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正十七边形尺规作图法

正十七边形尺规作图法

1、做半径为OA0的圆且OB垂直于OA0;

2、在OB上截OI=1/4OB,连I、A0;

3、做角OIE=1/4角OIA,交OA0于E;

4、做角EIF=45o,交OA0反向延长线于F;

5、以FA0为直径做圆交OB于K;

6、以E为圆心,EK为半径做圆交OA0于N3 、N5;

7、过N3、N5 做直径的垂线交圆O于A3 、A5,则A3 、A5为圆的17分之3、17分之5

点;

8、连A3 、A5,做弦A3 、A5的垂直平分线交圆O于A4,则A3A4为正十七边形边长。

华师大版-数学-八年级上册-尺规作图 导学案

13.4 尺规作图 学习目标: 1.掌握三种尺规作图的方法及一般步骤,并能熟练掌握基本作图语言。 2.通过动手操作、合作探究,培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。 3.激情投入,全力以赴,认识到尺规作图与实际生活的紧密联系,激发学习兴趣 重点:掌握作线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作已知角的平分线的作法。 难点:尺规作图的理论依据 导学过程 一.自主学习 预习课本 尺规作图定义: 二.作一条线段等于已知线段。 已知:线段MN =a ,求作一条线段等于a. 作法: (1) (2) (3) 三.作一个角等于已知角 已知:∠AOB 求作一个角等于∠AOB. 作法:(1)作 O 1P 1; (2)以O 为圆心,以 作弧, 交 ,交 ; (3)以 为圆心,以 作弧, 交 ; (4)以 为圆心,以 半径作弧,交 ; (5)经过 作 。则 即为所求的角。 O D C B A a M N a M N

想一想:为什么两个角相等?你会证明吗? 四.做已知角的角平分线 已知:∠AOB ,求作∠AOB 的平分线. 作法:(1)以O 为圆心,以适当长为半径画弧, 交OA 于C 点,交OB 于D 点; (2)分别以C 、D 两点圆心,以大于2 1CD 长为半径画弧,两弧相交于P 点; (3)过O 、P 作射线OP ,即为所求作的角平分线. 五.练习(尺规作图) 1.任意画出两条线段AB 和CD ,再作一条线段,使它等于 2.任意画出两个角∠1和∠2,使∠1 > ∠2,再作一个角,使它等于∠1—∠2 3.把下图所示的角四等分 4.已知:线段a 和b(a >b) 求作:一个等腰△ABC,使它的腰长等于线段a ,底边长等于b 。 O B A O

解读高斯正十七边形的作法(下)

解读高斯正十七边形的作法 正十七边形的尺规作法: 步骤1:在平面直角坐标系xOy 中作单位圆O 步骤2:在x 轴负半轴上取点N ,使|ON|= 41,易知|NB|=417,以N 为圆心,NB 为半径作弧,交x 轴于F 、F’,易知|OF|= 2a ,|OF’|=2b 步骤3:此时|FB|=122+?? ? ??a =242+a ,以F 为圆心,|FB|为半径作弧,交x 轴正半轴于G ,此时|OG|=2 422++a a =c 步骤4:.类似地,|F’B|=122 +?? ? ??b =242+b ,以F’为圆心,|F’B|为半径作弧,交x 轴正半轴于点G’,此时|OG’|=2422++b b =e 步骤5:以|CG’|为直径作圆,交y 轴正半轴于点H ,易知OH 2=1·e

步骤6:以H 为圆心, 21|OG|为半径作弧,交x 轴正半轴于点K ,则有|OK|=222OH OG -??? ??=222e c -?? ? ??=242e c -步骤7:以K 为圆心,|KH|=2 1|OG|为半径作弧,交x 轴正半轴于点L ,则|OL|=2 42e c c -+步骤8:取OL 的中点M ,则|OM|=4 42e c c -+=cos 172π步骤9:过点M 作y 轴的并行线交单位圆O 于两点A 2和A 17,则Α为正十七边形的第一个顶点,A 2为第二个顶点,A 17为第十七个顶点,从而作出正十七边形。 正十七边形边长的表达式 在上面得到的一系列等式: a =2171+-, b =2171--, c =242++a a ,e =2 42++b b ,cos 172π=4 42e c c -+中,依次求出c =4 17234171-++-,

