降低解析几何运算量的十种常用策略
降低解析几何运算量的十种常用策略
在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
（1）设而不求
【题1】已知直线l 交椭圆80542
2
=+y x 于N M ,两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若BMN ?的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 。
【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率。
若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的。更好的方法是： 【解析】由22
2
2
458012016
x y x y +=?
+=。 故椭圆上顶点B （0，4），右焦点F （2,0）为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）。 设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，
∴22112
2
224580
4580
x y x y ?+=??+=?0))(())((421212121=+-++-y y y y x x x x 5
6
46545421212121=-?-=++?-=--?
y y x x x x y y
所求直线方程为：02856)3(5
6
2=--?-=
+y x x y 。 【评注】我们用参数设置了M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.
（2）使用特值
【题2】已知在离心率为65的双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 中，F 为右焦点，过F 点倾斜角为
60
的直线与双曲线右支相交于B A ,两点，且点A 在第一象限，若满足→
=→FB m AF 1则=m 。
【分析】按常规求m 值，必先求向量AF FB
与之长.由于双曲线的方程无法确定，
又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的。
注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果。所以我们可以通过取特值，让方程具体化。
y
A
B
F
O
A 1
B 1x
图1
x
y O
B 04(,)
M
N
F 20(,)C 32(,-)
x
y
O
A 10(,)
P
Q
【解析】65
c e a =
=. 不妨设2
2
2
5,6,,11a c c a b ==∴= =+b ，双曲线方程为：22
12511x y -=,其右焦点(
)6,0F ，设
()
6A t t +，代入双曲线方程：()2
21162532511t t +-?=?2641321210t t ?--=
于是1122
1111
,,4416t t t m t =
=-==，故4=m 。 （3）平几给力
【题3】过圆2
2
2
:R y x C =+内一定点),(00y x M 作一动直线交圆C 于两点R P ,，过坐标原点O
作直线PM ON ⊥于点N ，过点P 的切线交直线ON 于点Q ，则=→
?→OQ OM 。
【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段.
【解析】如图2,连OP,则OP ⊥PQ.但是OQ ⊥PR 于N,根据直角三角形的射影性质有：
2
2OQ ON OP R ?==
2cos OM OQ OQ OM OQ ON R α?=??=?=
即2OM OQ R ?= .
（4）减少参数
【题4】双曲线22
:1C x y -=的渐近线方程为 .若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直
线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =
，则直线l 的斜率为
【分析】第一空，简单；难点是第二问.
按常规，为求直线l 的斜率，必先确定P 或Q 的坐标.但由现有条件却确定不了，因此退而求P,Q 两坐标之间的关系.但是两点的坐标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.
【解析】设()()1122,,,P x y Q x y .当2PA AQ =
时，1220y y +=.
设直线():1PQ y k x =-.令x=y,得()11,1
k y k y y k =-∴=- 令x=-y,得()21,1
k
y k y y k -=--∴=
+ x
y
O
P
R
Q
N
α
于是：
2
2
00
111
k k
k k k
-==
-++
()
1210
k k
?+--=
【别解】（巧用中点公式）如图设P（a,a）,则P关于A（1,0）的对称点为R（2-a,-a）, AR的中点
3
,
22
a a
Q
-
??
-
?
??
符合所设条件且在直线y=-x上。
3
3332
,,,3
3
22221
2
PQ
a a
P k
-
-??
∴=∴==
?
??-
得
（5）回归定义
【题5】设
12
F F
，是双曲线()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()220.
OP OF F P
+?=
（O为坐标原点），且
12
PF=
，则双曲线的离心率是。
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，
2
=,
OP OF OQ
+
2
OQ F P
∴⊥
2
OQ F P
且必过的中点.
可知
12
PF F
?为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条件.
【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令)
21
=,,21
PF r PF a r
=∴=
则，12
90,
F PF
∠=?
但是)2
222
2
1212
,4 1.
PF PF F F r r
∴+=+==
即，得
于是1
c
a e
a
====。
（6）正难则反
【题6】若椭圆
1
C，
2
C分别是：1
2
1
2
2
1
2
=
+
b
y
a
x
（0
1
1
>
>b
a）和：1
2
2
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
（0
2
2
>
>b
a）
它们焦点相同且
12
a a
>。给出如下四个结论：
①两个椭圆一定没有公共点；②
11
22
a b
a b
>
；③
2
2
2
1
2
2
2
1
b
b
a
a-
=
-；
④
1212
a a
b b
-<-.
所有正确结论的序号是（）
A．②③④ B. ①③④C．①②④ D. ①②③
【分析】各选项都需鉴别3个命题，太繁了. 此外，正面论证哪3个命题正确，太费事了.于是将原
命题转换为：其中不正确结论的序号是： 。
此外，4个选项中，最容易用特值否定的是②，故有
【解析】构造椭圆11625:221=+y x C 及110
:22
2=+y x C 显然两椭圆焦点相同。
故结论②不成立，选B.
【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理.
首先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论②在特殊情况下是不正确的，那么在一般情
况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的.
以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他3个结论的正确性.
既是两椭圆焦点相同，那么2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1211221212c c a b a b a a b b =?-=-?-=-.∴结论③正确； 结论①：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解.
22
222222
1122222121
2222222222
121212122222
11111001
x y a b a a b b x y x y a a b b a a b b x y a b ?+=?????--??-+-=??+?=? ? ??????+=?? 既然结论③正确，且已知12a a >，22
2
22
221
21
22221212
0,=0.x y a a b b a a b b ∴-=-≠+故必
最后的方程无解，，这就证明了结论①是正确的.
