SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘要

SARS(严重急性呼吸道综合症，，俗称非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。为了能定量的研究传染病的传播的规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。

本题中给出了一个早期指数模型，它在短期内有一定的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。

由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数r，用来表示发病率。在假设所研究地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合地区SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合世界上优于早期模型。同时，我们也通过Matlab语言对北京疫情的计算和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。

应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效地减少累计患病人数；“严格隔离能有效缩短疫情持续时间。

本文亦分析了海外旅游人数受SARS的影响情况，并用Matlab语言对2003年以前的每个月份旅游人数与月份进行数据拟合，进而估算出正常情况下2003年的旅游人数。在SARS的影响下，求出每个月份人数的减少率，拟合出月份与减少率的曲线图，从图中可以看出旅游人数在9月份开始恢复。

最后，给当地报刊写了一篇短文，说明传染病模型的研究任重道远和建立传染病模型的重要性。

一．问题的重述

SARS 的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。为此我们需要做以下工作：

(1)对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性。

(2)建立我们自己的模型，说明优于早期模型的原因；特别要说明怎样建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播所造成的影响。

(3)收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。 (4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二．早期模型的分析和评价

1．对早期模型的简述

早期模型采用公式：N(t)=t 0(1)N K (其中0N 为初始时刻的病例数，k 为 平均每病人每天可传染的人数，t 为病例数目的增长时间)在L(平均每个病人可以直接感染他人的时间)天之内对疫情数据相对比较完整准确的地区进行数据拟合，进而运用相应的软件作出患病人数与时间的关系曲线。进而利用SARS 传播的数学模型对北京疫情进行分析并预测其疫情的走势。

K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后的10天范围内k 值逐步被调整到比较小的值，然后保持不变。并考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数规律，增长速度会放慢，采用半循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。 2．对早期模型的评价

实用性 ：通过建立这一模型可以定量的研究SARS 出发期的疾病传播规率

依据参数k 、t 可以实现各地区的相关估计，预测SARS 的发病高峰时间，发病趋势等。这些措施对SARS 等疾病的防控具有重大的知道意义。

局限性：该模型在传染病病发初期具有一定的合理性，可以预防 疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足。模型的参数L ，k 的设定缺乏依据，具有一定的主观性。K 值以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但却加大了与实际的偏差。模型中也混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念，而且借助其他地区的数据进行预测，后期预测结果不够准确，存在较大的偏差。由于SARS 的发病情况与诸多因素有关，而实际上SARS 的传播发展也需要一个较长的周期，所以，用短期的模型来描述长期的病发过程是不够科学合理的。

三．建立自己的优化模型

1．建立更优模型的困难所在

要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，存在着许多的困难，还有许多努力地方向。

(1)缺乏详尽的、反应SARS 疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参数的具体取值。本文的模型计算与分析研究，主要依据关于北京市的SARS 疫情通告的数据。这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式不能满足模型求解的要求。

(2)需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构与调整参数，以及估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果。

(3)需要研究SARS 在不同自然条件和社会条件下的差异，总结SARS 传播与控制的典型地域性模式。

2．模型建立的过程

(1)模型建立中的假设与说明：假设所研究的人口为理想状态下的人群，对该病普遍易感，每个发病病人单位时间内传染的易感者人数与为被感染的人数成正比，隔离或预防意识增强可在一定程度上影响病人单位时间内传染易感者人数的比率。不考虑气温、气压等自然因素对SARS 发病的影响。假设预测地区足够大，发病人数足够多。在整个过程中不考虑由人口流动因素所造成的影响，也不考虑人口的自然出生和死亡 。

(2)符号说明：N: 某地累计发病人数

0t : 计算病例的初始时间 0N : 0t 时的累计发病人数 r: 发病率

K: 预防效果指数

max N : 理论预计累计发病最多人数

't ： 发病高峰时间

2R : Logistic 模型的决定系数

(3)SARS 模型建立及相对早期模型的优越性：早期模型只考虑了传染期限和传染率的问题，涉及的参数及考虑的因素存在许多不足。而实际的情况中，SARS 的发病规律并不为我们所熟知，最原始的预防手段—隔离防治在控制疾病的蔓延上起到了至关重要的作用。于是我们引入了预防效果指数k ，用来反映疾病的控制程度，它直接影响SARS 的流行趋势、发病时间、发病高峰出现的时间及累计发病人数。又SARS 发病传染迅猛，引入参数r 来表示发病率。应用Logistic 回归研究各地SARS 发病的疫情资料，其趋势可用如下式(1)描述：

20

t t dN rN kN dt

N N ==-=???

