数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步
第二十二章 各种积分间的联系与场论初步
§1 各种积分间的联系
1．应用格林公式计算下列积分：
（1）ydx x dy xy L ?-2
2
，其中L 为椭圆22a x +22
b
y =1取正向；
（2）,)()(?-++L
dy y x dx y x L 同（1）
； （3）dy y x dx y x L
)()
(222
+-+?， L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取
正向；
（4）
,1,)()(223333=+--+?y x L dy y x dx y x L
为取正向；
（5）,sin sin ydy e
xdx e x
L
y
-+?
L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤, 的边界，取正向；
（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e L xy
+++++?
其中L 是任意逐段光滑闭曲
线．
解（1）原式 =
()()
d xdy y x dxdy x y
D
D
????+=--2222
)(
=ab
()
r dr r b r a d ??
+1
22222220
sin cos θθθπ
（广义极坐标变换）
=()
)(3
sin cos 312
2202222b a ab d b a ab +=+?πθθθπ．
（2）?-++L
dy y x dx y x )()(=??=-D
dxdy 0)11(．
（3）原式 ??+-=
D
dxdy y x x ))(22(
???
? ??+-=-=??????-+-+215
2
31143124322y
y y y D dx ydy dx ydy ydxdy
9
143
))5(127)(47(225222
1
-
=-+--=??
dy y y dy y y ． （4）原式π23)(3)33(2
222-=+-=--=
????D
D dxdy y x dxdy y x ． （5）原式 dxdy x e y e D
y x ??--=
-)cos sin ( )cos sin (????+-=-b
a
d c
d
c
ydy b a
x
e dx x ydy dx e
)sin )(sin ()cos )(cos 11(
a b e e c d e
e c d b a --+--=．
（6）)]cos(sin [),(y x xy y e y x P xy ++=，)]cos(sin [),(y x xy x e y x Q xy
++=，
)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy x ye x
Q
xy xy --++++=?? )]sin()cos(sin )cos (sin [y x y x y xy xy xy xy e xy --+++=，
)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy y xe y
P
xy xy +-++++=?? )]sin(cos sin )cos (sin [y x xy x xy xy xy xy e xy +-+++=，
)cos()(y x x y e y
P
x Q xy +-=??-??， 所以，
原式??+-=
D
xy dxdy y x x y e ,)cos()( 其中D 为L 包围的平面区域． 2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积： （1）双纽线
θ2cos 22a r =；
（2）笛卡尔叶形线)0(33
3
>=+a axy y x ；
（3）t t a x sin )cos 1(2
+=，t t a y cos sin 2
?=，π≤≤20t ． 解（1）????==
1
2||D D
dxdy dxdy D ?-?
=L ydx xdy 2
1
2 ?=
--=44
)]sin (sin cos cos [ππθθθθθd r r r r 244
244
22cos a d a d r ===??-
-
πππ
πθθθ，
其中1D 由θ=2cos 2
2a r ，4
4π
≤θ≤π-
所围成． （2）作代换,tx y =则得曲线的参数方程为3
13t
at
x +=，3213t at y +=．所以， dt t t a dx 233)1()21(3+-=，dt t t at dy 2
33)
1()
2(3+-=， 从而，dt t t a ydx xdy 2
32
2)1(9+=
-，于是，面积为 D =?C
x y y x d -d 21
=
dt t t a ?
∞
++0
2
322)1(29=2
2
3a ．
（3）D =
?-c
ydx xdy 2
1=
{}
?-++?--?+π20
22322
]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos
1(2
1dt
t t t t t a t t a t t t a t t a
{}
?π-++?--?+20
22322
]s i n )s i n (c o s 2c o s )c o s 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos
1(2
1dt t t t t t a t t a t t t a t t a
=21tdt t t a 2cos )cos 1(sin 220
22
+?
π
=24
a π 3．利用高斯公式求下列积分：
（1）
y x z x z y z y x s
d d d d d d 222++??.其中 （a ）S 为立方体a z y x ≤≤,,0的边界曲面外侧； （b ）S 为锥面)0(2
2
2
h z z y x ≤≤=+,下侧. 解：（a ）y x z x z y z y x s
d d d d d d 2
22++?? =2??++v
dxdydz z y x )(
=2
??
?++a
a
a dz z y x dy dx 0
00
)(
=4
3a
(b)补充平面1S :h z h y x =≤+,2
2
2
的上侧后，1S S +成为闭曲面的外侧, 而
??
++12
22S dxdy z dzdx y dydz x =??xy
D dxdy h 2=22h h π?= π4h 所以 : ??++S
dxdy z dzdx y dydz x 222+π4
h =
??+++1
222
S S dxdy z dzdx y dydz x
=2
z y x z y x V
???++d d )d (
=2
??xy
D dxdy ?
+++h y x z z y x 2
2)d (
=
??++xy
D y x y x y x y x h
y x h d )]d (- )+2(-+)+([222222
=
?
?π
-θ+θ-+θ+θθ20
222])sin (cos 2)sin (cos 2[h
rdr r r h hr d
=12
14h θ+θ+θ?
π
d 20
)3sin 2cos 2(=
2
π4
h 所以 ??++S
dxdy z dzdx y dydz x 222=442h h π-π=42h π- （2）
??++S
dxdy z dzdx y dydz x 3
33, 其中S 是单位球面的外侧； 解：
??++S
dxdy z dzdx y dydz x 3
33=3???++V
z y x z y x d d )d ( =3
?
??π
πρρ??θ20
1
4sin d d d
=
5
12
π （3）设S 是上半球面222y x a z --=
的上侧，求
（a ）??++S
y x z x z y z y x d d d d d d
(b)
??++-+S
y x z y xy x z z y x
z y xz d )d (2d )d (d d 222
2
解：补充平面1S ：2
2
2
,0a y x z ≤+=，下侧后，1S S +成为闭曲面的外侧，而 （a ）
??=++1
0S zdxdy ydzdx xdydz
所以
??=++S
zdxdy ydzdx xdydz ??+=++1
S S zdxdy ydzdx xdydz 3???V
dxdydz
=2
1
3433?π?
a =2π3a (b) ??++-+1
d )d (2d )d (d d 2
222S y x z y xy x z z y x z y xz
=
??xy
D xydxdy 2=2?
π
20
d θ
r r a
?
θθ0
3d cos sin =0
所以
??
++-+S
y x z y xy x z z y x z y xz d )d (2d )d (d d 2222 =
??
+++-+1
d )d (2d )d (d d 2222S S y x z y xy x z z y x z y xz =
???++V
dxdydz z y x )(2
22 =?
π
20
d θ
?
2
π
sin ?d ?
?
a
4 d ρρ=55
4
a π
（4）
??+-++-++-S
y x y x z x z x z y z y y x d )d (d )d (d )d z (2
22222, S 是 2
2
2
2
)()()(R c z b y a x =-+-+- 的外侧.
解：
??+-++-++-S
y x y x z x z x z y z y y x d )d (d )d (d )d z (2
22222, =3
???V
dxdydz =V 3=3
343R π?=4π3R 4．用斯托克斯公式计算下列积分： （1）
?