要考察结论④是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法. 既然结论①正确，即两椭圆没有公共点.已知12a a >，所以椭圆1在 椭圆2的外面. 如图6，设两椭圆公共右焦点为F ，上顶点分别为
12121212,-,B B FB B FB FB B B ? ，中，故必1212a a b b -<-
这就是说，结论④也是正确的.既然结论①③④正确，故选B.
请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？ （7）数形结合
【题7】双曲线22221x y a b
-=的渐近线与圆22
(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（ ）
x
y
F
O
B 1
B 2图6
图8-2
图8-1
（A （B （C ）2 （D ）3 【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系 【解析】如图，圆C 的圆心为C （0,2）,且半径r=1. 双曲线的渐近线:b
l y x a
=
切圆C 于点A,则△AOC 是含30?角的 直角三角形，60,tan 60b
AOx a
∴∠=?=?=于是
222
32c a e a -∴=?=，选C.
（8）三角代换
【题8】如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3，0），右准线l 的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ， 使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明
||1||1|
|1321FP FP FP +
+为定值，并求此定值.
【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径， 否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.
有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.
正确的解题途径是：
（1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有3个相等的角 度，应不失时机地引入三角知识.
【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12
2222212,12336,27a a b a c c ?=∴=?==-=.
故椭圆方程为：
2213627x y +=，其离心率12
e =. x
y
O
F
P 1
P 2P 3
l
x
y
O
F
l
P x y 111(,)
P x y 222(,)P x y 333(,)
120°
θ
H 1
如图8-2
设()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 为椭圆上符合条件的三点，令
112233,,FP r FP r FP r ===.作P 1H 1⊥l 于H 1，令111PH d =，
设
∠P 1Fx=θ
则
∠P 2Fx=θ+120°∠P 3Fx=
120°-θ.
于
是
()111
122
r ed x ==
-，而
111119
3c o s ,29c o
s 2c o s
x r r r r θθθ=+∴=-?=
+. 同理：2399
,2cos(120)2cos(120)
r r θθ=
=
+?++?-.于是 ()()()12311112cos 2cos(120)2cos(120)||||||
9FP FP FP θθθ++=+++?+++?-???? []12
6cos 2cos120cos 93
θθ=
++?=，故为定值. 【评注】如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁 （9）命题转换
【题10】椭圆的两焦点坐标分别为())
12
,F F ,且椭圆过点12?-??.（1）求椭圆的方
程； （2）过点6
,05l ??- ???
作直线交该椭圆于M,N 两点（直线l 不与x 轴重合），A 为椭圆的左顶点，求证;2
MAN π
∠=
.
【分析】（1）问，简单；（2）问，点6,05??
-
???
的横坐标为分数，显然会给以下的计算带来不小的麻烦.所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数.
【解析】（1）由条件知椭圆半焦距c =12P ?
-
??
点在椭圆上，
()1211171222222a PF PF ??
∴=+==+= ??? 2
21,14
x b y =+=于是所求椭圆方程为
（2）将所求椭圆的长，短轴各自扩大5倍，根据相似原理，原命题等价于：过()6,0Q -点作直线
l 交椭圆
22110025x y +=于M,N 两点（直线l 不与x 轴重合），A 为椭圆的左顶点，求证;2
MAN π
∠=. 设所求直线：()6y k x =+，代入2
2
4100x y +=：
()()22222224123610014481441000x k x x k x k x k +++=?+++-=
于是22121222
48144100,1414k k x x x x k k -+=-?=-
++. ∵()()()2
21212121266636y y k
x x k x x x x =++=?+++????
()()()112212121210,10,10100AM AN x y x y x x x x y y ∴?=++=?++++
()()()2221212110610036k x x k x x k =+?+++++
()()
()2
2
2222
2
114410048106100361414k k k k k k
k
+-+=
-
++++
()()()42422421
14444100288480100436144014k k k k k k k
??=
+--++++=??+ 这就证明了：2
MAN π
∠=.
（10）先猜后证
【题11】以12(0,1),(0,1)F F -为焦点的椭圆C 过点P
(
2
，1)．(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)过点S (1
3
-
，0)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题难点在第(Ⅱ)问.考察曲线是否通过定点，用一般方法很难发现，所以先考察特殊图形，推测出可能的结果，而后再加证明.
(Ⅰ) 解法一（定义法）：设椭圆方程为22
221y x a b
+=(0)a b >>，由已知1c =。
x
y
O
A 100(-,)Q 60(-,)M x y (,)
11N x y (,)
22图9
又2a =
．所以2221a b a c =
=-=，椭圆C 的方程是2x +
2
2
y =1． 解法二（方程法）：设椭圆方程为22221y x a b +=(0)a b >>，由已知1c =，即22
1a b =+，得
222211y x b b +=+P
，1)代入：()22242
22
111213121012b b b b b b b
+=?+=+?--=+ 220,1b b >∴= 椭圆C 的方程是2
x + 22
y =1．
(Ⅱ)（先用特殊值探求，再证明探求的结果）在椭圆方程中，
令1,3x =-得43y =±.如图即有：114
3
ST SA SB ===.这说明
以弦A 1B 1为直径的圆过点T （1,0）.以下我们证明：椭圆中过点
S 的其他弦为直径的圆也过定点T （1,0）只需证明0TA TB ?=
.
