09级高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像

09级高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像 知识清单：

反三角函数符号的运用:

arcsin ,

22

a ππ

?∈-??、

[]

arccos 0,a π∈、

arc tan (,

22

a ππ

∈-

注意：反三角数符号只表示．．．这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.

备注：

以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．

. 函数s i n ()y A

x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x

=????→图例变化为

②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地，

①的单调增区间2,222k k ππππ??-++????

???→变为

222

2

k x k π

π

πω?π-

+++≤≤

的解集是②的增区间.

注:

⑴)sin(

?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω）的周期ω

π

2=T ;

⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2

x k π

π=+

（Z k ∈），对称中心(,0)k π；

cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2

k ππ+；

sin y x = cos y x = ()?ω+=x A y sin （A 、ω＞0）

定义域 R

R

R

值域 [1,1]- [1,1]-

[]A A ,-

周期性

π2

π2

2π

ω

奇偶性 奇函数

偶函数

当,0≠?非奇非偶, 当,0=?奇函数

单调性

[2,

2]22

k k π

π

ππ-

++上为增函数；

3[2,2]22

k k ππππ++上为减函数. （Z k ∈）

()[21,2]

k k ππ-上为增函数;

()[2,21]k k ππ+

上为减函数. （Z k ∈）

12222,k k ππ?ππ?ωω??--+-????????

上增函数；

32222,k k ππ?ππ?ωω??+-+-????????

上减函数

（Z k ∈）

tan y x =

cot y x =

定义域 1|,2x x R x k k Z ππ??∈≠+∈??

??

且

{}|,x x R x k k Z π∈≠∈且

值域 R

R

周期性 π

π

奇偶性 奇函数

奇函数

单调性

??

?

??++-ππππ

k k 2,2上为增函数（Z k ∈）

()()ππ1,+k k 上为减函数（Z k ∈）

)tan(?ω+=x y 的对称中心（

0,2

π

k ）. 课前预习

1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2． 函数1π2sin()23

y x =+的最小正周期T = ． 3．函数sin

2

x

y =的最小正周期是（ ） (A)

2

π

(B)π (C) 2π (D) 4π 4．函数]),0[)(26

sin(2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是( )

(A)]3,0[π (B)]127,12[ππ (C) ]65,3[ππ (D)],6

5[ππ 5．函数2

2cos()()363

y x x πππ=-≤≤的最小值是（ ）

()2A - ()3B - ()1C - ()1D

6．为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）

(A)向右平移

6π个单位长度 (B)向右平移3π

个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3

π

个单位长度

7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平

移

3

π

个单位，所得图象的解析式是__________________. 8． 函数sin 3cos y x x =+在区间[0,2

π

]的最小值为______.

9．适合1

3sin ,,32

x x ππ?

?=-∈????

的角x 是（ ）

1()arcsin()3A - 1()arcsin 3B - 1()2arcsin()3C π+- 1

()arcsin()3

D π--

10．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +

32

5

（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；

⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。 11．求函数f (x )=12

1log cos()3

4

x π

+

的单调递增区间

12．求3arctan 2arctan 1arctan ++的值.

典型例题

EG1、三角函数图像变换 将函数1

2cos(

)32

y x π

=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4

y x π

=-的图像？

变式2：将函数1

2cos()2

6

y x π

=-的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？

变式3：将函数1sin(2)33

y x π

=

+的图像作怎样的变换可以得到函数sin y x =的图像？ EG2、三角函数图像

函数sin()(0,0,02)y A x A ω?ω?π=+>><<一个周期的图像如图所示，试确定A ，,ω?的值．

变式1：已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ?????

?=+<

???????

的图象经过点(01)，

，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为（ ） Ａ．6T =，π6?=

Ｂ．6T =，π3?= Ｃ．6πT =，π6?= Ｄ．6πT =，π

3

?= 变式2：函数πsin 23y x ??=-

??

?在区间ππ2??-????

，的简图是（ ）

变式3：如图，函数π

2cos()(0)2

y x x ωθθ=+∈R ，≤

≤ 的图象与y 轴交于点(03)，，且在该点处切线的斜率为2-． 求θ和ω的值． EG3、三角函数性质

求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．

y

x

3

O

(1) 34sin(2)23

y x ππ=

+； (2) 6sin(2.52)2y x =-++ 变式1：已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??

