解直角三角形(仰角和俯角)讲义

解直角三角形（仰角和俯角）

一、知识点讲解

1、仰角和俯角的定义：

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。二、典例分析

利用解直角三角形解决仰角、俯角问题

例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

变式练习：

1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为

A、50

B、51

C、50+1

D、101

第1题第2题第3题

2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点

A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。

3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）

4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）

反馈练习 基础夯实

1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1

200m D 、 2400m

第1题 第2题 第3题 第4题

2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米

B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。（用含α、β、a 的式式表示）

4、如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为 m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19）

5、观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房

的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测

观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求

观光塔的高CD 是 m ．

6、国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航。如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 测得高华峰顶点F 的俯角为30°,保持方向不变前进1200米到达B 点后测得峰顶点F 的俯角为45°，如图2，请根据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（结果保留整数，参考数值：732.13≈，414.12≈）

能力提升

1、如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C ，其中AB 段与BC 段的运行路程均为200m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）

2、已知如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到达D 处，测得A 的仰角为60°，求山的高度AB 。

3、如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45°．从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30°．已知树高EF =6米，求塔CD 的高度．（结果保留根号）【326+】

4、小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C 处测得树AB 顶端A 的仰角为30°，沿着CB 方向向大树行进10米到达点D ，测得树AB 顶端A 的仰角为45°，又测得树AB 倾斜角∠1=75°．

（1）求AD 的长．【2565+】

（2）求树长AB ．【210】

思维拓展

1、为了给学生提供更好的学习生活环境，重庆一中寄宿学校2015年对校园进行扩建，某天一台塔吊正对新建教学楼进行封顶施工，工人在楼顶A 处测得吊钩D 处的俯角α=22°，测得塔吊B 、C 两点的仰角分别为β=27°，γ=50°，此时B 与C 相距3米，塔吊需向A 处吊运材料，吊钩需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A 处？（参考数据：tan 27°≈0.5，tan 50°≈1.2，tan 22°≈0.4）【右715，上7

6】

2、“一柱香”是闻名中外的恩施大峡谷的著名景点，某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香项”N 的仰角为45°,此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上，然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一柱香”前进110米，到过B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°，根据以上条件求出“一柱香”的高度。（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：732.13,414.12≈≈）

精品 九年级数学 下册解直角三角形 综合题 同步讲义+练习8页

解直角三角形 第02课 三角函数综合应用 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 例1.求下列各函数值,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接： (1)0041sin 37sin 与 (2)0041cos 37cos 与 (3)0041tan 37tan 与 (4)0041cos 37sin 与 例2.如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E,使CE=AC,AE 与CD 相交于点F .求∠E 的正切值. 例3.一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600 ，且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.

例4.如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1m， 2= ≈，) 41 .1 73 .1 3 例5.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高? 例6.△ABC中,∠A、∠B均为锐角,且0 )3 -A B,试确定△ABC的形状. - + tan2= 2( sin 3 例7.如图,城市规划期间,要拆除一电线杆AB,已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2:1,坝高CF为2米,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?请说明理由.(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)

解直角三角形(仰角,俯角)

解直角三角形 学习目标 1、探索直角三角形中锐角的三角函数值与 三边之间的关系，掌握三角函数定义。 2、掌握特殊角的三角函数值，并会进行有 关特殊角的三角函数值的计算。 3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边 角关系解决实际问题，提高数学建模能力。 重点：合理构造直角三角形、解直角三角形 实际应用。 难点：如何理解题意对实际问题建立模型解 题。 教学过程： 一、知识梳理： （一）锐角三角函数 1.三角函数的定义: (1)正弦 (2)余弦 . (3)正切 2.特殊角的三角函数值 （二）直角三角形中的边角关系

1.三边之间的关系 2.两锐角之间的关系 3.边角之间的关系 （三）解直角三角形的应用：仰角和俯角二、例题 例题: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） C

例1如图，直升飞机在跨江大桥AB 的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO . 三、变式训练 变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两

端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO . 变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.