对式(1)求解得式(2):

01=

1()rt N k k e r N r

-+-

(2)式中，max r N k

=为预期传染病发病总人数，即理论上最多累计发病人数，

'2r

t k

=所对应的时间为发病高峰时间。

依据题中的数据并按所建模型拟合，可得下表中北京地区的参数估计值 。

表一 Logistic 回归对北京地区的参数估计值

根据北京地区确诊病例累计，经过Matlab 编程拟合(见附录1)，得到疫情走势及预测值与真实值的比较，如下图：

为了更进一步证明我们的Logistic模型对疫区发病情况的拟合程度，引入决定系数2R作为检测标准。决定系数21

R=-残差平方和总平方和。经过计算，

北京地区模型的决定系数2R大于0.99，预测值与实际值非常相近，拟合优度检验无显著性差异，说明Logistic回归模型很好的描述了SARS的发病、流行情况，适合于SARS发病拟合及流行特征研究。在模型中，r表示流行发病增加速率，r 越大，疾病发展变化越快，反应最初阶段发病人数增长速度越快，高峰到来时间越早，持续时间越短；r越小，高峰到来时间越晚，持续时间越长。另外，从医学的角度来讲，对SARS采取相应的预防措施(如：隔离、消毒等)后，病例数有所下降，说明预防措施与该疾病的发生发展密切相关。在我们所建立的Logistic SARS模型中引入了预防指数k，恰能更贴切的反应实际情况。

3．分析卫生部门所采取的措施

在SARS流行病期间，卫生部门采取的措施可以有：卫生部门控制人们之间的密切联系，控制传染期时间，引入反馈机制(如：政府强制措施)，加强疾病危险性的宣传教育，信息透明度等。在所有措施中，隔离开始的时间和隔离程度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现作出如下预测：

(1)在相同的隔离强度下，发现隔离时间开始的时间越早，累计病例总数就越小。

(2)在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间久越短。

(3)累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短主要由隔离强度的大小决定。

综上，有关部门采取的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间。如果延后5天采取严格的隔离措施，其严重的影响后果不可设想；如果提前5天，则可使疫情得到有效的控制。

4．模型的特点

(1)模型的优点

首先，此模型引入了参数k(预防指数)，并运用Logistic阻滞增长模型来拟合，比较符合实际情况以及相关医学解释，也即用医学与数学相结合的知识阐明了SARS发生发展规律，拟合结果与实际流行趋势贴近。

其次，用't和

N能够预测SARS高峰期的到来时间、可能累计最大发病数，max

这样，人们就可以以此为参考，人为地来改变一些参数或控制一些相关因素，从而达到预防疾病的传播与蔓延的效果，在现实中具有实用性。如：加强消毒，控制人口流动，这些措施均可以增大k，从而可以使实际高峰期累计病例数降低。

第三，结果用图像拟合说明、验证，简洁直观。

(2)模型的不足

尽管我们的预测结果已经很好了，但仍然存在一些不足。当医疗条件变化时，治疗可能会成为最有效的手段，而且医源性感染的可能性也会大大降低，那么，此时k的意义就不会像现在这样的明显重要。而且根据现有数据，所拟合的模型都具有滞后性，原始数据的精确度会影响到模型的效果。而下一代的SARS模型或许应该更复杂，涉及到更详细的空间和随机过程、作为病毒源头的动物、季节因素和多种传染模式，那么，Logistic SARS模型的应用就受到了限制。因此，它应该随着条件的改变而逐步改进。

(3)模型的改进与推广

如果能够将传染源、接触率等因素化为参数考虑进去，可以进一步完善模型，使之提供潜伏期、阈值、恢复期、最多感染人数、易感系数、平均感染人数等参数。并且，若将功能基因组的分析工作进一步扩张到冠状病毒以外与SARS相关的病原体中，则对该模型的分析还可以为疫苗和新型药物的研制提供理论支持。