设直线AB ：13y k x ??=+ ???.代入椭圆方程,整理得：()2222
2182039k k k x x -+++=. ∵点S 在椭圆内,∴此方程必有二实根12,x x ,且()()
22121222
218,3292k k x x x x k k -+=-?=++.于是 ()()()()11221212111,1,1133TA TB x y x y x x k x k x ?
????=--=--++?+ ? ??
???
()()()()222
12121113939
k x x k x x k =++-+++ ()()()()()()22222221
1182392092k k k k k k k ??=
+---+++=?
?+
可知TA TB ⊥
,也就是任何其他弦为直径的圆都过定点T （1,0）.
x
y S T(1,0)A
B
A 1
B 1
O
图10
练习题
1.（北京东城二模，6题）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线
与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为
（A ）
12-+ （B ）12+ （C ）12- （D ）12
2.（2011.湖北重点学校4月考.文科.9题）.已知抛物线()2
20y px p =>，Rt △ABC 的3个顶点都在抛物线上，且斜边AB ∥y 轴，则斜边上的高为 （ ）
A.2p
B.4p
C.p
D.P/2
3.（湖北武昌，元月考，6题）直线()2y k x =-与抛物线2
8y x =交于A,B 两点.若AB 中点的横
坐标为3，则弦AB 的长为（ ）
A.6
B.10
C.
D.16
4.（2010.北京宣武5月考.8题.）如图抛物线1C ： px y 22
=和圆2C : 42222
p y p x =+??
? ??-，其
中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，
则?的值为（ ） 2
222 (432)
p p p A B C D p
5（2010.北京.崇文.5月考.8题）已知圆的方程2
2
25x y +=，过(4,3)M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ，且,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于 （ ）
（A ）43-
（B ）34- （C ）54- （D ）45
- 6．（2011.元月.海淀.7题）已知椭圆22
:14
x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．
相等的是（ ） A ．0kx y k ++= B ．10kx y --= C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-= 7. （2011.元月.北京西城.14题）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点
11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O 与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的
最小值是____；
圆2
2
1x y +=
上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____. 8（2011.元月.湖北武昌.9题）.如图，已知点P
是圆(2
2
:1C x y +-=的一个动点，点Q 是直
线:0l x y -=上的一个动点，O 为坐标原点，则向量OP 在向量OQ
方向投影的最大值是（ ）
A.3
B. 22
+
C. D.1 9. （湖北黄冈，元月.13题）如果点P 在平面区域??
???≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线22
(2)2
x y ++=上，那么Q P 的最小值为_________
10. （同上，14题）过双曲线22
221x y a b -=(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落
在曲线22
221x y b a
+=上，则双曲线的离心率为 ______________________.
11.（海南12校第一次联考，6题）设双曲线M:()22
21,0,1x y C a -=点，
若直线
()1x t y ?=???
?=+??为参数交双曲线的两渐近线于A,B ，且2BC AC = ，则双曲线的离心率为
B 2
3
A B C D 12.（河北唐山一模.16题）双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,P 为双曲线
右支上一点，2PF 2
2
2
x y b +=与圆切于点G,且G 为2PF 的中点，则该双曲线的离心率e=
13.（重庆7区2月考，8题）设F1，F2分别为双曲线（a＞0,b＞0）的左右焦点，若在
双曲线右支上存在点P，满足
212
PF F F
=,且点P的横坐标为
5
4
c（c为半焦距），则该双曲线的离心率
为
14. （2010.北京西城5月考.8题）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD，设
)
2
,0(
,
π
θ
θ∈
=
∠DAB，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为
1
e，以C，D为焦点且过点A
的椭圆的离心率为
2
e，则（）
A．随着角度的增大，
1
e增大，
2
1
e
e为定值
B．随着角度θ的增大，1e减小，21e
e为定值
C．随着角度θ的增大，1e增大，21e
e也增大
C．随着角度θ的增大，1e减小，21e
e也减小
15.过定点P（3,1）的直线l交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为（）
A.8
B.10
C.12
D.
参考答案
1. （平几给力）△MON是等腰直角三角形，斜边上的高为半焦
距.Rt
12212
,2
MF F MF c F F c
?==
中，.
2
,
MF
∴=)
1
1.
2
a c e
===
则于是离心率
x
y A
23
-2O
A1
M
M1
x
y
O
M
F1F
2x
y
O
A
C
D
2.（设而不求）如图设()()()111122,,,,,A x y B x y C x y -，则斜边上的高12h x x =-.由CA CB ⊥
()()12121212,,0
x x y y x x y y ?-----=()()()()2
2
22
12121212020x x y y x x p x x ?---=?---=
()1212120,=2.2x x x x x x p h p -≠∴--= 约去得：即，故选A.
3. （平几给力）如图，抛物线的焦点为F （2,0）准线方程为:2l x =-.若M 为AB 中点，由A,M,B 分别向准线:2l x =-引垂线，垂足依次为.111,,A M B 那么1MM 是梯形11AA B B D 中位线，且15MM =.故111210AB AA BB MM =+==,选B.
4.（取特殊直线）如图：圆2C 的圆心为抛物线的焦点,02p F ??
???