++L
zdz dy dx y x 32, 其中
（a ）L 为圆周0,
2
2
2
==+z a y x ，方向是逆时针；
（b ）L 为y x z y ==+,12
2
所交的椭圆，沿x 轴正向看去，按逆时针方向； 解： （a ）取平面0=z 上由交线围成的平面块为S ，上侧，由Stokes 公式
?
++L
zdz dy dx y x 32=??
S
z
y x z y x dxdy
dzdx dydz
1///32??????
=??-S
dxdy y x
22
3
=?
?
----a
x a x
a dy y dx x 0
22
2
22
2
3
=dx x a x a
3
2
2
2
)(2?
--
=616
a π-
（b ）取平面y x =上由交线围成的平面块为S ，上侧，由由Stokes 公式
?
++L
zdz dy dx y x 32=??
??
????S
z
y x z y x dxdy dzdx dydz 132
=??-S
dxdy y x 2
23
=??-xy
D dxdy y x 2
23
=616
a π
-
（2）dz y x dy x z dx z y L )()()(-+-+-?
，L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 至),0,0(a 回到)
0,0,(a 的三角形；
解： 三角形所在的平面为a z y x =++，取平面a z y x =++上由以上三角形围成的平面块为
S ，取上侧，由stokes 公式
dz y x dy x z dx z y L
)()()(-+-+-?
=
??
---??
????S
y
x x z z y z y x dxdy dzdx dydz =??++-S dxdy dzdx dydz 2
=2-（??S
dydz +??S
dzdx +??S
dxdy ）
=2-（
??yz
D dydz +??zx
D dzdx +??xy
D dxdy ）
=2
3a - （3）
dz y x dy y x dx z y
L
)()()(222222
+++++?，其中
（a ）L 为1=++z y x 与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则； （b ）L 是曲线Rx z y x 22
2
2
=++, rx y x 22
2
=+ (0,0>< 面的上侧构成右手法则； 解：（a ）中取平面1=++z y x 上与三坐标面交线所围平面块为S ，上侧；（b ）中取曲面 Rx z y x 2222=++上由L 所围曲面块为S ，上侧， 则由stokes 公式，得 dz y x dy y x dx z y L )()()(222222+++++? = ?? +++?? ????S y x x z z y z y x dxdy dzdx dydz 2 22222 ??-+-+-=S dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(2 =2))()()((dxdy y x dzdx x z dydz z y S S S ??????-+-+- 则（a ） ? +++++L dz y x dy z x dx z y )()()(222222 = dS y x x z z y S ??γ-+β-+α-]cos )(cos )(cos )[(2 =0 （因为cos α=cos β=cos γ= 3 1） （b ） 注意到球面的法线的方向余弦为： R R x -= αcos , R y =βcos ，R z =γcos ，所以 dz y x dy z x dx z y L )()()(222222+++++? =2??-+-+-S dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(γβα =2 ??-S dS y z )( 由于曲面S 关于oxz 平面对称，故 ??=S ydS .0 又 ????π?=γ=S S r R dS R zdS 2cos 于是dz y x dy z x dx z y L )()()(222222+++++? =22r R π （4） xdz zdy dx y L ++? ，L 是2222a z y x =++，0=++z y x ，从x 轴正向看去圆周是逆时 针方向． 解：平面0=++z y x 的法线的方向余弦为 cos 3 1cos cos = ==γβα，于是， dS x z y z y x xdz zdy ydx L S ????? ????γ βα=++cos cos cos =??++- S dS )cos cos (cos γβα=3 32 a π-=2 3a π- 5. 设L 为平面上封闭曲线L ,l 为平面的任意方向，证明：? =L ds l n 0),cos(，其中n 是L 的外法 线方向。 证明：不妨规定L 的方向为逆时针的，以t 表示，由于夹角),(),(),(x n x l l n -= 故得),cos(l n =),cos(x l ),cos(x n +),sin(x l ),sin(x n 但 ),cos(]2),sin[(),sin(x t x t x n -=π - = ),sin(]2 ),cos[(),cos(x t x t x n =π-= 且 ds dy x t ds dx x t = =),sin(,),cos( ，因此，有：.),sin(),cos(),cos(dx x l dy x l ds l n -= 再利用Green 公式，并注意到),sin(x l 和),cos(x l 均为常数，即得 ????==+-=L L D dxdy dy x l dx x l ds l n 00]),cos(),sin([),cos( ６．设Ｓ是封闭曲线，l 为任意固定方向，证明：0),cos(=??dS l n S . 证明：因为 ),c o s (c o s ),c o s (c o s ),c o s (c o s ),c o s (z l y l x l l n γ+β+α= 其中γβαcos ,cos ,cos 为n 的方向余弦，故有 ????++=S S dxdy z l dzdx y l dydz x l dS l n ),cos(),cos(),cos(),cos( 而l 为固定方向，从而),cos(),,cos(),,cos(z l y l x l 均为常数，于是由Ｇauss 公式，得 ????????==??+??+??=V S V dxdydz dxdydz z z l y y l x x l dS l n 00)),cos(),cos(),cos((),cos( 7． 求I= ? +L ds y n y x n x )],cos(),cos([ , L 为包围有界区域D 的光滑闭曲线，n 为L 的外发向。 解： 设 为τ 曲线L 的逆时针切线方向，则2),(),π+ =τx n x （，即：2 ),(),(π -τ=x x n 而),(2),(2),(),(y y n y n y τ-π=?π= +τ 所以，ds dy x x x n =τ=π-τ=),sin(]2),cos[(),cos( ),sin()],(2cos[),cos(y y y n τ=τ-π= =ds dx x -=τ-),cos( 于是 I =||2)],cos(),cos(D ydx xdy ds y n y x n x l l =-=+?? 8. 证明Gauss 积分 ?=l ds r n r 0) ^,cos( ，其中L 是平面一单连通区域σ的边界，而r 是L 上一点 到σ外某一定点的距离，n 是L 的外法线方向.又若r 表示L 上一点到σ内某一定点的距离，则这 个积分之值等于2π. 证明： 设n 与ox 轴夹角为α，r 与ox 轴的夹角为β， 则βα-=)^,(n r 于是 βα+βα=sin sin cos cos )^,cos(n r ,并设曲线上的点为),(ηξ,曲线外一点为 ),(y x ，则r y r x ) (sin ,)(cos -η= β-ξ= β 所以 α-η+α-ξ=sin cos )^,cos(r y r x n r ==??ds r n r n r u l ),cos()^,( ds r x r y L ?α-ξ+α-η)cos sin (22 =ξηηξd r y d r x l 22) ()(---? 令 2 2) (,)(r x Q r y P -=--=ξη ， 则有422)()(r y x P -η+-ξ-=η??，4 22)()(r y x Q -η+-ξ-=ξ?? 因而P ,Q 的偏导数除去点),(y x 外，在全平面上是连续的，且 η ξ??= ??P Q 于是，利用Green 公式，当点),(y x 在σ外一点时，有0) ^,cos(),(==?ds r n r y x u l 当),(y x 在σ内时，则在σ内以),(y x 为圆心，以R 为半径作一小圆l ， 即得 ?-+=l L ds r n r 0)^,cos( 即ds r n r L ?)^,cos( =ds r n r l ?) ^,cos( 即 ds r n r y x u L ?=)^,cos(),( =??==l l ds R ds r n r π21 )^,cos( 9． 