2019版高考数学二轮复习第二篇第21练圆锥曲线中的范围、最值、证明问题精准提分练习文
第21练 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
[明晰考情] 1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型.2.题目难度：中高档难度.
考点一 直线与圆锥曲线
方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.
(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b (斜率不为0)的形式.
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.
(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2
·|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1
k
2·|y 1
－y 2|.
1.(2018·哈尔滨模拟)已知F 是椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，
y 1)，B (x 1，y 2)两点.
(1)若x 1＋x 2＝3，求弦AB 的长；
(2)O 为坐标原点，∠AOB ＝θ，满足3OA →·OB →
tan θ＝46，求直线l 的方程. 解 (1)由题意可知过F 的直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，
联立?
??
??
x 2
＋3y 2
＝6，y ＝k (x －2)，得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2
－6＝0，
Δ>0显然成立. ∵x 1＋x 2＝3， ∴12k
2
3k 2＋1＝3， ∴k 2
＝1，则x 1x 2＝32
，
∴|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝ 6.
(2)∵3OA →·OB →tan θ＝46，∴|OA →||OB →
|sin θ＝463，
∴S △AOB ＝263，即12×2×|y 1－y 2|＝26
3
，
由题意知，l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为x ＝my ＋2，联立?????
x ＝my ＋2，x 26＋y
2
2
＝1，
得(m 2
＋3)y 2
＋4my －2＝0，Δ>0显然成立. ∴y 1＋y 2＝－
4m m 2
＋3，y 1y 2＝－2
m 2＋3
， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝83，即m 4－3m 2
＝0，
∴m ＝0或m ＝±3，
∴直线l 的方程为x ＝2或x ±3y －2＝0.
2.(2017·全国Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2
4上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 22
4，x 1＋x 2＝4，
于是直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2
4
＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x
2
.
设M (x 3，y 3)，由题设知x 3
2＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1).
设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，
故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2
4，得x 2
－4x －4m ＝0.
当Δ＝16(m ＋1)>0，
即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).
由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)， 解得m ＝7或m ＝－1(舍). 所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.
3.(2017·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为1
2
.已知A 是抛
物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为
6
2
，求直线AP 的方程. 解 (1)设点F 的坐标为(－c,0)，依题意，得c a ＝1
2，
p
2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝1
2，p ＝2， 于是b 2＝a 2－c 2
＝34
.
所以椭圆的方程为x 2
＋4y 2
3
＝1，抛物线的方程为y 2
＝4x .
(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ? ??
??－1，－2m ，
故点Q ? ??
??－1，2m .
将x ＝my ＋1与x 2
＋4y
2
3
＝1联立，消去x ，
整理得(3m 2＋4)y 2
＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m ＋4.
由点B 异于点A ，可得点B ? ????－3m 2
＋43m 2＋4，－
6m 3m 2＋4，
由Q ? ??
??－1，2m ，可得直线BQ 的方程为
? ????－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－? ????－3m 2
＋43m 2＋4＋1? ????
y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 2
3m 2＋2
，
故点D ? ??
??2－3m 2
3m ＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 2
3m 2＋2＝6m
2
3m 2＋2.
又因为△APD 的面积为
62
， 故12×6m 2
3m 2＋2×2|m |＝62， 整理得3m 2
－26|m |＋2＝0， 解得|m |＝
63，所以m ＝±63
.
所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0. 考点二 圆锥曲线中的范围、最值问题
方法技巧 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)过点P (2,1)，且离心率e ＝32
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 的斜率为1
2
，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.
解 (1)∵e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34
，∴a 2＝4b 2
.
又4a 2＋1b
2＝1，∴a 2＝8，b 2
＝2.
故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)设l 的方程为y ＝1
2x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立?????
y ＝1
2x ＋m ，x 2
8＋y
2
2＝1，
消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2
－4＝0，
判别式Δ＝16－4m 2
>0，即m 2
<4. 又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2
－4， 则|AB |＝
1＋14
×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2
)， 点P 到直线l 的距离d ＝
|m |1＋14
＝2|m |
5
. 因此S △PAB ＝12·d ·|AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2
)
＝m 2
(4－m 2
)≤
m 2＋(4－m 2)
2
＝2，
当且仅当m 2
＝2时上式等号成立，且满足Δ>0， 故△PAB 面积的最大值为2.
