《管理运筹学》第四版课后习题答案

?

= 0.6

《管理运筹学》第四版课后习题解析

（上）

第2章 线性规划的图解法

1．解：

（1）可行域为OABC 。

（2）等值线为图中虚线部分。

（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x =

12

， x = 15 1

7

2

7

图2-1

；最优目标函数值 69

。

7

2．解：

（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解 ?x 1 = 0.2

，函数值为3.6。

?x 2

图2-2

（2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。

? （5）无穷多解。

?

x = （6）有唯一解 ? 1

? 20

3 ，函数值为 92 。

8 3 x = ?? 2 3

3．解： （1）标准形式

max f = 3x 1 + 2x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3

9x 1 + 2x 2 + s 1 = 30

3x 1 + 2x 2 + s 2 = 13 2x 1 + 2x 2 + s 3 = 9

x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0

（2）标准形式

min f = 4x 1 + 6x 2 + 0s 1 + 0s 2

3x 1 - x 2 - s 1 = 6 x 1 + 2x 2 + s 2 = 10 7x 1 - 6x 2 = 4

x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0

（3）标准形式

min f = x 1

' - 2x 2' + 2x 2'' + 0s 1 + 0s 2

-3x 1 + 5x 2' - 5x 2'' + s 1 = 70 2x 1

' - 5x 2' + 5x 2'' = 50 3x 1

' + 2x 2' - 2x 2'' - s 2 = 30 x 1', x 2' , x 2'' , s 1, s 2 ≥

4．解： 标准形式

max z = 10x 1 + 5x 2 + 0s 1 + 0s 2

3x 1 + 4x 2 + s 1 = 9 5x 1 + 2x 2 + s 2 = 8 x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0

≤

松弛变量（0，0）

最优解为 x 1 =1，x 2=3/2。

5．解： 标准形式

min f = 11x 1 + 8x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3

10x 1 + 2x 2 - s 1 = 20 3x 1 + 3x 2 - s 2 = 18 4x 1 + 9x 2 - s 3 = 36

x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0

剩余变量（0, 0, 13）

最优解为 x 1=1，x 2=5。

6．解：

（1）最优解为 x 1=3，x 2=7。

（2）1 < c 1 < 3 。

（3） 2 < c 2 < 6 。 （4） x 1 = 6。

x 2

= 4。

（5）最优解为 x 1=8，x 2=0。

（6）不变化。因为当斜率 -1≤ - c 1 c 2

- 1 ，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解 3

不变。

7.解：

设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量， 目标函数z=200x ＋

240y ， 线性约束条件：

?

?

解

?6x + 12 y ≤ 120 ?8x + 4 y ≤ 64

?

即 ?x ≥ 0 ?? y ≥ 0 ?x + 2 y ≤ 20 ?2x + y ≤ 16 ?

?x ≥ 0 ?? y ≥ 0

作出可行域．

?x + 2 y = 20

?

?2x + y = 16

得 Q (4,8)

z 最大 = 200 ? 4 + 240 ? 8 = 2720

答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．

8．解：

设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积zm2． 目标函数z=x ＋2y ， 线性约束条件：

?x + y ≥ 12 ?2x + y ≥ 15 ?

?x + 3y ≥ 27 ?x ≥ 0 ? ?? y ≥ 0

?x + 3y = 27

作出可行域，并做一组一组平行直线x ＋2y=t ．解 ? ?x + y = 12

得 E (9 / 2,15 / 2)

3x＋2y，线性约束条件2x + y ≥ 3

．但E不

是可行域内的整点，在可行域的整点中，点(4,8) 使z取得最小值。

答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢

板的面积最小．

9．解：

设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=

?x + 2 y ≥ 2

?

?

?

?x ≥ 0

?? y ≥ 0

作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．解

?x + 2 y = 2

?

?2x + y = 3

得C(4 / 3,1 / 3)

?0

C 不是整点，C 不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z 取得最小值．

z 最小=3×1＋2×1=5，

答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5 m 2．

10．解：

设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，最低运费为z 元．目标函数为z=960x ＋360y ．

?0 ≤ x ≤ 10

线性约束条件是 ?

? ≤ y ≤ 20 作出可行域，并作直线960x ＋360y=0．

?8x + 2.5 y ≥ 100

即8x ＋3y=0，向上平移

?x = 10

由?

?8x + 2.5 y= 100

得最佳点为(8,10)

作直线960x＋360y=0．

即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480

答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．11．解：

设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．

?0.18x + 0.09 y ≤ 72? ?2x + y ≤ 800?

?0.08x + 0.28 y ≤ 56

即?2x + 7 y ≤ 1400 作出可行域．平移6x＋10y=0 ，如图

?

?x ≥ 0 ?? y ≥ 0 ?

?x ≥ 0 ?? y ≥ 0

?2x + y = 800

?