令直线AD 与x 轴垂直，那么,,2p FA FD p FC FB ====.2
p
AB CD ∴==∵AB 与CD 同向，24p AB CD ∴?= ，故选A. 5.（几何法：利用垂径定理及圆的对称性）如5题解图 显然点(4,3)M -在圆2
2
25x y +=上. 点M 关于y 轴的对称点N （4,3）也在圆2
2
25x y +=上.连ON.∵MN 平分∠AMB,∴N 为 AB 的中点.
必ON ⊥AB.34
,43
ON AB k k =
∴=- 6.（特值法省力）不妨设k=1,则4条直线依次为：A.y=-x-1; B.y=x-1; C.y=-x+1;
D.y=-x+2.
显然，A 与B 关于y 轴对称，B 与C 关于x 轴对称，这3条直线与直线y=x+1被椭圆22
:14
x y E m +=所截得的弦长都相等.故选D.
1题解图
2题解图
3题解图
7.
（数形结合）直线20x y +-=交x
轴于
)(,0,.A
B
显然坐标原点O 与该直线上一点的“折线距离”的最小值等于
OA =设点P 为圆2
2
1x y +=上一点，为求其到该直线上一点 “折线距离”的最小值，显然点P 只能在第一象限的圆弧上. 作PQ ∥x 轴，交该直线于Q ，对于固定的P ，我们证明点P,Q 的折线距离（也就是线段PQ 之长）最小.
若点C 在BQ 上，作CF ⊥PQ 于F ，由于∠BQP=∠BAO ＞45°，
,(,)CF QF d P C PF CF PQ ∴>=+>；
若点D 在AQ 上，仅P,D 横坐标差点绝对值已大于PQ 之长. 现在设(
)sin cos ,sin ,,sin 0,22P Q απαααα??
??
∈
??? ???
??
.那么
(
)()1,sin cos 2d P Q ααα?=
-=+.当且仅当()sin α?+=1
时，所求最小值为
. 8. 解法1.（数形结合）设圆C 垂直于直线:0l x y -=的切线为x=-y+m ，代入
x
y
O
P Q
A
B
C D E x
y
O
P Q C
:0
l x y -=x
y
O A
B
F p 20(/,)C D
y 2px
=24题解图 x
y M(-4,3)
O
A
B(5,0)y=3
c(5,6)
5题解图
y x 1
=--y x 1=-+y x 2
=-+y x 1
=-O
x
y
y x 1
=+6题解图
7题解图
圆的方程：(
)(
(
2
222
y12270 m y y m y m
-++-=?-+++=
令(
)
222
043287060
m m m
?=?++-+=?-+=.
解得：m=
取m=
直线方程为x y
+=令x=y,
得,
Q
则所求投影的最大值为3
OQ==，选A.
解法2.（平面几何给力
）过圆心(0,
C作直线
:0
l x y
-=的平行线，设与圆的上交点为P，PM⊥l于M，又作ON⊥直线CP于
N,
1,sin452,
CP CN OC
==??==
故所求投影的最大值为3
OM NP
==
9.（数形结合）符合题意的平面区域如图所示.作圆的平行于直线
x-2y+1=0的切线，设其方程为2y0.
x m
-+=则圆心M（0，-2）
到此直线的距离4
d m
===-±
取4
m=-+
则切线方程为2y40.
x--+=
所求Q
P
=
10.设双曲线右焦点为F（c,0），取渐近线:
b
l y x
a
=，∵FM⊥l于M,∴直线FM的方程为：
x
y
O
Q
C
:0
l x y
-=
P
M
N
x
y
O
A02
(,)
B10
(-,)
C11
(,)
M02
(,-)
x2y10
-+=
x2y m0
-+=
8题解图1
8题解图2
9题解图
()a y x c b =--由()()0b y x b a a
x x c a a
b y x
c b ?=???+-=?
?=--??
22,c ac a x x ab b c ?=∴=，从而2b a ab
y a c c =?=
,得 2,a ab M c c ??
???
.代入椭圆方程： ()422
2
2224422222a a b a b a b a b b a b a b c c ?+?=?+=+∴=.
11.（减少参数）双曲线的渐近线为x
y a
=±
，直线的一般方程为1y x =+ 由11,;1B
y x
x a x x x a a y a =+??
?=+∴=?-=??
由11,y x x x x a y a =+???-=+?=-?? ,1A a x a ∴=-
+由条件知A 为BC 中点，2.11a a
a a
∴=--+ ()0,12103a a a a ≠∴++-=?= .于是
c e ==
离心率.选B. 【评注】只求x ，不求y ，省力的典范.
12.（回归定义）当2PF 222
x y b +=与圆切于点G 时，有22,c,.OG b OF GF a ==∴=但于是
12222.2a PF PF b a b a =-=-=知290,
OGF ∠=?
222
22225c
OG GF OF a c e a
∴+=?=?=
x
y
O
F c 0(,)M x
y
O
C 01(,)
B
11题解图
13.（取特值，回归定义）不妨令c=4，则点的横坐标为5.如图有
()()122124,0,4,0.8.F F PF F F -==则
作PQ ⊥x 轴于Q,有Q(5,0).且212.PQ PF ==
==，
()()21111282,222c
a PF PF e a
∴=
-=-===离心率 14.（回归定义，三角法）连AC,BD. 不妨设1,AD =则2,22cos AB CD θ==- . 由余弦定理：
AC BD ==.
对于双曲线, ())
111
1,22
a DB DA =
-= 111,c e =∴=
.
0,2πθ??
∈ ???
,∴当θ增大时，1e 减小.
