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常见级数

一、等比级数（几何级数）

无穷级数：

n n n aq a aq aq aq ∞==++??????++?????∑ 称为等比级数（几何级数），其中0a ≠，q 叫等比级数的公比。 ① 部分和：

2(1)111n

n n n

S a aq aq aq a q a aq q q =+++????==?q

??? ② 等比数列和的性质：

A. 1q <，=n S 1a q ?这时级数收敛，其和为1a q

? B. 1q >，这时级数发散。

n S =∞C. 1q =，的值要视n 的值为奇数还是偶数。 n S

二、 P 级数

11p n n ∞=∑

当P>1,级数收敛。

当P≤1,级数发散。

三、 11l n p n n n ∞

=∑

当P>1,级数收敛当P≤1，级数发散

四、等差级数

3n +++???+???① 部分和： (1)1232n n n S n +=+++????+=

显然，等差级数发散。

五、调和级数： 111123n +++???+??? 其，但是级数发散（对比与性质5）

lim 0n n u →∞= 若调和级数变为：11(1)n n n ∞=?∑即交错级数，按交错级数判别法----莱布尼茨公式其为收敛级数。

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

无穷级数求和问题的几种方法

目录摘要 (2) 1无穷级数求和问题的几种方法 (2) 1.1利用级数和的定义求和 (2) 1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3) 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4) 1.4逐项求极限 (5) 1.5利用Flourier级数求和 (7) 1.6构建微分方程 (9) 1.7拆项法 (9) 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10) 2总结 (12) 3参考文献 (12)

无穷级数求和问题的几种方法摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和定义[1] 若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1 l i m l i m n n n n n S u S ∞ →∞ →∞ == =∑, 则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，记为1 n n u S ∞ ==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列 {}n S 发散，则称级数1 n n u ∞ =∑发散. 例1 求级数()∑∞ =--1 112n n q n ，1≤q 的和 . 解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2) （1）-（2）得： 1 1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+--- 12 112(21)1(1)1n n n q q S q n q q q --=+----- 2 12lim 1(1)n n q S q q →∞ = +-- 即级数和 2 121(1) q S q q = +--.

级数求和的常用方法

四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法学生姓名刘学江院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2008级01班学号2008060122 指导教师李红梅完成时间2012年4月30日

级数求和的常用方法学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法. 关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和 Common Methods of Summing of Series Abstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory，The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series

无穷级数总结

无穷级数总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

无穷级数总结一、概念与性质 1. 定义：对数列12,, ,n u u u ，1 n n u ∞ =∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0≠c ，则∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n cu 有相同的敛散性； ②设有两个级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1 n n v ，若∑∞==1 n n s u ，σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =±=±1 )(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 发散；若∑∞ =1 n n u ，∑∞=1 n n v 均发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数∑∞ =1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞ →n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若0lim =∞ →n n u ，则∑∞ =1n n u 未必收敛； ③若∑∞ =1 n n u 发散，则0lim =∞ →n n u 未必成立．

二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若0n u ≥，则∑∞ =1n n u 称为正项级数. ② 审敛法：（i ）充要条件：正项级数∑∞ =1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界. （ii ）比较审敛法：设∑∞=1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，且 (1,2,)n n u v n ≤=，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散. A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散； B. 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若有1p >使得1 (1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞ =1 n n u 收敛；若 1 (1,2,)n u n n ≥=，则∑∞ =1 n n u 发散. C. 极限形式：设∑∞ =1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，若lim (0)n n n u l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n v 有相同的敛散性. 注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞ =-?? ???≥<-=11 1 11n n r r r a ar 发散； ②-p 级数：∑ ∞ =???≤>1 111n p p p n 时发散时收敛；

无穷级数知识点

无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论

6．常用收敛快慢正整数由慢到快连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→

数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1运用公式法很多数列的前n项和S n的求法，就是套等差、等比数列S n的公式，因此以下常用公式应当熟记: L 1 123n n(n 2 1) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1 111 L 11 1 22232n2 还要记住一些正整数的幕和公式： 2 2 2 2 1 1 2 3 n n(n 1)( 2n 1) 6 小3 小3 3 1 2 “八2 1 2 3 n n (n 1) 4 例1已知数列｛a n｝的前n项和S n32n n2，求数列｛a n｝的前n项和T n. (1) 所以 2 由S n 32n n ,可得a n 16 时,T n=S n 17时， T n T n 求S n 1 33 2n, a n 0 16，所以: 32n a1 (a1 S]6 2S16 2 n 32 n 2 n a2 a2 (S n S n 32n n2 32n 2 (n 1) a n a? S6) 512 512 3 (n 2) (ai7 a18 a n) (n (n 1,2,L 17,且n N ) ,16)