-

????

上的最小值是2-，则ω的最小值等 于 （ ）

（A ）

23 （B ）3

2

（C ）2 （D ）3 变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）

A ．［2k π－

2

π

，2k π＋

2

π］（k ∈Z ）B ．［2k π＋

2

π，2k π＋

2

3π

］（k ∈Z ） C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 变式3：关于x 的函数f （x ）=sin （x +?）有以下命题：

①对任意的?，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在?，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f （x ）是奇函数； ④对任意的?，f （x ）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时，该命题的结论不成立。 变式4、函数()12sin 4f x x π??= ???

＋的最小正周期是 . 变式5、下列函数中，既是（0，

2

π

）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( ) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2

变式6、已知???

???∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域

变式7、已知函数12

()log (sin cos )f x x x =-

⑴求它的定义域和值域；

⑵求它的单调区间；

⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.

EG4、三角函数的简单应用

电流I 随时间t 变化的关系式sin I A t ω=，[)0,t ∈+∞，设10ωπ=

/rad s ，5A =．

(1) 求电流I 变化的周期； (2) 当11310,,,,20010020050

t =(单位s )时，求电流I ．

变式1：已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ω?=+．

300

-300

1180

-

1900

o

I

t

（１）右图是sin()I A t ω?=+（ω＞0，||2

π?<

） 在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ω?=+的解析式； （２）如果t 在任意一段

1

150

秒的时间内，电流sin()I A t ω?=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

变式2：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似

满足函数y =A sin （ωx ＋?）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．

变式3：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平 衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为6sin(2)6

s t π

π=+.

（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？

（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？ （3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？ EG5、三角恒等变换

化简：

(1sin cos )(sin

cos )2222cos θ

θ

θθθ

++-+．

变式1：函数y ＝

x

x cos sin 21

++的最大值是（ ）．

A.

22

－1 B.

2

2

＋1 C.1－

2

2

D.－1－

2

2 变式2：已知

cos 22

π2sin 4αα=-

?

?- ?

?

?，求cos sin αα+的值． 变式3：已知函数2

π()2sin 3cos 24f x x x ??=+- ???，ππ42x ??

∈????

，．求()f x 的最大值和最小值．

实战训练

1．方程sin x ax =（a 为常数，0a ≠）的所有根的和为 ．

2．函数x x f 2

sin 21)(-=的最小正周期为

3．若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则?ω和的取值是( ) (A)3

,1π

?ω=

= (B)3

,1π

?ω-

== (C)6,21π?ω==

(D)6

,21π

?ω-==

4. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是_____ 5．函数)(2cos 2

1

cos )(R x x x x f ∈-

=的最大值等于 6．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2

?π

<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ） A ．126ω?π=

=， B ．123ω?π==， C ．26ω?π==， D ．23

ω?π==， 7．（2007年辽宁卷7）．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ）

A ．(12)-，

B ．(1

2)，

C ．(12)-，

D ．(1

2)-， 8．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．

π4

Ｂ．

π2

Ｃ．π

Ｄ．2π

9．（2007年江西卷文8）．若π

02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin π

x x <

Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3

sin π

x x >

10．（2007年湖北卷理2）．将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24??

=-- ???

，

a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）

Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ??=-+ ???Ｃ．π2cos 2312x y ??=-- ???Ｄ．π2cos 2312x y ??

=++ ???

11．（2007年海南宁夏卷理3）．函数πsin 23y x ??=- ??

?在区间ππ2??-????

，的简图是（ ）

y

x

1

1-

2

π

- 3

π-

O 6

π

π y

x

1

1-

2

π

- 3π- O 6

π

π y

x

1

1-

2

π

- 3

π

O

6π- π

y

x

π 2

π-

6

π- 1 O 1-

3

π

Ａ．

Ｂ．

12．（2007年广东卷理3）．若函数21

()sin ()2

f x x x R =-∈，则f(x)是

（A ）最小正周期为

2

π

的奇函数； （B ）最小正周期为π的奇函数； （C ）最小正周期为2π的偶函数； （D ）最小正周期为π的偶函数； 13．（2007年福建卷理5）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ?