对于
椭
圆,())
21112
2a DA CA =
+=,2221cos 1
1cos ,2c CD e θθ-=
=-∴=, ()()
1221cos 41cos 141cos e e θθθ--?=
==-,故为定值.
15.解法1（三角代换）如15题截图1，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.
x
y
P O
F 1
F 2
b c a a G 12题解图
x
y
F 401(-,)O
F 402(,)
P
Q 50(,)
13题解图
A
B C
D
θ
O
x
y
14题解图
于是△OAB 的周长()()()2cot 12tan csc 2sec L αααα=+++++
()2
2
2
2
21sin 1cos 3sin cos 2cos sin 2cos 222
32sin
cos
cos sin 2
2
2
2
αααα
ααα
α
α
α
α
++=++?
?+ ??
?
=+
+-
2cos sin 2cos sin 2sin 222223cot 3cot 22cos sin cos sin 2222
ααααααααααα????+-+ ? ????
?
=++=++-- 4sin
42
5cot
6cot 12
2cos sin cot 1222
α
α
αααα?
?=++
=+-+
???-- 0,,0,.cot 10,2242παπαα??
??
∈∴∈-> ? ?????
于是610L ≥+=，故选B.
【说明】进一步研究：当且仅当4
cot 12cot 12
α
α-=-，即2
cot 14cot 322αα?
?-=?= ???时等式成
立.此时3
tan 4
α=
.于是41035252,12,33426OA OB AB =+==+?===，满足
OA+AB+OB=10.
解法2.（平几给力）首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径. 如图，设直角△OAB 斜边上旁切圆的圆心为Q （a,a ）
作QH ⊥AB 于H, QM ⊥x 轴于M ，QN ⊥y 轴于N 那么由△QAM ≌△QAP 知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH 且BN=BH.于是
L=QM+QN=2QH=2a.
连PQ,则PQ QH
a ≥=.令,PQ a =即
2650.a a a =?-+=
15题解图1
a=.于是所求△OAB的最小值为L=2a=10. ∴=（舍），或5
a
1
简化解析几何运算的技巧
简化解析几何运算的技巧 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程． 导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ， B 分别是 C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A.2 B.3 C.32 D.6 2 答案：D [方法演示] 解析：由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得???? ? |AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝ 32＝6 2 . [解题师说] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [应用体验] 1．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF | |P A |的最小值为 ________．
解析几何运算处理技巧教师版
解析几何运算处理技巧 考点一 回归定义，以逸待劳 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的 公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A.2 B. 3 C.32 D.62 [解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得???? ? |AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12， 解得a 2＝2， 故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62 . [答案] D [关键点拨] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [对点训练] 1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上 有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－ p 2|AF |－ p 2＝|BF |－1|AF |－1. 2．抛物线 y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为 F ，点P 为该抛物线上的 动点，若点A (－m,0)，则|PF | |P A |的最小值 为________． 解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又 |P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则??? ? |PF ||P A |2 ＝ (x P ＋m )2 (x P ＋m )2＋4mx P ＝ 11＋4mx P (x P ＋m )2 ≥11＋4mx P (2x P ·m )2 ＝1 2(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为2 2 . 答案： 22 考点二 设而不求，金蝉脱壳 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不 求． [典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3， 0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( ) A.x 245＋y 2 36＝1 B.x 236＋y 2 27＝1 C.x 227＋y 2 18 ＝1 D.x 218＋y 2 9 ＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ??? x 21a 2 ＋y 21 b 2＝1，x 22a 2 ＋y 22b 2 ＝1， ①② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2) b 2＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2 a 2. 又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝1 2. 又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18， 所以椭圆E 的方程为x 218＋y 2 9＝1. [答案] D [关键点拨] (1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标， 巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． (2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．
减少解析几何计算量的十种方法
减少解几试题计算量的十种方法 —高考对策之一 在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是： （1）设而不求. 【题1】（湖北黄冈，元月考，10题） 已知直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 ( ) A.6x －5y －28=0 B.6x +5y －28=0 C.5x +6y －28=0 D.5x －6y －28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点 坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率. 若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是： 【解析】由22 2 2 458012016 x y x y +=? +=.∴椭圆上顶点 B （0，4）,右焦点F （2,0）.为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）. 设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，∴221122 224580 4580 x y x y ?+=??+=? ()()()()12121212121212124466 4505545 y y x x x x x x y y y y k x x y y -+-++-+=?= =-?=-?=-+- 所求直线方程为()6 23652805 y x x y += -?--=，选A. 【评注】我们用参数设置了M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求. （2）使用特值 【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为65的双曲线()22 2210x y a b a b -=>>中，F 为 右焦点，过F 点倾斜角为60゜的直线与双曲线右支相交于A,B 两点，且点A 在第一象限，若,AF mFB = 则 m =（ ） x y O B 04(,) M N F 20(,) C 32(,-) 图1
