不等式的性质、解集与解法知识精讲
七年级数学不等式的性质、解集与解法
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
不等式、不等式的性质、不等式的解集、一元一次不等式及其解法
二. 学习重难点： 不等式的性质、不等式的解集以及一元一次不等式的解法是本节课的重点，不等式的性质3及一元一次不等式的解法是难点。
三. 知识要点讲解： 【知识回顾】
1. 一元一次方程：
只含有一个未知数并且未知数的最高次数是一次的整式方程叫做一元一次方程。 2. 一元一次方程的解法步骤： ①、去分母 ②、去括号 ③、移项
④、合并同类项 ⑤、系数化为一
3. 小明用30元钱去购买学习用品，买了2支钢笔，5个笔记本，30元钱恰好用完，若每支钢笔5元钱，求每个笔记本多少元？
解：设每个笔记本x 元，由题意可知： 2×5 + 5x =30
解得：x=4
答：每个笔记本4元
思考：在上题中，若所花钱数不超过30元，则每个笔记本的价格将不超过多少元？
【新课讲解】
1、不等式的意义：
定义：一般地，用符号“<”（或“≤”）， “>”（ 或“≥”）连接的式子叫做不等式。 问题：两个小朋友在一起玩游戏，比较一下，谁的个子高，结果大的比小的个子高出2cm 。小的不服，灵机一动说：“我们到平台上再比试比试。”于是他们就来到了3米高的平台上重新测量。如果以地面为参照物，你认为结果怎样？
你认为他们第二次测量结果同第一次相比会发生变化吗？从中你受到什么启发？ 2、不等式的基本性质 不等式的基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式,不等号的方向不变. 做一做：完成下列填空。
若2＜3，则：2×5 3×5； 若2＜3，则：2
12?
213?；
若2＜3，则：2×（－1） 3×（－1）；
若2＜3，则：2×（－5） 3×（－5）； 若2＜3，则：2×（21-
） 3×（2
1
-） 不等式的基本性质2
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向要改变. 思考：你能说出使不等式x+3>5成立的未知数的值吗？__________
使不等式x+3>5成立的未知数的值有几个？______________ 3. 不等式的解集：
①、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 ②、一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③、求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ④、不等式解集的数轴表示：
如：将解集x<2在数轴上表示出来
将解集x ≥－3在数轴上表示出来
注意：“<”、“>”用空心点“○”表示，“≤”、“≥”用实心点“.
”表示。 4、一元一次不等式、一元一次不等式的解法： ⑴、一元一次不等式的定义：
只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的整式不等式
⑵、一元一次不等式的解法的步骤： ①、去分母 ②、去括号 ③、移项
④、合并同类项 ⑤、系数化为一
注意：①、不等式的解法与方程的解法类似，可类比方程的解法学习不等式》 ②、在不等式的两边同除以一个负数，不等号的方向改变。
【典型例题】
应用1、不等式性质的应用：
例1、利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”： （1）若a ＞b ，则2a+1 2b+1; （2）若y 4
5
-
＜10，则y -8； （3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c bc+c ；
（4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c 0。
例2、（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）； ③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则
① b a + c b + ② b a - c b - ③
ac c bc (＞0） ④
c a c
b
（c ＜0）
例3、按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。 （1）a ＞b 两边都加上-4； ____________________、（______________________________________） （2）-3a ＜b 两边都除以-3； ____________________、（______________________________________） （3）a ≥3b 两边都乘以2； ____________________、（______________________________________） （4）a ≤2b 两边都加上c ； ____________________、（______________________________________）
