经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)
习 题 一
写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；
(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；
(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).
解 (1) Ω={正面，反面} △
{正，反}
(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m }
掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，
B ＝“奇数点”，
C ＝“点数小于5”，
D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.
解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A Ω
A 与
B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，
C ?D.
3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来.
解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.
313221A A A A A A B ++=
B －
C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =
321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =-
4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来.
解 B A A B A +=+
C B A B A A C B A ++=++
C B A B B AC +=+
BC A C B A C B A AB C ++=-
5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.
解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件.
三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.
7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系
.
图1－1
图1－2
解 由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有
A ＝C +F ，C 与F 互不相容，
D ?A ?F ，A ?C.
8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.
解 记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有
P (A )＝=Ω
##A 28152
81
315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，
余下同)
9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.
解 设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.
14
9
1)(1)(2825=-==C C B P B P －
10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率. 解 设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此
4
3
821#1)(1)(=-=Ω-
=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.
解 设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.
15
8
11)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃
从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较
方便.
12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：
(1)四张花色各异；
(2)四张中只有两种花色.
解 设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.
，1
13113113113452##C C C C A ， C Ω==
） ＋#2
13213113
3131224C C C C C C B （= 105013##)(452
4.C ΩA A P ===
30006048＋74366##)(452
）
（.C ΩB B P ===
13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，
求总值超过壹角的概率.
解 设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.
)＋(＋C ＝##2
5231533123822510
C C C C C C A C Ω
， = 50252
126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝
14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下
列事件的概率：
A ＝“三次都是红球” △ “全红”，
B ＝“全白”，
C ＝“全黑”，
D ＝“无红”，
E ＝“无白”，
F ＝“无黑”，
G ＝“三次颜色全相同”，
H ＝“颜色全不相同”，
I ＝“颜色不全相同”.
解 ＃Ω＝33
＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，
＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8， ＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，
＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24
27
1)()()(===C P B P A P
27
8)()()(=
==F P E P D P 9
82724)(,92276)(,91273)(======
I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.
解 设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.
＃Ω＝126，＃A ＝21
12
4611C C 0073.012
21780
##)(6
＝＝Ω
A A P = 16. 事件A 与
B 互不相容，计算P )(B A +.
解 由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0
.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P
17. 设事件B ?A ，求证P (B )≥P (A ）. 证 ∵B ?A
∴P (B -A )＝P (B ) - P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )
18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，
P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ). 解 由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有
P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3a
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a 19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.
解 设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本
点数目为＃A ＝3
46C ，因此
P (A )＝1-P (A )＝1-3
50
3
461C C ΩA
－＝＃＃
＝0.2255
20. 已知事件B ?A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.
解 因B ?A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,?a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：
1＜b ≤a ≤e
21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，
P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来). 解 由于对任何事件A ，B ，均有
AB ?A ?A +B
且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有 P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )
22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一
年以365天计算).
解 设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目
为＃A ＝364100
，而样本空间中样本点总数为
＃Ω＝365100
，所求概率为
100
100
3653641##1)(1)(-
=Ω-=-=A A P A P = 0.2399
23. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率. 解 设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.
210
80
##)(4
101
212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P
24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.
解 设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85
P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )
＝0.92＋0.08×0.85＝0.988
P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.058
25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学
成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ). 解 P (A ｜B )＝7.04
.028.0)()(==B P AB P
P (B ｜A)＝7.0)
()(=A P AB P
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.52
26. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，
P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).
证 ∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1
∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B )
)(1)
()()
()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］
整理可得
P (AB )＝P ( A ) P ( B )
27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )
? 0.7＝0.4＋0.6P ( B ) ? P ( B )＝0.5
28. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为
什么?
解 因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.
29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.
解 设事件A i 表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8
P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +
＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.896
30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别
为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.
解 设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.
P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448
31. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二
者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解 设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则
P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P (A m )＝0.58m －1 × 0.42
32. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼
镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.
解 设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝4
1，设事件B
表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.
P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4) ＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4
1
4
14
14321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜
P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )
=)41(12
1
3
141≤≤=
?j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )
=4
1×31×21=24
1（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)
×P (A 4｜A 1A 2A 3)
=2411213141=
???
8
5241241121414)(3
424=-?+?-?=C C B P
8
3
)(1)(=-=B P B P
33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整
除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3). 解 依题意P (A 2)＝2
1，P (A 3)＝3
1
P (A 2A 3)＝P (A 6)＝6
1
P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)
＝3
26
13
12
1=-+
P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝3
16
12
1=-
34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，
0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.
