2008年高考数学理科试题分类汇编—数列(2)
2008年高考数学试题分类汇编
数列
一．选择题：
1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3
2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是
（B ）
A ．1
B ．2
C ．12
D ．5
4
3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*
p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ C ）
A ．165-
B ．33-
C ．30-
D ．21-
4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞
（Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(]
[),13,-∞-+∞
5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B
（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a = A
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C
A.63
B.64
C.127
D.128
9.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16
B ．24
C ．36
D ．48
10.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，4
1
252=
=a a ，，则13221++++n n a a a a a a =C （A ）16（n
--41） （B ）16（n
--2
1）
（C ）
332（n --41） （D ）3
32（n
--21）
11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
4
2
S a =（ C ） A. 2 B. 4 C.
152
D.
172
二．填空题：
1.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为______4_____。 安徽卷（14）在数列{}n a 在中，5
42
n a n =-
，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则
lim n n n n
n a b a b →∞-+的值是 1 2.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．26
2
n n -+
3.（湖北卷14）已知函数()2x
f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则
212310log [()()()()]f a f a f a f a ???= .－6
4.（湖北卷15）观察下列等式：
2
11
1,22
n
i i n
n ==+∑ 2
321
111,326n
i i n n n ==++∑ 3432
1111,424
n
i i n n n ==
++∑ 4
5431
1111,52330n
i i n n n n ==++-∑ 56542
11151,621212n
i i n n n n ==
++-∑ 676531
11111,722642
n
i i n n n n n ==
++-+∑ ……………………………………
212112101
,n
k
k k k k k k k k i i
a n a n a n a n a n a +--+--==++++???++∑
可以推测，当x ≥2（*
k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-=
==+ 12
k 2k a -= .，0
5.（重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72
三．解答题： 1.（全国一22）．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；
（Ⅲ）设1(1)b a ∈，
，整数11ln a b
k a b
-≥．证明：1k a b +>． 解析：
（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时， 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，
211111()ln a f a a a a a ==->
由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，
21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；
（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤
那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，
是增函数，1101k k a a a +<<<≤得 1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，
121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得
k
k k k a a b a b a ln 1--=-+11
ln k
i i i a b a a ==--∑ 1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥0 2， 若对任意i k ≤都有b a i >，则k
k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11
ln k i i i a b a a ==--∑11
ln k i i a b a b ==--∑11
()ln k
i i a b a b ==--∑b ka b a ln 1
1--> b ka b a ln 11--≥)(1
1b a b a --->0=，即1k a b +>成立. 2.（全国二20）．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ． （Ⅰ）设3n
n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取值范围．
解：
（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n
n n S S +=+，
由此得1
13
2(3)n n n n S S ++-=-． ······················· 4分
因此，所求通项公式为
13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················· 6分
（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*
n ∈N ，
于是，当2n ≥时，
1n n n a S S -=-
1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---? 1223(3)2n n a --=?+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=?+-
2
2
321232n n a --????=+-?? ???????
，
当2n ≥时，
2
1312302n n n a a a -+???+- ?
??
≥≥
9a ?-≥．
又2113a a a =+>．
综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ·················· 12分 3.（四川卷20）．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n
n n ba b S -=-
（Ⅰ）证明：当2b =时，{}
12n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式 【解】：由题意知12a =，且
()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-
两式相减得()()1121n
n n n b a a b a ++--=-
即12n
n n a ba +=+ ①
（Ⅰ）当2b =时，由①知122n
n n a a +=+
于是()()1122212n
n
n
n n a n a n +-+?=+-+?
()
122n n a n -=-? 又1
112
10n a --?=≠，所以{}
12n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知11
22n n n a n ---?=，即()112n n a n -=+
当2b ≠时，由由①得
1111122222n n n n n a ba b b
+++-
?=+-?-- 22n n b
ba b
=-?-
122n n b a b ??
=-? ?-??
因此11112222n n n n a b a b b ++??
-
?==-? ?--??
()212n
b b b
-=?-
得()1
2
1122222n n n n a b b n b
-=??=???+-≥???-? 4.（天津卷20）（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．
（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*
n N ∈），证明{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*
n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得
11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．
又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解法：由（Ⅰ） 211a a -=， 32a a q -=， ……
21n n a a q --=，（2n ≥）．
将以上各式相加，得211n n a a q q --++
+=（2n ≥）．
所以当2n ≥时，1
1,,.
