《数学课程标准》的若干思考
４数学通报２００７年第４６卷第５期
这个问题难一些，可以按照扣子的颜色分类，也可以按照扣子的眼数或形状分类，让孩子们来分．不管开始是怎么分的，这样分下去，分到一定程度后，结果是一样的．让学生知道，可以从不同角度思考问题，这都是归纳．分类基本思想：从一个大前提出发分出两类，再细分，标准逐渐加细，但最后结果一样．
到了初中阶段，问题就可以更复杂了：
某电视台希望了解本地区居民喜欢的电视节目的类型，请同学帮助设计一个调查方案．
这个问题就十分复杂了，不同年龄段的人喜欢的节目不同，光知道这个还不行，还得知道不同年龄段的人数占总人口的比例；涉及到不同文化背景及其所占比例；涉及到不同类型的人看电视的时问；涉及到需要调查的人数等等．在做这个调查之前要把方案设计得很周密，分类分得很仔细，把这个特性抓住．但是，这个问题的核心还是在于标准和结果的关系．学生通过类似这样的贯穿始终的训练，是能够逐渐领悟归纳的思想的．
下面说归纳．归纳这种思想方法与分类有关，归纳的基本思路是：在一类事物中，如果我们考察的所有事物都有性质Ａ，则认为这类事物都具有性质Ａ
归纳思想在代数的研究中体现得非常多．比如高斯曾说，在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理．欧拉则认为，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……这类知识是通常所说的用归纳所获得的．包括哥德巴赫猜想、费尔马大定理．下面举一个代数的例子：
在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共１６个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有６０个，有几个椅子和几个凳子？
这是“鸡兔同笼”的问题的变形，但是椅子和凳子相差一条腿，问题相对简单了一些．老师在教的时候要灵活一些，不要显得太聪明，要让学生思考．对于低年级学生，可以让学生列表尝试：
椅子数凳子数腿的总数
１６Ｏ４×１６＝６４
１５１４×１５＋３×１—６３
１４２４×１４＋３×２—６２
这个方法看起来很笨拙，实际上很好，因为这是归纳．只要掌握了这种方法，孩子们碰到新问题就会这样来思考了．不要一开始就讲道理，孩子就没有时间思考了．
到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程椅子数凳子数腿的总数
ａ＝１６１６一ａ＝０４×ａ＋３×（１６一口）一６４ｎ一１５１６一ａ＝１４×ａ＋３×（１６一口）＝６３ａ一１４１６一ａ＝２４×ａ＋３×（１６一口）一６２再比如，级数求和（数学归纳法）
Ａ（咒）：１＋２＋…＋咒＝ｎ（ｎ＋１）／２
Ｂ（咒）：１２＋２２＋…＋舻一ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６Ｃ（咒）：１３＋２３＋…＋矿一？
虽然可以用数学归纳法证明，但得事先知道结论，必须先拿数试一试，然后再用数学归纳法．
挖１２３４５Ａ（靠）１３６１０１５
Ｂ（，１）１５１４３０３５
Ｂ（，２）／Ａ（挖）３／３５／３７／３９／３１１／３
Ｂ（咒）／Ａ（咒）一（２ｎ＋１）／３
Ｂ（咒）＝Ａ（以）（２ｎ＋１）／３一ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６
对于平方和的情况，我们用Ｂ（竹）除以Ａ（ｎ）试一试，就会发现一组比较有规律的数，我们可以猜测一般的结果，然后用数学归纳法验证．
竹１２３４５Ａ（砣）１３６１０１５
Ｃ（，１）１９３６１００２２５
Ｃ（竹）／Ａ（，１）１３６１０１５
Ｃ（咒）一Ａ（，１）?Ａ（他）＝矛（，ｚ＋１）２／４
《数学课程标准》的若干思考
作者：史宁中
作者单位：东北师范大学,长春,130024
刊名：
数学通报
英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS
年，卷(期)：2007,46(5)
被引用次数：15次
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