例4、根据不等式的性质，把下列不等式化为x ＞a 或x ＜a 的形式（a 为常数）： （1）
x 31＞231--x ； （2）)6(2
1
21x x -≤； 解：（1）不等式两边同乘以3得： （2）不等式两边同乘以2得 x >－x －6 x ≤6－x 2x>－6 2x ≤6 x>－3 x ≤3 （3）x 3-＞2； （4）23+-x ＜32+x 解：（3）不等式两边同除以－3得： （4）移项、合并同类项得： x<3
2
-
－5x<1 不等式两边同除以－5得 x>5
1-
总结：不等式的性质是解一元一次不等式的依据。所以，要正确地解一元一次不等式，首先应掌握不等式的性质的应用。
应用2、一元一次不等式的解法
思考：解一元一次不等式时应注意哪些问题？解一元一次不等式的步骤是什么？
答：解一元一次不等式的过程中，有些过程与解一元一次方程应注意的问题一样，如去分母时不要漏乘，去括号时注意符号．特别是当系数化为1时，若乘数或除数是负数时一定要改变不等号的方向．
例5、
解：去分母，得
5（y －1）－6＞8（y ＋1） 去括号，得 5y －5－6＞8y ＋8 移项，合并同类项得－3y ＞19
例6、
解：去分母，得12（x ＋1）＋2（x －2）＜21x －6 去括号，得12x ＋12＋2x －4＜21x －6 移项，合并同类项得－7x ＜－14 系数化为1，得x ＞2
注：在用数轴表示不等式的解集时，应注意“＞”与“≥”符号的区别，如在数轴上表示x ＞1的解集的正确表示法：如（图1） x ＞1的解集不包括1，而x≥1的解集包括1，也就是说x=1也是x≥1的一个解．表示x ＞1的解集时应用空心圈．表示x≥1的解集时应用实心圆．这两种表示法是有区别的．
图1
例7、
解：
∴它的非负整数解是：0，1，2，3
方法总结：利用数形结合的思想确定一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集，是正确解题的一种方法．如果仅凭头脑想象找不等式的非负整数解，容易产生错解及丢解、多解的现象，因此，在解题时，应借助数轴准确地求出解集．
【中考链接】
1、若0a b <<，则下列式子：
①12a b +<+；②1a b >；③a b ab +<；④11
a b
<，正确的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：C
2、不等式30x -<的解集是 ．
3、不等式50x --≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）
4、关于x 的不等式22x a -+≥的解集如图所示，a 的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．2- D ．4-
【课堂小结】
同学们，今天我们主要学习了不等式的意义、性质、不等式的解集以及一元一次不等式的解法，在解一元一次不等式时，不等式的两边同除以一个负数，不等号的方向改变。
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题（每小题2分，共36分）
1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞8
2、下列不等式一定成立的是（ ）
A 、5a ＞4a
B 、x +2＜x +3
C 、－a ＞－2a
D 、
a
a 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8
**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）
A 、m ＞
23，n ＞－31
B 、m ＞3，n ＞－3
C 、m ＜23，n ＜－31
D 、m ＜23，n ＞－3
1
*8、 下列说法中，正确的有（ ）.
① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b
m
m <则a b <；④若a b <，则22
am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集 D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集 10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）. A 、a ＞b
B 、ab ＞0
C 、
a
b
＜0 D 、-a ＞-b 11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）. A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、无限多个
**12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a －4x D 、 x 2<－4x *14、关于x 的方程
2435
x a x b
++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥5
3a
C 、5a =3b
D 、5a ≥3b
15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）.