初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版

1中考第一轮复习 三角形 中考大纲剖析 本讲结构 1

2 一、等腰三角形 二、直角三角形 1．直角三角形的边角关系． ①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数． 2．特殊直角三角形 知识导航

3 三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 四.全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL． 在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合. 五.相似三角形 相似三角形的性质： ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比． 3

4 ⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定： ⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似； ⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型： (1)E D C B A (3)E D C B A (4) D C B A D C B A (6) E D C B A (2)E D C B A (5) E D C B A （10） （9） （8） A B D E A B C D E E D B A 【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求. 另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”. 【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的 个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 （2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △ 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ． （2010顺义一模） （3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠， 点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =． （2012海淀期中） 模块一 特殊三角形 夯实基础 A C F E D B

人教版九年级下册《解直角三角形及其应用》同步练习

解直角三角形及其应用 一、选择题 1.如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A. 13 5 B. 13 12 C. 12 5 D. 12 13 第1题图第2题图 2.如图,在5x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶 点上，则sin∠BAC的值为( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 5 3 D. 5 4 3.将一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点C落在点C'处，其中AB=4,若∠C'ED=30°, 则折痕ED的长为( ) A.4 B.3 4 C.8 D.5 5 4.在Rt△ABC中，∠C= 90°，若AB=4，sinA= 5 3 ，则斜边上的高等于( ) A. 25 64 B. 25 48 C. 5 16 D. 5 12 5.如图，在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC= 30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则tan∠DAC 的值为( ) A.3 2+ B.3 2 C.3 3+ D.3 3 第3题图第5题图第6题图 6.如图所示，某地修建高速公路，要从A地向B地修条隧道(点A,B在同一近水平面上).为了测量 A,B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯 角为α,则A,B两地之间的距离为( ) A.800sinα米 B.800tanα米 C. α sin 800 米 D. α tan 800 米 7.如图, 在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E，设∠ADE=α,且cosα= 5 3 ,AB=4,则AD的长为( ) A.3 B. 3 16 C. 3 20 D. 5 16 8.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β ,则竹竿AB与AD的长度 之比为( ) A. β α tan tan B. α β sin sin C. β α sin sin D. α β cos cos 第7题图第8题图 9.在△ABC中，AC=8,∠ABC= 60°，∠C = 45°,AD⊥BC，垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点 E,则AE的长为( ) A. 3 2 4 B.2 2 C. 3 2 8 D.2 3 10.如图所示，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长 5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE=0. 6 m,又量得杆底与坝脚 的距离AB=3m,则石坝的坡度为( ) A. 4 3 B.3 C. 5 3 D.4 第9题图第10题图

著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.学生版

内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问 题。 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 模块一、勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 知识点睛 中考要求 解直角三角形

C A B c b a 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数： 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： c b a C B A （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=? （3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b a A B A B A c c b ===== 三、 解直角三角形的四种基本类型 （1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a A c = 求出A ∠，则90B A ∠=?-∠， b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边 c ，锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，tan b a B =，sin a c A =； （4）已知两直角边(如a 和b ) ，求出c =tan a A b =，得90B A ∠=?-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A =等． 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC ?中，90A B ∠+∠=?，故sin cos(90)cos A A B =?-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；

解直角三角形讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课题九（下）第一章、解直角三角形 教学目标 1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角 三角形中加以解决。会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。 2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。 3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习 品质。 重点、难点 重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 考点及考试要求 教学内容 1.1~1.2锐角三角函数及其计算 边角之间的关系（锐角三角函数）: sin,cos,tan a b a A A A c c b === ★22 sin sin cos(90)cos,tan,sin cos1 cos A A A B A A B A =-==+= o ★三角函数的单调性：090sin sin1 A B A B ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 090cos cos1 A B B A ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 04590tan1tan A B A B ≤<<≤≤<<≤+∞ o o o 当时，0 0180tan A A A <<< o o 当时，sin 如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α ∠，b ∠ =,sin CD EF CD b EF OC OE α=== Q sin CD EF < Q,sin sin a b < Q =,tan CD AB CD AB OC OB αα === Q sin,CD AB < Q tan αα ∴< sin 其它均可用上图来证明。 30°，45°，60°的三角函数值（见右表） 例（1）计算： sin60°·tan30°+cos 2 45°= （2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为

解直角三角形-仰角俯角教案

解直角三角形-仰角俯角教案

解直角三角形——仰角、俯角 一．教学目标 1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 4、学习仰角与俯角。 二．教学重难点： 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 三、教学设计： 1、复习回顾 （1）解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 （2）解直角三角形会用到的理论知识是：直角三角形的三边关系既勾股定理、边角关系既锐角三角函数、两锐角关系既锐角互余。 （2）已知，在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=156，b=56，解这个直角三角形。 解：在Rt △ABC 中，∠C=90° ∴512)56()156(2222=+=+=b a c ∵2 1sin == c a A

∴∠A=30° ∴∠B=90-∠A=60° 答： 2、新课讲授 （1）仰角、俯角概念：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 例1 如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米） 解：在Rt △ABC 中， ∵) (4.1020.117.917.922tan 7.22tan tan m CD AE AE BE AB DB CE AE ≈+=+=+=∴≈??=?=?=αα 答：电线杆的高度约为10.4米。 例2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角a ＝16゜31′，求飞机A 到控制点B 的距离.（精确到1米） 图