计算Gauss 积分dS r n r S ??2 ),cos( ，其中S 为简单封闭光滑曲面，n 为曲面S 上在点（ζηξ,,）处的外法向，||,)()()(r r k z j y i x r =-ζ+-η+-ξ=. 试对下列两种情形进行讨论： （1）曲面S 包围的区域不含),,(z y x 点； （2）曲面S 包围的区域含),,(z y x 点. 解： 设n 的方向余旋为cos α,cos β,cos γ，则 ),cos(cos ),cos(cos ),cos(cos ),cos(ζγ+ηβ+ξα=r r r r n ηξζ+ξζη+ζηξ=????d d r r d d r r d d r r dS r n r S S 2222) ,cos(),cos(),cos(),cos( 而：r x r -ξ= ξ),cos( ，r y r -η=η),cos( ，r z r -ζ=ζ),cos( ， 所以，ηξ-ζ+ξζ-η+ζη-ξ=????d d r z d d r y d d r x dS r n r S S 3332),cos( 由于5223)(3)(r x r r x -ξ-=-ξξ??，5223)(3)(r y r r y -η-=-ηη??，5 2 23)(3)(r z r r z -ζ-=-ζζ?? 这些偏导数除去0=r 即),,(z y x 点外。在全空间是连续的，且 )(3r x -ξξ??+)(3r y -ηη??+)(3r z -ζζ??5 22522522)(3)(3)(3r z r r y r r x r -ζ-+-η-+-ξ-= =0 于是（1）当曲面S 所包围的区域V 不含),,(z y x 点时，由 Gauss 公式 有 ?????==V S dxdydz dS r n r 00) ,cos(2 （2）当则曲面S 所包围的区域V 含),,(z y x 点时，在V 内以),,(z y x 为球心，以ρ为半径作小球面V ?σ，由 Gauss 公式 0),cos(2=??-σ+dS r n r S ?=??dS r n r S 2) ,cos( dS r n r ??σ2),cos( =π=ρ ??σ41 2dS 10．求证 dS n r dxdydz r S V ?????=),cos(211 ,其中S 是包围V 的分片光滑封闭曲面，n 为S 的外法线方向，),,(z y x r = ,r r =. 分下两种情形进行讨论： （１）V 中不含原点)0,0,0( （２）V 中含原点)0,0,0(时,令 ??????-→=ε εV V V dxdydz r dxdydz r 11lim 0，其中εV 是以原点为心，以ε为半径的球. 证明：（1）) ,cos(cos ),cos(cos ),cos(cos ),cos(z r y r x r n r γβα++= 其中 γβαcos ,cos ,cos 为n 的方向余旋，因此γβαcos cos cos ),cos(r z r y r x n r ++= , 利用Gauss 公式,得 dxdy r z dzdx r y dydz r x dS n r S S ++=????),cos( = dxdydz r z z r y y r x x V ?????+??+??)]()()([ =dxdydz r V ???2 所以: dS n r dxdydz r S V ?????=),cos(21 1 （2）对封闭区域εV V -应用Gauss 公式,可得 ?????-+=-εε V V S S r dxdydz dS n r 21),cos( ， 但在- εS 上，1),cos(-=n r ，于是 2 4),cos(πεε-=?? - dS n r S ，令0→ε取极限，即得： ??????-→=ε εV V V dxdydz r dxdydz r 1 1lim 0=dS n r S ??),cos(21 11.利用Gauss 公式变换下列积分: （1） ??++S yzdydz xzdzdx xydxdy （2）dS z u y u x u S ?? ??+??+??)cos cos cos ( γβα,其中γβαcos ,cos ,cos 是曲面的外法线方向余弦. 解:（1） ??++S yzdydz xzdzdx xydxdy =dxdydz xy z xz y yz x V ????? +??+??))()()(( =0 （2）dS z u y u x u S ????+??+ ??)cos cos cos (γβα=dxdydz z u y u x u V ?????+??+??)(222222=????udxdydz 12．设),(y x u ，),(y x v 是具有二阶连续偏导数的函数，并设,2 222y u x u u ??+??= ? 证明：（1） ds n u udxdy l ??? ??=?σ ； （2） ds n u v dxdy y v y u x v x u udxdy v l ???????+????+????-=?σ σ )( ； （3） ds n v u n u v dxdy u v v u l ?????-??-=?-?)()(σ .其中σ为闭曲线l 所围的平面区域,n v n u ????,为沿外法线的方向导数. 证明:(1) ds y u x u ds n u l l ????+??=??)sin cos (αα ds y u x u l ?-+??+-+??=)]22sin()22cos([ π παππα ds y u x u l ?+??-+??=)]2 cos()2sin([ παπα dxdy y u y x u x dy x u dx y u l ?????-??-??????+??- =σ)]()([)(格林公式 dxdy u dxdy y u x u ?????=??+??=σ σ)(2222 （2）dx y u v dy x u v ds n u v l l ??-??=???? 令,y u v P ??-= x u v Q ??=，则 22x u v x u x v x Q ??+?????=??，22y u v y u y v y P ??-?????-=?? 所以： u v y v y u x v x u y P x Q ?+?????+?????=??-??)( 由Green 公式有：dxdy u v y v y u x v x u ds n u v l ? ?????????+?????+?????=??σ)( 所以： ds n u v dxdy y v y u x v x u udxdy v l ???????+????+????-=?σ σ )( （3） 由（2）已证知： ds n u v dxdy y v y u x v x u udxdy v l ???????+????+????-=?σ σ )( ds n v u dxdy y u y v x u x v vdxdy u l ???????+????+????-=?σ σ )( 后式减去前式得： ds n u v n v u dxdy u v v u l ?????-??=?-?)()(σ =-ds n v u n u v l ???-??)(（该公式称为Green 第二公式） 13．设=?u 2 2x u ??+22y u ??+22z u ??，S 是V 的边界曲面，证明： （1） ?? ?????=?S V dS n u udxdydz （2） ?????????+??????=??V V S udxdydz u dxdydz z u y u x u dS n u u ])(+ )(+ )[(222 式中u 在V 及其边界曲面S 上有连续的二阶偏导数，n u ??为沿曲面S 的外法线的方向导数. 证明：（1） ??????+??+??=??S S dS z u y u x u dS n u )cos cos cos (γβα = ???????=??????V V udxdydz dxdydz z u y u x u ])(+ )(+ )[( 222 （2） ??????+??+??=??S S dS z u y u x u u dS n u u )cos cos cos (γβα ???????+????????= V dxdydz z u u z y u u y x u u x )]()(+ )([ ?????+????+??????=V dxdydz z u u z u y u u y u x u u x u ] )(+ )(+ + )[(222222222 ???????+??????=V V udxdydz u dxdydz z u y u x u ])(+ )(+ )[( 222 14、计算下列曲线积分： (1) ( )( ) ()dxdy x y z dzdx z y dydz y x S -+-+-??22 22 2 ,其中S 是122 2222=++c z b y a x ()0≥z 下侧； 解：补充平面0=z 被S 割下的部分上侧为1S ，则由Gauss 公式 ()() ()d x d y x y z d z d x z y d y d z y x S S -+-+-??+22222 1 =()()dxdydz x y y x V ???-++-222 =???V ydxdydz 4 =? ??--b b D xz dxdz ydy 4 =?--?-?-b b dy b y b b y a y 22 2211214π =dy b y y ab b b ?-??? ? ??