5.已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，F 是椭圆E 的右焦点，直线
AF 的斜率为
23
3
，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝23
3，得c ＝ 3.
又c
a ＝
32
，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝1. 故E 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 将y ＝kx －2代入x 2
4＋y 2
＝1，
得(1＋4k 2
)x 2
－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2
－3)>0， 即k 2
>34时，x 1,2＝8k ±24k 2
－34k 2
＋1
. 从而|PQ |＝k 2
＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋14k 2
－34k 2
＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2
k 2＋1
.
所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12·d ·|PQ |＝44k 2
－3
4k 2
＋1. 设4k 2
－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝
4t t 2
＋4＝4
t ＋
4
t
≤1. 当且仅当t ＝2，即k ＝±
7
2
时等号成立，且满足Δ>0. 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y ±7x ＋4＝0.
6.如图所示，设抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.
(1)求p 的值；
(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，
AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.
解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p
2
＝1，即p ＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y 2
＝4x ，F (1,0)， 可设A (t 2,
2t )，t ≠0，t ≠±1，B (x B ，y B ).
∵AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，
由?
??
??
y 2
＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2
－4sy －4＝0.Δ>0显然成立
故2t ·y B ＝－4，∴y B ＝－2t
，
∴B ? ??
??1
t 2，－2t
.
又直线AB 的斜率为
2t
t 2
－1
， 故直线FN 的斜率为－t 2－1
2t
，
从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2
t
.
∴N ? ????t 2
＋3
t 2－1
，－2t .
设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2t
t 2－m ＝
2t ＋
2t
t 2
－t 2＋3t 2
－1
，
于是m ＝2t 2
t 2－1＝2＋2
t 2－1，∴m <0或m >2.
经检验知，m <0或m >2满足题意.
综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 考点三 圆锥曲线中的证明问题
方法技巧 圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现.无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向.
7.(2018·全国Ⅰ) 设椭圆C ：x 2
2
＋y 2
＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，
点M 的坐标为(2,0).
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为? ????1，22或? ??
??1，－22. 又M (2,0)，
所以AM 的方程为y ＝－
22x ＋2或y ＝2
2
x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.
(2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和
k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2
x 2－2
.
由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得
k MA ＋k MB ＝
2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k
(x 1－2)(x 2－2)
.
将y ＝k (x －1)代入x 2
2
＋y 2
＝1，得
(2k 2
＋1)x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－2＝0，由题意知Δ＞0恒成立， 所以x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2
－2
2k 2＋1
.
则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3
－4k －12k 3
＋8k 3
＋4k
2k ＋1＝0， 从而k MA ＋k MB ＝0， 故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .
8.(2018·大庆质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且C 过点? ????3，12. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设B 1，B 2分别是椭圆C 的下顶点和上顶点，P 是椭圆上异于B 1，B 2的任意一点，过点P 作
PM ⊥y 轴于M ，N 为线段PM 的中点，直线B 2N 与直线y ＝－1交于点D ，E 为线段B 1D 的中点，O 为坐标原点，求证：ON ⊥EN .
(1)解 由题设知焦距为23，所以c ＝ 3. 又因为椭圆过点? ????3，12， 所以代入椭圆方程得3
a 2＋14
b
2＝1，
因为a 2＝b 2＋c 2
，解得a ＝2，b ＝1, 故所求椭圆C 的方程是x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明 设P (x 0，y 0)，x 0≠0，则M (0，y 0)，N ? ??
??x 0
2，y 0. 因为点P 在椭圆C 上，所以x 20
4＋y 20＝1.即x 20＝4－4y 2
0.
又B 2(0,1)，所以直线B 2N 的方程为y －1＝2(y 0－1)
x 0
x .
令y ＝－1，得x ＝x 01－y 0，所以D ? ??
??x 0
1－y 0，－1.
又B 1(0，－1)，E 为线段B 1D 的中点， 所以E ?
??
?
?x 02(1－y 0)，－1. 所以ON →＝? ????x 02，y 0，EN →＝? ??
??x 0
2－x 02(1－y 0)，y 0＋1.
因为ON →·EN →＝x 02??????x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1)＝x 2
04－x 2
04(1－y 0)＋y 2
0＋y 0＝1－4－4y 2
04(1－y 0)
＋y 0＝1－y 0－1＋y 0＝0，
所以ON →⊥EN →
，即ON ⊥EN .
9.(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点? ??
??0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.