解析几何中计算方法与技巧
解析几何中计算方法与技巧 高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。 一、巧用韦达定理简化运算 1、过二次曲线C 上一点P （x 0，y 0）作直线l ，求l 与C 另一交点。 例1：求直线y=kx+22－k 与椭圆22x +y 2 =1的交点坐标。 2、合二为一的整体运算 例2：过点P （-1，2）作圆C ：（x-1）2+y 2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。 例3：过点P （x 0，-4 1 ）作抛物线y=x 2的两条切线，求证：切点弦过定点。 例4：抛物线y 2=2x 上动点P ，过点P 作⊙C ：（x-1）2+y 2=1的切线PM ，PN 分别交y 轴于M ，N 两点，求△PMN 面积的最小值。 例5：过抛物线x 2=2y 的焦点作斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1和l 2，若l 1交抛物线 于A 、B 两点，l 2交抛物线于C 、D 两点。以线段AB 为直径作圆C 1，以CD 为直 径作圆C 2。若k 1+k 2=2，求两圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程。 二、利用计算的对称性避免重复运算 引例：过原点O 作抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：AB 直线过定点。 例1：设椭圆E ：22x +y 2 =1上一点A （1，2 2），过A 作两条关于平行y 轴的直线对 称的两条直线AC ，AD 交椭圆E 于另两点C 和D 。求证：CD 直线的方向确定。 例2：设曲线C 1：4 2x +y 2 =1与曲线C 2：y=x 2-1。C 2的顶点为M ，过原点O 的直线l 与 C 2相交于A 、B 两点，直线MA 、MB 分别与C 1相交于 D 、 E 。 （1）证明：MD ⊥ME ； （2）若△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，问是否存在直线l 使得21S S =32 17？
(完整)高中数学解析几何解题方法
高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。
解析几何简化运算的几种方法(含答案)
博文教育讲义 课题：简化解析几何运算方法 教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结 教学重点：简化运算方法归纳 教学难点：有关的规律总结与运用 教学过程： 解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。 1.回归定义 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。 例1 过椭圆左焦点倾斜角为 60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____ 解析 本题的常规解法是：联立?? ?? ?+==+)(3,122 22c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解： )2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'= )2(31e BF e AF +=， 另一方面，在F C B Rt '?中C F BF C BF '=?='∠260 , 故.2 BF e BF M C C F FM += '+'=于是 =+)2(31e BF e AF 2 BF e BF FM +=， 又FB FA 2=，所以可得.3 2 =e 练习：设12F F ，是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 () 220.OP OF F P +?= （O 为坐标原点），且123PF PF = ，则双曲线的离心率是（ ） 32 31. .32. .312 2 A B C D ++++ 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OP OF OQ + 2OQ F P ∴⊥ 2OQ F P 且必过的中点.可知12PF F ?为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令 ( ) 21=,3,231PF r PF r a r =∴= - 则，1290,F PF ∠=?但是 O A B A ' B 'F x y M 1 图C C 'x y P O F 1 F 2 Q M
解析几何种技巧(终审稿)
解析几何种技巧 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。 陕西胡波 从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简. 2.活用平几 峰回路转 解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准
确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果. 【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标?水到渠成 【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路 … 更多有关解析几何的解题技巧详见《试题调研》第2辑—三角函数、平面向量、解析几何。本辑定会让你识得了三角、解得了几何、破得了向量，真正做到好题先体验，笑在百花前！
简化解析几何运算技巧专题
专题：简化解析几何运算的5个技巧 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程． 以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1， C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A ．2 B ． 3 C ．32 D ． 62 [解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得???? ? |AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12， 解得a 2＝2， 故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝6 2 ． [答案] D [方法点拨] 本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [对点演练] 抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF | |P A | 的最小值为________． 解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋
高中数学解析几何解题方法总结
高中数学解析几何解题方法总结 老师在讲题的时候，经常如未卜先知一般，就知道已知条件里经常存在着一个自己完全不知道的信息；或者分析着分析着，就突然来句：“这道题可以用反证法/数学归纳法……”解法是很精妙，但换你来做，你就是没有意识到要采用这样的方法。我也曾经问过老师，为什么你们当时会想到用这种方法？得到的也往往是“不知道”、“题目做多了就明白了”。 高中数学解析几何解题方法我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势： (1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，占总分值的20%左右。 (2)整体平衡，重点突出：其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既留意全面，更留意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ① 求曲线方程(类型确定、类型未定); ②直线与圆锥曲线的交点题目(含切线题目);
③与曲线有关的最(极)值题目; ④与曲线有关的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数目特征; 高中数学解析几何解题方法： (3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但假如借助于数形结合的思想，就能快速正确的得到答案。 (4)题型新奇，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。 在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分： (1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类： ①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、间隔、平行与垂直、线性规划等)有关的题目; ②对痴光目(包括关于点对称，关于直线对称)要熟记解法; ③与圆的位置有关的题目，其常规方法是研究圆心到直线的间隔. 以及其他“标准件”类型的基础题。 (2)以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。 预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。