--2212π=0 而 ()() ()dxdy x y z dzdx z y dydz y x S -+-+-??22222 1 =0 所以 ()() ()022222 =-+-+-??dxdy x y z dzdx z y dydz y x S (2) ()()()dxdy x z dzdx z y dydz y x S cos cos cos +++++??,S 是立体Ω的边界面，而立体Ω由 1=++z y x 和三坐标面围成； 解： ()()()d x d y x z d z d x z y d y d z y x S c o s c o s c o s ++++ +?? 公式 Gauss ()d x d y d z ??? Ω ++111=Ω3=613?=2 1 (3)???S dS n F ,其中k z j y i x F 3 33++=，n 是S 的外法向单位向量，S 为 ()02222≥=++z a z y x 上侧； 解：设()γβαcos ,cos ,cos =n ，则补充0=z 被2 2 2 2 a z y x =++割出一块的下侧1S ，由于 ???1S dS n F =ds z S ??1 3 =0 所以 ???S dS n F = ds n F S S ??+?1 = () d S z y x S S ??+++1 cos cos cos 333 γβα =() d xdydz z y x V ???++222 3 =??? a d d d 0 420 20 sin 3 ρρ??θπ π =5 5 6a π (4) dxdy y x c z dzdx x z b y dydz yz a x S ???? ??++???? ??++???? ? ?+??3323232323,S 是()01222222≥=++x c z b y a x 后侧； 解：补充0=x 被122 2222=++c z b y a x 割下的一块前侧为1S ，则 dxdy y x c z dzdx x z b y dydz yz a x S ???? ??++???? ??++???? ? ?+??33232323231 = dydz yz yz D ???=dr r d bc ??πθθθ201 3sin cos =0 由Green 公式有：dxdy y x c z dzdx x z b y dydz yz a x S S ???? ??++???? ??++???? ? ?+??+332323232 31 =dxdydz c z b y a x V ??????? ? ?++-2222223 =dr r d d abc ? ?? -2 1 420 sin 3π π ??θ ??? ? ? ?====??θ?θ? sin sin sin sin cos cos 2 abcr J cr z br y ar x =abc π5 6 - 15．证明由曲面S 所包围的体积等于V = ()dS z y x S ??++γβαcos cos cos 31 ，式中γβαc o s ,c o s ,c o s 为曲面S 的外法线的方向余弦. 证明： ()dS z y x S ??++γβαcos cos cos 31=()dxdydz V ???++11131 =???V dxdydz =V 16．若L 是平面p z y x -++γβαcos cos cos =0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求 ? L z y x dz dy dx γβαcos cos cos ，其中L 依正方向进行 解： 记 P = z y γβcos cos =γβcos cos y z - Q =x z αγcos cos =αγcos cos z x - R = y x βαcos cos =βαcos cos x y - 则 ? L z y x dz dy dx γβαcos cos cos =Rdz Qdy dx P L ++?公式Stokes dS R Q P z y x ???? ???? S cos cos cos γβ α =()d S S ??++γβα22 2 cos cos cos 2 =??S dS 2=S 2 17．设P ，Q ，R 有连续的偏导数，且对任意光滑闭曲面S ，有 ??++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =0 证明： z R y Q x P ??+ ??+??=0 证明：（反证法）若不然，设在某点()3 000,,R z y x ∈， z R y Q x P ??+ ??+??=0≠m ， 则由于函数 z R y Q x P ??+ ??+??在3R 连续，故0>?ρ，使得在 ()()()2202020ρ≤-+-+-z z y y x x 内，2 m z R y Q x P ≥??+??+??（0>m ） 因而在曲线S ：()()()2 2 02 02 0ρ=-+-+-z z y y x x ，有 0= ??++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =dxdydz z R y Q x P V ??????? ????+??+?????≥V dxdydz m 2 =3 3 42πρ?m 0> 矛盾 故原命题成立. 18．设()y x P ,，()y x Q ,在全平面上有连续偏导数，而且以任意点()00,y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半圆l :θcos 0r x x +=，θsin 0r y y += ()πθ≤≤0恒有()()0,,=+? dy y x Q dx y x P l 求证：()y x P ,0≡， 0≡??x Q 证明：()2 00,R y x ∈?，考虑以()00,y x 为内点的闭区域D ，由于()y x P ,，()y x Q ,在全平面上有连续偏导数，而且2R D ?，故0>?M ，使得 M x Q ≤??，M y P ≤??在D 上成立。任取0>r 且上半圆周l ：θcos 0r x x +=，θsin 0r y y += ()πθ≤≤0及平行于x 轴的直线段1l :0y y =， r x x r x +≤≤-00完全与D 内，则1l l +是D 内的闭围线，由Cauchy 积分公式得 ()()dy y x Q dx y x P l l ,,1+?+=dxdy y P x Q ?????? ? ???-??σ 其中σ为1l l +所围的闭区域，显然D ?σ，有已知条件有 ()()dy y x Q dx y x P l ,,1 +?=dxdy y P x Q ?????? ? ???-??σ 即 ()dx y x P r x r x ? +-000,= dxdy y P x Q ?????? ? ???-??σ ?()dx y x P r x r x ?+-000,=dxdy y P x Q ?????? ????-??σdxdy y P x Q ?????? ? ???+??≤σ 222r M π?≤=2 Mr π 对 ()dx y x P r x r x ? +-000,，[]r x r x +-∈?00,ξ，使得 ()dx y x P r x r x ? +-000,=()r y P 2,0?ξ 代入上式得 ()r M y 2 ,0πξ?≤ 令+ →0r ，则0x →ξ， 02 →r y π，即得()0,00=y x P 即()0,0=y x P ，由()2 00,R y x ∈的任意性，知()y x P ,0≡ 因此 0≡????σ dxdy x Q ，0>?r ，?0≡??x Q ，于σ上. 特别在()00,y x ，0=??x Q 同样由()00,y x 的任意性，0≡??x Q . §2 积分与路径无关 1．验证下列积分与路径无关，并求它们的值： (1) ()()() ?--1,100） ，（dy dx y x 解：()y x y x P -=,，()()x y y x y x Q --=--=,，在全平面有连续偏导数，且 ,1y P x Q ??=-=?? 因此积分()()() ?--1,100） ，（dy dx y x 与路径无关。 所以()()() ?--1,100） ，（dy dx y x =()dy y dx x ??-+1 01 01=0 (2) ? -) 2,1() 1,2(2 x xdy ydx 沿在右半平面的路径； 解：()2,x y y x P = ,()x y x Q 1,-=， 在右半平面有连续的偏导数，且y P x x Q ??= =??21 ， 因此积分?-） ，（），（21122 x xdy ydx 与沿在右半平面的路径无关 所以 ?-），（），（21122 x xdy ydx =??-+2 112)1(dy x dx 12ln --= (3) ?++） ，（），（86012 2y x ydy xdx 沿不通过原点的路径； 解：()22,y x x y x P += ，()2 2,y x y y x Q += 在()()0,0,≠y x 有连续的偏导数，且 y p y x xy x Q ??=+-=??222 ，故?++），（），（860122y x ydy xdx 沿不通过原点的路径积分与路径无关 所以 ?++） ，（），（86012 2y x ydy xdx =??