Long-term developments in Her X-1 Correlation between the histories of the 35 day turn-on c
a r X i v :a s t r o -p h /0702528v 1 20 F e
b 2007Long-term developments in Her X-1:Correlation between the histories of the 35day turn-on cycle and the 1.24se
c pulse perio
d R.Staubert ?,S.Schandl ?,D.Klochkov ?,J Wilms ?,K.Postnov ??and N.Shakura ???Institut für Astronomi
e und Astrophysik –Astronomie,University o
f Tübingen,Germany ?Department of Physics,Univ.of Warwick,UK ??Sternber
g Astronomical Institute,Lomonossov University,Moscow,Russia Abstract.We have studied the long-term (1971–2005)behaviour of the 1.24sec pulse period and the 35day precession period of Her X-1and show that bot
h periods vary in a highly correlated way (see also Staubert et al.1997and 2000).When the spin-up rate decreases,the 35day turn-on period shortens.This correlation is most evident on long time scales (～2000days),e.g.,around four extended spin-down episodes,but also on shorter time scales (a few 100days)on which quasi-periodic variations are apparent.We argue that the likely common cause is variations of the mass accretion rate onto the neutron star.The data since 1991allow a continuous sampling and indicate a lag between the turn-on behaviour and the spin behaviour,in the sense that changes are ?rst seen in the spin,about one cycle later in the turn-on.Both the coronal wind model (Schandl &Meyer 1994)as well as the stream-disk model (Shakura et al.1999)predict this kind of behaviour.Keywords:binaries -accreting,X-rays,neutron stars,accretion,Her X-1PACS:95.85.Nv,95.55Ka INTRODUCTION The LMXB Her X-1/HZ Her shows periodicities on very different time scales.The spin period of the neutron star is 1.24sec,the orbit lasts 1.7days and the 35day cycle corresponds to the precession of the warped accretion disk in the tidal ?eld of
the companion.The binary system shows a high inclination of more than 80deg,and therefore the disk covers the neutron star for the observer temporarily during the 35day precession,resulting in strong variations of the X-ray signal.The underlying clock is not very accurate (Staubert et al.1983,Klochkov et al.2006),but we connect its temporal behaviour with changes in the rate of transfer of mass and (more importantly)of angular momentum.This is supported by a strong correlation between the duration of the precession cycle and changes in the spin-up rate where the latter is due to variations of the angular momentum transfer rate (Ghosh &Lamb 1979).
We suggest a physical explanation within the framework of the coronal wind model (Schandl &Meyer 1994)and/or the stream-disk model by Shakura et al.1999).A small variation in the mass transfer rate from the companion may be suf?cient to alter the torque on the NS and the shape and tilt of the warped disk,changing the spin-and precession-frequency,respectively.
FIGURE1.The34year history of the Her X-1pulse period(upper panel)and the turn-on data(lower panel),where(O?C)is the difference between observed and calculated turn-on times.The calculated time follows the epoch of Staubert et al.(1983),the31st turn-on being on T31=JD2442410.349d with a35day model period of20.5P orbit with P orbit=1.700167788d(Deeter et al.1981).–The rectangles mark the periods of the four historical Anomalous Low periods(Parmar et al.1985,Vrtilek et al.1994, Parmar et al.1999,Coburn et al.2000,Boyd et al.2004,Still&Boyd2004).
DATA BASE
The Spin Period Data
The historical data for the1.24s X-ray period(the spin of the NS)are compiled from the original literature.A complete list will appear in Staubert et al.(2006).Since1991
pulse periods were regularly measured by BATSE onboard of CGRO.We have made use of the publically distributed pulsar data as well as lists kindly provided by R.Wilson, and data from our own pointed RXTE observations(e.g.Stelzer et al.1997,Kuster et al. 2005)and the public RXTE archive.The pulse period development from its discovery until today is shown in Fig.1(top).The average spin-up trend dP/dt before day1150 amounts to～9ns/day,but with clear deviations,including episodes of spin-down.A dramatic spin-down event happened around day1150,associated with the third historical anomalous low period(AL3).
The Turn-on Data
Her X-1shows a35day?ux modulation supposedly due to the occultation of the NS by a precessing warped accretion disk.Turn-ons,the rise of the X-ray signal towards the Main-On,are observed since the discovery of Her X-1in1972(Tananbaum et al.1972). Our historical data set is based on Staubert et al.(1983).Additionally,we determined turn-ons from the occultation and pulsed?ux data of BATSE and from the RXTE All Sky Monitor.These data were taken from the HEASARC archive at NASA/GSFC.Details of the determination of the turn-on times and a complete list of turn-ons will be given in Staubert et al.(2006).The?uctuations of the turn-on times can be expressed by the"(O?C)"-diagram(Fig.1,lower panel),which shows the difference between the observed turn-on time and the calculated turn-on time assuming a model35day period equal to20.5P orbit(positive values correspond to turn-ons which are observed later than the calculated one).
OBSERV ATIONAL RESULTS
The mean general spin-up of the neutron star(～9nsec/d)is modi?ed by signi?cant structure:most apparent are four periods of extended spin-down.These events happen over a time scale of about2000days and occur near the times of extended periods of low?ux(so called Anomalous Lows,AL),as marked by the rectangles in Fig.1.In addition,there are deviations on shorter time scales(a few hundred days)which are of quasi-periodic nature(on time scales of400–600days,see Fig.3).