解析几何中的简化运算
解析几何中的简化运算 发表时间：2013-04-23T11:33:42.797Z 来源：《教育学文摘》2013年3月总第79期供稿作者：◆杨福强 [导读] 朗读的形式纷繁多样，不一而足，但各种形式的朗读有各自的功能和适用范围。 ◆杨福强山东省平度开发区高中266700 在解析几何题目时，经常有这样的感觉，思路易找，但计算量太大，往往只开个头做不出正确结果。因而在教学中引导学生探索简便易行的方法降低运算量，是培养和提高学生分析解决问题能力的重要一环。 下面介绍几种简化解析几何运算的方法和技巧： 一、定义法 与圆锥曲线的焦点、焦半径有关的问题，可用定义简化解题步骤。 例1.已知双曲线16x2-9y2=144，设F1、F2为双曲线的左右焦点，设P在双曲线上且|PF1|.|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。解：∵方程是- =1，∴a=3，c=5； 又||PF1|-|PF2||=6且|PF1|·|PF2|=32， ∴|PF1|2+|PF2|2-64=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100， ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°。 二、点差法 与直线和圆锥曲线相交于弦的中点，与斜率有关的问题，运用点差法可获得简捷而巧妙的解题方法。 例2.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦使它恰好被点P平分，求此弦所在的直线方程。 解：设弦的两端点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），斜率为k， ∵y12=6x1，y22=6x2， 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）， ∴= 。∵y1+y2=2，∴k=3， ∴所求弦所在直线方程为y-1=(3(x-4)， 即3x-y-11=0。 例3.已知椭圆+y2=1，求过点A（2，1）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。 解：设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），中点为（x，y），则： +y12=1，+y22=1；两式相减得： +（y1+y2）（y1-y2）=0 ∴＋(y1+y2) =0，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y， ∴x+2y =0；又= ， ∴x+2y =0，∴x2+2y2-2x-2y=0， ∴所求的弦中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）。 三、几何法 在解决直线与二次曲线的问题时，若恰当运用平面几何性质可避免烦琐的运算。 例4.在直线L：2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆Q：x2+y2-4x=0引的切线长最短。 解：（x-2）2+y2=4，如图，设切点为A，∴∠PAQ=90°；∵|PA|2=|PQ|2-4，∴当|PQ|最小时|PA|取最小值。 这时PQ⊥l。∵PQ的方程是y= （x-2）， 由， 可得P点坐标是 （- ，- ）。 四、对称法 解析几何中有许多题都涉及到对称，如光线反射、角平分线、中垂线等，巧妙运用对称可使思路清晰明了，问题化繁为简。例5.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B与∠C的平分线分别是x=0和y=x，求直线BC的方程。
高考数学解析几何实用运算技巧
高考数学解析几何实用运算技巧 数学解析几何运算技巧：分直线与圆，主要的技巧就是数形结合，就是一定要画图才 可以。比如直线的问题，不管是垂直还是平行的这种，都有可能斜率不存在，所以你只要 画个图，多画几种情况就可以了。直线与圆的问题，经常用的就是圆心到直线的距离，半 径和弦长的一半组成直角三角形，然后比如相切的问题，也是转化为直角三角形求解的呢，所以对于直线与圆的问题套路经常是这么处理，还有最大值最小值的问题，都是画图后做 对称，或者转化就会变成比较好解决的问题，所以不会的话就画图思考吧。 数学解析几何运算技巧：椭圆抛物线和双曲线了，这一块说起来就长了，因为圆锥曲 线的问题还是有很多的套路的，首先套路是：设直线方程考虑斜率哦，联立圆锥曲线方程，消元得到一个方程后，分类讨论二次系数为0的问题，如果为0，可以直接求解，如果不 为0，下一步就是判别式大于等于0，并且韦达定理表示出来，这是套路，基本上有个题 目你这么做就算不对的话也可以拿到几分了呢。 数学解析几何运算技巧一、以纲为纲，明晰考试要求 所谓“纲”，主要指《考试说明》和《教学大纲》。简单地说，《考试说明》就是对 考什么、考多难、怎样考这三个问题的具体规定和解说。《教学大纲》则是编写教科书和 进行教学的主要依据，也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。我 们可以结合上一年的高考数学评价报告，对《考试说明》进行横向和纵向的分析，发现命 题的变化规律。 数学解析几何运算技巧二、以本为本，把握通性通法 近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡 化特殊技巧”。就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如，将直线 方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题。尽管复习时间紧张，但我们仍然要注意回 归课本。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和 梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进 行强化训练、复习才有实效。 数学解析几何运算技巧三、以“错”纠错，查漏补缺 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三复习，各类试题要做几 十套，甚至上百套。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写 上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。
用几何性质优化解析几何计算
用几何性质优化解析几何计算 教学设计 海口市第一中学数学组 李哲慧 2012年12月
《用几何性质优化解析几何计算》教学设计 引言：我们在解决解析几何问题时，常常会遇到计算，而有些题目繁琐的计算影响了我们学习解析几何的感情。同时我们又发现一些题目涉及到平面图形的几何性质，如果利用这些性质，可以优化解析几何计算，但我们的学生常常忽略这些重要的性质，本节课意在遇到可以用几何性质优化计算的问题时，不要忽略几何性质，步入繁琐的计算，甚至解不出题目。 一、教学任务分析 1．学情分析：学生已学完高中数学的全部内容，初步掌握解析几何的基本概念、基本题型、基本方法，但灵活应用基础知识解决综合题的能力较弱，计算能力有 待提高，优化计算意识不强。 2．高考中的解析几何：解析几何属高考必考内容，考题涉及图形的几何性质及计算，主要考察数形结合思想，方程思想，对应和运动变化思想等数学思想，既要 求学生的理解能力、分析问题的能力，同时对计算能力要求很高。 3．展示“优化”计算：通过一些题目的几何性质，得出对题目优化计算的解法，同时与代 数法对比，展示用几何性质优化解析几何计算，提高学生数形结合的 解题能力，提高运算速度。 4．学生参与体验：整个过程师生互动，学生观察、体验，在题目的变式中提高发散思维 能力，在题目的由浅入深变换中感受举一反三。 二、教学目标 1．知识层面：由中点（分点）、中垂线，联系三角形中位线、平行线分线段成比例、圆的几何性质、圆锥曲线定义等，要求学生熟悉掌握图形的几何性质，并能灵 活应用。 2．技能方面：①通过对比加强用几何性质优化解析几何计算的能力； ②通过题目的层层深入，提高学生举一反三的能力； ③通过改变题目部分条件，培养学生的发散思维能力，进而提高探究能力。 3．情感方面：在师生互动与学生的交流中，探究问题的发现，分享成功解决问题的喜悦，开阔视野，提升思维的品质，感受几何性质对解析几何计算的优化． 三、重点、难点 重点：用几何性质优化计算． 难点：1．将代数语言转化为几何语言； 2．用几何性质得出简洁的结论．
高中数学解析几何优化计算6大技巧
解析几何优化计算6大技巧 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果． 【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1， C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A.2 B.3 C.32 D.62 【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ， 1|2＋|AF 2|2＝12， 解得a 2＝2， 故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62 .【答案】D [关键点拨] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1 |，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．