实用文库汇编之数学 八年级上 尺规作图练习题

*作者:座殿角* 作品编号48877446331144215458 创作日期:2020年12月20日 实用文库汇编之图1 图2 1 用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是() A.(SAS)B.(SSS)C.(ASA)D.(AAS) 2 如图,下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法,在用尺规作角平分线过程中,用到的三角形全等的判定方法是() 作法:①以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E; ②分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内交于一点C; ③画射线OC,射线OC就是∠AOB的角平分线. A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 3 如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以 B、C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径画弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A=∠ EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④ 图3 图4 4 如图,分别以线段AC的两个端点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于B,D两点,连接BD,AB,BC,CD,DA,以下结论:①BD垂直平分AC;②AC平分∠BAD;③AC=BD;④四边形ABCD是中心对称图形. 其中正确的有()A.①②③B.①③④C.①② ④D.②③④第1页 5 观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是() A.PQ为∠APB的平分线B.PA=PB C.点A、B到PQ的距离不相 等D.∠APQ=∠BPQ

高斯与正十七边形

高斯与正十七边形 数学就象一棵美丽的星球,他那博大精深、简明透彻的数学美就是他的引力场。许许多多人类的精英被他的引力所吸引,投入他的怀抱为他献出了自己毕生的精力。被誉为“数学王子”的伟大数学家高斯就是其中之一。 高斯是个数学天才,幼年时巧妙地计算1+2+3+…+100为101×50=5050的故事几乎尽人皆知。其实,学生日期的高斯不仅数学成绩优异,而且各科成绩都名列前茅。小学毕业后,高斯考了文科学校。由于他古典文学成绩突出,入学后直接上了二年级。两年以后高斯又升入了高中哲学班。 15岁时,高斯在一位公爵的资助下上了大学-卡罗琳学院。在那里,他掌握了希腊文、拉丁文、法文、英文有丹麦文,又学会了代数、几何、微积分。语言学和数学是他最喜爱的两门课程。 18岁时,高斯进入了哥廷根大学深造。这时,高斯面临着一个非常痛苦的选择:是把语言学作为自己的终生事业?还是把数学作为自己的终生事业?两棵下不了决心进行最后的选择。 后来,一次数学研究上的突破改变了两个引力场的均衡。高斯终于下定决心,飞向了数学之星。 事情是这样的,尺规作图是几何学的重要内容之一,从古希腊开始,人们一直认为正多边形是最美的图形,因此,用尺规作图法能够作出哪些正多边形,历来就是一个极具魅力的问 题。到高斯的时代,人们已经解决了边数是n 23?、n 24?、n 25?、n 253??(=n 0,1, 2,3……)的正多边形的尺规作图问题。但是,还没有人能作出正7边形、正11边形、正17边形等等。很多人认为,当边数是大于5的素数时,那样的正多边形是不可以用尺规作图完成的。 高斯一直对正多边形尺规作图问题非常着迷。经过持久地,如醉如痴的思考与画图,于1796年3月30日,19岁的高斯出人意料地作出了正17边形。并且,他把正多边形作图问题与高次方程联系起来,彻底解决了哪些正多边形能作出,哪些正多边形不能作出。他证明 了一切边数形如122+t (=t 0,1,2,3,……)的正多边形都只可以作出,而边数为7、11、14,……的正多边形是作不出的。 正17边形作图问题不仅震撼了数学界,也震撼了高斯自己的心灵。他再也无法控制自己,在数学美的巨大引力的作用下,飞向了自己理想的星球-他选择了数学。 从此,高斯的数学成就象喷泉一样涌了出来。他在几乎所有的数学学科中留下了自己的光辉成就,成为伟大的数学家。 高斯直到晚年还十分欣赏使自己走上数学之路的正17边形,对数学美的赞叹与追求伴高斯渡过了他的一生。高斯逝世后,人们按照他的遗嘱,在他的雕像下面建立了一座正17边枎的底座,用他非常欣赏的《李尔王》中的诗句赞美道:“你,自然,我的女神,我要为你的规律而献身”。