A 、18
B 、19
C 、20
D 、21
16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-
B 、5>3
C 、0a 12>+
D 、a a ->
**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10 A 、1y x 2 1 <- B 、02x 3x 2>+- C 、2 x 141x 2+= + D 、 x 6 1 x 31x 21>+ 二、填空题（每小题2分，共36分） 1、不等式6－2x ＞0的解集是________. 2、当x ________时，代数式 5 2 3--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m -28 . 4、若x = 2 3 +a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________. 5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________. 6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方. *7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________. 8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式 238654x --< -<-的解集为______. 10、当a b >，则2 ab b <成立的条件是______. *11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空： 11 (1)_____;(2)100_____100; 22 (3)1.5_____1.5;(4)_____. 1212a b a b a b a b --++-- 13、不等式的性质： （1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9. 15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________. 17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________. 18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2 312x x +- , 2103 y y --<, 7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________. 三、解答题 1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3） 132+-x ≤4 2 +x ； （4） )69(6 1 23--x x ≥7+x ． 2、（6分）当x 取什么值时，代数式5（x -1）-2（x -2）的值是正数？是负数？ 3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。一实验中学25名学生通过了预选赛，他们分别可能答对了多少道题？ ** 4、（6分）商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价虽比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度，现将A 型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）。 5、（6分）如图1所示，小李决定星期日登A 、B 、C 、D 中的某山，打算上午9点由P 地出发，尽可能去最远的山，登上山顶后休息一小时，到下午3点以前回到P 地.如果去时步行的平均速度为3 km/h ，返回时步行的平均速度为4 km/h.试问小李能登上哪个山顶？（图中数字表示由P 地到能登山顶的里程） 图1 【试题答案】 一、选择题： ABAAB ADBCD BBCDB DDD 二、填空题 1、x<3 2、3 2≥ x 3、m>2 4、1 6、m ≠－4,n<3 7、5 11 155 8、5m-3≥0 9、3 1032<<- x 10、b<0 11、a>3n-2m 12、<、<、<、> 13、（1）>（2）>（3）如果m >n , p<0, 那么mp 17、1，2，3，4，5 18、2， 21 03 y y --<，7x +5≥5x +6 三、解答题 1、（1）x >－3（2）2 7 x ≤（3）x ≥2（4）x ≤－6（数轴略） 2、当31 x > 时，代数式5（x -1）-2（x -2）的值是正数 当3 1 x <时，代数式5（x -1）-2（x -2）的值是负数 3、每位同学至少答对12道题 4、2190x+0.40×365×10×1≤2190×1.1+0.55×365×10×0.4 解得：x ≤0.8 至少打8折 5、A 或C 第五讲 不等式的解法、性质与证明 一、不等式的性质： ⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>?>，; ⑶(可加性)a b a >?;(同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>，； 0a b c ac bc ?><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>（）⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>（≥） ⑺(倒数法则)11 0a b ab a b ? >><， 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若a>b ，则ac 2>bc 2 ； （2）若 a c 2>b c 2 ，则a>b ； （3）若a>b ，且ab ≠0，则1a <1b ； （4）若a>b ，c>d ，则ac>bd ； （5）若a>b ，且k ∈N +，则a k >b k ； （6）若a>b>0，则a a >a b ；（7）若a>b>0，则b 2 +1a 2 +1 > b 2a 2 2、比较下列各组数的大小，其中x ∈R 。（1）x 2+3与3x ；（2）x 6+1与x 4+x 2 ；3）11+x 与1-x 。 3、已知a,b 为正数，试比较a b +b a 与 a +b 的大小。 4、已知a>b ，则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1 a 中不能成立的个数是（ D ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、已知12 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 科 目数学授课 日期 课 时 4 教学 内容 1.1不等式的性质与解集班级 授 课 方 式 讲授法、练习法课型新授课 教学目的1、理解实数的大小与比较,会用数轴上的点表示实数 并比较大小 2、理解不等式的性质,并学会应用性质比较大小 3、理解集合的概念,掌握集合的表示方法,并学会表 示不等式的解集 教 具 多媒体 重点1、用数轴上的点表示实数并比较大 小 2、应用不等式性质比较大小 3、不等式解集的表示 难 点 应用不等式性质比较大小 课后 分析 说 明 审阅签名：年月日 教学环节教师活动学生活动设计意图及资源准备 组织教学10分钟1、师生互相问候 2、检查学生出勤 1、师生互相问 候 2、向教师报告 出勤情况 设计意图： 营造课堂气氛 资料准备： 多媒体课件 新课导入10分钟日常生活中,我们在考察事物的时候经常要进行大 小、轻重、长短的比较。