1,111n n q q q a n q
-≠=?-+
?=-???
上式对1n =显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5
2
2
8
q q q q -=-，由0q ≠得3
6
11q q -=-， ①
整理得323()20q q +-=，解得32q =-或3
1q =（舍去）．于是32q =-．
另一方面，2113
3
(1)11n n n n n q q q a a q q q
+--+--==---，
151
66(1)11n n n n n q q q a a q q q
-+-+--=
=---． 由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*
n N ∈．
所以对任意的*
n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 5.（安徽卷21）．（本小题满分13分）
设数列{}n a 满足3*
010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数
（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
（Ⅱ）设103c <<
，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222
*1221,13n a a a n n N c
++>+-∈-
解 (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，
又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈
充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*
n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥
则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3
1110k k a ca c c +=+-≥-=≥
1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立
(2) 设 1
03
c <<
，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时，
32
11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴
103
C <<
∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2
1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴
2
1112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴
1*
1(3)()n n a c n N -≥-∈∴
(3) 设 103c <<
，当1n =时，2
120213a c
=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1
1(3)0n n a c -≥->
21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴
22
22
2
2112212[3(3)(3)]
n n n a a a a a n c c c -+++=++>--++
+∴
2(1(3))2
111313n c n n c c
-=+->+---
6.（山东卷19)。(本小题满分12分)
将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1
a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
……
记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足＝
n
N n n
S S b b 22-1=（n ≥2）.
(Ⅰ)证明数列｛
n
S 1
｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91
4
81-
=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和. 证明：(Ⅰ)由已知，
2
12121111111121,
,
21,
()21,
111
,
21.
111.2111
11,
222
.
1
22n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n b b S S S b b b S S S S S S S S S S S S S b a S n n S S n n b S n ------=-=++
+-=---=-=-===??????
+-==
+≥=-=
又 （）所以 （）
即 所以 又所以数列是首项为
，公差为的等差数列由上可知 ＝＋（）即 所以 当时，22
1(1).
h n n -=-
++??
???≥--==2,)1(2
1
,1n n n n b n （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ,且q ＞0.
因为 1213
121278,2
?++???+=
=
所以表中第1行至第12行共含有数列｛a n ｝的前78项， 故 a 82在表中第13行第三列， 因此2
82134.91
a b q ==- 又 132
,1314
b =-
?
所以 q =2.
记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，
则(1)2(12)2
(12)1(1)12(1)
k k k k b q S q k k k k --=
==--+-+（k ≥3）. 7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,
,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数
列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求
1
a d
的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b ，
其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．
（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．
若删去2a ，则有2
314,a a a =即()()2
11123a d a a d +=+ 化简得2
14a d d +＝0，因为d ≠0，所以
1
a d
=4 ； 若删去3a ，则有2
14a a a =，即()()2
1113a d a a d +=+，故得
1
a d
=1． 综上
1
a d
=1或－4． ②当n ＝5 时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项．
若删去2a ，则有15a a ＝34a a ，即()()()1111423a a d a d a d +=++．故得1
a d
=6 ； 若删去3a ，则15a a ＝24a a ，即()()()111143a a d a d a d +=++． 化简得32
d ＝0，因为d ≠0，所以也不能删去3a ；
若删去4a ，则有15a a ＝23a a g ，即()()()111142a a d a d a d +=++g g ．故得
1
a d
= 2 ． 当n ≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列1a ，2a ，3a ，…，2n a -，1n a -，n a 中， 由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有1n a a ＝32n a a -，这与d ≠0 矛盾；同样若删 去2n a -也有1n a a ＝32n a a -，这与d ≠0 矛盾；若删去3a ，…，2n a - 中任意一个，则必有
1n a a ＝21n a a -，这与d ≠0 矛盾．
综上所述，n ∈{4，5}． （Ⅱ）略
8.（江西卷19）．（本小题满分12分）
数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =. （1）求,n n a b ； （2）求证
12
11
134
n S S S +++
<. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1n n b q -=
依题意有1363(1)22642(6)64n n nd
a d n d a
b q q b q S b d q +++-?====?
