课题: 10.5分式方程(2)
教学目标:
1.经历探索分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程.
2.了解分式方程产生增根的原因,会检验根的合理性.
3.经历“求解-解释解的合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识.
教学重点:分式方程的解法. 教学难点:解分式方程要验根.
教学流程:
一、情境创设 解方程:16
3104245--+=--x x x x 解:方程两边同乘3(x-2),得 3(5x-4)=4x+10-3(x-2).
解得x=2.
把x=2代入原方程,分式
54410236
-+、--x x x x 的分母都为0,没有意义. 二、探索活动 1、在这里,x=2是方程(2)的根吗?为什么?
说明:在这里,x=2不是原方程(2)的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根..
。 2、你认为在解分式方程的过程中,那一步变形可能引起增根? 我们在方程的两边同乘了一个可..............
3、因为解分式方程可能产生增根,你能用比较简洁的方法检验解分式方程产生的增根吗?
4、想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤?
去分母(注意防止漏乘);
去括号(注意先确定符号)合并同类项;
移项;
未知数的系数化为1;
验根(解分式方程必须要验根)。
三、例题教学
例1、解下列方程:
(1)30x =20x +1 (2)x -2x +2 -x +2x -2 =16x 2-4
教师示范出简洁规范的解题过程。
解:(1)方程两边同乘x(x+1),得
30(x+10)=20x
解这个方程,得
x=-3
检验:当x=-3时,x(x+1)=6≠0,
x=-3是原方程的解.
(2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得
(x-2)2-(x+2)2
=16 解这个方程,得
x=-2
检验:当x=-2时, (x+2)(x-2)=0,x=-2是增根,原方程无解.
四、当堂练习
1、课本P116练习第1、2题
2、中考链接:
(1)、当m 为何值时,分式方程1x -2 +=1-x 2-x
无解? (2)、若方程x x -3 -2=k x -3
会产生增根,试求k 的值。 (3)、解方程:1x -5 -1x -6 =1x -8 -1x -9
(分析:若直接去分母,运算量很大且复杂,因本题的构成比较特殊,如果方程两边分别通分,则具有相同的分子,可以使解方程的过程大大的简化。)
仿照此解法,你能解下面的一道题吗?试试看!
x -4x -5 +x -8x -9 =x -7x -8 +x -5x -6
五、归纳总结
1、这节课,你学会了什么?教后反思:
苏教版《数学》(八年级上册)知识点总结 第一章 轴对称图形 第二章 勾股定理与平方根 一.勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 二、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: 轴对称 轴对称的性质 轴对 称图形 线段 角 等腰三角形 轴对称的应用 等腰梯形 设计轴对称图案
(1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2 =a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。 表示方法:记作“a ”,读作根号a 。 性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 2、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。 表示方法:正数a 的平方根记做“a ± ”,读作“正、负根号a ”。 性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 开平方:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性: a ≥0 3、立方根 一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三次方根)。 表示方法:记作3a 性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法 (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较:设a 、b 是实数, ,0b a b a >?>- ,0b a b a =?=- b a b a <-0
第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节: 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程其中,16.1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形,是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四则运算法则,这是全章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利。11.3节讨论分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验(验根)的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;相应地,分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而,分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型,它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 (二)本章知识结构框图 (三)课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点: 1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2.类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则。 3.类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。 4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系。 5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想。 (四)课时安排 本章教学时间约需13课时,具体分配如下: 16.1 分式2课时16.2 分式的运算6课时 16.3 分式方程3课时数学活动小结3课时
解分式方程及增根-无解的典型问题含答案 优博辅导中心 当堂检测 1. 解方程 1x?2?1?x2?x?3 答案:x?2是增根原方程无解。 2. 关于x的方程a1?2x?4?1?x4?x有增根,则a=-------答案:7 3. 解关于x 的方程 mx?5?1下列说法正确的是(C ) A.方程的解为x?m?5 B.当m??5时,方程的解 为正数 C.当m??5时,方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 x?ax?1?a无解,则a的值为-----------答案:1或-1 5. 若 分式方程 m?xx?1=1有增根,则m的值为-------------答案:-1 6.分 式方程1x?2?mx?1有增根,则增根为------------答案:2或-1 7. 关于x的方程1x?2?1?kx?2有增根,则k的值为-----------答 案:1 8. 若分式方程x?aa?a无解,则a的值是----------答 案:0 9.若分式方程2m?m?x1x?1?0无解,则m的取值是------答案:-1或-2 10. 若关于x的方程 m(x?1)?52x?1?m?3无解,则m的值为-------答案:6,10 11. 若关于x的方程
x?mx?1?3x?1无解,求m的值为-------答案: 12.解方程1162-x?x?2??x3x?12答案x??627 13.解方程 2x-1?4x2?1?0 14. 解方程 2x2x?5?22x?5?1 15. 解方程x?22x2x?3?3??13x2?9 x?1m216. 关于x的方程x?3?2x?6有增根,则m的值-----答案:m=2或-2 17.当a为何值时,关于x的分式方程 x?ax?1?3x?1无解。答案:-2或1 1
