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汉克尔变换和贝塞尔函数

汉克尔变换

通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果

存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。

设Jγ(x)为у阶贝塞尔函数，?(x)定义于[0,+∞)，则称

为?(x)的у阶汉克尔变换；而称

为h(t)的汉克尔反变换。存在以下性质:

贝塞尔函数在18世纪中叶欧拉研究圆鼓膜振动问题时，引进了极坐标形式的波动方程

这里a为常数。采用分离变量法解这个方程,得到贝塞尔微分方程及贝塞尔函数。数年后J.-L.拉格朗日研究行星绕日问题，19世纪初期傅里叶研究圆柱体的热传导问题，都用到贝塞尔函数。所谓贝塞尔微分方程就是形如

的方程，这里v为常数。它的一个解是

称为第一类贝塞尔函数。当v不为整数时,它的另一独立解为

当v为整数n时，则规定

它们称为第二类贝塞尔函数。

设(z)为两个变量z，v的解析函数,满足一对递推公式

则称(z)为圆柱函数。J(z)及Y(z)均为圆柱函数。圆柱函数可以用来解在圆柱面上满足一定边界条件的拉普拉斯方程及波动方程。

设φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，…为在开区间(α,b))上有定义的实函数系，ω(x)为定义在(α,b))上的非负函数；如果对任何非负整数m≠n恒有

则称{φn(x)}为在区间(α，b))上以ω(x)为权函数的正交系。如果φn(x)恰为n次多项式，那么φn(x)称为正交多项式。

设v>-1,则J(z)的零点均为实数,且有无穷个正零点及负零点，其阶均为1。若以j1,j2,j3,…表示J(z)的正零点按上升顺序的排列,则当v固定时，{J(j n x)}是在(0,1)上以x为权函数的正交系。

贝塞尔函数的有关公式

贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。有 p 第一类柱贝塞尔函数J(z) p np为整数n时，J=(,1)J; ,n n p不为整数时，J与J线性无关。 p,p 第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) p nn为整数时N=(,1)N。 ,n n 第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p 大宗量z

小宗量z 0 ，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论 p668 J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到 j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得又可得如z=x为实数

贝塞尔函数的加法公式 J(z)的零点,nni J’(z)的零点,nni 半整数阶贝塞尔函数 J(z)的零点,n+1/2np

J'(z)的零点,'n+1/2np D(朗斯基行列式及其它关系式 E(修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为 ,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 pp

大宗量z 小宗量z 0 (0210)《古代散文》复习思考题一、填空题 1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。 3(《》长于描写外交辞令。 4(《国语》的突出特点是长于。 5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。

Bessel函数介绍

第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。如果α不为整数，则Jα(x)和J?α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。贝塞尔积分

α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。）

积分变换的认识与应用

积分变换的一些应用积分变换积分变换是数学中对于函数的作用子，理论上用以处理微分方程等问题。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，本文将会讲述关于傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些应用。傅里叶变换定义傅里叶其实是一种分析信号的方法，既可以分析信号的成分，也可以利用这些成分合成信号。设f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在下一个周期内具有有限个间断点，并且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则函数满足傅里叶变换：它存在逆变换，则傅里叶逆变换：有一种特殊的变换叫离散傅里叶变换，它是对一个序列进行的变换，为：傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。个别应用傅里叶变换最常见于图像处理跟数学信号处理中，而现在现在我介绍其中一种比较不错的应用：加密、解密图像。根据Candan等人提出的离散分数傅里叶变换的定义为，X（n）是带有N个矢量元素的输入信号，是变换核矩阵，是分数阶。Soo-Chang Pei 等人将离散分数傅里叶变换核矩阵定义为，当N为奇数时，矩阵，当N为偶数时，，是一个对角矩阵，其对角线上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我们将NXN DFT矩阵定义为：，进而可以将阶DFRFT矩阵定义为：

积分变换学习笔记

积分变换-意义积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。一、傅立叶变换意义尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇定义 f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换,②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。

欧拉公式： ? +?=? sin cos i e i 二、傅里叶变换与逆变换的性质 1.线性性质: 2. 位移性质 () 1 (),22Dirichlet ()()()Fourier ()cos sin 2T T T T T n n n T T f t T f t f t f t t a f t a n t b n t ωω∞ =?? --???? ??=++∑为周期函数，在上满足条件：连续或仅有有限个第一类间断点；仅有有限个极值点则可展开为级数，且在连续点处成立： )] ([)]([)]()([)]([)]([)]()([1 11ωωωωG B F A BG AF t g b t f a t bg t af ---+=++=+F F F F F F 为实常数，则，若00,)()]([ωωt F t f =F

