）（x+5）2–（x-2）（x-3） （2）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3）

（3）（2x-y ）2-4（x-y ）（x+2y ）

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

完全平方公式导学案

完全平方公式导学案 学习目标：1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用 公式进行简单计算。 2、会用几何拼图方式验证平方差公式 教学过程： 一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题： （1）2)32(-x =91249664)32)(32(22 +-=+--=--x x x x x x x （2）2 )32(+x = ; （3）2 )2(y x += ; （4）2 )2(y x -= ; （5）2 )5(+a = ; （6）2)5(-a = ; 二、探究新知： 活动1：观察上面6道题中等式左边的形式和最终计算出的结果，发现其中的规律： 1、左边都是 形式，右边都是 次 项式 2、左边第一项和右边第一项有什么关系？ 3、左边第二项与右边最后一项是什么关系？ 4、右边中间一项与左边两项的关系是什么？ 归纳：完全平方公式：（a+b ）2 = （a-b ）2 = 语言叙述： 三、新知应用（参考P41例1格式步骤．．．． ，完成下列各题） 计算：（1）2)2(b a + （2）2)43(y x -（3）2 )2(a xy - （4）2 )4(y x +-（5）2 )2 1 (-a （6）2)3 13(b ab - 四、拼图游戏 活动2：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式， 你能通过下面的拼图游戏说明完全平方公式吗？ 问题1你能根据图1谈一谈 （a + b ）2=a 2 + 2ab+b 2 吗？ 问题2你能根据图2,谈一谈 （a －b ）2=a 2－2ab+b 2吗？ 五、课堂练习 （1）2 )32(+x （2）2 )32(--x （3）2 )32(-x （4）2 )32(+-x 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项的符号 的， 如果两个数具有不同的符号，? 则 ； 六、教学反思 你发现了吗？

完全平方公式第一课时教案

完全平方公式 教材分析 完全平方公本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计 （一）复习回顾，引出课题

1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 2 = (m+3) (m+3) = ____; (m+3) ）（1 2=(2-x)(2-x) = ;(2-x) （2）教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： 222bababa+=( ++2)222baabab (+－－)2=这两个公式叫做完全平方公式。 你能用自己的语言叙述这两个公式①这两个公式有何相同点与不同点？② 问题：吗？ 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，同号是加异号是减。顺口溜强化记忆：中间项从而结果是特殊的。教师向学生强调平方差公式是多项式乘多项式的特殊形式，符号的确定是易错点，也要强调。【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力。教材对这两个公式的语言叙述比较抽象，理解有一定难度，为此结合两个公式的特征，可用顺口溜强化记忆。剖析公式，发现本质 3.1）左边是一个二项式的完全平方；（）右边的积有三项，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项（2 乘积的两倍；可以代表数字，也可以代表单项式、多项式。（3）字母a,b【设计意图】通过观察完全平方公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌 ba抓住了概念的核心，进一步剖析的广泛含义，、在认清公式的结构特征的基础上，握公式．使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。自学例题4. 1：利于完全平方公式计算：P24例题22 2 (4x+5y)②③(mn-a)①(2x-3) 解析：22 + 6m + 9① (m +3)= m 22 2baab =+ +2 (a +b)) 教师提示学生以后做题时，可按照“解析”那样，对照公式检查结果是否正确。 【设计意图】培养学生的自学能力和小组合作交流能力，进一步强化学生对法则的理解，遵循由浅入深。