四．SARS对旅游业的影响

SARS的流行会对国民经济带来一定的影响。现在题目中提供了北京市接待海外旅游人数的数据，我们根据这些数据，预测SARS对北京市的旅游业所产生的影响。

1.预测正常情况下2003年的旅游人数

一般情况下，旅游业会随着经济的发展，有一个逐年提高的趋势。如果没有SARS的传播和流行，那么，海外旅游人数在相应的月份会以一定的规律保持逐年增长的趋势。

现在需要预测正常情况下2003年的旅游人数，我们利用Matlab语言对1997年到2002年的每个月份的旅游人数进行数据拟合，做出人数对月份的函数关系图，并运用函数关系图预测出2003年的每个月份的旅游人数。数据拟合图以及数据表格如下：

一月份的拟合曲线：

二月份拟合曲线：

(注：三月份至九月份的旅游人数与时间的数据拟合依据同样的方法进行，其中用到的Matlab 语言程序如附录2所示)

表二 预测正常情况下2003年的旅游人数

2.预测受SARS 影响下2003年的实际旅游人数

实际旅游人数受到SARS 的影响，从附件3的表格中可以看出，旅游人数从3月份开始下降，在5月达到最低点后开始回升。

我们接下来需要做的就是预测什么时候开始旅游人数不受SARS 的影响，亦即什么时候旅游人数开始恢复。这样，我们我们就可以在接下来的月份内用正常的旅游人数来估计，对于什么时候开始恢复，我们先求出每个月实际旅游人数与正常预测的旅游人数相比的减少率。计算公式为：

减少率预测人数

实际人数预测人数 -

这样我们可以求出每个月的减少率，再用Matlab 语言拟合出月份与减少率的函数关系，图像如下图：

再求出上图的根，求得减少率在8月29号变为0，因此我们可以知道从9月份开始旅游人数就几乎不再受SARA的影响。从而获得受SARA影响下的旅游人数如下表(所用程序如附录3)：

五．写给当地报刊的短文

传染病模型的研究任重道远

传染病是危及人类身体健康的重要因素之一，长期以来一直受到世界各国的关注。随着社会的发展、卫生设施和医疗水平的改善和人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到了有效的控制。但是在世界的某些地区，由于战争对抗、人为失误或病毒变异等因素，还不时出现传染病流行的情况，如82年英国的全国性沙门氏菌病暴发流行，以及最近迅速蔓延全SARS 目前很多学者对SARS的传播进行了大量的研究。大部分研究采用常微分方程方法进行分析，以个体相互作用的方式研究病毒的传播。最近中国科学院研究生院借鉴流体力学中宏观偏微分方程与微观分子动力学方法相结合的方法，首次建立了传染病传播概率模型。这些模型的出现为疫情的评估和控制提供了科学数据，其重要性可从这次SARS事件中窥见一斑：

1、科学预测，合理分析。

在疫情忽然爆发引起公众普遍关注后，人们最关心的问题有：“SARS疫情将如何发展？何时才能得到有效控制？有没有办法对它进行科学预测？”以上问题均可以通过建立数学模型来解决。作为中国的首都，同时又是重灾区的北京，正是众人关注的焦点。之前已有模型预测北京在实施严格的隔离政策之后，4月底高峰期过后将呈现下降趋势，直至7月将实现零增长，届时累计患者数将达2800多人。事实证明这一预测虽不全中亦不远矣。

2、理智对待，减小恐慌。

在疫情爆发初期，未知病毒的神秘性容易对人造成心理干扰，导致大片人群的恐慌。但根据传染病模型，我们知道当一个传染期内每个病人有效接触易感者的平均人数小于一个人时，病人的比例将逐渐变小，最终实现零增长。也就是说一旦采用严格控制隔离的方法有效地切断了病源和易感人群的联系，将病人的有效接触人数减少到一个以下，必然可以达到有效控制或消除疾病的目的。

3、模拟预测，指导控制措施。

一些模型对政府控制的力度和时机作了相应的模拟，为各地区SARS疫情发展前景预测及政府控制疫情政策的制订给出了科学依据，并提出了一些实用的建议。如：及早采取果断控制措施；即使防范措施晚了一些，出现了高峰，但只要

控制严格，降低感染率（即严格进行人群隔离，切断传染途径），前景还是乐观的，因为疫期长度与感染人数峰值并不呈正比例关系等。

4、吸取经验教训，预防疫情反弹。

即使在疫情已接近尾声的今天，对传染病模型的研究仍在继续。在此次SARS 战役中，我们获得了宝贵的数据，也吸取了不少的经验教训。通过模型预测，有专家指出：后期绝对不能松懈大意，哪怕是几个病人逃脱控制，也可能造成疫情的反弹，不仅会造成总感染人数的增加，更为严重的是导致疫期的显著延长，由此对我国的国际形象、社会心理、经济增长造成重大损失。