华东版八年级数学上册教案 尺规作图教案

相关资料 13.4尺规作图 尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图: 1、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角; 3、作已知线段的垂直平分线; 4、作已知角的角平分线; 5、过一点作已知直线的垂线; 知识点一:作一条线段等于已知线段。 已知:如图,线段 a . 求作:线段 AB,使 AB = a . 作法: (1)作射线 AP; (2)在射线 AP 上截取 AB=a . 则线段 AB 就是所求作的图形。 知识点二:作一个角等于已知角。

知识点三:作已知线段的(垂直平分线)中点。 已知:如图,线段 MN. 求作:点 O,使 MO=NO(即 O 是 MN 的中点). 作法: (1)分别以 M、N 为圆心,大于 的相同线段为半径画弧, 两弧相交于 P,Q; (2)连接 PQ 交 MN 于 O. 则点 O 就是所求作的MN的中点。 PQ 就是MN 的垂直平分线 知识点四:作已知角的角平分线。 已知:如图,∠AOB, 求作:射线 OP, 使∠AOP=∠BOP(即OP 平分∠AOB)。作法: (1)以O 为圆心,任意长度为半径画弧, 分别交 OA,OB 于 M,N; (2)分别以 M、N为圆心,大于 的相同线段为半径画弧,两弧交∠AOB 内于P;(3)作射线 OP。

5,过一点作已知直线的垂线;分直线外和直线上 典型例题: 则射线 OP 就是∠AOB 的角平分线。 过程参考垂直平分线,其区别在于先找到直线上的一条线段,再作垂直平分线。直线上线段的确定可以先以这点为圆心,合适的长度画圆与直线有交点。 例1、已知线段a、b,画一条线段,使其等于a + 2b . 分析所要画的线段等于a + 2b ,实质上就是a +b +b . 画法:1.画线段AB =a .2.在AB 的延长线上截取BC = 2b .线段AC 就是所画的线段. 说明 1.尺规作图要保留画图痕迹,画图时画出的所有点和线不可随意擦去. 2.其它作图都可以通过画基本作图来完成,写画法时,只需用一句话来概括叙述基本作图. 例2、如下图,已知线段a 和b,求作一条线段AD 使它的长度等于2a-b. 图(1)图(2) 正解如图(2), (1)作射线AM;(2)在射线AM 上,顺次截取AB=BC=a; (3)在线段CA 上截取CD=b,则线段AD 就是所求作的线段. 例3、如图(1),已知直线AB 及直线AB 外一点C,过点C 作CD∥AB(写出作法,画出图形). 分析根据两直线平行的性质,同位角相等或内错角相等,故作一个角∠ECD=∠EFB 即可. 作法如图(2). 图(1)图(2) (1)过点C 作直线EF,交AB 于点F;(任意的直线EF,选取合适角度) 知识点

初中尺规作图详细讲解含图)

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们(或一部分)所组成的图形,因此作图的工具,习 惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图 有如下三条: ⑴经过两已知点可以画一条直线; ⑵已知圆心和半径可以作一圆; ⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆;或两已知圆,如果相交,可以求出交点; 以上三条,叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题;否则,就称为尺规作图不能问题. 历史上,最著名的尺规作图不能问题是: ⑴三等分角问题:三等分一个任意角; ⑵倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍; ⑶化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel)首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题;1882年,德国数学家林德曼(Ferdinand Lindemann)证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数),由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长)不可能用尺规作出,从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题: ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规,作正五边形. ·只使用直尺和圆规,作正六边形. ·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分.这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的,向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸: 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年,有人证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、