第二类修正贝塞尔函数(Fortran代码)

调试日期：2011年9月13日星期二程序说明：计算第二类修正贝塞尔函数的Fortran代码，参看徐士良先生的《Fortran常用程序算法集》 PROGRAM BSL_XSL DOUBLE PRECISION MBSL4,X OPEN(1,FILE='BSL.DAT',ACTION='WRITE') DO X=0.05,3,0.05 WRITE(1,*),X,MBSL4(0,X-0.01),MBSL4(1,X) ENDDO CLOSE(1) ENDPROGRAM FUNCTION MBSL3(N,X) DOUBLE PRECISION MBSL3,X DOUBLE PRECISION T,Y,P,B0,B1,Q,A(7),B(7),C(9),D(9) DATA A/1.0,3.5156229,3.0899424,1.2067492, * 0.2659732,0.0360768,0.0045813/ DATA B/0.5,0.87890594,0.51498869,0.15084934, * 0.02658773,0.00301532,0.00032411/ DATA C/0.39894228,0.01328592,0.00225319, * -0.00157565,0.00916281,-0.02057706, * 0.02635537,-0.01647663,0.00392377/ DATA D/0.39894228,-0.03988024,-0.00362018, * 0.00163801,-0.01031555,0.02282967, * -0.02895312,0.01787654,-0.00420059/ IF (N.LT.0) N=-N T=ABS(X) IF (N.NE.1) THEN IF (T.LT.3.75) THEN Y=(X/3.75)*(X/3.75) P=A(7) DO 10 I=6,1,-1 10 P=P*Y+A(I) ELSE Y=3.75/T P=C(9) DO 20 I=8,1,-1 20 P=P*Y+C(I) P=P*EXP(T)/SQRT(T) END IF END IF IF (N.EQ.0) THEN MBSL3=P RETURN

傅里叶变换

研究生课程论文（作业）封面（ 2014 至 2015 学年度第 1 学期）课程名称：__________________ 课程编号：__________________ 学生姓名：__________________ 学号：__________________ 年级：__________________ 提交日期：年月日成绩：__________________ 教师签字：__________________ 开课---结课：第周---第周评阅日期：年月日东北农业大学研究生部制

积分变换在工程上的应用摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理 1 概要介绍积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 ()()()()()()?? ? ??-++=-? ? ∞ +∞ +∞ -.,200,]cos [1 其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ 当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：

汉克尔变换和贝塞尔函数

汉克尔变换通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。设Jγ(x)为у阶贝塞尔函数，?(x)定义于[0,+∞)，则称为?(x)的у阶汉克尔变换；而称为h(t)的汉克尔反变换。存在以下性质:

特殊函数(贝塞尔函数):一些高级超越函数的总称，不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的，常见的有：Γ函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等等，通常也列入特殊函数。贝塞尔函数在18世纪中叶欧拉研究圆鼓膜振动问题时，引进了极坐标形式的波动方程这里a为常数。采用分离变量法解这个方程,得到贝塞尔微分方程及贝塞尔函数。数年后J.-L.拉格朗日研究行星绕日问题，19世纪初期傅里叶研究圆柱体的热传导问题，都用到贝塞尔函数。所谓贝塞尔微分方程就是形如的方程，这里v为常数。它的一个解是称为第一类贝塞尔函数。当v不为整数时,它的另一独立解为当v为整数n时，则规定它们称为第二类贝塞尔函数。设(z)为两个变量z，v的解析函数,满足一对递推公式

则称(z)为圆柱函数。J(z)及Y(z)均为圆柱函数。圆柱函数可以用来解在圆柱面上满足一定边界条件的拉普拉斯方程及波动方程。设φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，…为在开区间(α,b))上有定义的实函数系，ω(x)为定义在(α,b))上的非负函数；如果对任何非负整数m≠n恒有则称{φn(x)}为在区间(α，b))上以ω(x)为权函数的正交系。如果φn(x)恰为n次多项式，那么φn(x)称为正交多项式。设v>-1,则J(z)的零点均为实数,且有无穷个正零点及负零点，其阶均为1。若以j1,j2,j3,…表示J(z)的正零点按上升顺序的排列,则当v固定时，{J(j n x)}是在(0,1)上以x为权函数的正交系。