数学教案的运用完全平方公式法

数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

完全平方公式第2课时 备课教案学案素材

6 完全平方公式 第2课时利用完全平方公式进行计算 情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣 情景导入活动内容:很久很久以前,有一个国王的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主.国王要赏赐他们,这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地,第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了.” 国王想不通了,他说:“你们的要求不是一样的吗?”你认为他们的要求一样吗? 大臣们开始讨论这个问题,最后一个聪明的大臣解决了国王的疑惑! 国王和大臣们…… 图1-6-7 [说明与建议] 说明:利用学生感兴趣的故事引入新课,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让聪明的学生进一步体会了a2+b2与(a+b)2的关系,这也为新课的学习做好铺垫.建议:1.引导学生用上节课所学的数学知识帮助国王解开这个迷;2.提示学生可以画图进行分析.学生画完图形后,教师找画得比较好的图形进行投影展示.3.画图表示第一个农夫的土地扩大后的面积为(a2+b2)平方米.4.画图表示第二个农夫的土地扩大后的面积为(a+b)2平方米.5.请同学们观察两图,能够发现什么?学生交流讨论后,找学生代表发言. 复习导入活动内容1:完全平方公式的结构特征. 问题1:完全平方公式用字母如何表示? 问题2:完全平方公式用语言如何叙述? 问题3:完全平方公式中的字母可以表示什么?

活动内容2:利用完全平方公式计算: (1)(-2x+3y)2;(2)(-2x-3y)2. [说明与建议] 说明:通过学生的回顾交流和计算,进一步巩固完全平方公式,熟练完全平方公式的结构特征,也为下面探究利用完全平方公式进行数或代数式的简便运算做铺垫.建议:学生口答前面的问题后到黑板上板书活动2的解答过程. 类比导入利用平方差公式可以简便计算998×1002的值,若没有计算器的情况下,你能很快算出9982的结果吗?还能运用平方差公式计算吗? [说明与建议] 说明:通过类比运用平方差公式进行简便计算,提出问题,激起学生的探究欲望,为导入新课做准备.建议:可先让学生计算998×1002,然后再提出后面的问题,让学生比较两个算式的异同,并引导学生分析得出9982不符合平方差公式的结构特点,不能套平方差公式,为提出利用完全平方公式进行简便计算做铺垫. 悬念激趣[师]请同学们探究下列问题: 图1-6-8 一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来1个孩子,老人就给这个孩子1块糖,来2个孩子,老人就给每个孩子2块塘,来3个孩子,老人就给每个孩子3块塘…… (1)第一天有a个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2)第二天有b个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (3)第三天有(a+b)个孩子一起去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? [生](1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖. (2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖. (3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖. [师]第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样吗?请你用所学的公式解释自己的结论. [说明与建议] 说明:采用“情境——探究”教学方法,让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵.建议:教师可进一步设计如下问题:能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢?用同底数幂相乘的性质(a+b)2=(a+b)(a+b),再结合多项式乘多项式的法则,引导学生探究出规律.

新概念英语第二册第2课学案 教师版

新概念英语第2课学案 Part 1 Words 1. until 1) prep 直到……时候 *till 直到，多用于口语 Eg. I sometimes stay in bed until luntime. *from morning to /till night 从早到晚2) conj. 直到……时候（后面加句子）Eg. I stayed in bed until he woke me up. 2. outside 外面 inside 里面 beside 旁边 besides 此外，而且，除….之外 3. ring 1) n.环状物，戒指 Eg. a gold ring 金戒指 *dark rings around her eys 黑眼圈 *ring-road 环状公路 2) v. (零，电话等)响==rang==rung Eg. The door bell rang just now. 3) v. 打电话=call *ring sb = call sb *ring off = hang off 挂断电话 4. repeat v. 重复 *repetition n. 重复 Part 2 Grammar * 一般现在时 1. 意义：经常发生的动作或存在的状态 2.句型：主语+am/is/are +其他。 主语行为动词+其他。 3.动词表第三人称单数规则 1）一般加+s Eg. give—gives 2) 以s, x, sh, ch, o 结尾的动词加+es Eg. fix—fixes go—goes dress—dresses watch—watches wash—washes 4. 经常搭配的时间短语 频度副词：always, often, usually, sometimes, seldom, never, occasionally = sometimes frequently = often 放于行前系助后 Eg. He doesn’t always come by train. ●现在进行时 1. 意义：正在发生的动作 2. 句型：主语+am/is/are doing sth. 3. 动词变现在分词规则 1）一般加+ing Eg. do—doing 2) 以ie结尾的动词，变ie为y 再加ing Eg. lie—lying die—dying 3) 双写最后一个字母再加Ing Eg. stop—stopping run—runniing swim—swimminig 4) 以e结尾的，去e，加Ing Eg. come—coming 4. 有些单词用现在进行时表示将来 *come go arrive leave move Eg. I am coming to see you. 我要来看望你。 The bus is coming. 公交车要来了. 5. 常搭配的时间 Now at present Look! Listen! ●感叹句 1.句型：How+adj/adv +主+谓+其他！ What+ adj+不可名/可名复+主+谓+其他！What +a/an +adj+可名单+主+谓+其他！ Eg. How fast he runs! What a beautiful day it is! What nice food you cook!