人教版八年级数学上册:尺规作图(习题及答案)

尺规作图(习题) 巩固练习 1.下列作图语言描述正确的是() A.延长线段AB至点C,使AB=AC B.过∠AOB内部一点P,作∠AOB的平分线 C.以点O为圆心,AC长为半径作弧 D.在射线OA上截取OB=a,BC=b,则有OC=a+b 2.已知边长作等边三角形. 已知:线段a. 求作:等边△ABC,使△ABC的三边长均为a. a 作法:(1)作线段_____________; (2)分别以______,______为圆心,_______为半径作弧,两弧交于________; (3)连接________,_________. ____________________. 3.按下列要求作图,保留作图痕迹,不写作法. 已知:如图,∠ABC. 求作:∠DEF,使∠DEF=3 2 ∠ABC. A 4.已知∠AOB=45°,点P在边OA上.请以点P为顶点,射线P A为一边作∠ APC=∠O(作出所有可能的图形).

5.如图,分别过A,B两个加油站的公路l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB 内建一个油库,要求油库的位置点P满足在两个加油站的连线上,且到两条公路l1,l2的距离相等.请用尺规作图作出点P(保留作图痕迹). 6.请画出草图,并根据图形完成下列各题: (1)在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过点B作BF∥AD交CA 的延长线于点F,则AF和AB的数量关系是_________________.

(2)在△ABC中,点D是BC上的一点,过D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,则∠EDF与∠A的数量关系是__________________. (3)已知,在锐角△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,若AD与CE所夹的锐角是58°,则∠ABC=______. (4)已知,在锐角△ABC中,∠BAC=50°,AD平分∠BAC交BC于点D,BE⊥AC于点E,若∠EBC=20°,则∠ADC= _______. 思考小结 阅读材料: 尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有次数限制.他因政治上的纠葛,被关进监狱,并被判处死刑.在监狱里,他思考改圆成方以及其他有关问题,用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具,只能用一根绳子画圆,用随便找来的破木棍作直尺,当然这些尺子上不可能有刻度.另外,对他来说,时间是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.

正十七边形做法及证明.

步骤一: 给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 作C点使OC=1/4OB, 作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度 步骤二: 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点, 此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三: 过G4作OA垂直线交圆O于P4, 过G6作OA垂直线交圆O于P6, 则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明:

设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17/4,y=(-1-根号17/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17/4 y1+y2=(-1-根号17/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

青岛版八年级上册尺规作图

§1.3尺规作图(第一课时)主备教师:毛秀英审核:初二数学组 【学习目标】 1、要掌握尺规作图的方法及一般步骤。 2、通过“作图题”练习,提高学生的几何语言表达能力。 3、通过画图,培养学生的作图能力及动手能力。 【学习重点】熟练掌握相等角的作图,作图时要做到规范使用尺规,规范使用作图语言,规范地按照步骤作出图形。 【学习难点】作图语言的准确应用,作图的规范与准确。 【学习过程】 忆一忆: 前面我们学习了用直尺和圆规作一条线段,使它与已知线段相等,那么我们来回忆一下,是怎样用不带刻度的直尺和圆规作出线段AB=a ? 作法总结: _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ 学一学: 学生阅读教材,并回答问题: (1)什么是尺规作图?(2)什么是基本作图? 一些复杂的尺规作图,都是由基本作图组成的,前面我们学过的用尺规作 基本作图。