解 设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，
)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ==
=0.2×0.3×0.4×=0.024
P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6=0.336
P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )
=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)
＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188
(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.976
35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问
谁先投中的概率较大，为什么?
解 设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.
?+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P
?????=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42
7
4
3.01
4.0=-=
计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.
36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生
中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率. 解 设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有
P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )
＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.905
37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.
解 设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：
P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，
P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005
＝∑=3
1
)|()(i i i A B P A P
＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 ＝0.0035
38. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A
时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.
解 设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 37.03
24.03
13.0=?+?=
39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号
球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?
解 设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.
4
1
)()(,2
1)(321===A P A P A P
41
)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P
41
)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P
6
1
)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P
应用全概率公式∑==31
)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出48
11
)(,4813)(,
2
1)(321=
=
=B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大.
40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个
甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率. 解 设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式
)
|()()|()()
|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=
01
.09965.095.00035.095
.00035.0???=＋ 25.0=
41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比
为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.
解 设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有
∑==31
111)
|()()
|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P
7
3
05020＋1030＋06.05.006.05.0=????=
....
7
4
)|(1)|(11=-=B A P B A P
42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，
15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率. 解 设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.
∑=
=4
1222)
|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P
1
.05.04.03.03.015.0005.03
.015.0?+?+?+??=
=0.209
43. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率. 解 39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式
2
1
2
12121)()|()()|(111111=?
==B P A B P A P B A P 44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随
机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已
知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.
解 设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )
∑++?===20
10100
1098101001099)1(3
1
)|()()(i i i C C C C A B P A P B P
37.0)
(31
)|(0==
B P B A P 45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为
λλ-=
e !
n p n
n n =0, 1, 2, …
其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少? 解 设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意
λ
λ-==e !
)(n p A P n n n
???
≤≤=-n
k q
p C n k A B P k
n k k n n k 00)|(＞
其中q =1－p . 应用全概率公式有
∑∑∞
=∞
===k
n n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0
∑∞=-λ
--λ
=l
n k
n k n
q p k n k n n !
)(!!
e !
∑∞
=-λ
--λλk n k n k
k n q k p !
)()(e !)
( 由于q k n k n k n k n k n q k n q λ∞
=--∞
=-∑∑=-λ=-λe !
)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e
)(e e !)()(===--k k
p k p B P p
p q k k λλλλλ
习 题 二
1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布. 解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.
2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.
解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知
{})2,1,0(2
20
215
5===-m C C C m X P m
m 依次计算得X 的概率分布如下表所示：
3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.
解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有
{}16
94302
=???
??==X P
{}1664341112=
??? ????? ??==C X P
{}1614122=??
?
??==X P
4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X
的概率分布.
解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表示抽取n 次，前n －1次均
未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为4
1431
?
??
? ??
-n . 因此X 的概率分布为 {}?=?
?
?
??==-,2,143411
n n X P n
5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ；
(2)取到的旧球个数Y .
解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.
{}{}44
9
11
91232431=
?====X P X P {}220
9
1091121233=
??==X P
{}220
1
991011121234=
???=
=X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .
{}{}43
10====X P Y P
{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220
143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.
{}220
1
0312
33===C C X P
{}22027
13122
319=
==C C C X P {}220108
23121329=
==C C C X P
{}220
84
331239===C C X P
7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.
解 根据{}∑=∞
=1
1n n X P ＝, 有
∑-=
=∞
=1
11n n p
p P 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.
8. 已知P {X ＝n }=p n ， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.
解 112
26
42=-=?+++p
p p p p 解方程，得p =2±/2
9. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值.
解 ∑=+?++==100
1
5050)10021(1n c c cn ＝
解得 c ＝1/5050 . 10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?
解 ,11
21
∑=∑∞=∞=n n n n
c p 由于级数∑∞=1
21n n
收敛, 若记∑∞
=1
21n n =a ,只要取a
c 1=, 则有∑∞=1
n n p =1, 且
p n ＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布.
11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等
并又组成等差数列，求X 的概率分布.
解 设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =3
1, 但是a －d 与a +d 均需大于零,
因此｜d ｜＜3
1, X 的概率分布为
其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜3
12. 已知{}λ-==e !
m c λm X P m
,m =1, 2, …, 且
λ＞0, 求常数c .