++8022 616y ydy x dx =10ln (4) ( ) () )()(,0,0dy dx y x f b a ++? ，式中()u f 是连续函数； 解：()y x P ,=()y x f +，()y x Q ,=()y x f +均在平面有连续偏导数，且 y P y x f x Q ??= +=??)('， 故积分)(),(,00dy dx y x f b a +? ） （） ，（与路径无关 所以 )()(,00dy dx y x f b a ++? ） （） ，（=dy y a f dx x f b a ??++0 )()( (5) ) ( ,)()()2,1(12dy y dx x ψ?+?， 其中?，ψ为连续函数； 解：()y x P ,=()x ? , ()y x Q ,=()y ψ 在全平面有连续的偏导数，且 x Q ??=0= y P ?? 故积分()()dy y dx x ψ?+? ） ，（） ，（2112与路径无关 所以 ()dy y dx x )(2112ψ?+? ） ，（） ，（=()dy y dx x ??+2 1 1 2 )(ψ? = ()dx x dy y ??-2 1 2 1 )(?ψ=[]dx x x ?-2 1 )()(?ψ (6) ?++） ，，（） ，，（116321xydz xzdy yzdx ； 解： )(xyz d xydz xzdy yzdx =++,故积分与路径无关，所以 ?++） ，，（） ，，（116321xydz xzdy yzdx =?61 6dx +?12 18dy +?1 3 6dz =0 (7) dz z dy y xdx ? --+) 4,3,2() 1,1,1(32； 解：dz z dy y xdx 3 2 -+=)4 13121(4 32 z y x d -+ , 故积分与路径无关，所以 dz z dy y xdx 3)4,3,2()1,1,1(2-+?-=()() 4,3,21,1,1432)413121(--+z y x =12 5 (8) ? ++++) ,(,,2 22222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx ） （ ，其中()111,,z y x ,() 22,2,z y x 在球面2 2 2 2 a z y x =++上 。 解： 2 22z y x zdz ydy xdx ++++= 2 222222)(z y x z y x d ++++=)(2 22z y x d ++ 在()()0,0,0,,≠z y x 均成立 ， 故在区域 02 2 2 >++z y x 内 ，积分与路径无关，所以 ? ++++) ,,() ,,(2 22222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx ，其中()111,,z y x ,() 22,2,z y x 在球面()02 222>=++a a z y x =2 a 上 与路径无关，且 ? ++++) ,,(,,2 2 2 222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx ） （=() ()222111,,,,2 22z y x z y x z y x ++=0 2．求下列全微分的原函数： (1)( )( ) dy y xy x dx y xy x 2 22 222--+-+； 解：()y x P ,=2 2 2y xy x -+,()y x Q ,=2 2 2y xy x --在全平面有连续的偏导数，且 x Q ??=)(2y x -=y P ??，故()()dy y xy x dx y xy x 222222--+-+是某一函数),(y x u 的全微分.且 ),(y x u =c dy y xy x dx y xy x y x +--+-+? )2()2(22),() 0,0(22 =c dy y xy x dx x y x +--+?? 220 2)2( = c y xy y x x +--+32233 1 31 (c 为实常数) (2)()( ) dy y x x y dx x y y x sin cos 2sin cos 22 2 -+- 解：()y x P ,=x y y x sin cos 22 -, ()y x Q ,=y x x y sin cos 22 -在全平面上有连续的偏导数， 且 =??x Q y x x y sin 2sin 2--=y P ??， 因此知 ()() dx y x x y dx x y y x sin cos 2sin cos 222 -+-是某一函数 ),(y x u 的全微分，且 ),(y x u =c dy y x x y dx x y y x y x +-+-? )sin cos 2()sin cos 2(2),() 0,0(2 = c dy y x x y dx x y x +-+?? 020)sin cos 2(2 =c x y x x y x +-++2 2 2 2 cos cos =c y x x y ++cos cos 2 2 (c 为实常数) (3) dz z ax by dy z b dx z a 2 --++； 解：()z y x P ,,=z a , ),,(z y x Q =z b , ),,(R z y x =2 z ax by -- 在0≠z 只有连续的偏导数， 且 x Q y P ??==??0 ，y R z b z Q ??=-=??2 , z P z a x R ??= -=??2 故在 0≠z ， dz z ax by dy z b dx z a 2--++是某函数),,(z y x u 的全微分 ， 实际上 dz z ax by dy z b dx z a 2--++=)1 ()()(1z d by ax by ax d z +++=)(z by ax d + 所以 c z by ax z y x u ++=),,( (c 为实常数). ()0≠z 第一章 定量分析的误差和数据处理 1-2 下列情况，将造成哪类误差？如何改进？ （1） 天平两臂不等长，属于系统误差。可对天平进行校正或者更换天平。 （2）测定天然水硬度时，所用蒸馏水中含Ca 2+。属于系统误差。可更换蒸馏水，或作空白试验，扣 除蒸馏水中Ca 2+对测定的影响。 1-3 填空 （1） 若只作两次平行测定，则精密度应用相对相差表示。 （2）对照试验的目的是检验测定中有无系统误差，空白试验的目的是判断测定中的系统误差是否因试剂、 蒸馏水不纯等所致。 （3）F 检验的目的是检验两组测定结果的精密度有无显著性差异。 （4）为检验测定结果与标准值间是否存在显著性差异，应用t 检验。 （5）对一样品做六次平行测定，已知d 1~d 6分别为0、+0.0003、-0.0002、-0.0001、+0.0002，则d 6为-0.0002。 （提示：一组平行测定，各单次测定结果偏差的代数和为0） 1－4解：%3.0mL 50.6mL 02.01r ±=±= E %08.0mL 65.25mL 02.02r ±=±= E 上述计算说明为减小滴定管的体积误差，应适当增大取液的体积。 1- 5解： 纯FeSO 4·7H 2O 试剂中w (Fe)的理论值是： %09.20mol g 0.278mol 55.85g O)H 7FeSO (Fe)(Fe)(-124=??=?=M M w %06.20%4 05 .2004.2003.2010.20=+++= x d i 分别为：0.04%,-0.03%,-0.02%,-0.01% %03.0%4 01 .002.003.004.0=+++= =d 平均偏差 %2.0% 06.20%03.0=== x d d r %03.0%09.20%06.20-=-=-=T x Ea %2.0% 06.20%03.0-=-== x Ea E r %03.01 401.002.003.004.02 222=-+++=S 一、 选择题 1、用同一NaOH 滴定相同浓度和体积的两种弱一元酸，则a K Θ 较大的弱一元酸（B ） A 消耗NaOH 多；B 突跃范围大；C 计量点pH 较低；D 指示剂变色不敏锐。 2、滴定分析要求相对误差±0.1%，万分之一的分析天平绝对误差为±0.0001g ，则一般至少称取试样质量为（B ） A0.1g ；B0.2g ；C0.3g ；D0.4g. 3、以HCl 溶液滴定某碱样，滴定管的初读数为0.25±0.01ml ，终读数为32.25±0.01ml ，则用去HCl 溶液的准确体积为（D ） A32.0ml ；B32.00ml ；C32.00±0.01ml ；D32.00±0.02ml 。 4、指示剂的变色范围越窄，则（A ） A 滴定越准确； B 选择指示剂越多； C 变色敏锐； D 滴定越不准确。 5、溶液pH 降低，EDTA 的配位能力会（B ） A 升高；B 降低；C 不变；D 无法确定。 6、用KMnO 4法测定Ca 2+离子，所采用的滴定方式是（B ）法 A 直接滴定法；B 间接滴定法；C 返滴定法；D 置换滴定法。 7、不同波长的电磁波，具有不同的能量，其波长与能量的关系为（B ） A 波长愈长，能量愈大；B 波长愈长，能量愈小；C 波长无能量无关。 8、在酸性条件下，莫尔法测Cl -，其测定结果（B ） A 偏低；B 偏高；C 正好；D 无法确定。 9、下列有关配体酸效应叙述正确的是（B ） A 酸效应系数越大，配合物稳定性越大；B 酸效应系数越小，配合物稳定性越大；CpH 越高，酸效应系数越大。 