议一议: 如图,已知∠AOB,用直尺和圆规作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB。 作法: (1)作射线O′A′. (2)以点___为圆心,以____ 为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D. (3)以点_____为圆心,以____长为半径画弧,交O′A′于点C′. (4)以点_____为圆心,以_____长为半径画弧,交前面的弧于点D′. (5)过点D′作射线______∠A′O′B′就是所求作的角. 想一想:∠A′O′B′=∠AOB吗?如何验证?(小组交流) 【当堂检测】 做一做: 1.已知:线段AB和CD,求作线段a,使a=AB-CD. 2.已知:钝角∠ABC, 求作:∠ABC′ 使∠ABC′=∠ABC . 【课堂小结】 本节课你一定有很多收获,大家一起交流一下吧! 【课后反思】 §1.3尺规作图(第二课时) 主备教师:毛秀英审核:初二数学组 【学习目标】 1、要掌握尺规作图的方法及一般步骤。 2、通过“作图题”练习,提高学生的几何语言表达能力。 3、通过画图,培养学生的作图能力及动手能力。

初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们(或一部分)所组成的图形,因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条: ⑴ 经过两已知点可以画一条直线; ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆; ⑶ 两已知直线;一已知直线和一已知圆;或两已知圆,如果相交,可以求出交点; 以上三条,叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题;否则,就称为尺规作图不能问题. 历史上,最著名的尺规作图不能问题是: ⑴ 三等分角问题:三等分一个任意角; ⑵ 倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍; ⑶ 化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel)首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题;1882年,德国数学家林德曼(Ferdinand Lindemann)证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数),由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长)不可能用尺规作出,从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题: ⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规,作正五边形. ·只使用直尺和圆规,作正六边形. ·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分.这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的,向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸: 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的 表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年,有人证明:如果把“作直线”解释

17边形画法

步骤一: 给一圆O,作两垂直的半径OA、OB, 作C点使OC=1/4OB, 作D点使∠OCD=1/4∠OCA, 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。 步骤二: 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点, 再以D为圆心,作一圆过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三: 过G4作OA垂直线交圆O于P4, 过G6作OA垂直线交圆O于P6, 则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点。 连接P4P6,以1/2弧P4P6为半径,在圆上不断截取,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a

故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

数学-八年级上-尺规作图练习题Document

数学-八年级上-尺规作图练习题Document

图1 图2 1 用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是() A.(SAS)B.(SSS)C.(ASA)D.(AAS) 2 如图,下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法,在用尺规作角平分线过程中,用到的三角形全等的判定方法是() 作法:①以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E; ②分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内交于一点C; ③画射线OC,射线OC就是∠AOB的角平分线. A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 3 如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径画弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠ A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是() A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④ 图3 图4 4 如图,分别以线段AC的两个端点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于B,D两点,连接BD,AB,BC,CD,DA,以下结论:①BD垂直平分AC;②AC平分∠BAD;③AC=BD;④四边形ABCD是中心对称图形. 其中正确的有()A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④第1页

5 观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是() A.PQ为∠APB的平分线B.PA=PB C.点A、B到PQ的距离不相等D.∠APQ=∠BPQ 图5 图7 图8 6 已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条 7 尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于C,D,再分别以点C,D 为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP的根据是()A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 8 如图,点C在∠AOB的边OB上,用尺规作出了∠BCN=∠AOC,作图痕迹中,弧FG是() A.以点C为圆心,OD为半径的弧B.以点C为圆心,DM为半径的弧 C.以点E为圆心,OD为半径的弧D.以点E为圆心,DM为半径的弧 9 如图,在△ABC中,按以下步骤作图: ②分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点; ②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为. 图9 图10 10 如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=70°,分别以点A、C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,分别交AC、B C于点D、E,连结AE,则∠AED的度数是°.第2页