解
{}∑∑∞
=-∞
====1
1e
!1m m m m c m X p λ
λ
由于∑
∑∞
=∞
==+=1
0e !
1!
m m
m m
m m λ
λλ
, 所以有
∑∞
=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !
m m c c m c λλλλ
λ 解得 λ--=e
11c
13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人
投篮的命中率分别为0.4及0.5，求： (1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.
解 设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独立.
(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4
= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, … {})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---==
=0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3k k=1, 2, … (2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P
{}n n n n B A B A B A p 212223211---+ )5.06.04.0()5.06.0(1?+?=-n ,2,13.07.01=?=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P
{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P )4.05.05.0(6.0)5.06.0(1?+???=-n
，
2,13.042.01=?=-n n 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经
过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车). 解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .
P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.1296 15.
??
?∈=.
,
0],[,sin )(其他，b a x x x f
问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果 (1).π2
3 ,)3( ;π,0)2( ;2
π,0======b a b a b a π
解 在［0,
2
π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π
≠?x x ,1d sin 2π0
=?
x x 而在??
?
???π23,π上,sin x
≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一
个概率密度函数. 16.
??
???≤=-.
0,00e )(,22
x x c
x x f c
x ，＞
其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?
解 易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又
1d e 20
2
=?-∞
+x c
x c
x f (x )是一个密度函数 .
17.
??
?+=.
0.
2＜＜,2)(其他，
a x a x x f
问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解 如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，
444|d 22
22≥+==??++a x x a a a a
由于x x f d )(?+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数. 18. 设随机变量X ～f ( x )
??
?
??
∞++=.
,0,,)
1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.
解 )arctan 2
π(2arctan π
2d )1(π22a x x x a
a
-π==+??+∞+∞
解方程 π2??
?
??a arctan － 2π=1 得 a = 0
{}b x x x f b x P b b
arctan π
2
|arctan π2d )(000==
?=＜＜ 解关于b 的方程：
π
2
arctan b =0.5
得 b =1.
19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为
???
??≥=.
100,
0,100100)(2
＜x x x x f
3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使
线路正常工作的概率.
解 串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则
3])150([)(＞X P A P =
{}3
2
d 1001502150
=
?∞
+x x X P ＝＞ 27
8
)(=
A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算
P { |X | ≤1 }.
解 A x A x A x x 2d e 2d e 10||=?=?=∞
+-∞+∞
-- 解得 A ＝2
1
{}??
---==≤10|
|11
d e d e 2
11||x x X P x x 632.0e 11≈-=-
21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋
4xY +Y +2=0有实数根的概率.
解 4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是
△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则
{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P =0.6
22. 设随机变量X ～ f ( x )，
??
???-=.
,01||,1)(2
其他，＜x x
c
x f
确定常数c ，计算.21||?
??
?
??≤X P
解
π|arcsin d 11112
1
1
c x c x x c ==-?=--
c =π
1
3
1arcsin 2d 1121||0
21
21
21 2=
π=-π=????
??
≤?-x
x x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为
??
?
??≥=.
1,1,10,
0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜ 确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).
解 连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1.
??
?
??=.
,0,10,21
)(其他＜＜x x
x f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P
24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) . 解 {}t x X P x F t x d e 2
1)(||-∞-?=≤=
当t ≤ 0时，
x t x
t x F e 2
1d e 21)(=?=∞
- 当t ＞0时， t t t x F t x t t x d e 2
1
d e 21d e 21)(-00||?+?=?=-∞--∞-
x x ---=-+=e 2
11)e 1(2121
25. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?
解 不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.
26. 随机变量X ～f ( x )，并且)
1(π)(2
x a
x f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P .
解
a x a x x a ==?+=∞
+∞-∞
+∞
-arctan π
d )1(π12
因此a =1
x x
t t t x F ∞-∞
-=?+=arctan π1
d )1(π1)(2
x arctan π
1
21+= {}?+=?+=-1
2112d )
1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x
27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：
?????
≤-=.
2,
02,1)(2x x x
A x F ，＞
确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .
解 由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得
4,04
1==-A A
{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜
=0.75
28. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝
,e
e x
x A
-+确定A 的值；求分布函数
F ( x ) .