??=+=?
①
由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==
故1
32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+
∴
12
1111111
132435
(2)
n S S S n n +++
=++++
???+
11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 11113(1)22124
n n =+--<++ 9.（湖北卷21）.(本小题满分14分) 已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,12
4,(1)(321),3
n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有
n a S b <
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分
析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 2
2=a 1a 3,即
,0949
4
9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1
［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1
(
3
2
a n -2n +14) =
32(-1)n
·（a n -3n +21）=-3
2b n 又b 1x -(λ+18),所以
当λ＝－18，b n =0(n ∈N +
),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴
3
2
1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3
2
为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－
3
2）n -1
，于是可得 S n =-.3
21·)18(53
??
????+n
）－（－ λ 要使a
53(λ+18)·［1－（－3
2）n ］〈b(n ∈N +
) ，则
令
得
)2
(1)()3
2(1)18(5
3
)3
2(1--=--<
+-<--n f b a n
n
λ ①
当n 为正奇数时，1 ;35<≤≤ n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 9 5 , 于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.183185 3 --<<--?a b b λ 当a 当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a 21221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足 (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21 122,.n n n n n a b S b b b a -= =+++证明：当1 62.n n S n ≥-<时， 解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2 2 311(1cos )sin 12,2 2 a a a π π =++=+= 22 422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++== 一般地，当* 21(N )n k k =-∈时，2 22121(21)21 [1cos ]sin 22 k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -= 当* 2(N )n k k =∈时，2 2222222(1cos )sin 2.22 k k k k k a a a ππ +=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a = 故数列{}n a 的通项公式为* *21,21(N ),2 2,2(N ). n n n n k k a n k k +?=-∈?=??=∈? (Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a n b a -= =23123 ,222 2n n n S =++++ ① 2241112322222 n n n S +=++++ ② ①-②得，23111111.222222 n n n n S +=++++- 21111[1()] 1221.122212 n n n n n ++-=-=--- 所以112 22.222 n n n n n n S -+=--=- 要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时， (2) 12n n n +<成立. 证法一 (1)当n = 6时，66(62)483 12644 ?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2) 1.2k k k +< 则当n =k +1时， 1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<.即当n ≥6时，1 2.n S n -< 证法二 令2 (2) (6)2n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--= -=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤= =< 于是当6n ≥时， 2 (2) 1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，1 2.n S n -< 11.（陕西卷22）．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的首项13 5 a = ，1321n n n a a a +=+，12n =，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ?? -- ?++?? ≥ ，12n =，，； （Ⅲ）证明：2 121 n n a a a n ++ +>+． 解法一：（Ⅰ） 1321n n n a a a += +，112133n n a a +∴=+，1111 113n n a a +??∴ -=- ??? ， 又1213n a -=，11n a ??∴- ??? 是以2 3为首项，13为公比的等比数列． ∴1 1212 1333n n n a --==，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032n n n a =>+， 21121(1)3n x x x ??-- ?++?? 2112111(1)3n x x x ??= -+-- ?++?? 2 11 1(1)1(1)n x x x a ?? = - -+??++?? 2 112(1)1n a x x =- +++ 2 111n n n a a a x ??=--+ ?+?? n a ≤，∴原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有 122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ????+++--+-- ? ?++++????≥ 21121(1)3n x x x ?? ++-- ?++?? 22122 21(1)33 3n n nx x x ?? = -+++ - ?++?? ． ∴取2 211122 2113311333313n n n x n n n ??- ???????= +++==- ? ??????? - ??? ， 则22 12111111133n n n n n n a a a n n n ++ +=> +?? +-+- ??? ≥． ∴原不等式成立． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ?? = -- ?++?? ， 则2222 22(1)2(1)2133()(1)(1)(1) n n x x x x f x x x x ???? -+--+- ? ?????'=--=+++ 0x >， ∴当23n x <时，()0f x '>；当2 3 n x >时，()0f x '<， ∴当2 3 n x = 时，()f x 取得最大值212313n n n f a ?? == ???+． ∴原不等式成立． （Ⅲ）同解法一． 12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足3 2 112 2,(N*)n a a a a a a n ++==∈. （Ⅰ）若21 4 a = ，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）； （Ⅱ）记32(N*),22n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式. 