10、酸性介质中，用草酸钠标定高锰酸钾溶液，滴入高锰酸钾的速度为（B ） A 同酸碱滴定一样，快速进行；B 开始几滴要慢，以后逐渐加快； C 始终缓慢；D 开始快，然后逐渐加快，最后稍慢。 11、酸碱滴定中，选择指示剂可不考虑的因素是（D ） ApH 突跃范围；B 要求的误差范围；C 指示剂的变色范围；D 指示剂的结构。 12在硫酸—磷酸介质中，用17221.06 1 -?== L mol O Cr K c 的K 2Cr 2O 7滴定121.0)(-+?≈L m o l Fe c 硫酸亚铁溶液，其计量点电势为0.86V ，对此滴定最适合的指示剂 为（C ） A 邻二氮菲亚铁V 06.1=' Θ ?； B 二苯胺V 76.0=' Θ ? ； C 二苯胺磺酸钠V 84.0=' Θ ?； D 亚甲基蓝V 36.0=' Θ ? 13、在1mol·L -1HCl 介质中，用FeCl 3(V Fe Fe 77.023/=+ +Θ ?)滴定SnCl 2(V Sn Sn 14.024/=++Θ?) 终点电势为（D ） 第八5章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时 § 1 不定积分概念与基本公式（4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1填空: ; ( ; ; ; ; . 定义. 注意是的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证) 《定量分析简明教程》 第三章习题答案 3-1 EDTA 在水溶液中是六元弱酸（H 6Y 2+），其p K a1~p K a6分别为0.9、1.6、2.07、2.75、6.24、10.34、则 Y 4-的pK b3为： p K b3=p K w －p K a4=14－2.75=11.25 3-2解： 99.010 8.110 108.1/)H ()Ac (5 7 5 - =?+?= += ---Θ + a a K c c K x x (HAc) = 1－0.99 = 0.01 c (Ac －) = 0.99?0.1mol·L －1 = 0.099 mol·L － 1 c (HAc) = 0.01?0.1mol·L －1 = 0.001 mol·L －1 3-3 (1) H 3PO 4 的PBE ：c (H +)=c (H 2PO 4－)+2c ([HPO 42－]+3c ([PO 43－]+c (OH － ) (2) Na 2HPO 4的PBE ：c (H +)+c (H 2PO 4－)+2c ([H 3PO 4]= c ([PO 43－]+c (OH － ) (3) Na 2S 的PBE ：c (OH -)=c (HS － )+2c (H 2S)+c (H +) (4) NH 4H 2PO 4的PBE ：c (H +)=c (NH 3)+2c (PO 43－)+c (HPO 42－) +c (OH － ) － c (H 3PO 4) (5) Na 2C 2O 4的PBE ：c (OH －)=c (HC 2O 4－ )+2c (H 2C 2O 4)+c (H +) (6) NH 4Ac 的PBE ：c (H +)+c (HAc)=c ( NH 3) +c (OH － ) (7) HCl+HAc 的PBE ：c (H +)=c (OH －)+c (HCl)+ c (Ac － ) (8) NaOH+NH 3的PBE ：c (OH － )=c (NH 4+)+c (H +)+c (NaOH) 3-4解： 一元弱酸HA 与HB 混合溶液的PBE ：c (H +)=c (A －)+c (B －)+c (OH － ) （1） 将有关平衡关系式代入质子等衡式中得到计算c (H +)的精确式： w /H B )()HB (/HA)()HA (/)H (/)H (/)H (/(HB))HB (/)H (/HA)()HA (/)H (K c c K c c K c c c c K c c c c K c c c c K c c w +?+?= + ?+ ?=Θ Θ Θ + Θ + Θ + Θ Θ + Θ Θ + (1) 由PBE ：c (H +)=c (A － )+c (B － )+c (OH － ) ，若忽略c (OH － ),则：c (H +)=c (A － )+c (B － )，计算c (H +)的近似公式为： Θ Θ + ?+?= c c K c c K c /H B )()HB (/HA)()HA ()H ( (2) 再若{c (HA)/c }/K Ha ，{c (HB)/ c }/K HB 均较大，则c eq (HA)≈c 0(HA)， c eq (HB)≈c 0(HB)，计算[H +]的近似公式为： )H B ()H B ()H A ()H A ()H (00c K c K c ?+?= + 3-5计算下列溶液的pH 值： (1),c (H 3PO 4)= 0.20mol ?L － 1 因为K a1/K a2>10，(c /c )/K a2>102.44，∴只考虑H 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K a1>10-12.61, (c /c )/K a1=29<102.81，∴用近似式计算： 034 .02 2 .010 9.64)10 9.6(10 9.62 /4/)H (3 23 3 1211=???+?+?-= ++-= ---Θ Θ + c c K K K c c a a a pH=1.47 (3) c (Na 3PO 4)=0.1mol ?L － 1 Na 3PO 4 K b1=2.1?10－2， K b2=1.6?10－7 , K b3=1.4?10－ 12 因为K b1 /K b2>10，(c /c )/ K b2>102.44，∴只考虑Na 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K b1>10－ 12.61，(c /c )/K b1<102.81，∴用近似式计算： 第八章不定积分 §1 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样,微分法也有它的逆运算———积分法.我们已经知道,微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数.提出这个逆问题,首先是因为它出现在许多实际问题之中.例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等.本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学. 一原函数与不定积分 定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义.若 F ′( x) = f( x ), x ∈I, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数. - 1 例如, 1 3 x 3 是x 2 在( - ∞,+ ∞) 上的一个原函数, 因为(1 3 1 x 3)′= x 2 ; 又如 2 cos 2 x 与- 2 cos 2 x + 1 都是sin 2 x 在(-∞, + ∞) 上的原函数, 因为 ( -1 cos 2 x )′= ( -1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x . 2 2 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话,那么 F( x) = x arctan x - 1 ln (1 + x 2 ) 2 是f ( x) = arctan x 的一个原函数, 就不那样明显了.事实上, 研究原函数必须解决下面两个重要问题: 1 .满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存在, 是否唯一? 2 .若已知某个函数的原函数存在, 又怎样把它求出来? 关于第一个问题, 我们用下面两个定理来回答; 至于第二个问题, 其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法. 0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983） （8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修 比较详细的数值分析课后习题答案 0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]的近似根，要求误差不超过 10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]有唯一个实根；使用二 分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根. 由二分法的误差估计式21 1*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71， 718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171 .205 .0||222=<-= x x e r ε； 《定量分析简明教程》 第二章习题答案 2-2 （6） 答：分析纯NaCl 试剂若不作任何处理就用以 标定AgNO 3溶液的浓度，结果会偏高，原因是NaCl 易吸湿，使用前应在500~600?C 条件下干燥。