解 ?+=?+=∞
∞-∞∞
--x A x A x x x x d e
1e d e e 12
A A x 2
π
e a r c t a n ==∞∞
- 因此 A ＝π
2，
x
t x
t t
t x F ∞
-∞--=+=?
e arctan π
2
d )
e e (π2)(
x e arctan π
2
= 29. 随机变量X ～f ( x )，
?????=.,00,π2)(2
其他＜＜a
x x
x f 确定a 的值并求分布函数F ( x ) . 解
2
20
2
2
2π
π
d π21a x x x a a ==?=
因此，a = π 当0＜x ＜π时，
?=x x t t
x F 0222π
d π2)(
???????≥≤=π
1,π0,π0,0)(22x x x
x x F ＜＜
30. 随机变量X 的分布函数为
)0(0
,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax
??
?
??++-
≤=-
求X 的概率密度并计算?
??
?
??a X P 10＜＜.
解 当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0； 当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )
???
??≤=-.
0,e 2
,0,0)(23＞ x x a x x f ax
)0()1(1010F a F a x P a x P -=????
??
≤=??????＜＜＜
08.0e 2
511≈-=-
31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.
解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2
其他
＝1}＝P {X ＝1}＝0.7
X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0} ＝P { X ＝0 } ＝0.3
P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.7 32. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,3
1 =n n
Y =l gX ，求Y 的概率分布. 解 Y 的取值为±1, ±2 , …
P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =3
1
P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝3
1
n ＝1 , 2 , …
33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布. 证 设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,
a
x y h b y a y h x y
1
)(,)(1)(='='-=
= ],
,[,)
(1
])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当
]
,[2b ab b a y ++∈时，
f Y ( y ) =0.
类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］
??
?
??+≤≤+--=.
,0,
,)
(1
)(2其他b a y b ab a b a y f Y
因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布. 34. 随机变量X 服从［0 ,
2
π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度
f Y ( y ).
解 y =cos x 在［0, 2
π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos y
h′ ( y ) =
2
11y
-- , f x ( x ) =
π
2
, 0 ≤ x ≤
2
π
. 因此
?
?
???
-=.
0,10,1π2)(2
其他，＜＜y y
y f Y
35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求
随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .
解 y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且
x′y =
y
1 , f X ( x ) =1
0 ＜ x ＜ 1 , 因此有
??
???.
,0,e 1,1)(其他 ＜＜y y
y f Y
在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且
x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有
??
?∞+=-.
,
0,0e )(其他＜＜，
z z f z z
36. 随机变量X ～f ( x ) ，
??
?≤=-0
,
00
,
e )(x x x
f x ＞ Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .
解 当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y
????
?≤=-.
0,
0,
0,
e 2)(2
y y y y f y Y ＞ 当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =
z
, x′ z =
z
21
??
?
??≤=-
.
0,00e 21)(z ，z z
z f z
z ＞
37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)
1(2
)(2x x f +=
π, Y =arctan X ,
Z =
X
1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与
fz ( z ) .
解 由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在
??
?
??-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π
2时，
π
2
)tan 1(π2sec )(22=
+=y y
y f Y 即
Y 服从区间(0 , 2
π)上的均匀分布.
z
= x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z
1
, x′
z
=2
1z
-. 因此当z ＞0时，
)
1(π2
])1(1[π21)(222z z
z z fz +=+-=
??
?
??
≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞
即Z =
X
1 与X 同分布.
38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点
横坐标X 的密度函数f X ( x ) .
解 如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.
???
??≤≤=.
,
0π0,π1
)(其他，R l R
l f L
M 点的横坐标X 也是一个
随机变量，它是弧长L 的函
数，且
X ＝ R cos θ ＝ R cos
R
L
函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为
l ＝ R arccos R
x
2
2
x
R R l x
--='
当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有
2
22
2
π1π1)(x R R x
R R
x f X -=
?
--=
当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .
39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解 根据第2题中所求出的X 概率分布，有
2
1
38
2238
15138
210=?+?+?=EX
亦可从X 服从超几何分布，直接计算
2
120521=?==N N n
EX 在第3题中2
1
16121661169
0=?+?
+?=EX
亦可从X 服从二项分布(2，4
1)，直接用期望公式计算：
2
1
412=?==np EX
在第5题中
(1) 3.1220
1422093449
2431=?+?
+?+?=EX
(2) 3.0220
13220924491430=?+?+?+?=EY
在第6题中，25.2220
843220108222027122010=?+?+?+?=EX
图2-1
在第11题中，??? ??+?+?+??