分式方程精华练习题 1.在下列方程中,关于x 的分式方程的个数(a 为常数)有( ) ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④. ;13 9 2=+-x x ⑤;621=+x ⑥211=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程 15 m x =-,下列说法正确的是( ) A .方程的解是5x m =+ B .5m >-时,方程的解是正数 C .5m <-时,方程的解为负数 D .无法确定 3.方程x x x -=++-1315112 的根是( )A.x =1 B.x =-1 C.x =83 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是( ) A. 112 11-++=-x x x 去分母得,1)2)(1(1-+-=+x x x ; B. 1255 52=-+-x x x ,去分母得,525-=+x x ; C.242222-=-+-+-x x x x x x ,去分母得,)2(2)2(2 +=+--x x x x ; D. ,1 1 32-=+x x 去分母得,23)1(+=-x x ; 6. .赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完.当他读了一半书时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下面所列方程中,正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.21 10 10++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ,有增根,则m 的值是( )A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为( ) A.2,1 B.1,2 C.1,1 D.-1,-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a ( )A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1+-x x 10.使分式442-x 与6 52 6322+++-+x x x x 的值相等的x 等于( ) A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题(每小题3分,共30分) 11. 满足方程: 22 11-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时,分式x x ++51的值等于21. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地,每小时行驶v 1千米,t 小时可到达,如果每小时多行驶v 2千米,那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车速度为自行车速度的3倍,若设自行车的速度为x 千米/时,则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x .17.=a 时,关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 到B 的速度是,1v ,返回的速度是2v ,往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时,关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中,需要整修一段全长2400m 的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修路x m ,则根据题意可得方程 . 三、解答题(共5大题,共60分) 21. .解下列方程 (1) x x x --=+-34231 (2) 21 23442+-=-++-x x x x x (3)21124 x x x -=--. 22. 有一项工程,若甲队单独做,恰好在规定日期完成,若乙队单独做要超过规定日期3天完成;现在先由甲、乙两队合做2天后,剩下的工程再由乙队单独做,也刚好在规定日期完成,问规定日期多少天? 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶,但她在百货商场食品自选室内发现,同样的酸奶,这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱,因此,当第二次买酸奶时,便到百货商场去买,结果用去18.40元钱,买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍,问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶?
知识点总结 第一章三角形全等 一、全等三角形的定义 1、全等三角形: 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、理解: (1)全等三角形形状与大小完全相等,与位置无关; (2)一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形,与原三角形仍然全等; (3)三角形全等不因位置发生变化而改变。 二、全等三角形的性质 1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解: (1)长边对长边,短边对短边;最大角对最大角,最小角对最小角;(2)对应角的对边为对应边,对应边对的角为对应角。 2、全等三角形的周长相等、面积相等。 3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 三、全等三角形的判定 1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 3、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 4、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 四、证明两个三角形全等的基本思路 1、已知两边: (1)找第三边(SSS); (2)找夹角(SAS); (3)找是否有直角(HL)。 2、已知一边一角: (1)找一角(AAS或ASA); (2)找夹边(SAS)。 3、已知两角: (1)找夹边(ASA); (2)找其它边(AAS)。 第二章轴对称 一、轴对称图形 相对一个图形的对称而言;轴对称是关于直线对称的两个图形而言。 二、轴对称的性质 1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。 三、线段的垂直平分线 1、性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 2、判定定理:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
关于分式方程增根问题 一、选择题 1.分式方程=有增根,则m 的值为( ) A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2.已知关于x 的方程2+11a x x x =--有增根,则a 的值是( ) A .1 B . -1 C .0 D .2 3.若分式方程a x a x =-+1无解,则a 的值是 ( ) A.-1 B. 1 C. ±1 4.若分式方程2321--=+-x x a x 有增根,则a 的值是( ) .0 C 5.分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根,则m 的值为( ) A 、0和1 B 、1 C 、1和-2 D 、3 6.若分式方程244x a x x =+--有增根,则a 的值为( ) A .4 B .2 C .1 D .0 7.分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根,则m 的值为( ) A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8.分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根,则m 的值为 ( ) A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 3 9.若分式方程51 56-=+--x k x x (其中k 为常数)产生增根,则增根是 ( ) =6 =5 C.x=k D.无法确定 10.解关于x 的方程113 -=--x m x x 产生增根,则常数m 的值等于 ( ) B.-1 C.1 二、填空题 11.关于x 的分式方程244 21 2+=---x k x x 有增根x =-2,那么k= . 12.已知关于x 的分式方程a 1 =1x 2-+有增根,则a= .
