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第3讲函数的奇偶性与周期性

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数．

奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．

2．奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的

单调性相反．

(2)在公共定义域内，

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何

值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小

正数就叫作f(x)的最小正周期．

[难点正本疑点清源]

1．函数奇偶性的判断

(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶

性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

2．函数奇偶性的性质

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于

原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

1． (课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是

________．答案 13

解析由f (x )是偶函数知，f (x )＝f (－x )，即ax 2＋bx ＝a (－x )2－bx ，∴2bx ＝0，∴b ＝0. 又f (x )的定义域应关于原点对称，即(a －1)＋2a ＝0，∴a ＝13，故a ＋b ＝1

2． (2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.

答案－9

解析令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，

∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.

3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的

x 的取值范围是________．

答案 (－1,0)∪(1，＋∞)

解析画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞)．

4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则

( )

A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是奇函数

C ．f (x )＝f (x ＋2)

D ．f (x ＋3)是奇函数

答案 D

解析因为f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (2＋x )，f (－x )＝－f (－2＋x )，于是f (x ＋2)＝f (x －2)，即f (x )＝f (x ＋4)，

所以函数f (x )是周期T ＝4的周期函数．所以f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)， f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．

5． (2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ???

?－52等于

( )

A ．－12

B ．－14

C.14

D.1

答案 A

解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ????－52＝f ???

?－5

2＋2 ＝f ????－12＝－f ????12＝－2×12×????1－12＝－12

题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1) 1－x

1＋x

； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3

思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．

解 (1)由?

????

9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.

∴f (x )的定义域为{－3,3}．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．

∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． (2)由?????

1－x 1＋x ≥0

1＋x ≠0，得－1

(3)由?

????

4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.

∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． ∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2

x .

∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数．

探究提高判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；

(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．

下列函数：

①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2

＋1)；④f (x )＝3x －3－

；⑤f (x )

＝lg

1－x

1＋x

. 其中奇函数的个数是

( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 答案 D

解析 ①f (x )＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f (－x )＝±f (x )＝0，则f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数，也是偶函数； ②f (x )＝x 3－x 的定义域为R ，

又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )，则f (x )＝x 3－x 是奇函数；

③由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f (－x )＝ln(－x ＋(－x )2＋1)＝ln 1

x ＋x 2＋1

＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，则f (x )为奇函数；

④f (x )＝3x －3－

x 2

的定义域为R ，

又f (－x )＝3－

x －3x 2＝－3x －3－

＝－f (x )，

则f (x )为奇函数； ⑤由1－x

1＋x >0得－1

f (x )＝ln

1－x

1＋x

的定义域为(－1,1)，

又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ? ????1－x 1＋x －1

＝－ln 1－x

1＋x

＝－f (x )，

则f (x )为奇函数，∴奇函数的个数为5. 题型二函数的奇偶性与周期性

例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]

时，f (x )＝2x －x 2.

(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．

思维启迪：(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )是周期函数；

(2)由f (x )在[0,2]上的解析式求得f (x )在[－2,0]上的解析式，进而求f (x )在[2,4]上的解析式； (3)由周期性求和．

(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．

(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，

∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．

(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，

∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7) ＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.

探究提高判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．

已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1

f (x )

，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________. 答案 2.5

解析由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]

＝－1f (x ＋2)

＝－1

－1f (x )＝f (x )．

故函数的周期为4.

∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.

题型三函数性质的综合应用

例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .

(1)求f (π)的值；

(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．

思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f (π)；然后根据函数图像的对称性、周期性画出函数图像，求图形面积、写单调区间．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，

f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．

故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．

又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．

当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×???

2×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1] (k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3] (k ∈Z )．

探究提高函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图像，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想．

(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则

( )

A ．f (－25)

B ．f (80)

C ．f (11)

D ．f (－25)

解析由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )?f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，

f (80)＝f (0)，故f (－25)

(2)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式 f [x (x －1

)]<0的解集．

解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，且由f (1)＝0得f (－1)＝0. 若f [x (x －1

)]<0＝f (1)，

则???

x (x －12

)>0

x (x －1

2)<1

即0

)<1，

解得1

若f [x (x －1

)]<0＝f (－1)，

则???

x (x －12

)<0

x (x －1

2)<－1

由x (x －1

2)<－1，解得x ∈?.