?

=+> ?3??

的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）

A ．关于点0π?? ?3??

，对称

B ．关于直线x π

=

4对称 C ．关于点0π

?? ?4??

，对称

D ．关于直线x π

=

3

对称 14．（2007年福建卷文5）．函数πsin 23y x ??

=+

??

?的图象（ ） Ａ．关于点π

03?? ???，对称

Ｂ．关于直线π

4x =

对称 Ｃ．关于点π04

?? ???

，对称

Ｄ．关于直线π

3

x =

对称 15．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为

2

π

的是（ ） A ．sin

2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4

x

y = D ．cos 4y x = 16．（2007年江苏卷5）．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--

B ．5[,]66ππ--

C ．[,0]3π-

D ．[,0]6

π- 17．（2007年天津卷文9）设函数()sin ()3f x x x π?

?

=+

∈ ???

R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ??

?

???

，上是增函数

B ．在区间2π??

-π-

???

?

，上是减函数 C ．在区间84

ππ??????

，上是增函数

D ．在区间536

ππ??????

，上是减函数

18．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??

=-

?3??

的图象（ ） A ．向右平移

π

6个单位 B ．向右平移

π

3个单位 C ．向左平移π

3

个单位

D ．向左平移π

6

个单位

19．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ??- ?44??

，

B ．3ππ?? ?44??

，

C ．3π??π ?2??

，

D ．32π??

π

?2??

， 20．（2007年全国卷一理12）函数2

2

()cos 2cos 2

x

f x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ?? ???

，

B ．62ππ?? ???

，

C ．03π?? ???

，

D ．66ππ??- ???

，

21．（2007年安徽卷理6）函数π()3sin(2)3

f x x =-的图象为

①图象C 关于直线π1211

=

x 对称; ②函灶)(x f 在区间)12

π

5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3

π

个单位长度可以得到图象C .

其中正确的个数有（ ）个

（A ）0 （B ）1

（C ）2

（D ）3

22．（2007年北京卷文3）．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ） Ａ．

π2

Ｂ．π

Ｃ．2π

Ｄ．4π

23．（2007年四川）下面有五个命题： ①函数4

4

sin cos y x x =-的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2

k a a k Z π

=

∈ ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36

)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π

π+= ⑤函数sin()0.2

y x π

π=-

在[，]上是减函数

其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号） 24．（07年重庆卷理）设f (x) = x x 2sin 3cos 62

- （1）求f(x)的最大值及最小正周期；

（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α5

4的值。

24．（2007年重庆卷文）（18）已知函数

)

2

sin(42cos 2π

π+

?

?? ?

?

-x x 。

（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且）。（求a f a ,5

3

cos =

25．(2007年辽宁卷19）．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω????=+

+--∈ ? ??

??

?R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；

（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π

2

，求函数()y f x =的单调增区间．

26．已知函数x x x f cos sin )(-=，R x ∈．

（1）求函数)(x f 在]2,0[π内的单调递增区间；

（2）若函数)(x f 在0x x =处取到最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++的值； （3）若x e x g =)(（R x ∈），求证：方程)()(x g x f =在[)+∞,0内没有实数解． （参考数据：69.02ln =，14.3≈π）

实战训练B

1.（全国一8）为得到函数πcos 23y x ??

=+

??

?

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移

5π

12个长度单位

B ．向右平移

5π

12个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向右平移5π

6

个长度单位

2.（全国二8）若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

4.（四川卷５）若02,sin 3cos απαα≤≤>，则α的取值范围是：( ) A ,32ππ??

??? B ,3ππ?? ??? C 4,33ππ

?? ??? D 3,32

ππ

??

???

5.（天津卷6）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 A sin(2)3y x π=-，x R ∈ B sin()26x y π

=+，x R ∈

C sin(2)3y x π=+，x R ∈

D sin(2)3

2y x π

=+

，x R ∈ 6.（天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π

=，则

A c b a <<

B a c b <<

C a c b <<

D b a c <<

7.（安徽卷5）将函数sin(2)3

y x π

=+

的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12

π

-

中

心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12

π

-

B ．(,0)6

π

-

C ．(

,0)12

π

D ．(

,0)6

π

8.（湖北卷5）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(

,3)3

π

平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线

4

x π

=

,则θ的一个可能取值是

A.