在数学中常应用不等式 知识来研究这类问题。不等式是进一步学习数学 和其他科学的基础，在本章中,我们将学习不等式 的性质及其解法。 对问题进行思考 以及回答 设计意图： 导入本节课内容。 资料准备： 多媒体课件 讲授新课60分钟一、实数的大小 我们知道,实数与数轴上的点之间可以建立一一对 应关系 例如,点A与数2对应,点B与-3对应等,可以 看到,当数轴上一点P从左向右移动时,它对应的 实数就从小到大变化 数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边 的点对应 的实数大 例如,点A位于点B的右边,则点A对应的实数2 比点B 对应的实数-3大,即2>-3 在数轴上,如果点A在点B的右边,点A对应的实 数为a 点B对应的实数为b,则有a>b或b0?a>b a-b=0?a=b a-b<0?ab,那么a+m>b+m 如果a 不等式的基本性质 各位老师，同学： 大家好！ 今天我说课的内容是人教版九年义务教育七年级下册第九章第一课时第二小节《不等式的基本性质》。（板书题目） 接下来我将从教材分析，学情分析，学法教法，教学过程，板书设计五个方面来说说我对本节课的理解与教学设计。 一、教材分析 教材是我们教学活动的主要依据，透彻的了解教材也是上好一节课的关键。首先来说说本节课的教材。 我将从教材的地位与作用，教学目标，教学重点与难点三个方面对本节课的教材进行说明。 （一）教材的地位与作用。 不等式是初中代数的重要内容之一，而不等式的性质又是重中之重。一方面，它是初中阶段最基础、最重要的一个转折；而另一方面，学好不等式的性质能帮助学生从整体认识整式性质与不等式性质的区别；在此基础上，可以使学生对生活中的数学问题有新的认识，从而扩大学生的认知结构。同时，不等式的性质还蕴含着丰富的数学思想和方法。因此这也是前后数学知识衔接的桥梁和纽带。因此学好本节课有着非常重要的作用。 教学目标 根据新课改的要求及教材的特点，我确定了如下的教学目标： 知识目标掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用； 能力目标经历探索不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题、解决问题的能力； 情感目标开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。 情感态度与价值观的培养，是学生全面发展的需要，该目标具体到本节课为通过让学生学习用不等式的基本性质解决相关问题获得成功体验，增强学好数学的信心。 教学重点难点 根据教材内容的特点，结合新课程改革的基本要求，我认为本节课的重点是：理解不等式的三个基本性质。 由于在探究的过程中，需要采用类比的方法来得出结论，对学生的抽象思维能力要求较高，但对于七年级的学生而言，其形象思维能力占主导地位，在探究的过程中难免会遇到困难。根据学生的这一特征，我认为本节课的难点为：对不等式的基本性质3的重点认识。 二、学情分析 学生是课堂的主人，只有了解学生才能有针对性的教学。接下来说说学生。 我们知道，现在的学生几乎不存在学不会的情况，而是没有掌握正确的学习 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 x50 是一个一元一次不等式． 3 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的 解集 . 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义： 《不等式的性质》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若a＜b，则下面可能错误的变形是（） A．6a＜6b B．a+3＜b+4C．ac+3＜bc+3D．﹣ 2．（5分）已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（） A．4a＜4b B．﹣2a+4＜﹣2b+4 C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣4＜3b﹣4 3．（5分）下列式子一定成立的是（） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1） 4．（5分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．2﹣a＜2﹣b D． 5．（5分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（） A．a+7＜b+7B．C．﹣5a＞﹣5b D．9a﹣2＞9b﹣2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是． 7．（5分）已知a＞b，则﹣4a+5﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 8．（5分）若x＞y，则﹣x﹣2﹣y﹣2（填“＜”、“＞”或“＝”）9．（5分）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a2﹣3b．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．（5分）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m， 最小值为n，则m﹣n＝． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？ 12．（10分）阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y＝2，∴x＝y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围． 13．（10分）根据不等式的基本性质，把﹣2x＜15化成“x＞a”或“x＜a”的形式． 14．（10分）若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 15．（10分）根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）10x﹣1＞7x； （2）﹣x＞﹣1． 1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集； 2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式. 重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质； 难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用. 第12讲不等式定义及其性质 不等式的定义 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式. 