目前对SARS传播的研究主要是以个体相互作用的情况而言，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制。随着疫情接近尾声，对SARS的传染病学机理和传播机制越来越了解，可考虑疫情的空间分布和时间发生的概率，结合计算机进行大量模拟，得出更为全面和准确的模型。进一步的工作和更准确结果的得出，将有待于专家学者们进行深入研究。

六．参考文献

郭大伟，数学建模，安徽教育出版社，2009年2月。

段广才，临床流行病学和统计学，郑州：郑州大学出版社，2002年8月。

胡鞍钢，正确认识SARS危机，民主与科学，第三期：第5-8页，2003年。

周品等，Matlab数理统计分析，北京：国防工业出版社，2009年四月。

黄得生等，Logistic回归模型拟合SARS发病及流行特征，中国公众卫生，第19卷第6期：第71-72页，2003年。

附录1：Matlab语言程序

function y=f(a,t)

y=a(1)./(a(2)+exp(-a(1)*t)*(a(1)+399*a(2))./399)

x=1:65;

y=[];

[a(1),a(2)]=lsqcurvefi t(‘f’,[1;1],x,y);

y1= a(1)./(a(2)+exp(-a(1)*t)*(a(1)+399*a(2))./399); plot(x,y1,’-’);

hold on

plot(x,y,’*’)

xlabel(‘X’)

ylabel(‘Y’)

legend(‘拟合图像’,’原始图像’)

附录2：

x=[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12];

y1=1:6;c=0:0.1:10;

p1=polyfit(y1,x,1);

p2=polyfit(y1,x,2);

p3=polyfit(y1,x,3);

plot(y1,x,'*',c,polyval(p1,c),'x',c,polyval(p2,c),'d',c,polyval(p3,c),'o') axis([0,10,15,35])

xlabel('年份')

ylabel('旅游人数')

legend('原始数据','一次拟合','二次拟合','三次拟合')

附录3：

y1=1:8;c=0:0.1:15;

p1=polyfit(y1,a,1);

p2=polyfit(y1,a,2);

p3=polyfit(y1,a,3);

p4=polyfit(y1,a,4);

p5=polyfit(y1,a,5);

plot(y1,a,'*',c,polyval(p1,c),'x',c,polyval(p2,c),'d',c,polyval(p3,c) ,'o',c,polyval(p4,c),'h',c,polyval(p5,c),'p')

axis([0,15,-0.1,1])

xlabel('月份')

ylabel('月减少率')

legend('原始数据','你第一次拟合','你第二次拟合','你第三次拟合','你第四次拟合','你第五次拟合')

plot(y1,a,'*',c,polyval(p3,c),'o')

axis([0,15,-0.1,1])

xlabel('月份')

ylabel('月减少率'

legend('原始数据','你第三次拟合')

SARS的传播

数学建模作业 SARS的传播 成员：章俊龙龚悦峰陆芳婷

摘要 本文分析了题目所提供的早期传染病的合理性和实用性。我们认为该模型可以对传染病作出预测，但存在一些不足，首先通过其他地区做预测，忽略了地区的差异，在预测结果上不够准确。其次模型的参数设定缺乏依据，具有一定的主观性，最后混淆了累积患病人数与确诊病例人数的概念，在染病人数的预测上产生了一定的影响。 针对早期模型的不足，我们全面分析了传染病的传播机理，将人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者三类，构建了SIR模型。建立了病人和健康者所占总人数比例关于时间t的微分方程通过matlab计算得出i-s图形（相轨线）。通过分析，得到制止传染病的蔓延的两种手段为降低日接触率，提高日治愈率和提高移出者比例的初值。 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论，尽早发现和隔离能够减少累积患病人数，严格隔离能有效缩短疫情持续时间。同时我们分析了1997-2003年北京外来游客接待人数的变化，运用spss的logistic回归分析对2003年9-12月的游客人数进行预测，可以得出在SARS流行期间对北京入境旅游业造成了很大的损失，并预计海外旅游人数将在10月以前恢复正常。 最后我们写了一片小短文，论述了传染病模型在生活中的重要性，以及对疾病预测和防控的实用性，希望能引起相关部门和公民的重视，并能有效的预测传染病的发生，减少公民的财产损失和保障公民的生命健康。 关键词： SIR模型传染病模型回归预测时间序列