π125 B. π125- C. π12

11 D. 1112π-

9.（湖南卷6）函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ??

?

???

上的最大值是( ) A.1 B.

13

2

+ C.

3

2

D.1+3

10.（重庆卷10)函数f(x)=

sin 1

32cos 2sin x x x

---(02x π≤≤) 的值域是

A[-

2

,02

]

B[-1,0] C[-2,0]

D[-3,0]

11.（福建卷9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为

A.

2

π

B.π

C.－π

D.－

2π 12.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2

32cos(ππ

，∈+

=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

13.（海南卷1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）

A. 1

B. 2

C. 1/2

D. 1/3

14.（上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π

2+x )的最大值是

15.（江苏卷1）()cos 6f x x πω??

=-

??

?

的最小正周期为

5

π

，其中0ω>，则ω= ． 16.（广东卷12）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．

17.（辽宁卷16）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ??

????

=+

>= ? ? ?

??????

，，且()f x 在区间63ππ?? ???，有最小值，无最大值，则ω＝__________．

18．（北京卷15）．（本小题共13分） 已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω??

=++ ??

?

（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03??????

，上的取值范围．

19．（四川卷17）．（本小题满分12分）

求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。 20．（天津卷17）（本小题满分12分）

已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2

π

． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 21．（安徽卷17）．已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域

22．（山东卷17）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2

π （Ⅰ）f （

8

π

）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移

6

π

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 23．（湖北卷16）.已知函数117(),()cos (sin )sin (cos ),(,).112

t f t g x x f x x f x x t π

π-=

=?+?∈+

（Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ω?++（0A >，0ω>，[0,2)?π∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.

24．（陕西卷17）．（本小题满分12分） 已知函数2()2sin

cos 23sin 3444

x x x

f x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令π()3g x f x ??

=+

??

?

，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 25．（广东卷16）．已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点

π132M ?? ???

，． （1）求()f x 的解析式；

（2）已知π02αβ??∈ ??

?

，，，且3()5f α=，12()13

f β=，求()f αβ-的值．

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质经典题型 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所 以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。 题型2：三角函数图象的变换 例2．试述如何由y =31sin （2x +3 π ）的图象得到y =sin x 的图象。 解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍 横坐标扩大为原来的3 πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313 π =????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变 倍 纵坐标扩大到原来的 例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲 线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π 个单位和1个单位，因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 题型3：三角函数图象的应用 例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。 解析：根据图象得A =2，T = 27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2 x +?），又由图象可得相位移为－2π，∴－2 1? = － 2 π，∴?= 4π.即y =2sin （21x +4π）。根据条件3=2sin （4 21π+x ），∴421π+x =2k π+ 3π(k ∈Z )或 4 21π+x =2k π+32 π（k ∈Z ），∴x =4k π+ 6 π （k ∈Z ）或x =4k π+ 65π（k ∈Z ）。∴所有交点坐标为（4k π+3,6 π）或（4k π+3,65π ）（k ∈Z ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4：三角函数的定义域、值域 例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。 解析：（1）0≤c os x ＜1?2k π－ 2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2 π ，2 k

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0)

三角函数的图像与性质练习题

. 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 :

由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 )

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

高中数学教案三角函数的图象与性质

高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草

图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究

最新上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ，

高中数学教师备课必备系列(三角函数(一)专题9 三角函数图像与性质

专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进

行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析

高中数学三角函数练习题

高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316

５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

函数图像及性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是)(Z k ∈， 3．对称轴及对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； tan y x =无对称轴，对称中心为k 2 (,0)π ； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。 4．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是?ω+x ，初 相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2 ； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定 φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ ω (即 令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω >

(完整版)高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)

x ?正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 -5 3 7 ~2~ ” - 丁1 T V x 2*伽 -4 -7 -3 ' 、一 -2 -3 - -1 o '2 5 3 J. ‘ 4 2 2 2

y=ta nx J J J 1 Jr jr y y ； 1 1 / / / I ? r / / / y\ y=cotx 1 1 1 \ i 1 ! i I 1 3f-2 1 f J 1 J f f o 2 f I \ I i 1 I L o I I X2 1 三角函数的性质 1定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx. ⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性 （i）g（x 丄^ 丁（x€ R） (x)为偶函数- U 山呂in（曲+ 训+ e二匕T +—〔七W E） 由此得- 同理或劝=丿血(阪+呦〔肚丘)为奇函数u 如卩二0吕貯=匕吋上亡￡)丘）Q..I —「二一L> : C 2. ■■■ □ 为偶函数；.匚」一⑺一".S 为奇函数 O 炉=Rr+ —(h e 7) 3、周期性 1)基本公式 (i)基本三角函数的周期y= sinx , y= cosx 的周期为; y = tanx , y = cotx 的周期为；T? (ii)—"，：'型三角函数的周期 尹=」幻n(购+ 朝 +匕尸=+炉)+上的周期为同 y=cosx

P =」tan （处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为91 . （2）认知 （i ） ?卜巳-，?| 型函数的周期 y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)| 的周期为 7T y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训 的周期为 ? = |了（曲+卩）+円往无0）的周期 》=|￡血（血工+朝胡』=|1（：0￡（处+?+上| y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈 的周期为’； 7T 的周期为'? 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数 的周期不变?注意这一点与（i ）的区别? （ii ） 若函数为-’二 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ） 探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明 ? （3）特殊情形研究 y 二门」 彳J 的解析式施加绝对值后，该函 JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ； y = sin z|+|co5z| 7T 的最小正周期为二； 7T （iii ） y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 . 4、单调性 （1） 基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ① 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ② 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③ 获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 （2） 』— 丁 型三角函数的单调区间

高考全国卷三角函数大题训练

三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。

7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P

必修4三角函数的图像和性质专题练习

三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

(完整版)高一数学三角函数的图像和性质练习题

高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1．若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ） D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 3．函数y=3cos （ 52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5 π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π 4．函数y=2sin 2x+2cosx －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－5 5．下列函数中，同时满足①在（0， 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2x D ．y=|sinx| 6．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7．函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8．函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是（ ）

A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9．函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 10．函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ，所得的曲线对应的函数解析式是____ _____． 11．关于函数f(x)=4sin(2x+π3 )，(x∈R)，有下列命题： （1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); （2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; （4）y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________． 12． 已知函数y=3sin （21x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，求它的振幅、最小正周期和初 相。

高三文科数学三角函数专题测试题

A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结 知识点讲解 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )0,2(),1,2 3(),0,(),1,2(),0,0(ππ ππ-. 在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )1,2(),0,2 3(),1,(),0,2(),1,0(ππ ππ-. 2.

3.)sin(?+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ?的图像与性质 （1）最小正周期：w T π2= . （2）定义域与值域：)sin(?+=wx A y ，）?+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ???-∈+-=+∈+=+; )(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππ ?ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ?-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值 当ππ?π? （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ，

? ????? ? +==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2 000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为 时，，即当的对称轴为时，，即当??π???ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ??? ?? ? ?+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1 )cos()(0000 00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当??ππ???π? 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置. （5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ??? ?∈++∈+?∈++-∈+. )](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππ?ππππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ??∈+∈+?∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间； Z k k k wx Z k k k wx πππ?πππ? （6）平移与伸缩 由函数x y sin =的图像变换为函数3)3 2sin(2++=π x y 的图像的步骤； 方法一：)3 22 (π π + →+ →x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想 欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. ?????→?=个单位 向左平移的图像3 sin π x y 的图像)3 sin(π + =x y 12 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 的图像)3 2sin(π + =x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 的图像)3 2sin(2π +=x y ?????→?个单位 向上平移33)3 2sin(2++=πx y 方法二：)3 22(π π+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 的图像x y sin =1 2 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 ?????→?=个单位 向左平移的图像6 2sin π x y

高中数学必修4 三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质

(1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan( x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π + x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期： (1)) 2 3 sin( x y π π - =；(2))6 3tan(π -=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：