贝塞尔函数释疑

数理方程中与贝塞尔函数有关的问题据百度百科介绍：贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学，还编制基本星表，测定恒星视差，预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科）一、贝塞尔方程与贝塞尔函数二、贝塞尔方程与欧拉方程比较三、贝塞尔函数与伽马函数四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 0)(222 22 =-++y v x dx dy x dx y d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数 m v m m v x m v m x J 20)2 ()1(!)1()(+∞ =∑++-=Γ 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。在教科书中Bessel 方程来源 1．在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?? ? ????=+=<+=><++=2222 222222,0),,()0,,(0,),(R y x u R y x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ? 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得

汉克尔变换和贝塞尔函数

汉克尔变换? 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。设Jγ(x)为у阶贝塞尔函数，?(x)定义于[0,+∞)，则称为?(x)的у阶汉克尔变换；而称为h(t)的汉克尔反变换。存在以下性质:

特殊函数(贝塞尔函数):一些高级超越函数的总称，不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的，常见的有：Γ函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等等，通常也列入特殊函数。贝塞尔函数?在18世纪中叶欧拉研究圆鼓膜振动问题时，引进了极坐标形式的波动方程这里a为常数。采用分离变量法解这个方程,得到贝塞尔微分方程及贝塞尔函数。数年后.拉格朗日研究行星绕日问题，19世纪初期傅里叶研究圆柱体的热传导问题，都用到贝塞尔函数。所谓贝塞尔微分方程就是形如的方程，这里v为常数。它的一个解是称为第一类贝塞尔函数。当v不为整数时,它的另一独立解为当v为整数n时，则规定它们称为第二类贝塞尔函数。设(z)为两个变量z，v的解析函数,满足一对递推公式

积分变换的应用

浅谈积分变换的应用学院：机械与汽车工程学院专业：机械工程及自动化年级：12级姓名：郑伟锋学号：201230110266 成绩： 2014年1月

目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)

1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换

汉克尔变换原理

快速汉克尔变换一、连续函数积分化为卷积形式考虑含贝塞尔函在(0,+∞)区间上的积分 λλλλd r J f r g v )()()(0?∞ = (1) 其中v J 是υ阶第一类贝塞尔函数，实数υ>-1。引入下面的变换式： r e u -=λ，v e r r 0= 其中u ，υ∈(?∞,+∞) （2）式中u 、υ是快速汉克尔变换中的新变量；r 0是选定的常数。则可定义如下新函数 λλ)()(f u F = r r g v G )()(= (3) 利用以上关系，将(1)式重写为： H F du u v H u F v *=-=?+∞ ∞)()(- (4) 即G 是函数F 和υH 的卷积，其中u u e e J u H )()(υυ= 二、连续函数积分转化为离散卷积形式对)(u F 进行抽样可利用抽样函数x x x P π)sin()(=，即将代入（4）式，则再对v 进行离散化，上式化为将（2）式和（3）式代入上式，得 []∑∞ +∞-???-?????????? ??=?)(11)(*00~n m H e r e r f m G v n n (5) 考虑到我们所研究的数值汉克尔变换中抽样间隔完全符合于抽样定理，所以根据(3)式，可将(5)式写成 r r g 1)(=[]∑∞+∞-???-?????????? ??)(11*00n m H e r e r f v n n (6) 式中：()?∞+∞-?? ? ???=u P v H v * du u v H v )(- (7) 式(6)即为式(1)的离散化形式,利用卷积方法求得各离散点上的积分值，式(7)表示的()v H v *称为快速汉克尔变换滤波系数。

Bessel方程及Bessel函数

第一部分 Bessel 函数 (阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。) 一、Bessel 方程及其通解 0)(2 2 2 2 2 =-++y n x dx dy x dx y d x （1）上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。 ●当n 为整数时，（1）式的通解为 )()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数； )(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数； )(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。 ●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式 )()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）其中，A 、B 为任意实数； )(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。另外，Bessel 方程的通解还可以表示为 )()()2()1(x BH x AH y v v += 其中，)()()() 1(x iY x J x H v v v +=，)()()() 2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。 ●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0 x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0 x Y n x ，当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。例1：02 2=+'+ ''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为 )()(00x BY x AJ y λλ+= 另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为