精品 九年级数学 下册解直角三角形同步讲义+练习16页

解直角三角形 第01课 三角函数的定义 知识点： 解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即= A sin ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即=A cos ∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即=A tan 即锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数. 注意：sinA,cosA,tanA 都是一个完整的符号,单独的"sin ”没有意义,其中A 前面的“∠”一般省略不写。 各锐角三角函数之间的关系： （1）互余关系：若∠A+∠B=900 ，则sinA=cos =cos （ ），cosA=sin =sin （ ） （2）平方关系：1cos sin 22== = +=+A A ?1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：1tan tan ,tan tan =? = ?= = B A B A ，?=?B A tan tan （4）弦切关系：=A sin ，=A cos ， =A A cos sin ?= A tan 例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900 ，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B 的正弦,余弦和正切. 例2.探索300、450、600 角的三角函数值.

例3.计算： (1)(1)cos600 + sin 2 450 －tan340 ·tan560 (2)已知tanA=2，求A A A A cos 5sin 4cos sin 2+-的值. 例4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900 ,13 5sin = B ,D 在B C 边上,且∠ADC=450 ,AC=5.求∠BAD 的正切值. 例5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=135°求tanB 的值. 课堂练习： 1.填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维) 2.在Rt △ABC 中，∠C=900 ，3 1 tan = A ，AC=6，则BC 的长为（ ） A.6 B.5 C.4 D.2 3.在Rt △ABC 中，∠C=900 ，AC=4，BC=3，cosB 的值为 （ ） A. 51 B.53 C.54 D.4 3 4.在△ABC 中，∠C=900 ，tanA=1，则sinB 的值是 （ ）

解直角三角形

学科：数学 专题：解直角三角形 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点解析 金题精讲 题一 题面：解答下列问题 （1）已知：如图1，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于D ．若:3:1AD DB =，求A ∠； （2）已知：如图2，在△ABC 中，CD ⊥AC 于D ，sin ∠A =3 5 ，tan ∠B =3， AB =2，求BC 的长． 题二 题面：已知：如图，∠C=∠ABD =90°，∠BAC=30°，AB=BD ，BC=1，求： （1）∠CAD= ______； （2）∠CAD 的三角函数值.

A 满分冲刺 题一 题面：已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ． 求AB 及BC 的长． 题二 题面：已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A ＝α，∠B ＝β． (1)求AB 的长； (2)求证： .sin sin β αb a = 题三

题面：已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长． 讲义参考答案 重难点易错点解析 答案：90°－∠A ，c ·sin A ， c ·cos A ； o 90, ,;tan sin a a A A A -∠ tan ,90;a A A b = -∠ sin ,90.a A A c = -∠ 金题精讲 题一 答案：（1）30? （2）5 题二 答案：（1）75? （2）sin 4 CAD ∠= ，cos 4CAD ∠=，tan 2CAD ∠=满分冲刺 题一

答案： cm 25;cm )535(=-=BC AB 题二 答案：(1) AB ＝cos cos b a ?α+?β (2)略 题三 答案：535+或.535-

最新2020年中考数学几何全套复习讲义

初中几何全套复习讲义 1.三角形的有关概念 2.全等三角形 3.等腰三角形 4.直角三角形、勾股定理、面积 5.角平分线、垂直平分线 6.平行四边形 7.矩形、菱形 8.正方形 9.梯形 10.三角形、梯形的中位线 11.锐角三角函数 12.解直角三角形 13. 三角函数的综合运用 14.比例线段 15.相似三角形（一） 16.相似三角形（二） 17.相似形的综合运用（一） 18.相似形的综合运用（二） 19.圆的有关概念和性质 20.垂径定理 21.切线的判定与性质 22.与圆有关的角23.圆中成比例的线段 24.圆与圆（一）25.圆与圆（二）26.正多边形和圆 中考数学几何全套复习讲义 1.三角形的有关概念 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键 是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b ，且a b ，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（） A 、3a L 3b B、2(a b) L 2a C、2a6 b L 2b a D、3a b L a 2b 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在△ABC 中，AC＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（） A 、1＜A B ＜29 B、4＜AB ＜24 C、5＜AB ＜19 D、9＜AB ＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知 识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。 0，∠ACB ＝610，延长BC 至E，使CE＝AC ，延长CB 至【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45 D，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 1

