竞赛讲座 16不等式
竞赛讲座16
－不等式
不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
一、不等式证明的基本方法
1．比较法
比较法可分为差值比较法和商值比较法。
（1）差值比较法
原理 A－ B＞0A＞B．
【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：
（a m＋b m）（a n＋b n）＜2（a m+n+b m+n）。
（2）证明：··≤。
【例2】设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n，j1,j2,…,j n是1,2,…,n的任意一个排列，令
S=a1+ a2+…+ a n，S0=a1b n+a2b n-1+…+a n b1，S1=a1b1+a2b2+…+a n b n。
求证：S0≤S≤S1。
（2）商值比较法
原理若>1，且B>0，则A>B。
【例3】已知a,b,c>0，求证：a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b。
2．分析法
【例4】若x,y>0，求证：>。
【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。
3．综合法
【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。
【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令
S=，t=。
求证：t>S。
4．反证法
【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。
5．数学归纳法
【例9】证明对任意自然数n，。
二、不等式证明的若干技巧
无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。
1．变形技巧
【例1】若n∈N，S=++···+，
初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版
初一数学竞赛系列讲座 解一次方程（组）与一次不等式（组） 一、知识要点 1．一次方程组 解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。 定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数 解可表示为：???-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x 3.一元一次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。 它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0） 解不等式的根据是不等式的同解原理。 4．不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质 (1)反身性 如果a ＞b ，那么b ＜a (2)传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc 不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 5．解一元一次不等式的步骤 （1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）； 6．不等式组及其解集 几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 7．解一元一次不等式组的方法和步骤：
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例知识讲解
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。 一、 巧用不等式的性质 例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D 点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。 例2 已知6＜a ＜10，2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得2 3a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2 a ≤ b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示 c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。 二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围 例3 若关于x 的不等式组 ?????+++②m ＜x ①x ＞x 0 1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。 分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。 由②得 m x ＜-。 因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。 点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。
一元一次不等式组(培优竞赛)
一元一次不等式（组）的应用 例题求解 【例题1】已知2007321,......,,a a a a 是彼此不相等的负数，且 M=)......)(,......(20074322006321a a a a a a a a ++++ N=)......)(,......(20064322007321a a a a a a a a ++++，请比较M 、N 的大小。 【例题3】已知7654321,,,,,,a a a a a a a 是彼此不同的正整数，他们的和等于159，求其中最小的数1a 的最大值。 【例题4】若a 、b 满足b a s b a 32,7532 2-==+，则s 的取值范围是_______________。
（1）符合题意搭配方案有哪几种？ （2）若搭配一个A种造型成本为1000元，搭配一个B种造型成本为1200元，试说明选用（1）哪种方案成本最低
【例题7】、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案请你设计出来，并求出最低的租车费用． 【课堂练习】 1、一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）种。 2、1、（2010?温州）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支元，则其中签字笔购买了_______支． 3、学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，则余19人没有住处，如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求有多少间宿舍多少名学生 4、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位．则该校去参加春游的人数为________；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 ________元。 5、已知关于x 的不等式组???->-≥-1 230x a x 的整数解有5个，则a 的取值范围是__________。
一元一次不等式组的竞赛题巧解举例