? ??-?=d 3133
12d 3
11EX
3
1
｜＜d ＜｜0 d 22+=
40. P { X = n } =n
c , n =1, 2, 3,
4, 5, 确定C 的值并计算EX .
解 160
13754325
1==++++=∑=c c c c c c n c n
137
60
=
C 137
300551
=
=∑?
==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算
EX .
解 设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 }
＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/6
3
1
631620611=?+?+?-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于
( EX )2 ?
解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64
EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )2
43. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正
整数. 解 当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞
?收敛，因此
0d e 5.0||=?=-∞
+∞-x x EX x n n 当n 为偶数时，
x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞
+-∞+∞-?=?= !)1(d e 0n n x x x n =+Γ=?=-∞+ 44. 随机变量X ～f ( x ) ，
??
?
??-≤≤=.
,0,21,
2,10,)(其他＜＜x x x x x f 计算EX n (n 为正整数) . 解
x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(2
11
01?-+?=?=+∞
+∞-
1)2(2
1)12(122121-+--+++=
++n n n n n
)
2()1(222
++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，
??
?≤≤=.,
0,
10,
)(其他
x cx x f b
其他 其他
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
经济数学基础试题及答案.docx
经 济 数 学 基 础 （ 0 5 ） 春 模 拟 试 题 及 参 考 答 案 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各函数对中， （ ）中的两个函数是相等的． A ． C ． f ( x) x 2 1 ， g(x) x 1 B ． f (x) x 2 ， g ( x) x x 1 f ( x) ln x 2 ， g( x) 2 ln x D ． f (x) sin 2 x cos 2 x ， g ( x) 1 2．设函数 f ( x) x sin 2 k, x x 1, x 0 在 x = 0 处连续，则 k = ( ) ． A ．-2 B ．-1 C ． 1 D ．2 3. 函数 f ( x) ln x 在 x 1处的切线方程是（ ）． A. x y 1 B. x y 1 C. x y 1 D. x y 1 4 ．下列函数在区间 ( , ) 上单调减少的是（ ）． A ． sin x B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5. 若 f x x F x ) c ，则 2 （ ） . ( )d ( xf (1 x )dx = A. 1 F (1 x 2 ) c B. 2 C. 2F (1 x 2 ) c D. 1 F (1 x 2 ) c 2 2F (1 x 2 ) c 6 ．下列等式中正确的是（ ）． A . sin xdx d(cos x) B. ln xdx d( 1 ) x
C. a x dx 1 d( a x ) D. 1 dx d( x ) ln a x 7．设 23，25，22，35，20，24 是一组数据，则这组数据的中位数是（）． A.23.5 B. C.22.5 D.23 22 8．设随机变量 X 的期望E( X ) 1 ，方差D(X) = 3，则 E[3( X 22)]= ()． A. 36 B. 30 C. 6 D. 9 9．设 A, B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A. ( A B)1 A 1 B 1 B. C. ( AB T)1 A 1 (B T ) 1 D.( AB) 1 B 1 A 1 ( kA) 1kA 1（其中k为 非零常数） 10 ．线性方程组1 1x13 23x29 A．无解C．只有0解满足结论（）． B．有无穷多解D．有唯一解 二、填空题（每小题2 分，共 10 分） 11．若函数f ( x 2)x2 4 x 5 ，则 f ( x)． 12．设需求量q对价格p的函数为q( p) 100e p 2 ，则需求弹性为 E p ． 13．d cosxdx．
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案 第一篇 微分学 一、单项选择题 1. 下列等式中成立的是(Ｄ)． A ． e x x x =+ ∞ →2)11(lim B ．e x x x =+∞→)2 1(lim C ．e x x x =+ ∞ →)211(lim D ． e x x x =++∞→2)1 1(lim 2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等． A ．2)(,)(x x g x x f = = B ．x x g x x f ln 5)(,ln )(5== C ．x x g x x f ln )(,)(== D ．2)(,2 4 )(2-=+-= x x g x x x f 3. 下列各式中，（ Ｄ ）的极限值为１ ． A ．x x x 1sin lim 0 → B ．x x x sin lim ∞→ C ．x x x sin lim 2 π→ D ． x x x 1 sin lim ∞→ 4. 函数的定义域是5arcsin 9 x 1 y 2x +-= （ B ）． A ．[]5,5- B ．[)(]5,33,5U -- C ．()()+∞-∞-,33,U D ．[]5,3- 5. ()==??? ??=≠=a ,0x 0x a 0 x 3x tan )(则处连续在点x x f （ B ） ． A ． 3 1 B ． 3 C ． 1 D ． 0 6. 设某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系为则边际收益函数为,2 p -3e Q =（ C ）. A ．2p -e 2 3- B ．23p Pe - C ．2)233(p e P -- D ．