∴原不等式的解集是

{x |1

等价转换要规范

典例：(12分)函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．

(1)求f (1)的值；

(2)判断f (x )的奇偶性并证明；

(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．

审题视角 (1)从f (1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x 1＝x 2＝1.(2)判断f (x )的奇偶性，就是研究f (x )、f (－x )的关系．从而想到赋值x 1＝－1，x 2＝x ，即f (－x )＝f (－1)＋f (x )．(3)就是要出现f (M )N 的形式求解．规范解答

解 (1)令x 1＝x 2＝1，

有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0.[2分] (2)f (x )为偶函数，证明如下：[4分] 令x 1＝x 2＝－1，

有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．[7分] (3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.[8分] 由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*) ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．

∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．[9分] 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，

∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0. 解得－73≤x <－13或－1

∴x 的取值范围是{x |－73≤x <－13或－1

温馨提醒数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：

(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”，“M ”变形为“N ”． (2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于

f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．

(3)转化的结果要等价．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)?|(3x＋1)(2x－6)|≤64，

且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了.

方法与技巧

1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；

(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．

2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要

先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?f(－x) f(x)

＝

±1(f(x)≠0)．

3．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图像的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

失误与防范

1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．

3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

A组专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·广东)下列函数为偶函数的是() A．y＝sin x B．y＝x3

C．y＝e x D．y＝ln x2＋1

答案 D

解析由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．

2． (2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为

( )

A ．y ＝cos 2x ，x ∈R

B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0

C ．y ＝e x －e －

，x ∈R

D ．y ＝x 3＋1，x ∈R

答案 B

解析选项A 中函数y ＝cos 2x 在区间????0，π

2上单调递减，不满足题意；选项C 中的函数为奇函数；

选项D 中的函数为非奇非偶函数，故选B. 3． (2011·辽宁)若函数f (x )＝

(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于

( )

A.1

B.2

C.34

D ．1

答案 A

解析 ∵f (－x )＝－f (x )， ∴

－x (－2x ＋1)(－x －a )＝－x

(2x ＋1)(x －a )

，

∴(2a －1)x ＝0，∴a ＝1

4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )

A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98

答案 A

解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数，

∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)

5．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －

x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．

答案－1

解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －

x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －

x )，化简得

x (e －

x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.

6．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______.

答案－3

解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，因此f (－x )＋f (x )＝0.当x ＝0时，可得f (0)＝0，可得b ＝－1，此时f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (1)＝3.又f (－1)＝－f (1)，所以f (－1)＝－3. 7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ????x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ???

?x －3

4为奇函数，给出以下四个命题：

①函数f (x )是周期函数；

②函数f (x )的图像关于点????－3

4，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案 ①②③

解析由f (x )＝f (x ＋3)?f (x )为周期函数，且T ＝3，①为真命题；又y ＝f ????x －3

4关于(0,0)对称，

y ＝f ????x －34向左平移3

4个单位得y ＝f (x )的图像，则y ＝f (x )的图像关于点???

?－3

4，0对称，②为真命题；又y ＝f ????x －34为奇函数，∴f ????x －34＝－f ????－x －34，f ????x －34－34＝－f ????34－x －34＝－f (－x )， ∴f ????x －32＝－f (－x )，f (x )＝f (x －3)＝－f ????x －3

2＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，不可能为R 上的单调函数．所以③为真命题，④为假命题．三、解答题(共22分)

8． (10分)已知函数f (x )＝x 2＋a

(x ≠0)．

(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；

(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x ) ，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a

x (x ≠0)，

取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x

任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1

＋1x 1)－????

x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1

x 1x 2

＝(x 1－x 2)????

x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1

∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1

x 1x 2，所以f (x 1)

故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．

9． (12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称．

(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；

(2)若f (x )＝x (0

(2)解由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x . 故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.

从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.

B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

答案 A

解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.

2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2

013)＋f (2 015)的值为