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。 一、 巧用不等式的性质 例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D 点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。 例2 已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2 a ≤ b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示 c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。 二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围 例3 若关于x 的不等式组 ?????+++②m ＜x ①x ＞x 0 1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。 分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。 由②得 m x ＜-。 因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。 点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理
数学竞赛历年的不等式题
（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ． 112x << B ．1 , 12 x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为2 0,1210 x x x x >≠?? +->?，解得 1 ,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ?+-> 32 01 22 x x x x <? ? +->? 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1 , 12x x >≠且. 1．（05）使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A 解 ： 令 6, y x =≤≤ 则 2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤- (6)] 6.x +- =0y k ∴<≤实数 D 。 （2004年全国）3．不等式2log 21 1log 32 12++ -x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4） 解：原不等式等价于2 2331log 0222 log 10 x x ++>?-≥? 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ． （2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数 u =244 x -+2 99y -的最小值是D (A) 58 (B)11 24 (C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}2 5 133215| {-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知 52 3 ≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x
七年级数学一元一次方程竞赛题
七 年 级 数 学 竞 赛 姓名： 得分： 分×12=36） 1．下列说法正确的是（ ） A ．ax+b=0是关于x 的一元一次方程 B ．若a+c=b+c,则a b d d = C ．若关于x 的方程mx+n=0只有一个解，则m ≠0 D ．若（x+y ）(x-y)=0，则x=y 2．如果方程3x+1=4与关于x 的方程302 a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．若x=3是方程1()13 m x -=的解，则关于x 的方程(1)51m x x m -=+-的解是（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 4．若a 与b 互为相反数，则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解是（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．不能确定 5．某商品提价10%销售一段时间后，销量不大，于是降价10%销售，则下列说法正确的是（ ） A ．该商品通过两次调价恢复到原价 B ．该商品第二次调价后的售价高于原价 C ．该商品第二次调价后的售价低于原价 D ．以上几种情况都有可能 6．若关于x 的方程2(3)(2)0m m x m --+=是一元一次方程，则方程的解是（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 7．方程12x x -=的同解方程是（ ） A ．322x x -=+ B ．21x x =- C ．21x x =+ D ． 1213 x x -=+ 8．甲、乙两人去商场购物，他俩各自的钱数之比是5:4。甲用了350元，乙用了200元，他俩余下的钱数之比是3:4，则甲、乙两人分别余下（ ） A ．300元，400元 B ．240元，320元 C ．180元，240元 D ．150元，200元 9．受季节影响，某种商品每件按原售价打九折后又降价5块，现在售价为175元，则这种商品每件原售价是（ ） A.180元 B.190元 C.200元 D.210元 10．造一件假品牌衬衣成本只有40元，比正牌衬衣销售价的116还少10元，如
一元一次方程不等式竞赛题
一次方程、方程组与不等式、不等式组 1.〖2006年陕西中考〗一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（） A．600×0．8一x＝20 B．600×8一x＝20 C．600×0．8＝x一20 D．600×8＝x一20 【答案】A 【解析】根据利润＝售价一成本，可知A正确． 【考点】本题考察了一元方程在成本问题中的应用． 2.〖第2届希望杯〗 ①若a＝0，b≠0，方程ax＝b无解；②若a＝0，b≠0，不等式ax＞b无解． ③若a≠0，方程ax＝b有唯一解x＝；④若a≠0，不等式ax＞b的解为x＞．则 （A）①、②、③、④都正确．（B）①、③正确，②、④不正确． （C）①、③不正确，②、④正确．（D）①、②、③、④都不正确． [答案]选（B） [解析]若a＝0，b＝－1，0x＞－l，可见②有解；若a≠0，如a＝－1，－x＞b x＜－b，④ 说法不正确．只有①，③是正确的．选（B）． 【考点】本题是对含字母系数的一元一次方程(不等式)解的情况的考察． 3. 〖希望杯培训〗不等式 21 2 32 x x x +- ->+的解集是_________ 【答案】x＜1 【考点】本题主要考察学生解不等式的能力，注意去分母时，每一项的变化． 4. 〖第6届希望杯〗某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克（）元．（A）2．6．（B）2．5．（C）2．4．（D）2．3． 【答案】选（C） 【解析】 5. 〖希望杯培训〗关于
