二次函数的建模
一、利用二次函数解决面积最大问题
1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x (米),面积为y (平方米),求y 关于x 的函数关系式;
(2)当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少?
解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米),
根据题意,得:
x x x x y 18)18(2+-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴?
??- (2)∵x x x x y 18)18(2+-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值,
即 当9)
1(2182=-?-=-=a b x 时, 81)
1(41804422max =-?-=-=a b ac y
又∵500,02
500<x<>x x ∴?????- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中,a=2
1-<0,∴y 有最大值, 即当25)
1(2252=-?-=-=a b x 时,2
625)1(42504422max =-?-=-=a b ac y
图(1)图
解:(
得:
(2即水流距水平面的最大高度
系.
(2)如图2,若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?
4.有一座抛物线形拱桥,正常水位桥下面宽度为20米,拱顶距离水平面4米,如图建立直角坐标系,若正常水位时,桥下水深6米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18米,则当水深超过多少米时,就会影响过往船只的顺利航行()A.2.76米B.6.76米
解:设该抛物线的解析式为y=ax2,在正常水位下x=10,y=-4,代入解析式得
-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为:y=-x2/25
因为桥下水面宽度不得小于18米,所以令x=9时可得:y=-81/25=-3.24
此时水深6+4-3.24=6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过,所以超过6.76米时则不能通过.故选B
2、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.
(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式;
(2)在正常水位的基础上,当水位上升h(m)时,桥下水面的宽度为d(m),求出将d表示h的函数解析式.
(3)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?
(1)设该抛物线的解析式为y=ax2,在正常水位下x=10,y=-4,代入解析式得
-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为:y=-x2/25
(2)设水面上升hm,水面与抛物线的交点为(d/2,h-4),带入抛物线得
h-4=-d2/4×1/25 化简得:d=10√4-h
(3)将d=18代入d=10√4-h得:h=0.76
所求最大水深为:2+0.76=2.76(米)
8.如图,是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点O落在水平面上,对称轴是水平线OC.点A、B在抛物线造型上,且点A到水平面的距离AC=4米,点B到水平面距离为2米,OC=8米.
(1)请建立适当的直角坐标系,求抛物线的函数解析式;
(2)为了安全美观,现需在水平线OC上找一点P,用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无需证明)(3)为了施工方便,现需计算出点O、P之间的距离,那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少?(请写出求解过程)
解:(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系,
设抛物线的函数解析式为y=ax2,由题意知点A的坐标为(4,8).
所以8=a×42 a=1/2 ∴所求抛物线的函数解析式为:y=x2/2
(2)找法:延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,则点A、D关于OC对称.连接BD交OC于点P,则点P即为所求.
(3)由题意知点B的横坐标为2,
∵点B在抛物线上,∴点B的坐标为(2,2),又∵点A的坐标为(4,8),
∴点D的坐标为(-4,8),
设直线BD的函数解析式为y=kx+b,
2k+b=2..........①
?4k+b=8........②
解得:k=-1,b=4.
∴直线BD的函数解析式为y=-x+4,
把x=0代入y=-x+4,得点P的坐标为(0,4),
两根支柱用料最省时,点O、P之间的距离是4米.
三、利用抛物线解决最大利润问题
1、某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数:y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(6分)
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3分)(3)物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量) (3分)
(2)在(1)的条件下,设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元;
①当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元?
②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件,同时,当地物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过55元,写出在此情况下每天获利P的取值范围.解:(1)如图所示是一次函数解析式,设一次函数解析式为:y=ax+b
30a+b=500.........①
40a+b=400.........②解得:a=?10 b=800
∴函数解析式为:y=-10x+800
(2)①由题意得出:P=yx=(-10x+800)(x-20)=8000,
解得:x1=40,x2=60,
∴当销售单价定为40元或60元时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元;
②∵P=yx=(-10x+800)(x-20)=-10x2+1000x-16000=-10(x-50)2+9000,
∴当x=50时,P=9000元,当x=35时,P=6750元,
∴P的取值范围是:6750≤P≤9000.
3.某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为40元.经过市场调查,一周的销售量y件与销售单价x(x≥50)元/件的关系如下表:
销售单价x(元/件)…55 60 70 75 …
一周的销售量y
…450 400 300 250 …
(件)
(1)直接写出y与x的函数关系式:y=-10x+1000
(2)设一周的销售利润为S元,请求出S与x的函数关系式,并确定当销售单价在什么范围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大?
(3)雅安地震牵动亿万人民的心,商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区,在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下,请求出该商家最大捐款数额是多少元?