解直角三角形(仰角和俯角)讲义

解直角三角形（仰角和俯角） 一、知识点讲解 1、仰角和俯角的定义： 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。二、典例分析 利用解直角三角形解决仰角、俯角问题 例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732） 变式练习： 1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为 A、50 B、51 C、50+1 D、101 第1题第2题第3题 2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点 A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。 3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号） 4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）

反馈练习 基础夯实 1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1 200m D 、 2400m 第1题 第2题 第3题 第4题 2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米 B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。（用含α、β、a 的式式表示） 4、如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为 m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19） 5、观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房 的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测 观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求 观光塔的高CD 是 m ． 6、国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航。如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 测得高华峰顶点F 的俯角为30°,保持方向不变前进1200米到达B 点后测得峰顶点F 的俯角为45°，如图2，请根据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（结果保留整数，参考数值：732.13≈，414.12≈） 能力提升

初中数学解直角三角形综合讲义

初中数学解直角三角形综合讲义 一、理解概念 1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系 2 明确概念：解直角三角形 阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。由直角三角形中除 直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 定对象： 特殊的求解过程 定角度： 已知元素 新事物： 求出未知元素 举例：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个直角三角形。 解：（1）∠A=90°- 42°6′=47°54′ （2）∵ cosB= c a , ∴a=c cosB=287.4×0.7420≈213.3 （3）∵ sinB=c b , ∴b=c sinB=287.4×0.6704≈192.7 二、研究概念 1.条件： 直角三角形 2.构成和本质 [边] 两条直角边 [角] 有一个直角 [角] 两锐角互余 3.特征： [角] 两锐角互余，∠A+∠B=90° [边] 勾股定理，a 2+b 2=c 2 [等式的性质] a 2 =c 2 —b 2 b 2= c 2 —a 2 勾股定理逆定理 [边、角] 锐角三角函数 [重要线段] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 [圆] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [特殊角] 30°角所对的直角边是斜边的一半 45°角所对的直角边是斜边的2 倍 4.下位 无 5.应用：

三、例题讲解 1、在R t △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a ，∠B=α，那么AD 等于 （ ） （A 级） A 、 asin 2α B 、acos 2 α C 、asin αcos α D 、asin αtan α 对象：R t △ABC 中，AD 角度： 三角函数 分析：R t △ABC cosB=BC AB cos α= a AB AB= a ·cos R t △ABD sin α=AB AD AD= sin α·AB AD= asin αcos α 2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是 ，BD= 对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P 角度： 直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE 。分四种情况： BP=22 （1） P 到边BC 的距离为PE=2，∠DBC=45° BE=PE=2 [BP∶PD=1∶2] PD=42 BD=62 正方形的边长为6 （2） P 到边AB 的距离为PE=2、P 到边AD 的距离为PE=2 、P 到边CD 的距离为PE=2方法照上。 3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3， AC=3，则BD= 对象：Rt △ABC 中BD 角度：相似三角形 分析：△ABC ～△CBD BC 2 =BD ·AB BC=3，AC=3 AB=32 BD=2 1 4、在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且ｓｉｎＡ＝2 1 ，ｔａｎＢ＝3，ＡＢ＝１０。 求△ＡＢＣ的面积。 对象：△ＡＢＣ的面积 角度：锐角函数值 分析：ｓｉｎＡ＝ 2 1，ｔａｎＢ＝3 ∠A=30°，∠B=60° ∠C=90° △ＡＢＣ是以AB 为斜边的直角三角形 [ＡＢ＝１０，∠A=30°，∠B=60°] △ＡＢＣ的面积为2 3 25 AC=5 3,BC=5 5、河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°， 测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。 C A D B

九年级(上)培优讲义-第2讲解直角三角形

第2讲：解直角三角形 一、建构新知 1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °. 2.阅读教材后回答。 （1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有. （3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？ 3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c. 已知条件已知条件解法 一边一角一条直角边和一个锐角 （a, ∠A） 斜边和一个锐角 （c, ∠A） 两边 两条直角边 （a,b） 斜边和一条直角边 （a ,c） 4.阅读教材后回答. （1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比）， 其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？B A C

A B C 北 北 二、经典例题 例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值． 例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°： （1）已知a =4，b =8，求c ． （2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ． 例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离. A B D C A B D C

利用仰俯角解直角三角形-人教版九年级数学下册优秀教案设计

28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一 座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)． 解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN

中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33 ，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看 到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD . 解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度． 解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30× 33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33 ＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为20m. 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得 河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)? 解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．