(1)解 由抛物线C ：y 2
＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12，
所以抛物线C 的方程为y 2
＝x ，
抛物线C 的焦点坐标为? ????14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
y ＝kx ＋1
2
(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).
由???
??
y ＝kx ＋12，
y 2＝x ，
得4k 2x 2
＋(4k －4)x ＋1＝0，
则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝1
4k
2.
Δ＝(4k －4)2－16k 2＝16k 2－32k ＋16－16k 2
＝－32k ＋16>0，所以k <12.
因为点P 的坐标为(1,1)， 所以直线OP 的方程为y ＝x ， 点A 的坐标为(x 1，x 1).
直线ON 的方程为y ＝y 2x 2
x ，点B 的坐标为?
??
??
x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋
y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2
x 2
＝
? ????kx 1＋12x 2＋?
????kx 2＋12x 1－2x 1x
2
x 2
＝(2k －2)x 1x 2＋1
2
(x 2＋x 1)
x 2
＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k
2
x 2
＝0，
所以y 1＋
y 2x 1
x 2
＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点.
典例 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
，
且点?
????3，12在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，
B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
①求|OQ ||OP |
的值；
②求△ABQ 面积的最大值. 审题路线图
(1)椭圆C 上的点满足条件―→列出a ，b 的关系式――――――
―
→已知离心率e a 2=b 2+c 2
基本量法求得椭圆C 的方程
(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，O ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP | ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法 研究判别式Δ并判断根与系数的关系→ 用m ，k 表示S △OAB →求S △OAB 最值 ――――――――→利用①得S △ABQ
和S △OAB
的关系
得S △ABQ 的最大值 规范解答·评分标准
解 (1)由题意知3
a 2＋14
b 2＝1.又a 2
－b 2
a ＝3
2
，
解得a 2
＝4，b 2
＝1.所以椭圆C 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.2分
(2)由(1)知椭圆E 的方程为
x 2
16
＋y 2
4
＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ |
|OP |＝λ(λ＞0)，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).
因为x 20
4＋y 2
＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)
2
4
＝1，
即λ2
4
? ??
??
x 2
04＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.5分
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，
可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2
＜4＋16k 2
，(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2
－16
1＋4k 2.
所以|x 1－x 2|＝416k 2
＋4－m
2
1＋4k
2
.8分 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，
所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2
＋4－m 2
|m |1＋4k 2＝2(16k 2
＋4－m 2
)m
2
1＋4k 2
＝2? ??
??4－m 21＋4k 2m 2
1＋4k 2.9分
设
m 2
1＋4k
2
＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，
可得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2
≤1＋4k 2
.(**) 由(*)和(**)可知0＜t ≤1，
因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2
＋4t ，10分
故0＜S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2
＝1＋4k 2
时取得最大值2 3.11分 由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.12分 构建答题模板
[第一步] 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程；
[第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax 2
＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系；
[第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系；
[第四步] 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系；
[第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.
1.(2018·惠州模拟)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (p ，2p )满足|PF |＝3. (1)求抛物线的方程；
(2)过点(－1,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，当|FA |＝3|FB |时，求直线l 的方程.
解 (1)由条件易知P (p ，2p )在抛物线y 2
＝2px 上，|PF |＝x P ＋p 2＝3p 2
＝3，
故p ＝2，即抛物线的方程为y 2
＝4x .
(2)易知直线l 斜率必存在，设l ：y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|FA |＝3|FB |， 即x 1＋1＝3(x 2＋1)，①
联立?
??
??
y 2
＝4x ，y ＝k (x ＋1)，
得k 2
(x ＋1)2
＝4x ，
即k 2x 2
＋(2k 2
－4)x ＋k 2
＝0， 由Δ＝16－16k 2
>0得k 2
<1， 且x 1＋x 2＝－2k 2－4
k
2，②
x 1x 2＝1，③
由①②③得k 2
＝34<1，
即直线l 的方程为y ＝±
3
2
(x ＋1)，即3x ±2y ＋3＝0. 2.(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2
＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，
N 两点.
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .
(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2). 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－1
2x －1.
即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.
(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，
M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则x 1＞0，x 2＞0.
由?
????
y ＝k (x －2)，
y 2
＝2x ，得ky 2
－2y －4k ＝0，显然方程有两个不等实根.
所以y 1＋y 2＝2
k
，y 1y 2＝－4.