如不作上述处理，则NaCl 因吸湿，称取的NaCl 含有水分，标定时消耗AgNO 3体积偏小，标定结果则偏高。 H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，标定NaOH 浓度时，标定结果会偏低。因H 2C 2O 4?2H 2O 试剂较稳定，一般温度下不会风化，只需室温下干燥即可。若将H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，则会失去结晶水，标定时消耗NaOH 体积偏大，标定结果则偏低。 2-3 （1） H 2C 2O 4?2H 2O 和KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O 两种物质分别和NaOH 作用时， －△n (H 2C 2O 4?2H 2O):－△n (NaOH)=1:2 ； －△n (NaOH): －△n (KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O)=3:1 。 （2）测定明矾中的钾时，先将钾沉淀为KB(C 6H 5)4，滤出的沉淀溶解于标准EDTA —Hg(II )溶液中，在以已知浓度的Zn 2+标准溶液滴定释放出来的 EDTA ： KB(C 6H 5)4+4HgY 2-+3H 2O+5H +=4Hg(C 6H 5)++4H 2Y 2-+H 3BO 3+K + H 2Y 2-+Zn 2+=ZnY 2-+2H + K +与Zn 2+的物质的量之比为1:4 。 2-4解： m (NaOH)=c (NaOH)v (NaOH)M (NaOH)=0.1mol ·L -1?0.500L ?40g ·mol -1=2g 1-1-142424242L mol 8.17mol g 9895%L 1840)SO (H )SO H ()SO H )SO H (?=???==?g M w c （浓ρ c (H 2SO 4稀)v (SO 4稀)=c (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓) 0.2mol ?L -1?0.500L=17.8mol ?L -1? V (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓)=5.6mL 2-5解： 2HCl+Na 2CO 3=2NaCl+H 2O+CO 2 －△n (Na 2CO 3)=－(1/2)△n (HCl) S s m M V c w m V T w V m T ) CO Na ((HCl)HCl)(2 1)CO Na (%30.58g 2500.0mL 00.25mL g 005830.0HCl)(HCl)/CO Na ()CO Na (mL g 005830.0mL 1mol 106.0g L 001.0L mol 1100.021HCl)()CO Na (HCl)/CO Na (32321-32321 -1-13232==??==?=?????==?或： 第六章 不定积分 在不定积分的计算中，有很多方法是机械性的：有很多固定的模式和方法，还有一些常用的公式。在本章里使用的积分公式除了课本161页给出的10个常用公式外，还有6个很有用的式子，罗列如下： 22 22 2211.ln ;212.arctan ;3.arcsin ; 4.ln ; 5.ln ; 26.arcsin . 2dx x a C x a a x a dx x C x a a a x C a x C a x C a x C a -=+-+=++=+=+=+=+? ? 这六个公式在答案中的使用次数很大，使用的时候没有进行说明，敬请读者仔细甄别。当然答案计算过程中不免有不少错误，敬请原谅并修改。 第一节 不定积分的概念 1.求下列不定积分： 33 5 3 64642 2112111(1)(. 4643*4646 x x dx x x x C x x x C +-=+-+=+-+? 3341 (2)(5)(5)(5)(5). 4 x dx x d x x C -=---=--+?? 11421131 3333222223 (3)(32)63.34dx x x x x dx x x x x C --=+++=++++?? 2242 4242 422 311111(4)()()(1)1111 arctan . 3 dx x x dx dx dx dx x x dx x x x x x x x x x x C ------=+=+=-+++++=-+++?????? 22 233(5)(3)33arctan .11x dx dx x x C x x =-=-+++?? 113 2222 (6)().3x x dx x C -=+=+? (7)(2sin 4cos )2cos 4sin .x x dx x x C -=--+? 22 1 (8)(3sec )(3)3tan .cos x dx dx x x C x -=- =-+?? 222 22sin 3cos 1 (9)(tan 3)(2)tan 2.cos cos x x x dx dx dx x x C x x ++==+=++??? 22222sin 3cos (10)3tan .cos cos x x dx dx x x C x x +-==-+?? 2 22sin tan 11 cos (11)(cos ).cos cos cos cos sin 22 x x x dx dx d x C x x x x x ==-=+-??? 22cos 2cos sin (12)(cos sin )sin cos . cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--??? 2221 (13)tan .1cos 21cos sin 2cos 2 dx dx dx x C x x x x ===+++-? ?? 22 252(14)(51)(52*51)5. 2ln 5ln 5x x x x x dx dx x C +=++=+++?? 121(15)(2()). 35ln 2ln 335 x x x x x x e e dx C +-=--+? (16)(1( . x x x x e dx e dx e C -=-=-?? 221 (17)(cos sin 2arctan arcsin . 14 x dx x x x C x - =--++? 1 137 2 4 4 44(18). 7x x dx x dx x C ===+ ?? 2 12(19)2312.ln12 x x x x dx dx C ==+?? 3 (20)sin )sin )arcsin cos .2 x dx x dx x x C +=+= -+?? 数学分析第三版答案下册 【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2 因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42 定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理 第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当 1+=k n 时，有 1 211211 21121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a ++ +≤ +++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a ++ +≤ +++ ++= +++≤ +++111111． 第一章 系统误差的性质：由固定原因造成的，有单向性特征，通过数理统计的方法不能除去。 系统误差的来源：仪器、试剂、实验方法、实验操作 系统误差的解决办法：针对仪器的要校准仪器；针对试剂的要做空白试验，因实验方法而带来系统误差的要改进实验方法或重新选定实验方法。 随机误差具有偶然性，随机性，也是必然存在的，随机误差只能通过多次平行实验来减小随机误差 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的平均值等于真值。 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的随机误差遵循正态分布规律，有限次的采用 n ts x ± =μ 来处理。 为了检验两组数据之间的精密度是否有显著性差异，用F 检验 为了检验平均值和真值或标准值之间是否显著性差异，用t 检验。 为了考察两组数据之间显著性差异，先用F 检验，后用t 检验。F 检验不合格就不用t 检验，只有F 检验合格了才可以进行t 检验。 处理数据要注意四舍六入五成双 计算平均值时要注意可疑值的取舍，取舍有两种方法，Q 值检验法和4d 法。会计算标准偏差 以及置信区间。 第二章 酸碱滴定法 要会计算溶液酸碱度，针对具体情况选用不同的公式；一元酸、二元酸、一元碱、二元碱、两性物质等 要会写质子平衡方程，这是计算pH 值的基础。 