汉克尔变换原理

汉克尔变换原理集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

快速汉克尔变换一、连续函数积分化为卷积形式考虑含贝塞尔函在(0,+∞)区间上的积分 λλλλd r J f r g v )()()(0?∞= (1) 其中v J 是υ阶第一类贝塞尔函数，实数υ>-1。引入下面的变换式： 0 r e u -=λ，v e r r 0= 其中u ，υ∈(?∞,+∞) （2）式中u 、υ是快速汉克尔变换中的新变量；r 0是选定的常数。则可定义如下新函数 λλ)()(f u F = r r g v G )()(= (3) 利用以上关系，将(1)式重写为： H F du u v H u F v *=-=?+∞∞)()(- (4) 即G 是函数F 和υH 的卷积，其中u u e e J u H )()(υυ= 二、连续函数积分转化为离散卷积形式对)(u F 进行抽样可利用抽样函数x x x P ππ)sin()(=，即将代入（4）式，则再对v 进行离散化，上式化为将（2）式和（3）式代入上式，得 []∑∞ +∞-???-?????????? ??=?)(11)(*00~n m H e r e r f m G v n n (5) 考虑到我们所研究的数值汉克尔变换中抽样间隔完全符合于抽样定理，所以根据(3)式，可将(5)式写成

r r g 1)(=[]∑∞+∞-???-?????????? ??)(11*00n m H e r e r f v n n (6) 式中：()?∞+∞-?? ? ???=u P v H v *du u v H v )(- (7) 式(6)即为式(1)的离散化形式,利用卷积方法求得各离散点上的积分值，式(7)表示的()v H v *称为快速汉克尔变换滤波系数。

复变函数与积分变换论文

学习《复变函数与积分变换》课程对我的影响摘要：《复变函数和积分变换》课程是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。这门课程对于培养创新人才具有特殊作用，而创新能力的基础是创新思维。复变函数和积分变换不仅要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法，而且还注重培养我们的创新型的思维能力。让学生强化应用、重视实践、淡化专业、消灭书呆子，重视创新能力和实践能力的培养。正文：复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复变函数论产生于十八世纪。它的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。既然复变函数与积分变换这么有用，它对我们信息专业的来学习这门课程的学生有什么

【精品文档】贝塞尔函数-word范文 (9页)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ == 贝塞尔函数篇一：贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。有第一类柱贝塞尔函数Jp(z ) p为整数n时，J?n=(?1) nJn； p不为整数时，Jp与J?p线性无关。第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数 ) n为整数时N?n=(?1) nNn。第三类柱贝塞尔函数Hp(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数 Hp(1)(z)= Jp(z)+j N p(z) 第二类柱汉开尔函数 Hp(2)(z)= Jp(z)?j N p(z ) 大宗量z?? 小宗量z? ，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论

p668 Jn(z)的母函数和有关公式函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式 Jn(z)的零点?ni J’n(z)的零点? ni 半整数阶贝塞尔函数 Jn+1/2(z)的零点? np J'n+1/2(z)的零点?' np D．朗斯基行列式及其它关系式 E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为 Ip(z)=j?pJp(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 Kp(z)=(?/2)jp+1Hp(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。篇二：贝塞尔函数第五章贝塞尔函数

贝塞尔函数MATLAB仿真(含程序)

第一类贝塞尔函数的代码如下： clear all x=(0:0.01:25); J0=besselj(0,x); J1=besselj(1,x); J2=besselj(2,x); J3=besselj(3,x); plot(x,J0,':',x,J1,'-.',x,J2,'-',x,J3,'-'); axis([0,25,-1,1]); grid on xlabel('X'); ylabel('J(X)'); title('第一类贝塞尔函数曲线图'); text(1,0.8,'J0(X)'); text(2,0.6,'J1(X)'); text(4,0.4,'J2(X)'); text(12,0.2,'J3(x)');

第二类贝塞尔函数的代码如下： clear all；clc； x=(0:0.01:25); Y0=bessely(0,x); Y1=bessely(1,x); Y2=bessely(2,x); Y3=bessely(3,x); plot(x,Y0,':',x,Y1,'-.',x,Y2,'-',x,Y3,'-'); axis([0,25,-1,1]); text(2,0.6,'Y0(X)'); text(4,0.4,'Y1(X)'); text(11,0.24,'Y2(X)'); text(13,0.24,'Y3(X)'); grid on xlabel('X'); ylabel('Y(X)'); title('第二类贝塞尔函数曲线图');

第一类修正贝塞尔函数的代码如下： clear all；clc； x=(0:0.01:25); I0=besseli(0,x); I1=besseli(1,x); I2=besseli(2,x); I3=besseli(3,x); plot(x,I0,':',x,I1,'-.',x,I2,'-',x,I3,'-'); axis([0,5,0,10]); text(0.5,1.3,'I0(X)'); text(2.5,2,'I1(X)'); text(3.5,3.1,'I2(X)'); text(4.4,5,'I3(X)'); grid on xlabel('X'); ylabel('I(X)'); title('第一类修正贝塞尔函数曲线图');