九年级数学下册(北大版)同步讲义5---解直角三角形

九年级数学下册（北大版）同步讲义 解直角三角形

学生回答后，板书： (1)三边关系：a2+b2=c2； (2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°； (3)边角之间关系 第二大节“解直角三角形”，安排在锐角三角函数之后，通过计算题、证明题、应用题和实习作业等多种形式，对概念进行加深认识，起到巩固作用． 同时，解直角三角形的知识可以广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度．其中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值．解决这类问题需要进行运算，但三角的运算与逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常常先选择公式并进行变换．同时，解直角三角形的应用题和实习作业也有利于培养学生空间想象能力，要求学生通过观察，或结合文字画出图形，总之，解直角三角形的应用题和实习作业可以培养学生的三大数学能力和分析问题、解决问题的能力． 解直角三角形还有利于数形结合．通过这一章学习，学生才能对直角三角形概念有较完整认识，才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来．另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章知识加以处理． 基于以上分析，本节课复习解直角三角形知识主要通过几个典型例题的

教学，达到教学目标． 二、新课讲解： 1、首先出示，通过一道简单的解直角三角形问题，为以下实际应用奠定基础． 根据下列条件，解直角三角形． 教师分别请两名同学上黑板板演，同时巡视检查其余同学解题过程，对有问题的同学可单独指导．待全体学生完成之后，大家共同检查黑板上两题的解题过程，通过学生互评，达到查漏补缺的目的，使全体学生掌握解直角三角形．如果班级学生对解直角三角形掌握较好，这两个题还可以这样处理：请二名同学板演的同时，把下面同学分为两部分，一部分做①，另一部分做 ②，然后学生互评．这样可以节约时间． 2、出示例题2． 在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D 处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析： 如图6-39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，

2013中考全国100份试卷分类汇编 解直角三角形(仰角俯角坡度问题)

2013中考全国100份试卷分类汇编解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 A. 40 D. 160 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。 2、（2013?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． AD=

x ﹣ ， 3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4、（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）

m 5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC 30∠= ，则该山坡的高BC 的长为_____米。 答案：100 解析：BC=AB ·sin30°= 1 2 AB=100m 6、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 750 米．

解直角三角形 仰角俯角教案

解直角三角形——仰角、俯角 一．教学目标 1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 4、学习仰角与俯角。 二．教学重难点： 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 三、教学设计： 1、复习回顾 （1）解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 （2）解直角三角形会用到的理论知识是：直角三角形的三边关系既勾股定理、边角关系既锐角三角函数、两锐角关系既锐角互余。 （2）已知，在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=156，b=56，解这个直角三角形。 解：在Rt △ABC 中，∠C=90° ∴512)56()156(2222=+=+=b a c ∵2 1sin == c a A

∴∠A=30° ∴∠B=90-∠A=60° 答： 2、新课讲授 （1）仰角、俯角概念：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 例1 如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的C 处， 用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米） 解：在Rt △ABC 中， ∵) (4.1020.117.917.922tan 7.22tan tan m CD AE AE BE AB DB CE AE ≈+=+=+=∴≈??=?=?=αα 答：电线杆的高度约为10.4米。 例2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角a ＝16゜31′，求飞机A 到控制点B 的距离.（精确到1米） 图

期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义

期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义

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教学目标 1、复习相似三角形的性质； 2、复习解直角三角形的性质。 重点、难点 相似三角形及解直角三角形的几何证明 考点及考试要求 1、相似三角形 2、解直角三角形 3、相似三角形及解直角三角形的几何证明 教 学 内 容 第一课时 相似三角形及解直角三角形知识梳理 1.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM= 2.1cm ，则MC= cm 。 (2) 如果 9 5 =AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。 2.若 b a b +＝53，那么b a ＝ 3．在的长为，则，，中，BC AB B C ABC Rt 73590=?=∠?=∠? 。 4.计算：.60cos 43)258(sin )21()1(032010o o -+-+?--π 5.如图，的长求线段的角平分线，若是，，中，AD AC ABC AD B C ABC .33090=??=∠?=∠?。 D C A B 课前检测

一、相似三角形相关知识点 1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换 相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。 （2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作相似于。 （3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 （4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。 注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序. 全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2.相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）相似三角形的判定 ① 两角对应相等的两个三角形相似； ② 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似； ④ 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 二、解直角三角形相关知识点 1. 定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。 2. 理论依据 （1） 三边关系：222c b a =+ （勾股定理） （2） 锐角关系：A+B= 90 （3） 边角关系：c b B = sin c a B =cos a b B =tan b a B =cot B A sin sin = sinB cosA = B A cot tan = B A tan cot = 知识梳理