直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝
y 1x 1＋2＋y 2
x 2＋2
＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)
(x 1＋2)(x 2＋2)
.①
将x 1＝y 1
k ＋2，x 2＝y 2k
＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝
2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8
k
＝0.
所以k BM ＋k BN ＝0，
可知BM ，BN 的倾斜角互补， 所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .
3.(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中
点为M (1，m )(m ＞0). (1)证明：k ＜－1
2
；
(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →
|成等差数列，并求该数列的公差.
(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 22
3＝1. 两式相减，并由y 1－y 2
x 1－x 2
＝k ， 得
x 1＋x 24
＋
y 1＋y 2
3·k ＝0.
由题设知
x 1＋x 2
2
＝1，
y 1＋y 2
2
＝m ，
于是k ＝－3
4m
.①
由题设得0＜m ＜32，故k ＜－1
2
.
(2)解 由题意得F (1,0).设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，
y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.
又点P 在C 上，
所以m ＝3
4
，
从而P ? ????1，－32，|FP →|＝32， 于是|FA →|＝(x 1－1)2＋y 2
1＝
(x 1－1)2
＋3? ??
??1－x 2
14＝2－x 12. 同理|FB →
|＝2－x 22
.
所以|FA →|＋|FB →
|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.
故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|， 即|FA →|，|FP →|，|FB →
|成等差数列.
设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →
|| ＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2.② 将m ＝3
4代入①得k ＝－1，
所以l 的方程为y ＝－x ＋7
4，
代入C 的方程，
并整理得7x 2
－14x ＋14＝0.
故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1
28，
代入②解得|d |＝321
28
.
所以该数列的公差为32128或－321
28
.
4.(2018·河南八市测评)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ? ?
???3，32在椭圆
C 上.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值.
解 (1) 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ?
?
???3，32在椭圆C 上，得
????
?
c a ＝1
2
，(3)2
a 2
＋(3)2
4b 2
＝1，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得?
????
a 2
＝4，b 2
＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)易得直线OM 的方程为y ＝1
2
x .
当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线y ＝1
2x 上，故直线l 的斜率存在.
设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，
与x 24＋y 2
3＝1联立消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2
－4(3＋4k 2
)(4m 2
－12)＝48(3＋4k 2
－m 2
)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2
－12
3＋4k 2.
由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m
3＋4k
2，
所以AB 的中点N ? ??
?
?－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，
因为N 在直线y ＝1
2
x 上，
所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2，解得k ＝－3
2，
所以Δ＝48(12－m 2
)>0， 得－23 1＋? ?? ??322 |x 2－x 1| ＝132·(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2＝132· m 2 －4× m 2－3 3 ＝ 396 12－m 2 ， 又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m | 13， 所以S △OAB ＝12×39612－m 2 ×2|m |13 ＝ 3 6 (12－m2)m2≤ 3 6 (12－m2＋m2)2 4 ＝3， 当且仅当12－m2＝m2， 即m＝±6时等号成立， 符合－23 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法 运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 2019年高考总复习：命题的真假 1．下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈R ，log 2x ＝0 B ．?x ∈R ，cosx ＝1 C ．?x ∈R ，x 2>0 D ．?x ∈R ，2x >0 答案 C 解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以A 、B 项均为真命题，02＝0，C 项为假命题，2x >0，选项D 为真命题． 2．(2018·广东梅州联考)已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)≥0，则非p 是( ) A ．?x 1，x 2?R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 B ．?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 C ．?x 1，x 2?R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 D ．?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 答案 B 解析 根据全称命题否定的规则“改量词，否结论”，可知选B. 3．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(非q)；④(非p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 答案 C 解析 若x>y ，则－x<－y 成立，即命题p 正确；若x>y ，则x 2>y 2不一定成立，即命题q 不正确；则非p 是假命题，非q 为真命题，故p ∨q 与p ∧(非q)是真命题，故选C. 4．