?2x + 7 y = 1400 ?x = 350 得 ? ? y = 100

即C(350，100)．当直线6x ＋10y=0即3x ＋5y=0平移到

经过点C(350，100)时，z=6x ＋10y 最大

12．解：

模型 max z = 500x 1 + 400x 2

2x 1 ≤ 300 3x 2 ≤ 540 2x 1 + 2x 1 ≤ 440 1.2x 1 + 1.5x 2 ≤ 300 x 1, x 2 ≥ 0

（1） x 1 = 150 ， x 2 = 70 ，即目标函数最优值是103 000。

（2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。

（3）50，0，200，0。

（4）在 [0,500]变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。

（5）因为 - c

1 = -

450

≤ -1 ，所以原来的最优产品组合不变。 c 2

430

13．解：

（1）模型 min f = 8x A + 3x B

50x A + 100x B ≤1 200 000

5x A + 4x B ≥60 000

100x B ≥300 000

x A , x B ≥0

基金A，B分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元。

（2）模型变为max z = 5x

+ 4x B

A

50x A + 100x B ≤1 200 000

100x B ≥300 000

x A , x B ≥0

推导出x

= 18 000 ，x2 = 3000 ，故基金A投资90万元，基金B投资30万元。

1

第3章线性规划问题的计算机求

解

1．解：

⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720

⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元

⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333

⑷不变，因为还在120和480之间。

2．解：

⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为(4，8)

3 ．解：

⑴农用车有12辆剩余

⑵大于300

⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元

4．解：

计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)

5．解：

圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元

相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。

最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10- 3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-

9）/7〈100%，所以最优解不变。

6．解：

（1）x

1

= 150 ，x2 = 70 ；目标函数最优值103 000。

（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。

（3）50，0，200，0。含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200

元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。

（4）3车间，因为增加的利润最大。

（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。

（6）不变，因为在[0,500]的范围内。

（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在[200, 440]变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。

（8）总利润增加了100×50=5 000，最优产品组合不变。

（9）不能，因为对偶价格发生变化。

（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和

25

+ 50

≤100%

100 100

（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和

50

+ 60

≤100% ，其最大利润为103 000+50×50?60×200=93500元。

140 140

7．解：

（1）4 000，10 000，62 000。

（2）约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057；约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。

（3）约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1 200 000；约束条件2的剩

余变

量是0，表示投资回报额正好是60 000；约束条件3的松弛变量为700 000，表示投资B基金的投资额为370 000。

（4）当c

2 不变时，c

1

在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；

当c

1 不变时，c

2

在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在[780 000,1 500 000]变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）。

（6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和 4

+

2 > 100% ，理由见百分之一百法则。

4.25 3.6

8．解：

（1）18 000，3 000，102 000，153 000。

（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1 200 000；基金B的投资额的剩余变量为0，表示投资B基金的投资额正好为300 000；

（3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；基

金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。

（4）c

1 不变时，c

2

在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；

c 2 不变时，c

1

在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在300 000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；约束条件2的右边值在0到1 200 000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。（6）600 000 + 300 000 = 100%故对偶价格不变。

900 000 900 000

9．解：

（1）x

1

= 8.5 ，x2 = 1.5 ，x3 = 0 ，x4 = 0 ，最优目标函数18.5。

（2）约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标

函数分别提高2和3.5。

（3）第3个，此时最优目标函数值为22。

（4）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。

（5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。

10．解：

（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。

（2） x 2 目标函数系数提高到0.703，最优解中 x 2 的取值可以大于零。

（3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和

1 14.583 +

2 ≤100% ，所以最优解不变。 ∞

（4）因为 15 + 65

> 100 %，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶

30 - 9.189 111.25 -15

价格是否有变化。

第4章线性规划在工商管理中的应用

1．解：

为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x1

，x12，x13，x14，如表4-1所示。

1

1234567891011121314

s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80

x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350

x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420

x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0

通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：

x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，

x13=0，x14=3.333

最优值为300。

2．解：

（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。

min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)

s.t．x1＋1≥9

x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋

x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋

x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋

x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋

x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋

x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋

x8＋2≥12x6＋x7＋x8

＋x9＋2≥12x7＋x8＋

x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋

x10＋x11＋1≥7

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0

通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：

x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优

值为320。

在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14 时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。

（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。

约束松弛/剩余变量对偶价格

------ ------------ ------------

1 0 ?4

2 0 0

3 2 0

4 9 0

5 0 ?4

6 5 0

7 0 0

8 0 0

9 0 ?4

100 0

110 0

根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的

1个人工作3小时，可使得总成本更小。

（3）设x i表示第i班上班4小时临时工人数，y j表示第j班上班3小时临时工人数。min f=16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5

＋y6＋y7＋y8＋y9) s.t．x1＋y1＋1≥9

x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9

x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9

x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3

x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3