k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.解设a k

S n (12 3 n)(n 1) (12 22 32 n 2) 1 1 n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1 ：n(n 1)(n 2) 6 答案：S n n 2. 答案：S n n 3n . (1) 求 a n ； ⑵设b h log 3a n ，求数列｛bj 的前n 项和S n . 答案：（1） 2 n 1 n n a n 3 ； (2) S n 2 . 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第 16题）已知a n 是首项为1,公差为2的等差数列，S n 表示a n 的前n 项和. (1)求 a n 及 S n ； 2 （2）设b n 是首项为2的等比数列，公比 q 满足q @4 1）q S 4 0，求b n 的通项公式及其前n 项和T n . 答案：（1） a n 2n 1,S n n 2 ；（2） b n 22n1 ,T n 2 （4n 1）. 3 2倒序相加法事实上，等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法 ? 例3 求正整数 m 与n （m n ）之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然，这些既约分数为： 1 2 4 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 3 3 3 3 3 3 高考题1 （2014年高考浙江卷文科第 19题（部分））求数列2n 1的前n 项和S n . 高考题2 （2014年高考四川卷理科第 19题（部分））求数列2n 4的前n 项和S n . 咼考题3 （2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列｛a n ｝中，a 2 3,a 5 81.

(完整版)无穷级数整理

无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么（i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛；（ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么（i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛；（ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，若0lim >=∞→l v u n n n ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.

级数求和的常用方法

1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22n n a a n n s na d +-=+= ），其中1a 为首项，d 为公差证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：2101 2(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1) 1n a q s q -=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

级数求和的常用方法.docx

1.7 方程式法 (3) 1.8 原级数转化为子序列求和 (3) 1.9 数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10 化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11 三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12 构造函数计算级数和 (5) 1.13 级数讨论其子序列 (5) 1.14 裂项法求级数和 (6) 1.15 裂项+分拆组合法 (7) 1.16 夹逼法求解级数和 (7) 2 函数项级数求和 (8) 2.1 方程式法 (8) 2.2 积分型级数求和 (8) 2.3 逐项求导求级数和 (9) 2.4 逐项积分求级数和 (9) 2.5 将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6 利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7 三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8 利用三角公式化简级数 (12) 2.9 针对2.7 的延伸 (12) 2.10 添加项处理系数 (12) 2.11 应用留数定理计算级数和 (13) 2.12 利用Beta 函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性? 1数项级数求和 1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. s=naι n(^d= n(ai,其中a1为首项，d为公差 12 2 证明：s=a∣ +a2+...+a n①，s=a n+...+a2+a1② ①+②得：2s=(a a n)+ a2+a n-1 +...+(a n+a1) 因为等差级数a1■ a n=...=a n+a1 所以S = n(a1? an)此证明可导出一个方法“首尾相加法”见 1.2. 2 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1：求C n l■ 3c1■ 5C n... (2n ? 1)c：. 解：C0■ 3C n ■ 5c2... ■ (2n 1)c∩，s = (2n? 1)c：^ ...5C n '3c∩' C n ,两式相加得： 2s=(2n 2)(C∩ ...c2C n C∩^(Π 1) 2n 1,即： c0 3c1 5c∏ ... (2Π 1)C∏=(Π 1)2n. 1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q=1，s ^na j当q ≠ 1，s=a(I L),其中印为首项，q为公比. 1-q 证明：当q=1 ,易得s=na1，当q ≠ 1, s=a1 +a1q1+...+a1q n4①，qs=a1q+a1q2+...+a1q n②， ①-②得(^q)^a^a I q n.可以导出一种方法“错位相减”见下 1.4

无穷级数收敛方法综述

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：数项级数收敛方法综述专业：数学与应用数学年级：2006级学号：200606030161 作者：王超指导老师：杜祥林（教授）完成时间：2010年5月

目录摘要 .................................................................... I Abstract ............................................... 错误！未定义书签。1引言. (1) 2 数项级数收敛的定义 (2) 2．1 级数的定义 (2) 2．2 数项级数收敛的定义 (2) 3 数项级数收敛的性质 (3) 4 数项级数的收敛方法 (4) 4．1 数项级数的常用收敛方法 (4) 4．2 正项数项级数的收敛方法 (10) 4．2．1 同号级数的定义 (10) 4．2．2 正项级数的收敛方法 (10) 4．3 交错级数的收敛方法 (28) 4．3．1 变号级数与交错级数的定义 (28) 4．3．2 交错级数的收敛方法 (28) 4．4 一般项级数的收敛方法 (30) 4．4．1 绝对收敛与条件收敛 (30) 4．4．2 一般收敛级数判别法 (30) 5 数项级数的收敛方法的优缺点比较 (34) 5．1 数项级数的收敛方法概述 (34) 5．2 各种收敛方法优缺点比较 (35) 5．2．1 对于级数收敛的判别方法优缺点比较 (35) 5．2．2 对于正项级数收敛的判别方法优缺点比较 (35) 5．2．3 对于一般项级数收敛的判别方法优缺点比较 (37) 致谢 (38) 参考文献 (38)