(2018·浙江临安一中模拟)命题“?x 0∈R ，2x 0<12或x 02>x 0”的否定是( ) A ．?x 0∈R ，2x 0≥1 2或x 02≤x 0 B ．?x ∈R ，2x ≥1 2或x 2≤x C ．?x ∈R ，2x ≥1 2且x 2≤x D ．?x 0∈R ，2x 0≥1 2且x 02≤x 0 答案 C 解析 特称命题的否定是全称命题，注意“或”的否定为“且”，故选C. 5．已知集合A ＝{y|y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x|y ＝lg x －3}，则下列命题中真命题的个数是( ) ①?m ∈A ，m ?B ；②?m ∈B ，m ?A ；③?m ∈A ，m ∈B ；④?m ∈B ，m ∈A. A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程 x = 1 + tsin70 ° , 1.直线 o （t 为参数）的倾斜角为（ ） y = 2 + tcos70 A . 70° B . 20° C . 160° D . 110 答案 B 解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式： x = 1 + tcos20°, y = 2 + tsin20 ° （t 为参数），则倾斜角为20°，故选B. x = 1 — tsi n70 ° 另外，本题中直线方程若改为 ，则倾斜角为160 ° . y = 2 + tcos70 ° x = 1 + 2t , 2 .若直线的参数方程为 （t 为参数），则直线的斜率为（ ） y = 2— 3t 答案 D x = — 3 + 2cos 0, 3?参数方程 （0为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为 （ ） y = 4+ 2si n 0 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 答案 A x = — 3+ 2cos 0, 解析 参数方程 （伪参数）表示的曲线的普通方程为（x + 3）2 + （y — 4）2= 4, y = 4+ 2sin 0 这是圆心为（一3, 4）,半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为 1. 4. （2018皖南八校联考）若直线 l : x = 2t , （t 为参数）与曲线C : y = 1 — 4t x = '. 5cos 0, （0为参数） y = m+ . 5sin 0 相切，则实数m 为（ ） A . — 4 或 6 B . — 6 或 4 方法 tan a = cos70° sin 70° = sin20 ° =tan 20°,「.a = 20° 代3 3 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 2019-2020年高考数学二轮复习综合提升训练(V) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A ＝{x |y ＝x ＋1x －2 }，B ＝{x |x ＞a }，则下列关系不可能成立的是( ) A ．A ?B B ．B ?A C ．A B D ．A ??R B 解析：选D.由????? x ＋1≥0x －2≠0，可得A ＝[－1,2)∪(2，＋∞)，选项A ，B ，C 都有可能成立， 对于选项D ，?R B ＝(－∞，a ]，不可能有A ??R B . 2．(xx·高考山东卷)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i 解析：选B.法一：利用复数相等的定义及共轭复数的概念求解． 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i. 法二：利用共轭复数的性质求解．由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B. 3．“不等式x (x －2)＞0”是“不等式2x ＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.2x ＜1?2x －1＜0?x (x －2)＞0. 4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2 是实数，则a ＝( ) A ．1 B.12 C.15 D ．－15 解析：选A.a 1＋i ＋1＋i 2＝a －＋－＋1＋i 2 ＝a ＋＋－a ＋ 2，由于该复数为实数，故－a ＋1＝0，即a ＝1. 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 - 2020高考数学圆锥曲线复习方法 2017高考数学圆锥曲线复习方法 圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它是从圆锥上截出来的。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到了圆;把平面渐渐倾斜，得到了 椭圆;当平面倾斜到"和且仅和"圆锥的一条母线平行时，得到了抛物线;用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边，以圆锥顶点 做对称圆锥,则可得到双曲线。 在高中的学习中，平面解析几何研究的两个主要问题，一个是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程;而另一个就是通过方程，研 究平面曲线的性质. 那么接下来，我们就就着这两个问题来说啦 1、曲线与方程 首先第一个问题，我们想到的就是曲线与方程的这部分内容了。 在学习圆锥曲线这部分内容之前，我们最早接触到的就是曲线与方程这部分内容。在这部分呢，我们要注意到的是几种常见求轨迹 方程的方法。在这里呢，简单的说一下，一共有四种方法：1.直接 法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的 几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这 种方法叫直接法. 2、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.这种方 法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件. 3、相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法). 4、待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 (二)椭圆，双曲线，抛物线 这部分就可以研究第二个问题了呢。在椭圆，双曲线以及抛物线里，最最重要的就是他们的标准方程，因为我们可以从它们的标准方程中看到许多东西，包括顶点，焦点，图形的画法等等等等，所以这个呢是要求我们必须要会的。(不会的通宵快去恶补~~~) 在一般做题的时候，我们要首先要根据题意来画图，这点特别重要，我们要清楚题目要我们求什么才能继续做下去不是。接下来就是根据题意来写过程了，我们的一般步骤呢都是建系，设点，联立方程，化简，判断△，韦达定理，列关系式，整理，作答。在考试中，我们按照步骤一步一步的写，写到韦达定理至少8分有了。当然了，各圆锥曲线的几何性质也尤其重要，包括离心率，顶点，对称性，范围，以及焦点弦，准线，渐近线等等。这些性质大家也要熟练掌握并且会应用。在这部分呢，还有很多很多的专题，譬如弦长问题，那大家还记得弦长公式吗?中点弦问题，我们通常会用到点差法，那么何为点差法呢?就是把两点坐标代入曲线方程作差后得到直线的斜率和弦中点坐标之间的关系式，这种方法。还有一类问题就是直线与圆锥曲线的位置关系。分为三大类：有直线与椭圆的位置关系，就是看△;直线与双曲线的位置关系，先看联立之后的方程中的a，如果a=0方程有一解，直线与双曲线有一个公共点(直线与渐近线平行)，a≠0的时候，还是看△啦;而直线与抛物线与直线与双曲线的位置关系是类似的，当a=0直线与抛物线有一个公共点(直线与抛物线的轴平行或重合)，a≠0的时候，还是看△。 