完全平方公式导学案

完全平方公式导学案 姓名： 一自主学习 1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律 (1)(p+1)2=(p+1)(p+1）=; (2)(m+2)2=; (3)(p-1)2=(p–1)(p–1）=; (4)(m-2)2=. 猜测：(a+b)2= (a-b)2= 2.你能通过计算验证你的猜想吗试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。 3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗 （1）(a+b)2=a2+2ab+b2 探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加b， 形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。 ①整体看： 是边长为的大正方形，面积=； ②部分看：（用分割法）四块面积分别为， 四块面积的和=。 所以= （2）(a–b)2=a2–2ab+b2 探究2.如图一块边长为a的正方形，现将其边长减少b， 形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。（试着画一画图） ①整体看： 是边长为的正方形，面积=； ②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积 所以= 4.试着用文字来描述这两个公式： 5.判断计算结果正误，错误的请写出正确答案 （1）(a+1)2=a2+1 （2）(a-2)2=a2-4 （3）(a-2b)2=a2-2ab+2b2

二.新知讲授 例1．运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2(2)992练习运用完全平方公式计算 （1）(2x+1)23 （2）(x- 42 3 y)2 （3）1022(4)(-x-2y)2 例2.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值。 小测 1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a+b)2=a2+b2；（）(2)(a-b)2=a2-b2；（） (3)(a+b)2=(-a-b)2；（）(4)(a-b)2=(b-a)2（）2、计算(1)（x–2y）2(2)（-x-y）2 3、已知x–y=8，xy=12，求x2+y2的值

完全平方公式第一课时教案(新北师大版)资料

完全平方公式第一课时教案(新北师大版)

1.6.1完全平方公式 教材分析 本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计

（一）复习回顾，引出课题 1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 （1）(m+3)2 = (m+3) (m+3) = ____; （2）(2-x)2=(2-x)(2-x) = ; 教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式。

运用公式法

运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考

课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2

《完全平方公式》 (第2课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第一章整式的乘除 1.6完全平方公式（2）教学设计 一、教学目标 1．通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系． 2．运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，提高最基本的运算技能． 3．进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式． 二、教学重点及难点 重点：1．巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系． 2．熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义． 难点：熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义． 三、教学准备 多媒体课件 四、相关资源 相关图片 五、教学过程 【复习回顾】 一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少平方厘米？ 提示：原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a－2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4，所以面积减少了(4a－4)平方厘米． 设计意图：解决问题的过程中我们用到了完全平方公式，这节课我们继续探究巩固完全平方公式的应用． 【问题情境】 老师给学生出了两道抢答题，看哪个学生做的快： 1．1022＝？2．1972＝？ 老师题目刚在黑板上写完，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于10404，第二题等于38809．”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？