八年级数学尺规作图

§19.3 尺规作图(1) 一、教学目标 1.了解尺规作图. 2.掌握尺规的基本作图:画一条线段等于已知线段,画一个角等于已知角. 3.尺规作图的步骤. 4.尺规作图的简单应用,解尺规作图题,会写已知、求作和作法. 二、教学重点 画图,写出作图的主要画法. 三、教学难点 写出作图的主要画法,应用尺规作图. 四、教学方法 引导法,演示法. 五、教学过程 (一)引入 直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟悉的工具,大家都知道用直尺可以画线,用量角器可以画角,用圆规可以画圆. 请大家画一条长4cm的线段,画一个48°的角,画一个半径为3cm的圆. 如果只用无刻度的直尺和圆规,你还能画出符合条件的线段、角吗? 实际上,只用无刻度的直尺和圆规作图,在数学上叫做尺规作图. (二)新课 1.画一条线段等于已知线段. 请同学们探索用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知的线段. 已知线段a,用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知线段a. 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 例1 已知三边作三角形. 已知:线段a、b、c.(画出三条线段a、b、c) 求作:△ABC,使得三边为线段a、b、c. 作法:(1)画一条线段AB,使得AB=c. (2)以点A为圆心,以线段b的长为半径画圆弧;再以点B为圆心,以线段a的长为半径画圆

弧;两弧交于点C. (3)连结AC,BC. △ABC即为所求. 2.画一个角等于已知角. 请同学们探索用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角. 已知角∠MPN,用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN. 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 作法: (1)画射线OA. (2)以角∠MPN的顶点P为圆心,以适当长为半径画弧,交∠MPN的两边于E、F. (3)以点O为圆心,以PE长为半径画弧,交OA于点C. (4)以点C为圆心,以EF长为半径画弧,交前一条弧于点D. (5)经过点D作射线OB. ∠AOB就是所画的角.(如图) 注意:几何作图要保留作图痕迹. 探索如何过直线外一点做已知直线的平行线; 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 例2 根据下列条件作三角形. (1)已知两边及夹角作三角形; (2)已知两角及夹边作三角形; 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法(顺序). 练习:教材第82页练习第1、2题. (三)小结 请同学们自己对本课内容进行小结. (四)作业 习题1、2题.

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尺规作图:正十七边形 2009-09-07 17:24:09 尺规作图是指使用圆规和没有刻度的直尺在有限步骤内的作图问题。看似几何问题,实则是一 个代数问题。比如要作一个角等于π/3,就是在给定的线段的垂直平分线上截取长度为√3/2的 线段,而作一条直线的垂线则是给定复平面上的一个点z=1,作出z'=√(-1)这个点。把这个 说法更一般化一点,尺规作图问题可以描述成:在复平面上给定那个点z_0,z_1,……,z_n(这 些点的共轭可以得到),求复平面上全体可有这些点出发经直尺和圆规在有限步骤内可作出的 点(数)的集合M。如果z∈M,即z可作,则z是F[x]中一个2^t次多项式的根, F=Q(z_0,z_1,……,z_n,\bar(z_0),\bar(z_1),……,\bar(z_n)),其中Q为有理数域,\bar(z_k)为 z_k的共轭,1≤k≤n。 现在来看一下所谓的尺规作图三大难题。 1,三等分角。给定一个角θ,要得到α=θ/3,即作出cos(α)。而我们有 cos(θ)=cos(3α)=4cos(α)^3-3cos(α), 令cos(α)=a,cos(3α)=b为已知,则有 (2a)^3-3(a)-2b=0, 在一般情况下,这个方程不一定是可约的(如取θ=π/3),在这时2a不可做,因为他不可能是一个2^t次多项式的根。除此之外尚有很多可以被三等分的角,如只要n不是3的倍数,则 α=π/3必可三等分。事实上n和3互素,因此存在证书u和v,是的3u+nv=1,1/3n=u/n+v/3,所以α/3=π/3n=uπ/n+vπ/3,π/n和π/3都可作,所以α/3也可作。 2,倍立方。即做一个正方体的体积是原正方体体积的2倍,相当于要作出x^3-2等于0的根,同1,这是不可能的。 3,化圆为方。即作一个正方形使其面积等于给定的原的面积。这相当于要作出x^2-π=0的根。但是π不是代数数,即不是任何多项式的根,所以√π也是不可作的。 尺规作图里面还有一个经典的问题,作正n边形。比如正三角形,正四边形,正五边形,正六 边形,正八边形,这些都是很容易就能做出来的,但是很长时间内人们找不到作正七变形和正 九边形的方法。这一领域的下一个进展是1796年,高斯给出了正十七边形的作法。1801年,高斯证明了如果k是费马素数,那么就可以用直尺和圆规作出正十七边形。事实上可进一步推 广为如下结论:正n边形可作当且仅当n=(2^e)p_1p_2...p_r,e为非负整数,p_k为费马素数 1≤k≤r。可以做如下简单的思考:要作正n边形,实际上就是要作n次本原单位根ω,使得 ω^n-1=0。又[Q(ω):Q]=φ(n),根据前面的讨论知φ(n)必为2^t的形式。若n=(2^e)(p_1) ^a_1(p_2)^a_2...(p_r)^a_r,则φ(n)=(2^(e-1))(p_1-1)(p_1)^(a_1-1)(p_2-1)(p_2)^(a_2-1)...(p_r-1)(p_r)^(a_r-1),要使其为为2^t的形式必有p_k为费马素数且a_k=1,1≤k≤r。 所谓费马素数是指形为F_n=2^(2^n)+1形式的素数。当初费马猜想所有这种形状的数都是素数,他验证了前五个3,5,17,257,65537,这些都是素数。但是1738年欧拉证明了当n=5时,F_5=4294967297=641*6700417,因此他不是素数。事实是此后人们再也没有发现其他的费马素数,甚至猜想费马素数只有费马当初验证的5个数。