x 的不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）． A ． －5≤a ≤－143 B ． －5≤a ＜－143 C ． －5＜a ≤－143 D ． －5＜a ＜－14 3 【答案】C 【解析】先求不等式组的解集，根据题意，进一步确定a 的范围． 解不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 得，2132<<-x a ，由不等式组有4个整数解可知这4个解应 是20，19，18，17，则a 32-应在16和17之间，即162317a ≤-<，解不等式可得a 的取值范围，选C ． 6.〖2003年海淀中考〗某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也 相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元? （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱? 【详解】 （1)设书包的单价为x 元，则随身听的单价为(4x 一8)元． 根据题意，得4x 一8＋x ＝452．解这个方程，得x ＝92． 4x 一8＝4×92—8＝360． 即：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元． （2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金：450×80％＝361．6(元) 因为361．6＜400，所以可以选择超市A 购买． 在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362(元) 因为362＜400，所以也可以选择在超市B 购买． 因为362＞361.6，所以在超市A 购买更省钱． 【考点】本题主要考察了一次方程的应用，本题的特点是：表述复杂，解答简单，重在分析． 1. 〖第 17届希望杯〗初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人． 【答案】 55或25 【解析】法一： 本题是发散性题目，应该分两种情况考虑.设全班一共有x 个人，根据题意可知有两种情况：（一）、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在
高中竞赛之重要不等式
高中竞赛之重要不等式 1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组,(1,2, ,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即 等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1 左=221 2n i i i i j j i i j a b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左= 当且仅当 时，等式成立。 柯西不等式的两个推论： ⅰ．设 同号（ ），则 当且仅当 时取等号。 ⅱ．若 ，且 ，则 （分母作和） 由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n 次。
3333333333 123123123111222333 (a+a+a)(b+b+b)(c+c+c)(a b c+a b c+a b c) ≥ 证明:对333333 123123 (a+a+a)(b+b+b)和3333 123111222333 (c+c+c)(a b c+a b c+a b c) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式. 柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设，，…，；，，…，是两组正数，0 k>且1 k≠，则 （） （） 当且仅当12 12 n n a a a b b b ===时等号成立。 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式： 右图给出了对上式的一个直观理解。 若记，，则上式为
特例： 22 1212 222222 1122 ()() m m m m a a a b b b a b a b a b +++++++≤ ++++++ 222 121212 222222222 111222 ()()() m m m m m m a a a b b b c c c a b c a b c a b c +++++++++++≤ +++++++++ 多个根式可转化为一个根式。 赫尔德不等式 已知（）是个正实数，，则上式中若令 1 2 αβ ==，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。 2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的） 设 n a a a≤ ≤ ≤ 2 1 ， n b b b≤ ≤ ≤ 2 1 ，则有 ∑ ∑ ∑ = = = - + ≤ ≤ n i i i n i t i n i i n i b a b a b a i 1 1 1 1 ． 即“反序和”≤“乱序和”≤“同序和”．其中{}{}n t t t n , ,2,1 , , , 2 1 =．当且 仅当 n a a a= = = 2 1 或 n b b b= = = 2 1 时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕 实数 i a， i b满足 n a a a≤ ≤ ≤ 2 1 ， n b b b≤ ≤ ≤ 2 1 （1 = i，2，…，n）．则 ∑ ∑ ∑ ∑ = - + = = = ≥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥ n i i n i n i i n i i n i i i b a n b n a n b a n11 1 1 1 1 1 1 1 ． 当且仅当 n a a a= = = 2 1 或 n b b b= = = 2 1 时等号成立．
初中数学竞赛专题训练之不等式含答案
初中数学竞赛专项训练（4） （不等式） 一、选择题： 1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ） A. 0＜a ≤4 B. a ≥4 C. 0＜a ≤2 D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d c c b a a +<+ ③d c c b a b +>+ ④d c d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、 c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2 3535 2只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. -6
初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略
初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略 例1关于x 的不等式组255332 x x x x a +?-???+?+??＞＜只有5个整数解，则a 的取值围是（ ） 11111111.6.6.6.62222 A a B a C a D a ---≤--≤--≤≤-＜＜＜＜ 例2某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6，第7，第8，第9场比赛中分别获得 了 23,14,11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高.如果他的10场比 赛 的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？ 例3已知x ，y ，z 是正整数，求方程 11178x y z ++=的正整数解. 例4设a ，b 为正整数，且 2537 a b <<，求a+b 的最小值 .