要会运用平衡常数，在分析化学中，几乎所有的问题都可以用平衡常数来解决，分布系数是由平衡平常推导而来的，更为方便一些。 会计算滴定曲线化学计量点前、后及化学计量点时溶液的pH 值。首先要会判断化学计量点前、后及化学计量点时溶液的性质，然后采取相应的公式计算。并且要了解pH 的变化方向。 酸碱指示剂的变色原理，变色点及变色范围公式要记牢：1±=HIn pK pH 要知道其根本依据依然是平衡常数 不只酸碱指示剂其它类型的指示剂的变色点、变色范围也是都有其相应公式的，例如：氧化还原反应的氧化还反应类型指示剂、配位滴定的金属指示剂的变色点及变色范围，要按照对照模式来学习其它类型的指示剂的变色点及变色原理，如果都弄明白就OK 了 在这章中关于计算就是要会计算酸碱度还有一个重要的应用混合碱滴定，求其两种成分。 在整个分析化学中重要的是滴定误差的分析，要会判断是正误差还是负误差，正误差就是过量了，负误差就是不足量。 指示剂的选择，要考虑滴定突跃，因为指示剂变色范围要在滴定突跃范围之内，并且要考虑好滴定曲线的变化趋势及指示剂的颜色如何变化，最后判断大致在哪个具体的点变色，如果低于计量点则是负误差，高于计量点则正误差。必须会判断。 影响滴定突跃的因素：酸碱、沉淀、配位、氧化还原 第三章沉淀滴定法 重点掌握指示剂的变色原理及以莫尔法沉淀滴定时要注意的几点。介质酸度控制在中性或弱碱性的原因，以及沉淀吸附的现象、还有在滴定过程中指示剂用多了或用少了会产生什么样的误差、溶液是酸性或是碱性会产生什么样的后果造成什么样的误差。 第四章配位滴定法 了解EDTA 的结构及具体化学名称 第八章 不定积分 总练习题 求下列不定积分： (1)∫4 3x 1 x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫ x 1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ； (5)∫x e dx ；(6)∫1 x x dx 2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x -x dx ； (9)∫ x cos dx 4；(10)∫sin 4 xdx ；(11)∫4 x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100 2 x) -(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ??? ??+x -1x 1dx ；(18)∫x sinx cos dx 7；(19)∫e x 2 2x 1x -1??? ??+dx ； (20)I n =∫ u v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解. 解：(1)∫ 4 3x 1 x 2x --dx=∫41x dx-2∫12 1x dx-∫4 1x - dx =5445x -13241213x -3 4 ∫43 x +C. (2)∫xarcsinxdx=-2 1 ∫arcsinxd(1-x 2)=-2 1(1-x 2)arcsinx+2 1 ∫(1-x 2)darcsinx =-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21 ∫t sin -12dsint =-21(1-x 2)arcsinx+21∫cos 2tdt=-21(1-x 2)arcsinx+81 ∫(1+cos2t)d2t =-21(1-x 2)arcsinx+4t +81sin2t+C=-21(1-x 2)arcsinx+41arcsinx +4 1 sintcost+C =2x 2arcsinx-41arcsinx +2x -14 x +C. (3)∫x 1dx +=∫t 1dt 2+=∫t 12tdt +=2∫t 1t 1++dt-2∫t 1dt +=2t-2ln|1+t|+C =2x -2ln|1+x |+C. (4)∫e sinx sin2xdx=2∫e sinx sinxcosxdx=2∫sinxde sinx =2e sinx sinx-2∫e sinx dsinx 第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当1+=k n 时，有 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a +++≤+++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++111111． 3．求证 2 2),max (b a b a b a -++=； 2 2),min(b a b a b a --+=． 证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有 22),max (b a b a a b a -++==，2 2),min(b a b a b b a --+==， 若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有 22),max (b a b a b b a -++==，2 2),min(b a b a a b a --+==， 因此两等式均成立． 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积)(θs ，并求其定义域． 解 θθs i n 2 1)(ab s =，定义域为开区间),0(π． 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域． 解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为42 2 x r r -='，因而体积 )4(2 2 2x r x x r V -='=ππ， 定义域为开区间)2,0(r ． 6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形． 解 设路程为x ，票价为y ，则 函数图形见右图． 7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形． 解 ? ??≤<-≤≤=．2010,240,100,2)(t t t t t f 函数图形如右图所示． 8．判别下列函数的奇偶性： 1、根据化学反应的分类,滴定分析法可分为________、________、________、________、四种滴定法。 2、标定HCl溶液的浓度时，可用Na2CO3或硼砂为基准物质，若Na2CO3吸水，则标定结果__________；若硼砂结晶水部分失去，则标定结果__________；（以上两项填无影响、偏高、偏低）若两者均保存妥当，不存在上述问题，则选__________作为基准物好，原因为 _________________________________。 3、称取纯的K2Cr2O75.8836g，配制成1000ｍL溶液，则此溶液的c﹙K2Cr2O7﹚为_______mol/L；C ﹙1/6 K2Cr2O7﹚为_________mol/L；ＴK2Cr2O7/Fe为___________g/ｍL；ＴK2Cr2O7/Fe2O3为 __________g/ｍL；ＴK2Cr2O7//Fe3O4______________g/ｍL。 4、滴定管在装标准溶液前需要用该溶液洗涤________次,其目的________。 5、配制标准溶液的方法一般有________、________两种。 6、滴定方式有________、________、________、________四种。 7、常用于标定HCl溶液浓度的基准物质有____________和___________；常用于标定NaOH溶液浓度的基准物质有__________和___________。 8、碱滴定法测定Na2B4O7·10H2O，B，B2O3，NaBO2·H2O四种物质，它们均按反应式 B4O72-+2H+ +5H2O =4H3BO3进行反应，被测物与间的物质的量之比分别为____________、 ____________、___________、____________。 1. 酸碱滴定法、配位滴定法、氧化还原滴定法、沉淀滴定法。 2.偏高、偏低、硼砂、盐酸与两者均按1/2计量比进行反应，硼砂的摩尔质量大称量时相对误差小。 3.0.02000 mol/L，0.1200 mol/L，6.702*10-3g/mL，9.582*10-3g/mL， 9.260*10-3 g/mL。 4.3；除去内壁残留的水分,确保标准溶液的浓度。 5.直接法和标定法。 6. 直接滴定法、返滴定法、置换滴定法、间接滴定法。 7.碳酸钠和硼砂，二水合草酸和邻苯二甲酸氢钾。 8.1:2 ， 2:1 ， 1:1 ， 2:1 。 返回 1、使用碱式滴定管正确的操作是（） A、左手捏于稍低于玻璃珠近旁 B、左手捏于稍高于玻璃珠近旁 C、右手捏于稍低于玻璃珠近旁 D、右手捏于稍高于玻璃珠近旁 2、酸式滴定管尖部出口被润滑油酯堵塞，快速有效的处理方法是（） A、热水中浸泡并用力下抖 B、用细铁丝通并用水冲洗 C、装满水利用水柱的压力压出 D、用洗耳球对吸 3、如发现容量瓶漏水，则应（）定量分析简明教程赵士铎答案
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