数学 八年级上 尺规作图练习题Document

图1 图2 1 用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是() A.(SAS)B.(SSS)C.(ASA)D.(AAS) 2 如图,下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法,在用尺规作角平分线过程中,用到的三角形全等的判定方法是() 作法:①以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E; ②分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内交于一点C; ③画射线OC,射线OC就是∠AOB的角平分线. A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 3 如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径画弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A= ∠EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是() A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④ 图3 图4 4 如图,分别以线段AC的两个端点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于B,D两点,连接BD,AB,BC,CD,DA,以下结论:①BD垂直平分AC;②AC平分∠BAD;③AC=BD;④四边形ABCD是中心对称图形. 其中正确的有()A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④第1页

5 观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是() A.PQ为∠APB的平分线B.PA=PB C.点A、B到PQ的距离不相等D.∠APQ=∠BPQ 图5 图7 图8 6 已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条 7 尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于C,D,再分别以点C,D 为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP的根据是()A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 8 如图,点C在∠AOB的边OB上,用尺规作出了∠BCN=∠AOC,作图痕迹中,弧FG是() A.以点C为圆心,OD为半径的弧B.以点C为圆心,DM为半径的弧 C.以点E为圆心,OD为半径的弧D.以点E为圆心,DM为半径的弧 9 如图,在△ABC中,按以下步骤作图: ②分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点; ②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为. 图9 图10 10 如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=70°,分别以点A、C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,分别交AC、B C于点D、E,连结AE,则∠AED的度数是°.第2页