一、问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 二、问题分析 问题一要求我们对早期的模型进行评价，主要从其合理性与实用性两方面进行评价，首先我们要考虑模型是否与实际情况相符合，其次是要探究该模型是否有一定的理论基础。是否与实际情况相符需要将模型的计算值与实际值进行比较，从而得出结论。模型的理论基础需要从模型的建立是否与传统的传染病模型相符，是否与传染病的基本特征项相符这两个方面进行。 问题二要求我们在早期模型的基础上进行优化，主要目的是提供准确的预测和防控，及实施的困难情况进行分析。我们在充分探讨早期模型的基础上，对SARS的传播原因和传播途径分析比较。SARS的传播过程受传染病人的多少、易受传染者的大小、传染率的大小、人口迁移、潜伏期的长短、个体的抵抗力大小、疾病的宣传力度等因素的影响。我们将从主要因素开始考虑，次要因素为辅建立优于早期的模型，对SARS进行更好的预防和控制。 问题三要求我们分析对国家经济造成的影响，附件三为北京接待海外游客的

SARS 数学建模

问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性(假设的合理，分析的合理，结果的合理)和实用性（对于实际应用上的作用）。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 第一问 早起模型的评析 一、早期模型的重述 ①模型的假设： 根据附件一中的模型，我们可以得出此模型具有如下假设

1)不考虑“非典”的潜伏期，感染非典后立即具有传染性； 2)当感染者有效接触健康者时，使健康者被感染； 3)整个“非典”发病期间政府不采取任何预防措施和隔离治疗措施； 4)忽略“非典病人的个体差异”，假设传染期为常数； ②早期模型建立： 假定初始时刻的病例数为N0，平均每位病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是： N（t）= N0 (1+K)t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。为了简单起见，从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出）。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据。 二、早起模型的合理性和实用性的简评 A.早期模型的优点： 1.模型简明 本模型主要有三个参数N0、K、L，且都具有实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：传染期L和传染率K，反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。 2.模型灵活 通过调整N0、K、L值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律 3.预测准确 通过模型对北京、广东与香港的疫情进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。 可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。 B.早期模型的缺点： 1.对于如何确定对于三个参数N0、K、L，未给出一般的原则或算法，只能通过对 于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述，K值是以病发高峰为界取各 段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的K值 是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出K值的。在我们对 该模型进行拟合事发现，对于N0、K、L作者未给出调整的标准和相关理论，所 以我们很难重复该求解过程。 2.当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于北京、广州、香港这 类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的K值不 同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人 口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法

2003年A题全国数学建模优秀论文5

测控SARS流行趋势的优化模型 齐秋锋魏杰万晓晨 指导教师谭欣欣等 摘要 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。 在本题中给出了一个早期指数模型，我们把它称为模型1，它在短期内有着计算参数简单等合理性与实用性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。 由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段主要还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数 r ，用来表示发病率。在假设所研究各地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合各地SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合实际上优于模型1。同时，我们也通过Matlab语言对北京、山西等的计算值和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。 当然，要建立一个最优模型还需要考虑更多因素，在考虑了传播途径及易感人群等因素后，也可以建立一个最优的SEIRQ模型。但这样考虑就需要大量的数据采集整理工作，但在实际中这是不易实现的。 在对卫生部所采取部分措施的评析中，我们引入了小世界网络模型，对政府措施作出了定量评论，并用图形直观的表示出来。 最后，我们分析了Logistic SARS模型的特点，并对其改进与应用做出了展望。 一、问题的重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响；不过，我们也从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律以及为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立自己的模型，说明此模型为什么优于附件1中的模型；特别地，要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供

SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文

SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

数学建模传染病模型剖析

传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合

MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在 所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小， 仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；