(完整版)解析几何七种常规题型及方法
解析几何七种常规题型及方法 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆2222x y a b 1x y a b 2263， 过椭圆C 的右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为22，得228a b +=，………① 又63e =，即222 3 c a =，所以223a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y + =. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：()32y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55x x x x +== 从而() 2 12121226 45 x x x x x x -= +-= ， 由弦长公式，得() 2 2 122646 11355 AB k x x =+-=+ ? =， 即弦AB 的长度为 46 5 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题： 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。 过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+--+-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --= --12121 2 ， 代入得24022x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是24022x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦的中点， 所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 112 28,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+= 则21 21 4y y k x x -= =-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. () 由()241 8y k x y x ?=-+??=??，整理得283280ky y k --+=. 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128 y y k += ，
2.解析几何中的基本计算
§2解析几何中的基本计算 平面上 d = ( X 2 - Xj $ (y 2 - y i 尸 空间中 d= (x 2 - X 1) (y 2-y i ) (Z 2-Z 1) x 「 x 2 1 ■ y i y 2 i ■ (a ) 4 (b) M(x, y, z)为 A 1A 2 的分 点，分割比例一 A I M MA 2 x = X 1 + Ax 2 1 +九 y 1 + A y * y = 1 +几 Z = z 1 +X z 2 1 +丸 空间中 ''一°° < k < 旳 L 人丰-1 入＞0称为内分，■:：： 0称为外分.入=1时, x 1 x 2 x 二 ---- y 1 y 2 乙 Z 2 z 二 ---- M 为A 1A 2的中点: 平面上 ［两点间的距 ［分线段为定比的分点 坐 标］ L'
［平面上三角形的面积］ O\ A 1, A 2, A 3构成逆时针回 路 ［平面上多角形的面积］ 8⑷ A 1, A 2,…,A n 构成逆时针回 路 ［空间中四面体的体积］ h ］ 曲 4任1?v lf 7 这里 MA, MA 2 , MA 3 构 成右手系 ［二面角的角度］ M o , M i , A i , A 为空间中 s = 1 S A =— 2 X 1 y 1 1 X 2 y 2 1 X 3 y 1 当S A =0时，A l , A 2, A 三点共线 s=-f X 1 y 1 + X 2 y 2 +…+ X n y n 2 Q X 2 y 2 X 3 y 3 X 1 y 1 J 当S =0时，A 1, A 2,…,A n n 个点共线 1 V=- 6 X 1 X 2 X 3 y y 1 y 2 y 3 Z 1 Z 2 Z 3 1 1 1 1 x -x 1 x -x 2 X 一 X 3 y - y i y - y 2 y 一 y 3 z 「Z 1 z - Z 2 Z —Z 3 当V =0时, M, A i , A 2, A 四个点共 面 cosE = (M o M XM 0A) '(M o M XM 0A 2) M 0M 沃 MoA M 0M 江 M 0A 2 当M o 为原点，MoA 为x 轴的正向，M 0A 2为y 轴的正向时, 则 xy 2 2、 X ) 当M o 为原点时，M 0A 为x 轴的正向时，则 cos--- 2 2 y z)(z
解析几何8种技巧
本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。 陕西胡波 从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简 2.活用平几峰回路转 解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果
【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标水到渠成
【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路
解析几何公式大全
解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。
《解析几何》课程教案
第一章矢量与坐标 教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质; 2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律; 3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示; 4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。 教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。 教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06 (2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08 授课课时8 §1.1 矢量的概念 教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。 教学重点矢量的两个要素：摸与方向。 教学难点矢量的相等 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06 (2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08 授课课时1 一、有关概念 1. 矢量 2. 矢量的表示 3. 矢量的模 二、特殊矢量 1. 零矢 2. 单位矢 三、矢量间的关系
1. 平行矢 2. 相等矢 3. 自由矢 4. 相反矢 5. 共线矢 6. 共面矢 7. 固定矢量 例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、Ｃ Ｄ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也 成立？ 例2. 回答下列问题： (1) 若矢量//，//,则是否有//？ (2) 若矢量,,共面，,,也共面，则,,是否也共面？ (3) 若矢量,,中//，则,,是否共面？ (4) 若矢量，共线，在什么条件下，也共线？ 作业题： 1. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、 、、、、、和中，哪些矢量是相等的？ 2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相 等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) 、; (2) 、 ; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 矢量的线性运算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的数乘) 教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律; 2、能用矢量法证明有关几何命题。 教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念 教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06 (2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08