例如：2 ≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠ 52,314,10,10,0,35 a x a x a a 2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 注意：不等式32 ≥成立． =成立，所以不等式33≥成立；而不等式33 ≥也成立，因为33 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”. 例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式. 练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系. 练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】﹣3＜0，x≥2，x≠3，x+1＞y都是表示不等关系的式子. 利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式. 列不等式 1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系. 2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号 一．选择题（共27小题） 1．已知a＞b，则在下列结论中，正确的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣2a＜﹣2b C．|a|＞|b|D．a2＞b2 2．若x+a＜y+a，ax＞ay，则（） A．x＞y，a＞0 B．x＞y，a＜0 C．x＜y，a＞0 D．x＜y，a＜0 3．若a＜b，则下列各式中一定正确的是（） A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．﹣a＞﹣b 4．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（） A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b 5．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（） A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax 6．实数a，b，c满足a＜b＜0＜c，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜﹣c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 7．如果c为有理数，且c≠0，下列不等式中正确的是（） A．3c＞2c B．C．3+c＞2+c D．﹣3c＜﹣2c 8．如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．B．C．D． 9．若a＜b＜0，则下列各式错误的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．C．D．2a﹣1＜2b﹣1 10．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a2＜ab B．ab＜b2C．D．7a﹣7b＜0 11．若0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．x2＞＞x B．＞x2＞x C．x＞＞x2D．＞x＞x2 12．如果a＜b＜0，那么下列不等式中成立的是（） A．﹣3a＜﹣3b B．a3＜b3C．a2＜b2D．c﹣a＜c﹣b 13．已知﹣4x＞3，则下列不等式中，错误的是（） A．﹣4x+1＞4 B．﹣4x﹣3＞0 C．x＞﹣D．﹣x＞1 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) 不等式的性质及其解法 第一部分：基础回顾 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 姓名学科韦日辉 数学 学生姓名 年级年级 填写时间 教材版本 2014-- 北师大版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时 课题名称 课时计划 共（）课时 （全程或具体时间） 上课时间:00-:00同步教学知识内容 教学目标 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 不等式的概念、性质及解法中考要求 内容 不等式(组) 不等式的性质 基本要求 能根据具体问题中的大小 关系了解不等式的意义． 理解不等式的基本性质． 了解一元一次不等式(组) 略高要求 能根据具体问题中的数量关系列 出不等式(组)． 会利用不等式的性质比较两个实 数的大小． 会解一元一次不等式和由两个一 较高要求 能根据具体问题中的数量关系列 解一元一次不 等式(组) 的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问 示(确定)其解集． 例题精讲 会根据条件求整数解．题． ⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ； ⑵ y 的 与 4 的和小于 x ； > ) < ) 板块一、不等式的概念和性质 ?不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其 相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。 【例1】用不等式表示数量的不等关系． （1） a 是正数 （2） a 是非负数 （3） a 的相反数不大于 1 （4） x 与 y 的差是负数 （5） m 的 4 倍不小于 8 （6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数 （7） x 的 3 倍不大于 x 的 1 3 （8） a 不比 0 大 【巩固】用不等式表示： 1 2 5 3 ⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2 的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ． 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1 ?不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c 如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1) 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或 如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或 a b c c a b c c 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 《不等式及其解集》教案 秭归县新滩中学 郑少琼 教学目标： 一、知识与能力： 了解不等式概念； 理解不等式的解集； 能用数轴表示不等式的解集； 二、过程与方法： 经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想； 三、情感、态度与价值观： 通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域． 