2)33(p e P -+ 7. 函数2 4 )(2--=x x x f 在x = 2点（ B ）. A. 有定义 B. 有极限 C. 没有极限 D. 既无定义又无极限 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 经济数学基础形成性考核册及参考答案(二) （一）填空题 1.若 c x x x f x ++=? 22d )(，则___________________)(=x f .答案：22ln 2+x 2. ? ='x x d )sin (________.答案：c x +sin 3. 若 c x F x x f +=?)( d )(，则(32)d f x x -=? .答案：1 (32)3 F x c -+ 4.设函数___________d )1ln(d d e 12 =+?x x x .答案：0 5. 若t t x P x d 11)(02 ? += ，则__________)(='x P .答案：2 11x +- （二）单项选择题 1. 下列函数中，（ ）是x sin x 2 的原函数． A ． 21cos x 2 B ．2cos x 2 C ．-2cos x 2 D ．-2 1cos x 2 答案：D 2. 下列等式成立的是（ ）． A ．)d(cos d sin x x x = B ．)d(22 ln 1 d 2x x x = C ．)1d(d ln x x x = D ． x x x d d 1= 答案：B 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． A ．?+x x c 1)d os(2， B ．? -x x x d 12 C ．? x x x d 2sin D ．?+x x x d 12 答案：C 4. 下列定积分计算正确的是（ ）． A ． 2d 21 1 =? -x x B ．15d 16 1 =? -x C ． 0d sin 22 =?- x x π π D ．0d sin =?-x x π π 答案：D 5. 下列无穷积分中收敛的是（ ）． A ． ? ∞ +1 d 1x x B ．?∞+12d 1x x C ．?∞+0d e x x D ．?∞+0d sin x x 答案：B (三)解答题 1.计算下列不定积分 电大经济数学基础12全套试题及答案 一、填空题(每题3分，共15分) 6 ．函数()f x =的定义域是 (,2](2,)-∞-+∞U ． 7．函数1 ()1x f x e =-的间断点是 0x = ． 8．若 ()()f x dx F x C =+?，则()x x e f e dx --=? ()x F e c --+ ． 9．设10203231A a ????=????-?? ，当a = 0 时，A 是对称矩阵。 10．若线性方程组1212 0x x x x λ-=??+=?有非零解，则λ= －1 。 6．函数()2 x x e e f x --=的图形关于 原点 对称． 7．已知sin ()1x f x x =-，当x → 0 时，()f x 为无穷小量。 8．若 ()()f x dx F x C =+?，则(23)f x dx -=? 1 (23)2 F x c -+ ． 9．设矩阵A 可逆，B 是A 的逆矩阵，则当1 ()T A -= T B 。 10．若n 元线性方程组0AX =满足()r A n <，则该线性方程组 有非零解 。 6．函数1 ()ln(5)2f x x x =++-的定义域是 (5,2)(2,)-+∞U ． 7．函数1 ()1x f x e =-的间断点是 0x = 。 8．若 2()22x f x dx x c =++? ，则()f x = 2ln 24x x + ． 9．设1 112 2233 3A ?? ??=---?????? ，则()r A = 1 。 10．设齐次线性方程组35A X O ?=满，且()2r A =，则方程组一般解中自由未知量的个数为 3 。 6．设2 (1)25f x x x -=-+，则()f x = x2+4 ． 7．若函数1sin 2,0(),0 x x f x x k x ?+≠? =??=?在0x =处连续，则k= 2 。 作业三 （一）填空题 1.设矩阵???? ??????---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a .答案：3 2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则T AB 2-=________. 答案：72- 3. 设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件 是 .答案：BA AB = 4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X . 答案：A B I 1 )(-- 5. 设矩阵??????????-=300020001A ，则__________1=-A .答案：??????? ?????????-=31000210001A （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若 B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若A C AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠答案C 2. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，且乘积矩阵T ACB 有意义，则T C 为（ ）矩阵． A ．42? B ．24? C ．53? D ．35? 答案A 3. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． ` A ．111)(---+=+ B A B A ， B ．111)(---?=?B A B A C ．BA AB = D ．BA AB = 答案C 4. 下列矩阵可逆的是（ ）． A ．??????????300320321 B ．???? ??????--321101101 C ．??????0011 D ．?? ????2211 答案A 5. 矩阵???? ??????---=421102111A 的秩是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案B 三、解答题 1．计算 （1）????????????-01103512=?? ????-5321 （2）?????????? ??-00113020??????=0000 （3）[]???? ? ???????--21034521=[]0 [试卷信息]: 试卷名称:经济数学基础 [试题分类]:经济数学基础 [试卷大题信息]: 试卷大题名称:单选题 [题型]:单选题 [分数]:5 1、{ ()()f x g x 与不表示同一函数的是 [ ] 2 2 ()()0()()0 011()()1(1)()arcsin ()arccos 2A f x x g x x x B f x x g x x x C f x g x x x D f x x g x x π==≠?==??