2003年SARS_病毒传染论文

SARS 的传播 周金华 黄梦丽 张龙 摘要： SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性 在本题中给出了一个早期数学模型，她在短期内有着计算参数简单等适用性和合理性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此我们考虑应该引进新的参数建立更优的模型。 由此我们建立了SIEPR 模型: 由上图示列方程: ?????? ???? ???????? ???=+++++-+=+=----=+-+=----=P R I E S N R P I E S P d Ie E dt dP P d dt dR eI kI T t I T t S dt dI E Ik S dt dE T t I T t S S E dt dS 0000. ,,,)(2)()()()21()()(1μβμλββσλσβ 此模型考虑到了健康人、自由带菌者、疑似病人、确诊病人、死亡者及回复者，比较全面的考虑到了疾病期间人员的组成，通过建立SIEPR 模型并考虑到实际情况很好的解决了题目的要求，为未来患病人数的预测、疾病的传播范围以及疾病对生产生活的影响作出了比较好的评价，很有实用价值。 求解模型所面对的困难 建立一个真正能够预测及为预防提供可靠的模型存在着一些困难， 1 ） 当疫情发生时，人们缺乏对疫情前期发展的数据记录，导致模型对整体情况的建立存在 偏差，而且对参数的取值和调整也存在一定的影响。 2 ） 在模型的建立过程中做一些假设和模型求解过程中作的近似也会对结果造成影响，因此对实际的预测也会存在误差。 3 ） 对于影响疫情的因素，比如人口的流动，公共卫生的情况等还需要更多具有实际意义的 确诊病人P 疑似者E 自由带菌者I 健康人S 治愈/ 死亡者 R α β2 β1 λ e μ d k

SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型 摘要 通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有 关参数。当λ 1=1.5 和λ 2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS 病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ 1 的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。 关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线 本文首先分析评价了附件1中SARS传播的数学模型，指出该模型可以对疫情走势进行预测,但同时也存在一定缺点，第一，混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念；第二，对参数的确定缺乏根据；第三，预测时借助了其他地区的参数，偏差较大. 本文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型. 该传播模型按政府开始控制的时刻分为控制前与控制后两个模型，两个模型均以潜伏期5天为周期，以一个周期为整体建立差分方程模型. 再结合5月15日以前北京疫情的公开数据，配合不同的政府监控力度，对整个北京的SARS疫情状况进行了预测.预计政府的监控力度一直保持在5月10日－5月15日的水平上时，6月10日－6月15日北京将会无新增病例，最后累积病例数为2993.对卫生部门采取的措施进行了评价：若提前或延后5天采取严格的隔离措施最后累计病例数分别为1300多与5200左右. 进一步通过对人群的不同分类，建立了两个微分方程组，可分别预测出实际发病人数、不可控/可控带菌者人数与当天疑似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治愈、死亡人数，结合两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通过搜集更多的数据和资料加以解决. 本文同时就外国来京旅游人数受SARS的影响，建立了模型，估算出4、5、6、7四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了94.8万人，旅游经济损在4.74亿美元至9.48亿美元之间.并预测出在2003年10月上旬，旅游人数将恢复到正常水平. 最后给报纸写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的必要性与重要性. 一、问题的提出公元2003年春天，一种叫SARS的病毒从天而降，降到人类赖以生存的星球，降到中国人的头上.SARS究竟是什么，它为什么会代给人类这么多的伤

数学建模—传染病模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

SARS的数学模型与分析

SARS的数学模型与分析 张小五牛双建王冬梅 指导教师：平顶山工学院数学建模辅导小组 摘要：本文研究了SARS疫情的预测问题。目的是建立数学模型反映SARS疫情的传播规律，在此情况上预测了SARS疫情的发展趋势和对经济的影响。本文首先就附件1的数学模型进行合理性和实用性的评价，并指出了它的不足之处。从这个模型我们受到启发，联想到人口预报的初步模型。按照人口模型建立的发展过程，我们相应地建立了逐步完善的SARS模型：指数模型，Logistic模型，SIR 模型。主要采用数据拟合的方法来确定模型中的参数。 对指数模型我们只作了一些定性的分析，重点讨论了Logistic模型，SIR模型。Logistic模型我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究，对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析。最后简要讨论了提前或延迟5天进行隔离对病情的影响。 模型（二）中我们先将函数反映到图形上，并结合图表对香港、北京两地的SARS疫情发展进行直观比较，得到了一些合理且有实用参考价值的数据。同时我们在建模过程中也遇到了一系列困难，对图表的分析能力不够，缺乏详细的流行病学方面的知识，很多参数的确定没经验概念，只能通过定性分析，简单假设，已知数据的拟合得到。 对问题3，SARS对旅游业的影响，我们把原来离散的时间（天）看成连续变量，从众多影响因素中提炼出对旅游业影响最大的两个因素，建立常微分方程模型。 最后简要写了一篇给当地报社的短文，意在阐述建立传染病模型的重要性。关键词：SARS 指数模型Logistic模型SIR模型曲线拟合 一、评价早期模型的合理性和实用性 附件一提供的模型中参数K和L具有比较明显的实际意义, 在参数的范围控制上比较合理。在程序设计过程中,K值的确定考虑到与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关,采用不同阶段不同取值的方法,很好地描述了这一现象。 其次该模型在已有数据的基础上拟合程度比较好，合理地反映了这一阶段香港疫情的实际情况。可以根据它的拟合曲线来预测近期内的病情走势，为政府和医疗机构提供一定的信息依据，使得他们能够对病人进行及时的管理和治疗，从而降低病毒在社会上的蔓延程度。