变式：使得不等式981715 n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 . 例5五个整数a 、b 、c 、d 、e ，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183，186，187， 190，191，192，193，194，196，x.已知e d c b a ≤≤≤≤，x ＞196.求a 、b 、c 、d 、e 及 x 的值. 例6实数a ，b ，c 满足a+b+c=1.求a 2+b 2+c 2的最小值. 例7设S=++…+，求不超过S 的最大整数[S]． 例8 ，求[S]． 例9设3333311111=+++++12320102011 S ，则4S 的整数部分等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 应用练习： 1．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a 有解，则实数a 最小值是（ ） A.1 B.2 C.4 D.6
几何不等式测试题
几何不等式测试题 1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。 证明：∠MDC≤45°。 2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。 3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。 证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。 4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积。 求证：。 5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。 6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离 为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。 7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。 求证：。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 8．一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0
一元一次不等式(组)的解法及其应用培优竞赛
一元一次不等式(组)的解法及其应用题一、整数解 例1（2011江苏苏州，6，3分）不等式组 30, 3 2 x x - ? ? ? < ?? ≥ 的所有整数解之和是（） A、9 B、12 C、13 D、15 考点：一元一次不等式组的整数解． 分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案． 解答：由①得：x≥3，由②得：x＜6， ∴不等式的解集为：3≤x＜6，∴整数解是：3，4，5， 所有整数解之和：3+4+5=12．故选B． 点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 练习1．（2011山东泰安，18 ，3分）不等式组 ?? ? ??3-x＞0 4x 3+ 3 2＞- x 6 的最小整数解为()． A.0 B.1 C.2 D.-1 【答案】A 2．（2011?南通）求不等式组 364 213(1) x x x x -≥- ? ? +>- ? 的解集，并写出它的整数解. 专题：探究型。 分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x的整数解即可． 解答：【解】解不等式3x－6≥x－4，得x≥1．解不等式2x＋1＞3(x－1)，得x＜4． 所以原不等式组的解集为1≤x＜4．它的整数解为1，2，3． 点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键． 例2①（2011?恩施州14,3分）若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是4＜a≤5．考点：一元一次不等式的整数解。 分析：首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的范围． 解答：解：∵不等式x＜a只有四个正整数解， ∴四个正整数解为：1，2，3，4， ∴4＜a≤5， 故答案为：4＜a≤5， 点评：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解． ②已知关于x的不等式x－2a＜3的最大整数解－5，求a的取值范围． 解：x＜2a＋3，由题意，有－5＜2a＋3≤－4，－8＜2a≤－7， 7 4 2 a >≥． ③关于x的不等式组 2(1)3(2)6, 1, 2 x x x a --+>- ? ? ?+ > ?? ① ② 恰好有两个整数解，求a的取值范围． 解：由①，得2x－2－3x－6＞－6，－x＞2，x＜－2， 由②得x＞2－a， 因为恰好有两个整数解－5≤2－a＜－4，所以－7≤－a＜－6，－7≥a＞6．
《一元一次方程》竞赛试题(可编辑修改word版)
1 / 8 1 1 ? 1 1 ? 《一元一次方程》竞赛试题 1．已知 x =一 1 是关于 x 的方程 7x 3 一 3x 2+kx+5=0 的解，则 k 3+2k 2-11k-85= ． (“信利杯”竞赛题) 2． 方 程 1 (20x + 50) + 2 (5 + 2x ) - 1 (4x + 10) = 0 的 解 为 ； 解 方 程 6 3 2 ? ? ? ? ( x - 3) - 3? - 3? - 3 = 0 ，得 x= ． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 8．解关于 x 的方程： （1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1) 9．A 为何值时，方程 x + a = x - 1 (x - 12) 有无数个解？无解？ 2 ? 2 ? 2 2 ? ? 3 2 6 3. 已知关于 x 的方程 2a(x 一 1)＝(5 一 a)x+3b 有无数多个解，那么 a ＝ ． (“希望杯”邀请赛试题) 4. 和方程 x 一 3＝3x+4 不同解的方程是( )． 10． 