华东师大版八年级数学上册《尺规作图》教案

《尺规作图》教案 教学目标 1、了解尺规作图. 2、掌握尺规的基本作图:画一条线段等于已知线段,画一个角等于已知角. 3、尺规作图的步骤. 4、掌握尺规的基本作图:画角平分线; 5、尺规作图的简单应用,解尺规作图题,会写已知、求作和作法,掌握准确的作图语言; 6、经过一已知点作已知直线的垂线; 7、作已知线段的垂直平分线. 教学重点 画图,写出作图的主要画法,并完成作图. 教学难点 写出作图的主要画法,应用尺规作图. 教学方法 引导法,演示法. 教学过程 【一】 (一)引入 直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟悉的工具,大家都知道用直尺可以画线,用量角器可以画角,用圆规可以画圆. 请大家画一条长4cm的线段,画一个48°的角,画一个半径为3cm的圆. 如果只用无刻度的直尺和圆规,你还能画出符合条件的线段、角吗? 实际上,只用无刻度的直尺和圆规作图,在数学上叫做尺规作图. (二)新课 1.画一条线段等于已知线段. 请同学们探索用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知的线段. 已知线段a,用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知线段a. 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 已知三边作三角形. 已知:线段a、b、c.(画出三条线段a、b、c) 求作:△ABC,使得三边为线段a、b、c.

作法:(1)画一条线段AB,使得AB=c. (2)以点A为圆心,以线段b的长为半径画圆弧;再以点B为圆心,以线段a的长为半径画圆弧;两弧交于点C. (3)连结AC,BC. △ABC即为所求. 2.画一个角等于已知角. 请同学们探索用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角. 已知角∠MPN,用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN. 请同学们参照课本,交流、归纳出具体的作图方法. 作法:(1)画射线OA. (2)以角∠MPN的顶点P为圆心,以适当长为半径画弧,交∠MPN的两边于E、F. (3)以点O为圆心,以PE长为半径画弧,交OA于点C. (4)以点C为圆心,以EF长为半径画弧,交前一条弧于点D. (5)经过点D作射线OB. ∠AOB就是所画的角.(如图) 注意:几何作图要保留作图痕迹. 探索如何过直线外一点做已知直线的平行线; 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法. 根据下列条件作三角形: (1)已知两边及夹角作三角形; (2)已知两角及夹边作三角形; 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法(顺序). 练习: (三)小结 请同学们自己对本课内容进行小结. 【二】 (一)引入 我们已熟悉尺规的基本作图:画一条线段等于已知线段,画一个角等于已知角,那么利用尺规还能画角平分线吗? (二)新课

八年级尺规作图

N M B O A ③ A'N' B'M'O' A' 尺规作图 五种基本作图: 1、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角; 3、作已知线段的垂直平分线; 4、作已知角的角平分线; 5、过一点作已知直线的垂线; 1.题目一:作一条线段等于已知线段。 已知:如图,线段a . 求作:线段AB ,使AB = a . 作法:⑴作射线AP ; ⑵在射线AP 上截取AB=a 。 则线段AB 就是所求作的图形。 2.题目二:作已知线段的中点。 已知:如图,线段MN. 求作:点O ,使MO=NO (即O 是MN 的中点). 作法:⑴分别以M 、N 为圆心,大于 的相同线段为半径画弧, 两弧相交于P ,Q ; ⑵连接PQ 交MN 于O 。 则点O 就是所求作的MN的中点。 3.题目三:作已知角的角平分线。 已知:如图,∠AOB , 求作:射线OP, 使∠AOP =∠BOP (即OP 平分∠AOB )。 作法:⑴以O 为圆心,任意长度为半径画弧,分别交OA ,OB 于M ,N ; ⑵分别以M 、N为圆心,大于 的相同线段为半径画弧, 两弧交∠AOB 内于P; ⑶作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 4.题目四:作一个角等于已知角。 已知:如图,∠AOB 。 求作:∠A ’O ’B ’,使∠A ’O ’B ’=∠AOB 作法:(1)作射线O ’A ’; (2)以O 为圆心,任意长度为半径画弧,交OA 于M ,交OB 于N ; (3)以O ’为圆心,以OM 的长为半径画弧,交O ’A ’于M ’; (4)以M ’为圆心,以MN 的长为半径画弧,交前弧于N ’; (5)过点N ’画射线O ’B ’,则∠A ’O ’B ’ =∠AOB 。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 5.题目五:已知三边作三角形。 已知:如图,线段a ,b ,c. 求作:△ABC ,使AB = c ,AC = b ,BC = a.

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