SARS传播的数学模型

《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书 一、设计目的 “数学建模与数学实验”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。 二、设计教学内容 1、生产计划制定 ; 2、利润最大化问题 ; 3、光纤铺设问题 ; 4、大学生的个人花费问题； 5、电站建设问题； ……… 26、印花税调整与证券市场； 27、学生成绩的综合评定； 28、人口问题； （28个中任选1个） 三、设计时间 2010—2011学年第一学期：第16周共计1周

目录 摘要 (1) 一．问题的提出 (1) 二．对早期模型的评价 (2) 三．传播模型 (2) 四．模型的评价和改进 (11) 五．参考文献 (12) 附件 (12)

SARS传播的数学模型 摘要 本文针对SARS的传播建立了数学模型。 首先，对附件1提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。 对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。通过对5月10日以前数据的拟合，并经过500次模拟，对北京的疫情进行了预测：7月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约2800多人。预测结果与实际情况符合得很好。 另外，改变有关参数，发现提前5天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约10天，累计人数降至1958人；若延迟5天采取措施，疫情将推迟11天，累计人数达4487人。根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。 对第三个问题，本文研究SARS 对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测9~12月份入境旅游人数分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。与往年同期相比，9月降低了23.5个百分点，10月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。 对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。 最后在模型的评价中，对该模型优于原附件1模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。 一、问题的提出 2002年至2003年，SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称非典型肺炎）悄然无息地靠近我们的生活，在潜伏一段时间后忽然爆发，在全球掀起了轩然大波。作为重灾区的国家之一，我国的经济发展和人民生活受到了很大的影响。我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。对此，要求对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下： 1、对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 2、对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明： (1) 为什么优于附件1中的模型； (2) 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做的困难之处。

传染病数学建模

第30题 传染病传播的数学模型 由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性： 设S k 表示在开始观察传染病之后第k 天易受感染者的人数，H k 表示在开始观察后第k 天传染病人的人数，I k 表示在开始观察后第k 天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么 S k +1=S k -0.01S k (1) H k +1=H k -0.2H k ＋0.01S k (2) I k +1=I k +0.2H k (3) 其中(1)式表示从第k 天到第k ＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k 天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H k (假设该病的患病期为5 (3)式表示在第k ＋1天免疫者的人数是第k 天免疫者的人数加上第k 天后病人痊愈的人数。 将(1)，(2)和(3)式化简得 如果已知S 0，H 0，I 0的值，利用上式可以求得S 1，H 1，

I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值， 这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S k ，H k ， I k的值。因此，我们把S k+1，H k＋1，I k+1和S k，H k，I k之间 的关系式叫做递推关系式。 现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 将上述数据(5)代入(4)式右边得 利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。 在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。例如，可以预测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。

数学建模论文_SARS传播的数学模型

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书 一、设计目的 “数学建模与数学实验”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。 二、设计教学内容 1、生产计划制定 ; 2、利润最大化问题 ; 3、光纤铺设问题 ; 4、大学生的个人花费问题； 5、电站建设问题； ……… 26、印花税调整与证券市场； 27、学生成绩的综合评定； 28、人口问题； （28个中任选1个） 三、设计时间 2010—2011学年第一学期：第16周共计1周

2003年全国数学建模优秀专业论文北京SARS的传播研究

小组成员

北京SARS的传播研究 摘要 SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中北京感染2847，我国给我过经济·社会带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS 的认识，疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。 为改善现状并提高人们对疾病的是SARS的认识，我们对北京市的SARS传播问题建立数学模型。 关键词：SARS 人群分类微分模型整体拟合 1、问题重述 1.1问题的背景