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解 为 a+2， 那么方程 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解 为 ． 11．已知关于 x 的方程 9x-3=kx+14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k = ． 1 12．已知 1 + 4( 1 + 1 ) = 1 3 ，那么代数式1872 + 48 ? ( 1999x ) 的值为 ． A ．79—4＝59—11 B ． + 2 = 0 x + 3 4 1999 x 4 1999 + x C ．(a 2+1)(x 一 3)＝(3x+4)(a 2+1) D ．(7x 一 4)(x —1)＝(5x 一 11)(x 一 1) 5．已知 a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程 ax=0 的解是 x=1 13. 若(3a+2b)x 2+ax+b=0 是关于 x 的一元一次方程，且有唯一解，则 x = ． 14. 有 4 个关于 x 方程 (1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1) (3)x=0 (4) x - 2 + 1 = -1 + 1 (2) 方程 ax ＝a 的解是 x ＝1 其中同解的两个方程是（ ） x - 1 x - 1 (3) 方程 ax=1 的解是 x ＝ 1 A ．（1）与（2） B ．（1）与（3） C ．（1）与（4） D ．（2）与（4） a x x x (4) 方程 a x = a 的解是 x ＝±1 结论正确的个数是( )． A.0 B ．1 C ． 2 D ．3 (江苏省竞赛题) 15．方程1? 2 + 2 ? 3 + + 1995 ?1996 = 1995 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 1998 16．已知a + 2 = b - 2 = c = 2001 ，且a + b + c = 2001k ，那么k 的值为（ ）． 2 1 ? 3 ? 1 A ． 1 B ．4 C ． - 1 D ．－4 6．方程 x - 6 ?36 - 12(5 x + 1)? = 3 x - 2 的解是（ ） 4 4 A ． 15 14 ? B ． - 15 14 ? C ． 45 14 D ． - 45 14 17．若 k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的 k 值有 A ．4 个 B ．8 个 C ．12 个 D ．16 个
初中数学竞赛不等式(含答案)
12．不等式 A 卷 1．不等式2(x + 1) - 12 732-≤-x x 的解集为_____________。 2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和5 23x x -<的整解为______________。 3．如果不等式33131++>+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。 4．不等式22)(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。 5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。 6．关于x 的不等式组???<->+2 5332b x x 的解集为-1
竞赛数学不等式完整版
不等式证明的基本技巧 数学竞赛的历史，可以追溯到16世纪意大利求解三次方程“擂台战”。而1894年匈牙利举办的全国中学数学竞赛，可以说是开中学生数学竞赛的先河。中国的少年在IMO 上屡屡夺标，不仅展示了炎黄子孙的才能和苦学精神，而且肯定了中国在数学教学和奥林匹克数学培训中的可贵经验。如果说，一名中学生，他有可能选择是否接受竞赛数学的培训，那作为一名中学数学老师没有理由对中学数学中这块领域毫无所知，所以作为师范生的我们有必要学好数学竞赛这门课程。 在学习竞赛数学这门课程过程中，我比较注重它的思想和方法，课余时间我还会借阅有关课外书籍，这些有富于我们数学创造力和思维能力的提高。对于不等式部分我很感兴趣，并做了一些研究。竞赛数学中的不等式问题按范围可分为代数不等式、三角不等式与几何不等式，按可形式分为不等式求解、不等式证明与不等式应用，这些都是属于竞赛数学中较重要的部分。下面就不等式证明这一部分我给大家做一些介绍。 证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已知的恒不等式，进行合乎逻辑的等价变换。不等式证明基本方法与技巧主要有比较法、放缩法、代换法、分析综合法、反证法、数学归纳法、配方与判别式法、构造法、导数法、辅助函数法公式法、调整法等。下面举例说明证明不等式的常用技巧。 例1 设a,b,c 为正数，证明?? ? ??-++≤??? ??-+33322abc c b a ab b a . 证 ()(). 23232233333ab abc c ab abc b a c b a ab b a abc c b a +-+-+-++? ? ? ??-+-??? ??-++＝＝ x x y ab abc c x 3233 3623230y 0x c y ab +-+-＝， ，，则＝，＝设φφ ()()() ()()()() ()()0 2222222 2 22 3 2 2 3 ≥++--? ? ? ??-+----++---x y x y x y x y xy x y x y x y x y y y y x y x y x x x x y ＝ ＝＝＝＝ .2 时等号成立＝即＝仅当c ab y x ?? ? ??-++≤??? ??-+33322abc c b a ab b a 所以.
初中数学竞赛专项训练之不等式附答案
初中数学竞赛专项训练之不等式 一、选择题： 1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ） A. 0＜a ≤4 B. a ≥4 C. 0＜a ≤2 D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d c c b a a +<+ ③ d c c b a b +>+ ④d c d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2 35352只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. -6
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