专题对点练257.1~7.3组合练 (限时90分钟,满分100分) 一、选择题(共9小题,满分45分) 1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为() A.B.C.4D.3 2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=() A.- B.- C. D.2 3.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是() A.18 B.6 C.5 D.4 4.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为() A.4 B.2 C.4 D.3 5.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为() A.B.C.D.5 6.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是() A.B.C.2 D.2 7.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为() A.B.2 C.D.2 8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为() A.=1 B.=1 C.-y2=1 D.x2-=1 9.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是() A.32 B.16 C.8 D.4 二、填空题(共3小题,满分15分) 10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为. 11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为. 12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大. 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分) 13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4. (1)求动点A的轨迹M的方程; (2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值. 14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. 实用文档 2021年高考数学 圆锥曲线复习课 1． 一定要重视椭圆、双曲线、抛物线（注：抛物线只有一个定义）第一定义，有很多题可以转化为定义去做。 例如： （1） 求与圆和圆相切的点的轨迹方程 （2） 求与圆相切且过点（5，0）的点的轨迹方程 （3） 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，M ，N 是左、右顶点，P 是双曲线上的一点，且的内切 圆与切于点T.求T 的坐标 （4） 试在抛物线上找一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （2，1）的距离之和最小。求该点坐标 2． 一定要重视椭圆、双曲线、抛物线（注：抛物线只有一个定义）第二定义： （1）已知椭圆内有一点A （1，1），分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点.（1）求的最大值、最小值及对应的点P 坐标（2） 实用文档 求的最小值及对应的点P 的坐标 （2）推导椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式非常方便 （3）特别重视抛物线的定义：①（1）AB 为抛物线上的动弦，且|AB|=a （a 为常数，且），求弦AB 中点M 离准线最近的距离（2）在（1）中如把改成0 2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I) 函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。现举例如下：1．比较大小 例1．比较与的大小： 解：， 由于及0 证：（反证法）。 令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1, ∴ f(x1)=f(x2)=0 (1) ∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数， 又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2) 由(1),(2)知，两者矛盾， 故方程x3+x+1=0至多有一个实根。 4．解不等式 例4．解不等式(2x-1)5+2x-1 最新高考数学全真模拟试卷（文科）（四） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（） A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3） 2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 3．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（） A．1 B．C．D． 4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p 是命题q成立的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（） A．相切B．相离 C．相交D．与k的取值有关 6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（） A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（） A．4B．4 C．6D．6 8．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（） A．64 B．32 C．256 D．4096 9．函数f （x ）=lnx+e x 的零点所在的区间是（ ） A ．（ ） B ．（ ） C ．（1，e ） D ．（e ，∞） 10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2 =2px （p ＞0）的焦 点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．2 12．定义在[0，+∞）的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），对于任意的x ≥0，恒有f ′（x ）＞ f （x ），a= ，b= ，则a ，b 的大小关系是（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a=b D ．无法确定 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．如图所示，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的M 的值是______． 14．已知实数x ，y 满足，若目标函数z=x ﹣y 的最大值为a ，最小值为b ，则 a+b=______． 15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是______号． 16．在△ABC 中，BC=，∠A=60°，则△ABC 周长的最大值______． 三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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