第二类修正贝塞尔函数C++

贝塞尔函数，输出至D://data.txt #include "stdio.h" #include "math.h" double first_modified_Bessel(int n,double x) { int i,m; double t,y,p,b0,b1,q; static double a[7]={ 1.0,3.5156229,3.0899424,1.2067492, 0.2659732,0.0360768,0.0045813}; static double b[7]={ 0.5,0.87890594,0.51498869, 0.15084934,0.02658773,0.00301532,0.00032411}; static double c[9]={ 0.39894228,0.01328592,0.00225319, -0.00157565,0.00916281,-0.02057706, 0.02635537,-0.01647633,0.00392377}; static double d[9]={ 0.39894228,-0.03988024,-0.00362018, 0.00163801,-0.01031555,0.02282967, -0.02895312,0.01787654,-0.00420059}; if (n<0) n=-n; t=fabs(x); if (n!=1) { if (t<3.75)

{ y=(x/3.75)*(x/3.75); p=a[6]; for (i=5; i>=0; i--) p=p*y+a[i]; } else { y=3.75/t; p=c[8]; for (i=7; i>=0; i--) p=p*y+c[i]; p=p*exp(t)/sqrt(t); } } if (n==0) return(p); q=p; if (t<3.75) { y=(x/3.75)*(x/3.75); p=b[6]; for (i=5; i>=0; i--) p=p*y+b[i]; p=p*t; } else

贝塞尔函数MATLAB仿真(含程序)

, 一．第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数的代码如下： clear all x=(0::25); J0=besselj(0,x); J1=besselj(1,x); J2=besselj(2,x); J3=besselj(3,x); # plot(x,J0,':',x,J1,'-.',x,J2,'-',x,J3,'-'); axis([0,25,-1,1]); grid on xlabel('X'); ylabel('J(X)'); title('第一类贝塞尔函数曲线图'); text(1,,'J0(X)'); text(2,,'J1(X)'); ： text(4,,'J2(X)'); text(12,,'J3(x)');

二．第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数的代码如下： clear all；clc； x=(0::25); Y0=bessely(0,x); } Y1=bessely(1,x); Y2=bessely(2,x); Y3=bessely(3,x); plot(x,Y0,':',x,Y1,'-.',x,Y2,'-',x,Y3,'-');

axis([0,25,-1,1]); text(2,,'Y0(X)'); text(4,,'Y1(X)'); text(11,,'Y2(X)'); ； text(13,,'Y3(X)'); grid on xlabel('X'); ylabel('Y(X)'); title('第二类贝塞尔函数曲线图'); 三．第一类修正贝塞尔函数

第一类修正贝塞尔函数的代码如下：《 clear all；clc； x=(0::25); I0=besseli(0,x); I1=besseli(1,x); I2=besseli(2,x); I3=besseli(3,x); plot(x,I0,':',x,I1,'-.',x,I2,'-',x,I3,'-'); axis([0,5,0,10]); ￥ text,,'I0(X)'); text,2,'I1(X)'); text,,'I2(X)'); text,5,'I3(X)'); grid on xlabel('X'); ylabel('I(X)'); title('第一类修正贝塞尔函数曲线图'); ~

Bessel函数在MATLAB中对应的命令

Bessel函数在matlab中对应的命令第一类Bessel函数：J n(x)对应的语句是besselj(n,x),n不必是整数，但必须是实数第二类Bessel函数：Y n(x)对应的语句是bessely(n,x) 第三类Bessel函数：H n(k)(x)对应的语句是besselh(n,k,x),k只能为1或者2 修正后的Bessel函数或者虚宗量的Bessel函数：第一类：I v(x)对应的语句是besseli(v,x) 第二类：K v(x)对应的语句是besselk(v,x) 球贝塞尔函数：第一类：j n(x)--------sphericalbesselj（n,x）第二类：y n(x)-----------sphericalbessely(n,x) 第三类：h n(k)(x)-----sphericalbesselh(n,k,x) 球状贝塞尔函数源代码： % sphericalbesselj function F=sphericalbesselj(n,x) if x==0 if n==0 F=1; else F=0; end else F=sqrt(pi/(2*x))*besselj(n+0.5,x); end %sphericalbessely function F=sphericalbessely(n,x) F=sqrt(pi/(2*x))*bessely(n+0.5,x); end % sphericalbesselh function F=sphericalbesselh(n,k,x) F=sqrt(pi./(2*x)).*besselh(n+0.5,k,x); End 转载请注明出处：华北电力大学学生刘总在百度文库发布-2015-7-13