13.方程133m x x =+++1若有增根,则增根一定是_________. 14.若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根,则m 的值是 15.若关于x 的方程22 21+-=--x m x x 产生增根,那么m 的值是 . 16.若分式方程 244 x a x x =+--有增根,则a 的值为______________. 17.若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根,则m =________. 18.若关于x 的分式方程 8128-++=-x m x x 有增根,则m = . 19.若关于x 的分式方程 113-=--x m x x 产生增根,则m 的值为 . 20.若关于x 的分式方程131=---x x a x 有增根,则a = . 21.若分式方程: 有增根,则k= . 22.若解分式方程4 4+=+x x 产生增根,则=m ________; 23.用去分母的方法,解关于x 的分式方程 8x x -=2+8 m x -有增根,则m = . 24.若去分母解分式方程 x-3x -2=x-3 m 时有增根,则m 的值为 ______. 25.如果关于x 的分式方程0111=----x x x m 有增根,则m 的值为 . 三、解答题 26.已知关于x 的分式方程2 233 x m x x -=--没有解,则m 可以取什么值 27.已知关于x 的方程x a x x x x x =---+2)2(42无解,求a 的值
分式方程(1) 【学习目标】 1.了解分式方程的概念, 和产生无解的原因。 2.掌握分式方程的解法,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的解。 【重点】会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的解。 【自主学习】 1、预习内容:自学教材第149页 2、预习检测: 1) 中含有 的方程叫做分式方程。 2)你能再写出几个分式方程吗? 3)下列式子中,属于分式方程的是 ,属于整式方程的是 。 ①1213=-+x x ②21412x x -=- ③12312=+x x ④51≥x 【合作探究】 探究点一 类比学习探究分式方程的解法 1、解下列方程: (1)415-=x x (2)1 45-=x x ; 解:去分母(各项乘以公分母 ) 解:去分母(各项乘以最简 公分母________ _) ?-=?415 x x 约分得:()()54?=? 约分得:()()x x ?=-?)1( 去括号: 去括号: 移项: 移项: 合并同类项: 合并同类项: 系数化为1: 归纳:解分式方程的思路是将分式方程转化成 ,基本的方法是 (一般是方程两边同乘 )。且解分式方程必须 。 例1解方程 x x 332=- 例2解方程2)(1(311+-=--x x x x ?-=?145x x
2、解分式方程 1223x x =+ 2510512-=-x x 22411x x =-- 21133x x x x =+++ 例3、若关于x 的方程 021 1=--+x ax 无解,求a 的值 3、课后作业 1、=a 时,关于x 的方程 53221+-=-+a a x x 的解为零; 2、若关于x 的方程 3232-+=--x m x x 无解,则m 的值为 。 3、若代数式11 2--x 的值为零,则=x 4、若11-x 与1 2+x 互为相反数,则可得方程 ,解得=x 5、解方程: (1)1332+=-a a (2)88122-=--m m m (3) 22510x x x x -=+-
苏教版八年级上期中复习 一、几何部分: 1、已知∠AOB=30°,点P 在∠AOB 的内部,P 1与P 关于OA 对称,P 2与P 关于OB 对称,则△P 1OP 2是( ) A .含30°角的直角三角形; B .顶角是30的等腰三角形; C .等边三角形 D .等腰直角三角形. 2、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( ) A.80° B.70° C.75° D.60° 第2题 第4题 第5题 3、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°,求这个三角形的底角为 ; 4、如图,在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别在AC 、AB 上,且BD=BC,AD=DE=EB, 则∠A 的度数为 ; 5、在直角三角形ABC 中,∠ABC=90°,斜边AB 上有D 、E 两点,且AD=AB ,CB=CE ,则∠BDE = ; 6、等边三角形ABC 中,BD =CE ,AD 与BE 相交于点P ,则∠APE 的度数是 ( ) 7、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=CD=AD,BD ⊥CD ,则∠C = ; 8、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=CD=AD ,BC=BD, 则∠C = ; 9、如图,△ABC 中,AB=AC ,D ,E 为BC 上的点,且AD=AE ,证明BD=CE ; 10、如图,△ABC 是等边三角形,CD 是AC 边上的高,延长CB 到E ,使BE=BD 。请问:CD 和DE 相等吗?为 A B C D A B C D E A B C A B C
什么? 11、等边△ABC 中,点P 在△ABC 内,点Q 在△ABC 外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ ,问△APQ 是什么形状的三角形?试说明你的结论. 12、△ABC 中,AB = AC ,AD ⊥ BC 于D ,BE ⊥ AC 于E ,AD 和BE 交于H ,且BE = AE ,求证:AH = 2BD 。 13、如图:AD 为△ABC 的高,∠B=2∠C,说明:CD=AB+BD . B
15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?