解：(Ⅰ)因2 122,2,a a -==故 342 312 382 423 2,2. a a a a a a - --==== 由此有0 223 (2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1 (2)*2(N ).n n a n --=∈ （Ⅱ）令2log ,2.n S n n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且 *123 (N );2 n n n x x x n ++= +∈ ① 123 (2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213 ,12x x x ≤+=又得 21 .2x ≥ ③ 下用反证法证明：2211 ..22 x x ≤>假设 由①得2121131 2()(2).22 n n n n n n x x x x x x ++++++=+++ 因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为1 2 的等比数列.故 * 121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④ 又由①知 211111311 ()2(),2222 n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +- 是首项为21 2 x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211 ()(2)(N ).22 n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得 1*221511 (2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得 2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223 n n x x x n ---=+---∈ ⑦ 由题设知21231 ,22 k S x +≥ >且由反证假设有 21*22221 *2222112115 2)(2)()(N ). 2234 1211151 ()(2)(2)2(N ). 23244 k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈（从而 即不等式22k +1＜ 22364112 x x + -- 对k ∈N * 恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x 2≤12,结合③式知x 2=12 ,因此a 2=2*2 = 2. 将x 2=1 2代入⑦式得 S n =2－11 2 n -(n ∈N*), 所以b n =2S n =22－ 112n -(n ∈N*) 13.（广东卷21）．（本小题满分12分） 设p q ，为实数，αβ，是方程2 0x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-， 12n n n x px qx --=-（34n =，， …）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1 4 q = ，求{}n x 的前n 项和n S ． 【解析】（1）由求根公式，不妨设<αβ，得2244,22 --+-== p p q p p q αβ 224422--+-∴+=+=p p q p p q p αβ，224422 --+-=?=p p q p p q q αβ （2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得+=?? =? s t p st q ， 消去t ，得2 0-+=s ps q ，∴s 是方程2 0x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ ①当≠αβ时，此时方程组+=??=? s t p st q 的解记为1212==???? ==??s s t t ααββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ 即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2 121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2 212121()()()----=---n n n x x x x x βααβ βα 221,=-=x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ 22221()--∴-==n n n x x αββββ，22221()---==n n n x x βαααα 1()-∴-=-n n n x βαβα，即1--∴=-n n n x βαβα，11 ++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时，即方程2 0x px q -+=有重根，2 40∴-=p q ， 即2 ()40+-=s t st ，得2 ()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知 2121()---=-n n n x x x x ααβ，=αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα 即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以n α，得 1 1 1--= +n n n n x x α α ，即 1 1 1--- =n n n n x x α α ∴数列{ }n n x α 是以1为公差的等差数列，1 2(1)111∴= +-?= +-=+n n x x n n n α αα α ,∴=+n n n x n αα 综上所述，11 ,(),()++?-≠? =-??+=? n n n n n x n βααββααααβ （3）把1p =，14q = 代入20x px q -+=，得2 104-+=x x ，解得12 ==αβ 11 ()()22 ∴=+n n n x n 23231 1111111()()()...()()2()3()...()2 2222222n n n S n ????=+++++++++ ? ????? 2311 1111()()2()3()...()22 222n n n ??=-+++++ ???111111()2()()3(3)()2222n n n n n n -=-+--=-+ 14.（浙江卷22）（本题14分） 已 知 数 列 {} n a ， ≥n a ， 1=a ， ) (12 121?++∈=-+N n a a a n n n ．记 n n a a a S +++= 21．) 1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ． 求证：当? ∈N n 时， （Ⅰ）1+ 本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能 力．满分14分． （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当1n =时，因为2a 是方程2 10x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当* ()n k k =∈N 时，1k k a a +<， 因为221k k a a +-22 2211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<． 即当1n k =+时，1n n a a +<也成立． 根据①和②，可知1n n a a +<对任何* n ∈N 都成立． （Ⅱ）证明：由22 111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得2 2231()(1)n n a a a a n a +++ +--=． 因为10a =，所以2 1n n S n a =--． 由1n n a a +<及22 11121n n n a a a ++=+-<得1n a <， 所以2n S n >-． （Ⅲ）证明：由22 1112k k k k a a a a +++=+≥，得 111 (2313)12k k k a k n n a a ++=-+≤，，，，≥ 所以 2 342 1 (3)(1)(1)(1) 2 n n n a a a a a a -+++≤ ≥， 于是 22 22 23221 1 (3)(1)(1) (1) 2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤ ≥， 故当3n ≥时，2 111132 2n n T -<++ ++ <， 又因为123T T T <<， 所以3n T <． 