+-==--==-、与、与、与、与 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:B 2.{ []2(),()2,()x f x x x f x ??=== 设函数则[ ]22x A 、2x x B 、 2 x x C 、22x D 、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:D 3.{ 下列函数既是奇函数又是减函数的是[ ](),(11)A f x x x =--≤≤、2 3 ()f x x =-B 、()sin ,(,)22C f x x ππ=- 、3()D f x x =、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:A 4.{ y x 函数=cos2的最小正周期是[ ]πA 、22π B 、 C π、4 D π、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:C 5.{ 下列极限存在的有[ ]1 0lim x x →A 、e 01 lim 21x x →-B 、 01limsin x x →C 、2(1) lim x x x D x →∞+、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:D 6.{ 0tan 2lim x x x →=[ ]0A 、1B 、 1 2C 、 2D 、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:D 7.{ 232lim 4,3x x x k k x →-+== -若则[ ]3-A 、3B 、 1C 、1D -、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:A 8.{ ()()y f x x a f x x a ===函数在点连续是在点有极限的[ ]A 、必要条件B 、充要条件 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___--=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的． A ．1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 2．设函数?????=≠+=0, 10,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是（ ）． A .1=-y x B . 1-=-y x C . 1=+y x D . 1-=+y x 4．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． A ．x sin B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5.若 c x F x x f +=?)( d )(，则x x xf d )1(2?-=（ ）. A. c x F +-)1(212 B. c x F +--)1(2 12 C. c x F +-)1(22 D. c x F +--)1(22 6．下列等式中正确的是（ ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln x x x = C. )d(ln 1d x x a a x a = D. )d(d 1x x x = 二、填空题（每小题2分，共10分） 7．若函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 8．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性为E p = ． 9．=?x x c d os d ． 习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=） 【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为： 设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地 【经济数学基础】形考作业一答案： （一）填空题 1._________ __________sin lim =-→x x x x 答案：0 2.设 ? ?=≠+=0 ,0, 1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 3.曲线x y = 在)1,1(的切线方程是 .答案：2 121+ =x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________ )2π (=''f 2 π- （二）单项选择题 1. 函数+∞→x ，下列变量为无穷小量是（ D ） A ．)1(x In + B ．1/2+x x C ．2 1x e - D ． x x sin 2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1lim =→x x x B.1lim 0 =+ →x x x C.11sin lim 0 =→x x x D.1sin lim =∞ →x x x 3. 设y x =lg 2，则d y =（ B ）． A ． 12d x x B ． 1d x x ln 10 C ． ln 10x x d D ．1 d x x 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.若x x f =)1 (，则()('=x f B ） A ．1/ 2x B ．-1/2x C ．x 1 D ． x 1- (三)解答题 1．计算极限 （1）2 11 23lim 22 1 - =-+-→x x x x （2）2 18 665lim 2 2 2 = +-+-→x x x x x 电大2012-2013学年度第一学期经济数学基础期末试卷 2013.1 导数基本公式 积分基本公式： 0)('=C ?=c dx 1 ' )(-=αααx x c x dx x ++= +?1 1 ααα ）1且,0(ln )(' ≠>=a a a a a x x c a a dx a x x += ?ln x x e e =')( c e dx e x x +=? )1,0(ln 1 )(log '≠>= a a a x x a x x 1 )(ln '= c x dx x +=?ln 1 x x cos )(sin '= ?+=c x xdx sin cos x x sin )(cos '-= ?+-=c x xdx cos sin x x 2 'cos 1 )(tan = ?+=c x dx x tan cos 1 2 x x 2 'sin 1 )(cot - = c x dx x +-=? cot sin 1 2 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. x x g x x f A ==)(,)()(.2 1)(,1 1)(.2+=--=x x g x x x f B x x g x x f C ln 2)(,ln )(.2== 1)(,cos sin )(.22=+=x g x x x f D 2.?? ? ??