这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能这位同学一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因． 设计意图：通过速算问题情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课． 【探究新知】 活动1.怎样计算1022，1972更简便呢？你是怎样做的？与同伴进行交流． 提示：由前面学习平方差公式的应用，就联想能不能用完全平方公式计算呢? 把1022改写成(a+b)2还是(a?b)2?于是 1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =1000+400+4 =10404 1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =4000-1200+9 =38809 由此联想到：靠近10的整数次幂的数的平方，可以借助完全平方式进行快速运算．用字母表示为：设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有： (a-1)2 =a2－2a+1，(a+1)2 =a2+2a+1． 设计意图：能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习．活动2．老人分糖 有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，…… (1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？

【学案】初中数学《完全平方公式》导学案

初中数学 完全平方公式（学案） 一、学习目标 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 2．了解完全平方公式的几何背景 二、学习重点：会用完全平方公式进行运算 三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算 四、学习设计 （一）预习准备 （1）预习书p47-49 （2）思考：和的平方等于平方的和吗？ （3）预习作业： （1）(32)(32)a b a b -+= （2）(32)(32)a b a b --=＝ （3）2(1)(1)(1)p p p +=++= （4）2(2)m += （5）2(1)(1)(1)p p p -=--= （6）2(2)m -= （7）2()a b += （8）2()a b -= （二）学习过程 观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而 221,422p p m m ==，恰好是两个数乘积的二倍． （3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用． 因此我们得到完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍． 公式表示为：2()a b += 2()a b -= 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减） 例1．应用完全平方公式计算： （1）2(4)m n + （2）21()2 y - （3）2()a b -- （4）2(2)x y -+

变式训练1： 1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正： （1）22(21)221a a a -=-+ （2）22(21)41a a +=+ （3）22(1)21a a a --=--- 2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 分析：完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同： 222()2a b a ab b ±=±+ 22()()a b a b a b +-=- 结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项 3．计算： （1）2(12)x -- （2）2(21)x -+ （3）()()n m n m +--22 （4）??? ??-??? ??+b a b a 2131213 1 例2．计算： （1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）22)32 1()321(b a b a +-； （3）)432)(432(-++-y x y x . 方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合

完全平方公式教案

完全平方公式（1） 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出准确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践水平等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则的准确应用。 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能准确的应用公式。

三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。 2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。 3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。 （二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下坚实的基础。 （三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断 或大胆的猜测； （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同 角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和使用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，理解到数学是解决实际问题和实行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断能够获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

《完全平方公式(第2课时)》教学设计

《完全平方公式（第2课时）》教学设计 教学目标：1、较熟练地运用完全平方公式进行计算；2、了解三个数的和的平方公式的推导过程，培养学生推理的能力。3、能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。 教学重点：1、完全平方公式的运用。 教学难点：正确选择完全平方公式进行运算。

教学方法：探索讨论、归纳总结。 教学过程： 一、乘法公式复习 1、平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ 2、完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-

3、多项式与多项式相乘的运算方法。 4、说一说：(1) 2)(b a - 与 2 )(a b -有什么关系？ (2) 2)(b a + 与 2 )(b a --有什么关系 二、乘法公式的运用 例1 运用完全平方公式计算：

(1) 2104 (2) 2 198 分析：关键正确选择乘法公式 解：(1) 2104=2 )4100(+ =2 2441002100+??+ = 10000＋800＋16

＝10816 (2) 2198＝2 )2200(- ＝2 2222002200+??- ＝40000－800＋4 ＝39204

例2、运用完全平方公式计算： （1）2)(c b a ++ （2）直接利用第（1）题的结论计算：2)32(z y x +- 解：（1）2)(c b a ++＝2 ])[(c b a ++ ＝2 2)(2)(c c b a b a ++++ ＝2 22222c bc ac b ab a +++++