15.（辽宁卷21）．（本小题满分12分） 在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈* N ） （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明： 11221115 12 n n a b a b a b +++<+++…． 本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识 进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由条件得2 1112n n n n n n b a a a b b +++=+=， 由此可得 2233446912162025a b a b a b ======，，，，，． ············· 2分 猜测2 (1)(1)n n a n n b n =+=+，． ······················ 4分 用数学归纳法证明： ①当n =1时，由上可得结论成立． ②假设当n =k 时，结论成立，即 2(1)(1)k k a k k b k =+=+，， 那么当n =k +1时， 22 221122(1)(1)(1)(2)(2)k k k k k k a a b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，． 所以当n =k +1时，结论也成立． 由①②，可知2 (1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． ·········· 7分 （Ⅱ） 11115 612 a b =<+． n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． ··········· 9分 故 112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ?? +++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??= +-+-++- ?+?? (111111562216412) n ??= +-<+= ?+?? 综上，原不等式成立．··························12分 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 专题01 直线运动 【2018高考真题】 1．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的均加速直线运动,在启动阶段列车的动能（） A. 与它所经历的时间成正比 B. 与它的位移成正比 C. 与它的速度成正比 D. 与它的动量成正比 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（新课标I卷） 【答案】 B 2．如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 A. 13s B. 16s C. 21s D. 26s 【来源】浙江新高考2018年4月选考科目物理试题 【答案】 C 【解析】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,在加速阶段,所需时间 ,通过的位移为,在减速阶段与加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为：,总时间为：,故C正确,A、B、D错误；故选C。 【点睛】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,根据速度位移公式和速度时间公式求得总时间。 3．（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是（） A. 两车在t1时刻也并排行驶 B. t1时刻甲车在后,乙车在前 C. 甲车的加速度大小先增大后减小 D. 乙车的加速度大小先减小后增大 【来源】2018年普通高等学校招生全国统一考试物理（全国II卷） 【答案】 BD 点睛：本题考查了对图像的理解及利用图像解题的能力问题 4．（多选）地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程, A. 矿车上升所用的时间之比为4:5 B. 电机的最大牵引力之比为2:1 C. 电机输出的最大功率之比为2:1 D. 电机所做的功之比为4:5 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国III卷） 为2∶1,选项C正确；加速上升过程的加速度a1=,加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g),减速上升过程的加速度a2=-,减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g -),匀速运动过程的牵引力F 3=mg。第次提升过程做功W1=F1××t0×v0+ F2××t0×v0=mg v0t0；第次提升过 程做功W2=F1××t0×v0+ F3×v0×3t0/2+ F2××t0×v0 =mg v0t0；两次做功相同,选项D错误。 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 2020年高考试题分类汇编（集合） 考法1交集 1.（2020·上海卷）已知集合{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，求A B = . 2.（2020·浙江卷）已知集合{14}P x x =<<，{23}Q x x =<<，则P Q = A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 3.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2} 4.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 5.（2020·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{3,}A x x x Z =<∈，{1,}A x x x Z =>∈，则A B = A ．? B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}- D ．{2,2}- 6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7.（2020·全国卷Ⅲ·理科）已知集合{(,),,}A x y x y N y x *=∈≥， {(,)8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 8.（2020·全国卷Ⅰ·理科）设集合2{40}A x x =-≤，{20}B x x a =+≤，且 {21}A B x x =-≤≤，则a = A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 考法2并集 1.（2020·海南卷）设集合{13}A x x =≤≤，{24}B x x =<<，则A B = 2019年高考真题分类汇编 第一节 集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】 先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}. 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 2017年高考试题分类汇编之数列 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则 {}n a 的公差为（ ）1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家 学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2，接下来的两项是1 2,2，再接下来的三项是2 1 2,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ） 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上） 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知， 则=_______________． {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a历年高考数学试题分类汇编
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