严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndromes），又称传染性非典型肺炎，简称SARS，是一种因感染SARS冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。主要通过近距离空气飞沫传播，以发热，头痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等为主要临床表现，严重者可出现呼吸窘迫。本病具有较强的传染性，在家庭和医院有显著的聚集现象。首发病例，也是全球首例。于2002年11月出现在广东佛山，并迅速形成流行态势 1.2问题的叙述 现阶段北京SARS的传播正处于高峰期。由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚，因此引起人们的恐慌，它关系社会的稳定和经济的发展。因此对该问题的研究非常有必要，我们把人口分成四类，即:健康人S(t)SARS病人I(t)病人免疫（包括死亡）的人R(t)及疑似病人P(t)四类人，利用现有数据着重从四类人口中：把该传染病进行统计学分析，归纳出主要特征通过假设，参数以及它们的相互联系，进行数据判定，数据假设，数据处理，数据分析，建立模型，数据总结等得出较为科学的SARS问题的分析， 相关信息（见附件1、2、3） 附件1SARS疫情分析及对北京走势的预测 附件2北京市疫情的数据 附件3北京市接待海外游客人数 附件4相关编程 1.3问题的提出 问题一：对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

基于灰色预测的SARS疫情影响的分析 - 模式识别数学建模论文

基于灰色预测的SARS疫情影响的分析 摘要 灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景。 2003年的SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影响。本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在2003年未发生疫情时的预测数据，与SARS疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果。然后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型及最小二乘法拟合模型进行分析，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分析，使得结果更加全面、客观。 一、问题的提出 2003 年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。 究竟SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2 和表3。

2 试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003 年SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。 二、问题的分析与假设 根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002 年的平均值预测2003年平均值； （2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。 给出下面两条假设： （1）假设该市的统计数据都是可靠准确的； （2）假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。

数学建模SARS

北京航空航天大学大学生数学建模选拔赛 2011年6月10日－6月12日 参赛题目A B （在所选题目上打勾） 北京航空航天大学教务处 数学建模指导组

摘要 论文解决问题的方法：论文中涉及到得方法有1：公式推导的方法（如：问题二中的新建SARS模型）:2：线性与非线性拟合，其中非线性拟合包括傅里叶拟合（运用于问题三中求解2003月份理论值）、指数拟合（运用于问题二中高峰前的模型建立）、自定义拟合（运用于问题二中高峰期后的模型建立）、折线图拟合（运用于旅游业影响度的分析）；3：对比法（运用于问题二中后期模型的建立和问题三中）；4：利用软件matlab进行模拟和求解（1、2、3均用到）； 主体结构： 问题1：对已有模型评价 问题2：新模型的建立，对模型进行分析和预测，如何建立更好的模型，对政府部门采取的措施的评价 问题3：模型的建立，对经济的损失的估计，2003年各月旅游影响度预算； 问题4：给报刊的一封信； 结论： 问题1：虽然模型能说明一些问题，但是模型缺少更合理和更连续的分析，k，L应为随时间变化的函数，实用性不高。 问题2：部门应该在高峰前一半时间内采取措施，这样有助于对潜伏期人数的降低。新建立的模型通过自然增长和后期等比下降能较为科学的说明一些问题。但模型还能进一步进行改进（比如寻求更好的L（t）、K（t）模拟）。政府采取的措施力度还应该加大，表现为隔离时间应该提前（具体见后面分析）； 问题3：由于“非典”的影响，北京2003年旅游外汇收入减少了16亿美元；通过（偏差比）的走势，我们分析出了2003年“非典”期间对海外游客的总体 影响趋势，计算可知，到2003年底，实际游客人数可恢复到理论值的90%以上。 关键词：SARS传播，隔离强度，matlab拟合，预测对比

2003SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型 摘要：我们以传统的微分方程为理论基础，从经典的传染病模型SIR模型入手，参考用2003 年6月以前的有关SARS的统计数据，对SARS病情的特殊性进行了分析，建立了描述SARS疫情传播的微分方程模型。还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数的确定方法，以及模型的数值解法。 关键词：SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合 SARS的简介： SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 与以往的传染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中的确诊者、不可控者、不可控者中转化为病人（感染）者。我们从经典的传染病模型SIR模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用 基本假设： 1. 除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的 人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。 2. 易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比。 3. 疾病的传染率为常数。 4. 不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入 5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。 6 .对于一个SARS康复者我们可以假设他二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。 符号说明： S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例 I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例 R(t) 为移出者在总人口中所占的比例 N(t) 为疑似者在总人口中所占的比例