完全平方公式导学案

14.2.2 完全平方公式导学案姓名： 一自主学习 1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=( p+1) ( p+1）= ; (2) (m+2)2= ; (3) (p-1)2 =( p–1) ( p–1）= ; (4) (m-2)2= . 猜测：(a+b)2 = (a-b)2 = 2.你能通过计算验证你的猜想吗？试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。 3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗？ （1）(a+b)2 =a2+2ab+b2 探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加 b， 形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。 ①整体看： 是边长为的大正方形，面积= ； ②部分看：（用分割法）四块面积分别为， 四块面积的和= 。 所以= （2）(a–b)2 =a2–2ab+b2 探究2.如图一块边长为a的正方形，现将其边长减少 b， 形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。（试着画一画图） ①整体看： 是边长为的正方形，面积= ； ②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积？ 所以= 4.试着用文字来描述这两个公式： 5.判断计算结果正误，错误的请写出正确答案 （1）(a+1)2=a2+1 （2）(a-2)2=a2-4 （3）(a-2b)2=a2-2ab+2b2

二. 新知讲授 例1．运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2 (2) 992 练习运用完全平方公式计算 （1）(2x+1)2 （2）2)32 43(y x - （3）1022 (4) (- x -2y )2 例2. 若 求a 2 + b 2的值。 小测 1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a +b )2=a 2+b 2；（ ） (2)(a -b )2=a 2-b 2；（ ） (3)(a +b )2=(-a -b )2；（ ） (4)(a -b )2=(b -a )2（ ） 2、计算(1)（x –2y ）2 (2)（- x - y ）2 3、已知 x – y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值 ,6,5-==+ab b a

12.5.3因式分解完全平方公式法

12.5.3因式分解 （完全平方公式法） 教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点： 掌握公式法进行因式分解. 难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？ 仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 二、讨论探究： 填一填 四、巩固提高 练习填空： （1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1） －x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=

4.3电解池 导学案 第2课时

第三节电解池（第二课时） 电解原理的应用 【学习目标】 1、了解氯碱工业反应原理 2、了解铜的电解精炼与镀银 【学习的重难点】氯碱工业的制碱原理及铜的电解精炼与镀铜 【旧知回顾】 1、以惰性电极电解CuSO4溶液。若阳极上产生气体的物质的量为0.0100 mol，则阴极上析出Cu的质量为( ) A．0.64 g B．1.28 g C．2.56 g D．5.12 g 2、在水中加入等物质的量的Ag+、Pb2+、Na+、SO42-、NO- 3、Cl-,该溶液放在用惰 性材料作电极的电解槽中,通电片刻,则氧化产物和还原产物的质量比为( ) A、35.5:108 B、16:207 C、8:1 D、108:35.5 3、从SO42-、Ag+、NO-3、Cl-、H+、Cu2+、Ba2+等离子中选出适当的离子组成电解质，采用惰性电极对其溶液进行电解。 （1）两极分别放出H2和O2，电解质的化学式可能是 （2）若阴极析出金属，阳极放出O2，电解质的化学式可能是 （3）两极分别放出气体，且体积比为1:1，电解质的化学式可能为 【学习新知】 1、电解饱和食盐水制烧碱、氯气和氢气 通电前，溶液中存在的阳离子有，阴离子有， 通电时移向阴极，放电；通电时移向阳极，放电； 电极反应方程式为：阳极：阴极 总反应方程式为： 实验现象 I、两极均产生气体 II、溶液先变红，说明有生成 III 极产生的气体能使湿的KI-淀粉试纸变蓝，说明有生成。 2、铜的精炼 I.装置要求 阳极是，阴极是，电解质溶液是 II.化学原理 阳极反应阴极反应 III.电解特点 a.粗铜中的铜迁移到纯铜上 b.CuSO4溶液的浓度 3、电镀 ①电镀的含义 电镀是应用在某些金属表面镀上一薄层其他金属或合金的过程。 ②电镀的目的 电镀的目的主要是 ③电镀的原理 阳极： 阴极： 电镀液： 3、电冶金 （1）金属冶炼的本质是什么？ （2）冶炼金属的方法有哪些？ （3）电解冶炼主要适用于制备哪些金属?