=≠=0,0,sin )(函数x k x x x x f 在x=0处连续，则k=( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3.下列定积分中积分值为0的是（ ） dx e e A x x ? ---1 1 2 . ? --+1 1 2 .dx e e B x x dx x x C )cos (.3+?-ππ dx x x D )sin (.2 +?-π π 4.，3-1-4231-003-021设??? ? ? ?????=A 则r(A)=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.若线性方程组的增广矩阵为=??? ???--=λλλ则当,421021A （ ）时，该 线性方程组无解. 21 .A B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 的定义域是2 4 函数.62--= x x y 7.设某商品的需求函数为2 10)(p e p q - =，则需求弹性E p = 8.=+=??--dx e f e C x F dx x f x x )(则,)()(若 9.当a 时，矩阵A=?? ????-a 131可逆. 10.已知齐次线性方程组AX=O 中A 为3x5矩阵，则r(A)≤ 三、微积分计算题（每小题10分，共20分） dy x x y 求,ln cos 设.112+= dx e e x x 23ln 0 )1(计算定积分.12+? 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分） 1)(，计算21-1-001，211010设矩阵.13-??? ? ? ?????=??????????=B A B A T .的一般解5 532322求线性方程组.144321 4321421??? ??=++-=++-=+-x x x x x x x x x x x 五、应用题（本题20分） 15.设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：C(q)=100+0.25q 2+6q （万元），求： （1）当q=10时的总成本、平均成本和边际成本； 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 电大经济数学基础作业参考答案一 经济数学基础形考作业（一）参考答案 （一）填空题 1.0sin lim 0 =-→x x x x . 2.设 ? ?=≠+=0,0 ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则1=k . 3.曲线1 +=x y 在)2,1(的切线方程是032=+-y x . 4.设函数5 2)1(2 ++=+x x x f ，则x x f 2)(='. 5.设x x x f sin )(=，则2 )2π(π -=''f . （二）单项选择题 1. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A ．)1ln(x + B ． 1 2+x x C ．2 1 x e - D ． x x sin 2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1 lim =→x x x B.1 lim 0=+ →x x x C.11sin lim 0 =→x x x D.1sin lim =∞ →x x x 3. 设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d x x 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数 f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0 x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 5. 若x x f =)1(.，则=)('x f （ B ） A ．21 x B ．2 1x - C ．x 1 D ．x 1- (三)解答题 1．计算极限 （1） 1 2 3lim 221-+-→x x x x 解：原式2 1 12lim )1)(1()2)(1(lim 1 1 -=--=+---=→→x x x x x x x x （2） 8 665lim 2 22+-+-→x x x x x 解：原式2 1 43lim )4)(2()3)(2(lim 2 2 =--=----=→→x x x x x x x x （3）x x x 11lim --→ 解：原式2 1) 11(lim ) 11()11)(11( lim 0 - =+--=+-+---=→→x x x x x x x x x （4） 4 23532lim 2 2+++-∞→x x x x x 解：原式3 2= 经济数学基础试题及详细答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的． A ．1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 2 2cos sin )(+=，1)(=x g 2．设函数?????=≠+=0, 10,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是（ ）． A .1=-y x B . 1-=-y x C . 1=+y x D . 1-=+y x 4．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． A ．x sin B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5.若 c x F x x f +=?)( d )(，则x x xf d )1(2?-=（ ）. A. c x F +-)1(212 B. c x F +--)1(2 12 C. c x F +-)1(22 D. c x F +--)1(22 6．下列等式中正确的是（ ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln x x x = C. )d(ln 1d x x a a x a = D. )d(d 1x x x = 二、填空题（每小题2分，共10分） 7．若函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 8．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性为E p = ． 9．=?x x c d os d ． 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。概率论课后习题答案
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