教学重点： 正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上． 教学难点： 正确理解不等式解集的意义. 教具： 课件 教学过程： 一、创设情景，导入新课 1、很多人在自己的童年生活中，都做过跷跷板的游戏，当一个大人和一个小孩同时坐上等臂长的跷跷板的两边时会发生什么现象呢？这是什么原因呢？ 2、一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A 地50千米，要在12：00到达A 地，车速应该具备什么条件？如果要在12：00之前驶过A 车速又应该满足什么条件？ 问题一：汽车能在12：00准时到达A 地 问题二：汽车能在12：00之前到达A 地 （意图：从实际问题引入不等式，同时从等式自然的过度到不等式） 50x 3 2或32x 50==32x 50?50x 3 2? 二、探究新知 (一)不等式的概念 上面的两组式子有什么不同点. 在学生对比的基础，师生共同归纳得出，用不等符号连接表示不等关系的式子叫不等式 练习1：下列式子是否是不等式？ （1）-2＜5 （2）x +3＞2x （3）4x -2y ＜0 （4）a -2b （5）x 2 -2x +1＜0 （6）a +b ≠c （7）5m +3=8 （8）x ≤-4 练习2：用不等式表示： （1）a 与1的和是正数； （2）a 是非负数； （3）a 与b 的和不小于7； （4）a 与2的差大于-1； （5）a 的4倍不大于8； （6）a 的一半小于3. (二)不等式的解、不等式的解集 x +3>7中x =5满足不等式吗？ 我们把x =5带入不等式发现，左边=8右边=7 8>7成立，所以5是不等式x +3>7的解，不等式x +3>7还有其它的解吗？ 什么是不等式的解？ 学生总结： 1、不等式的解就是能使不等式成立的未知数的值； 2、不等式的解不止一个； 师生归纳： 一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫解不等式 练习 3.下列说法正确的是（ ） A.x =3是2x >1的解 B.x =3是2x >1的唯一解 C.x =3不是2x >1的解 D.x =3是2x >1的解集 4.下列数值哪些是不等式x +3>6的解？你能确定它的解集吗？ -4， -2.5， 0， 1， 2.5， 3， 3.2， 4.8， 8， 12 50x 3 2或3250==x 32x 50?50x 3 2? 不等式的基本性质及其解集 一、不等式的性质 1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +?> c a b a c b +?<+, c b + 2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若：0,>>c b a ，可得ac bc ． 3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 若ac c b a ?<>0, bc ． 二．不等式的解集 1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 x < ②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需 要变号。 典型例题 例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7 （2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围. 例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。 A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围． 思考题．设c b a ,,均为正数，若a c b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小． y k 2x (第3题图) 9.1.2 不等式的性质 要点感知不等式的性质有： 不等式的性质1 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向__________，即如果a>b,那么a±c__________b±c. 不等式的性质2 不等式的两边乘(或除以)同一个__________数,不等号的方向不变，即如 果a>b,c>0,那么ac__________bc(或a c __________ b c ). 不等式的性质3 不等式的两边乘(或除以)同一个__________数,不等号的方向改变，即如 果a>b,c<0,那么ac__________bc(或a c __________ b c ). 预习练习1-1若a>b，则a-b>0，其依据是( ) A.不等式性质1 B.不等式性质2 C.不等式性质3 D.以上都不对 1-2若a＜b，则3a__________3b，-7a+5__________-7b+5(填“＞”“＜”或“=”). 知识点1 认识不等式的性质 1.如果b>0，那么a+b与a的大小关系是( ) A.a+ba C.a+b≥a D.不能确定 2.下列变形不正确的是( ) A.由b>5得4a+b>4a+5 B.由a>b得b2y得x<-4y D.-5x>-a得x> 5 a 3.若a＞b,am＜bm,则一定有( ) A.m=0 B.m＜0 C.m＞0 D.m为任何实数 4.在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a-3>-3,那么a>0；______________________________. (2)如果3a<6,那么a<2；______________________________. (3)如果-a>4,那么a<-4.______________________________. 5.利用不等式的性质填“>”或“<”. (1)若a>b,则2a+1__________2b+1； (2)若-1.25y<-10,则y__________8； (3)若a 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号： 学员编号： 年 级：高一 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 不等式的基本性质和解法 授课时间 教学目标 1.不等式的基本性质能够灵活应用 2.不等式的解法，包括一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 重点、难点 一元二次不等式的解法 考点及考试 要求 一元二次不等式，绝对值不等式和分式不等式的解法 教学内容 一、知识要点： 1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有： (1)对称性或反身性：a>b ?bb ，b>c ，则a>c ； (3)可加性：a>b ?a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac 掌握不等式的性质，应注意： (1)条件与结论间的对应关系，如是“?”符号还是“?”符号； (2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的 例1： 1)、5768--与的大小关系为 . 2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 . 3）已知,αβ满足11123αβαβ-+??+? ≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围. 例2.比较()2 1+a 与12+-a a 的大小。 例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。 ` 不等式（组）的概念、性质及解法知识讲解 不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 52, a 3 1 4, x 1 0,a2 1 0, x 0,3 a 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ ”和“ ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向 改变成与其相反的方向，如：“ ”改变方向后，就变成了“”。 【例 1】用不等式表示数量的不等关系． （1）a是正数 （2）a是非负数 （3）a的相反数不大于 1 （4）x与y的差是负数 （5）m的 4 倍不小于 8 （6）q的相反数与q的一半的差不是正数 （7）x的 3 倍不大于x的 1 3 （ 8） a 不比0大 【巩固】用不等式表示： ⑴x 的1 与 6 的差大于 2 ；⑵y 的 2 与 4 的和小于x ；53 ⑶ a 的 3倍与 b 的1 的差是非负数；⑷x 与 5 的和的 30% 不大于 2 ．2 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数；⑵ y的3倍小于2； ⑶ x与1的和大于0；⑷ x与4的和大于1 不等式基本性质 基本性质１：不等式两边都加上( 或减去 ) 同一个数 ( 或式子 ) ，不等号方向不变． 如果 a b ，那么 a c b c 如果 a b ，那么 3 x2 a ( x 1) 基本性质２：不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a b ) c c 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a b ) c c 基本性质３：不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变． 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a b ) c c 如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或 ax b ) 不等式的互逆性：如果a b ，那么 b a ；如果 b a ，那么 a b ． 不等式的传递性：如果a b ， b c ，那么a c ． 易错点：① 不等式两边都乘( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【例 2】⑴如果a b ，则 2 a a b ，是根据； ⑵如果 a b ，则 3a3b ，是根据； ⑶如果 a b ，则 a b ，是根据； ⑷如果 a 1 ，则a2 a ，是根据； ⑸如果 a 1 ，则 a2 a ，是根据． 学科教师辅导讲义 学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课主题第09讲-不等式的基本性质与解集 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 ①了解不等关系； ②掌握不等式的基本性质； ③掌握不等式解与解集的概念与表示方法。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 一、知识梳理 1、不等式的定义：一般的，用符号“<”（或“≤”）“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。 2、常用的不等号： 种类符号实际意义读法 小于号< 小于、不足小于 大于号> 大于、高出大于 小于或等于 号 ≤不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）大于或等于 号 ≥不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）不等号≠不相等不等于 3、列不等式： 体系搭建 不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤： （1）分析题意，找出题中的各种量； （2）寻找各种量之间的相等或者不等关系； （3）用代数式表示各种量； （4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。 4、不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 5、不等式的其他性质 （1）对称性，也叫互逆性：若a b > ，则b a < 。 （2）传递性：若a b >，b c > ，则a c > 。 （3）若0ab > ，则,a b 同号，反之，若,a b 同号，则0ab > ； 若0ab < ，则,a b 异号，反之，若,a b 异号，则0ab <。 （4）若0a b -> ，则a b >，反之，若a b >，则0a b ->； 若0a b -< ，则a b < ，反之，若a b <，则0a b -<。 6、不等式的解集 （1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 （3）不等式的解与不等式的解集的区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。 7、不等式解集的两种表示方法 （1）用不等式表示 （2）用数轴表示 8、解不等式 求不等式的过程叫做解不等式。不等式解法性质与证明
{高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
1.1不等式的性质与解集
人教版不等式的基本性质说课稿
一元一次不等式的解法(教师版).doc
人教版七年级数学下册《不等式的性质》拔高练习
人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(教师版)
不等式的性质及解集
高中数学知识点：不等式的性质及解法
高考数学-不等式的性质及其解法
不等式的概念、性质及解法
不等式及其解集教案
不等式的性质、解集与解法
人教版七年级下册数学练习不等式的性质
不等式的基本性质和解法
不等式组的概念、性质及解法同步.docx
初二-第09讲-不等式的基本性质与解集(提高)-教案
- 不等式的基本性质及解法讲解学习
- 不等式(组)的概念、性质及解法(同步)资料讲解
- 绝对值不等式的性质及其解法
- 不等式性质及解法资料讲解
- 高中数学知识点：不等式的性质及解法
- 不等式解法口诀word版
- 不等式的基本性质及解法
- 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
- 一元一次不等式的解法(教师版).doc
- 不等式性质及解法
- 不等式性质及解法
- 高中数学基本不等式的解法十例
- {高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
- 不等式的解法和性质
- 不等式的基本性质及解法讲课教案
- 不等式的基本性质及解法教学提纲
- 不等式及其性质与解法
- 不等式性质及解法教学内容
- 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
- 不等式的概念、性质及解法