无穷级数公式

常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1312112)1(32111112++++ +=++++--=++++- 级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）： —根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=?? ???=><=?? ???=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理： —的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛： ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n 幂级数：

0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞=== ≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于 ρρρρρ 函数展开成幂级数： +++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! )0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()! 1()()(! )()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数： )()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+ +=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 欧拉公式： ??? ????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或三角级数：。上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(00101 0ππω???ω-====++=++=∑∑∞ =∞= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n 傅立叶级数：

级数求和的常用方法 (2)

1、7方程式法 (3) 1、8原级数转化为子序列求与 (3) 1、9数项级数化为函数项级数求与 (3) 1、10化数项级数为积分函数求原级数与 (4) 1、11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1、12构造函数计算级数与 (5) 1、13级数讨论其子序列 (5) 1、14裂项法求级数与 (6) 1、15裂项+分拆组合法 (7) 1、16夹逼法求解级数与 (7) 2函数项级数求与 (8) 2、1方程式法 (8) 2、2积分型级数求与 (8) 2、3逐项求导求级数与 (9) 2、4逐项积分求级数与 (9) 2、5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2、6利用傅里叶级数求级数与 (10) 2、7三角级数对应复数求级数与 (11) 2、8利用三角公式化简级数 (12) 2、9针对2、7的延伸 (12) 2、10添加项处理系数 (12) 2、11应用留数定理计算级数与 (13) 2、12利用Beta函数求级数与 (14)

参考文献 (15)

级数求与的常用方法级数要首先考虑敛散性,但本文以级数求与为中心,故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题、由于无穷级数求与就是个无穷问题,我们只能得到一个n →∞的极限与、加之级数能求与的本身就困难,故本文只做一些特殊情况的讨论,而无级数求与的一般通用方法,各种方法主要以例题形式给出,以期达到较高的事实性、 1数项级数求与 1、1等差级数求与等差级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公差,并运用公式可求与、 11((1)22 n n a a n n s na d +-=+=）,其中1a 为首项,d 为公差证明:12=++...+n s a a a ①,21s=+...++n a a a ② ①+②得:()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1、2、 1、2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同,便化为一简易级数求与、例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++、解:01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++,210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++,两式相加得:21012(22)(...)(1)2 n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?,即: 01 235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+、 1、3等比级数求与等比级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公比并运用公式可求与、当q =1,1s na =;当q ≠1,1(1)1n a q s q -=-,其中1a 为首项,q 为公比、证明:当q =1,易得1s na =, 当q ≠1,11111=++...+n s a a q a q - ①, 2111=++...+n qs a q a q a q ②, ①-②得11(1)n q s a a q -=-、可以导出一种方法“错位相减”见下1、4

数项级数经典例题大全

第十二章数项级数 1 讨论几何级数∑∞ =0n n q 的敛散性. 解当1||q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0n n q 当且仅当1||

4、讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、证明 2-p 级数∑∞ =12 1 n n 收敛 . 证显然满足收敛的必要条件.令21 n u n = , 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 6、判断级数∑∞ =1 1 sin n n n 的敛散性. (验证0→ /n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑ ∞ =11 n n 发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n

数列求和常用的五种方法

数列求和常用的五种方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 11 2++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21 [+==∑=n n k S n k n 例1．已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x ，由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32=x x x n --1)1(＝2 11)21 1(2 1--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ……………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积当时1=x ，()()[]22 121127531n n n n S n =-+= -+++++=

级数求和的常用方法

级数求和的常用方法 Prepared on 22 November 2020

方程式法 (3) 原级数转化为子序列求和 (3) 数项级数化为函数项级数求和 (3) 化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 构造函数计算级数和 (5) 级数讨论其子序列 (5) 裂项法求级数和 (6) 裂项+分拆组合法 (7) 夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 方程式法 (8) 积分型级数求和 (8) 逐项求导求级数和 (9) 逐项积分求级数和 (9) 将原级数分解转化为已知级数 (10) 利用傅里叶级数求级数和 (10) 三角级数对应复数求级数和 (11) 利用三角公式化简级数 (12) 针对的延伸 (12) 添加项处理系数 (12) 应用留数定理计算级数和 (13) 利用Beta函数求级数和 (14)

参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22 n n a a n n s na d +-=+ = ），其中1a 为首项，d 为公差证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见. 首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：2101 2(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.