解:(1)设y=kx+b,由题意得,
55k+b=450...........①
60k+b=400...........②解得:k=?10 b=1000
则函数关系式为:y=-10x+1000;
(2)由题意得,S=(x-40)y=(x-40)(-10x+1000)
=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000,
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
解::(1)当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,
300×(12﹣10)=300×2=600元, 即政府这个月为他承担的总差价为600元;
(2)依题意得,w=(x﹣10)(﹣10x+500)=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10(x﹣30)2+4000 ∵a=﹣10<0,∴当x=30时,w有最大值4000元.
即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;
(3)由题意得:﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得:x1=20,x2=40.
∵a=﹣10<0,抛物线开口向下,∴结合图象可知:当20≤x≤40时,w≥3000.
又∵x≤25,∴当20≤x≤25时,w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元,
∴p=(12﹣10)×(﹣10x+500)=﹣20x+1000.
∵k=﹣20<0.∴p随x的增大而减小,
∴当x=25时,p有最小值500元.
即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
5.某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔,物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个,根据以往经验:以12元/个的价格销售,平均每周销售签字笔100个;若每个签字笔的销售价格每提高1元,则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.
(1)该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个(用含x的式子表示);(2)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)当x取何值时,该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大?最大利润是多少元?
解:(1)(220-10x);
物线的开侧,随的
知,,最大
时,该文具店每周
解:(1)由表格数据可知y与x是一次函数关系,设其解析式为,
将(3000,100),(3200,96)代入得,解得:。
∴。
将(3500,90),(4000,80)代入检验,适合。
∴y与x间的函数关系是。
(2)填表如下:
当x=4050时,Wmax=307050,
∴当每辆车的月租金为4050元时,公司获得最大月收益307050元
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(含10元,14元)浮动时,每瓶售价每增加0.5元,日均销量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 解:设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元,由题意,得日均销售量为400-40[(x-12)÷0.5]=1 360-80x, y=(x-9)(1 360-80x) =-80x2+2 080x-12 240(10≤x≤14). -b 2a=- 2 080 2×(-80) =13, ∵10≤13≤14,∴当x=13时,y取最大值, y最大=-80×132+2 080×13-12 240=1 280(元). 答:售价定为每瓶13元时,所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为1 280元. 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题,在建立函数关系式时,应注意自变量的取值范围,在这个取值范围内,需了解函数的性质(最大最小值,变化情况,对称性,特殊点等)和图象,然后依据这些性质作出结论. 【中考变形】 1.[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8-1所示. (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时,销售量为300件__;销售单价每提高1元时, 销售量相应减少__20__件; (2)请直接写出y与x之间的函数表达式:__y=20x图Z8-1
二次函数的建模 知识归纳:求最值的问题的方法归纳起来有以下几点: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值. 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x (米),面积为y (平方米),求y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得: x x x x y 18)18(2+-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴? ??- (自变量x 的取值范围是关键,在几何类题型中,经常采用的办法是: 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围,例如上式 中,18-x ,就是含有自变量的加减代数式,考虑到18-x 是边长,所以边长应该>0,但边长最长不能超过18,于是有0<18-x <18,0<x <18) (2)∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时, 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 点评:在回答问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为(250x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1)250(2+-=-=; 又∵500,02 500<x<>x x >∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中,a=21-<0,∴y 有最大值,
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题,主要是解答题,也有少量的选择和填空题,常见问题有以几何为背景问题,以球类为背景问题,以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境,修建了环境幽雅的环城公园,为了给公园内的草评定期喷水,安装了一些自动旋转喷水器,如图所示,设喷水管AB 高出地面1.5m ,在B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状.喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角,水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ,水流的落地点为D .在建立如图所示的直角坐标系中: (1)求抛物线的函数解析式; (2)求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ? 【答案】(1)213222y x x =-++;(2)(2+m . 【解析】 试题分析:(1)把抛物线的问题放到直角坐标系中解决,是探究实际问题常用的方法,本题关键是解等腰直角三角形,求出抛物线顶点C (2,3.5)及B (0,1.5),设顶点式求解析式; (2)求AD ,实际上是求当y=0时点D 横坐标. 在如图所建立的直角坐标系中, 由题意知,B 点的坐标为(01.5),, 45CBE BEC ∠=∴,△为等腰直角三角形, 2BE ∴=, 点坐标为(23.5), (1)设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,
则抛物线过点(01.5),顶点为(23.5), , 当0x =时, 1.5y c == 由22b a -=,得4b a =-, 由24 3.54ac b a -=,得2 616 3.54a a a -= 解之,得0a =(舍去),1422a b a =-∴=-=,. 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++. 考点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从 中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型. 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC x 边长为(m ),花园的面积为y (m ). (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到200 m 吗?若能,求出此时x 的值;若不能,说明理由; (3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少? 【答案】(1)x x y 202 12+- =)150(≤二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题