The(O?C)-diagram is a representation of the history of the35day period.It appears from Fig.1that on the longest time scale the average period is consistent with20.5 times the binary period,a prediction made22years ago by Staubert et al.(1983)when only the?rst increasing leg in the(O?C)-diagram was known.Individual35day cycles (from one turn-on to the next)are either20,20.5or21times the binary period,with a few cycles with19.5times the binary period just before the onset of anomalous lows and probably several inside the dramatic AL3(see below).
Figs.1and2show that the large features in the development of the pulse period and in the(O?C)diagram are highly correlated.The following global features appear simultaneously:(1)maxima in pulse period residuals(PPR),corresponding to(relative) spin-down,(2)minima in(O?C)(going into the minimum means a short turn-on period),(3)the appearance of Anomalous Lows around these extrema.
FIGURE2.The turn-on data(O?C)(diamonds)are repeated from Fig.1.The second data set(stars) are pulse period residuals(PPR):that is the separation of the measured pulse periods(upper panel in Fig.1)from a linear function representing a constant spin-up.These residuals were inverted,shifted and scaled in such a way that there is an optimum?t to the(O?C)values for the time frame JD-2440000 between8500and10000.A clear correlation for the global shape of the two curves is evident.The boxes mark the positions and durations of the four anomalous lows(AL).
These global features repeat about every5years,with large differences in relative strength and duration and with quite some jitter in the timing.Extrema in(O?C)mean that the average35day period changes its value(it increases coming out of a minimum, and decreases after a maximum).The most dramatic event is AL3in1999(around JD-2440000=1150).The most likely average period during AL3was about33.4days.Since the start of the observations in1971,some anomalous lows have apparently been missed because of poor sampling and/or intrinsic weakness or shortness.
There are,however,also clear correlations on shorter time scales(a few hundred days),as shown in Fig.3.We note that this kind of correlation has been seen earlier by Bochkarev et al.(1981)and by?gelman et al.(1985)on the basis of smaller sets of data. The data in Fig.3are due to the dense sampling by BATSE on CGRO.They provide clear evidence for a time lag between the pulse period evolution and the(O?C)evolution,as already noted by Staubert et al.(2000).A formal cross-correlation of the pulse period residuals and the(O?C)data?nds that the(O?C)curve must be shifted to earlier times by～35days to reach maximum correlation,meaning that any developments with time are seen?rst in the pulse period and then in the timing of turn-on of the next35day cycle.
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
850090009500100001050011000JD - 244 0000(O -C ) [b i n a r y c y c l e s ]
1,391,41,411,421,431,44
C C C [a r b i t r a r y u n i t s ]FIGURE 3.Left:(O ?C)data (upper curve)and pulse period residuals (shifted down by 1unit,lower curve)for days 8500-11100(JD-2440000).Right:Cross correlation coef?cient (CCC)between the two curves shown left versus an introduced shift of (O ?C).The (O ?C)lags behind the pulse period residuals by about 35days.
(We note that the formal lag value of ?35days must not be over-interpreted,since the resolution of the (O ?C)data is,by de?nition,35days.So the likely physical lag is of the order of a few tens of days).
The changes in pulse period are due to transfer of angular momentum to the neutron star.Since the latter should be positively correlated to the mass accretion rate,one might expect to also see a correlation between the pulse period residuals and X-ray ?ux.While there is some evidence for this (Wilson et al.1997,Staubert et al.2000,Still &Boyd 2004),the case is not overwhelming and needs further attention (it will be discussed in Staubert et al.2006).Further observational parameters are the spectral hardness (Still &Boyd 2004)and the pulse shape (Postnov et al.2006).
DISCUSSION
A detailed discussion and comparison with models of inclined and warped accretion disks is not possible here.This will appear in Staubert et al.(2006).Here we note that the observed bahavior is consistent both with the Coronal Wind model by Schandl &Meyer (1994)as well as with the Stream-Disk Interaction model by Shakura et al.(1999).Under both models we assume that the motor for the apparent variability is the optical companion which provides more or less material at the inner Lagrangian point.The average mass accretion rate of the NS is such that the system operates close to the equilibrium period with a slight bias towards spin-up.When the mass accretion rate drops also the spin-up rate drops and may even turn to spin-down,in accordance with standard accretion theory (Ghosh &Lamb 1997).The consequences for the observable turn-on times are as observed:within the framework of the coronal wind model (Schandl &Meyer 1994)the reduced X-ray irradiation of the outer parts of the disk reduces the coronal wind and its torque on the accretion disk leading to a generally less inclined disk.This in turn leads to a faster precession of the disk.Anomalous lows are observed when the disks inclination is very small and the view onto the NS is blocked.Within the
stream-disk model reduced mass transfer means weaker dynamical action on the disk by the gas stream leading again to a less inclined disk with faster precession.For both models we expect that the NS feels any change in mass transfer?rst and the response of the accretion disk is delayed by its viscous time scale(a few tens of days)–as observed. While the short-term behaviour of the discussed observables in Her X-1are subject to considerable noise in the system,we now believe that the global long-term developments are not due to a random walk(as proposed by Staubert et al.1983)but rather due to two physical reasons:(1)the optical companion provides quasi-periodic variations in mass transfer and(2)the NS itself-through its possible free precession(Ketsaris et al.2000)-provides a stable internal clock,forcing the precession of the disk to stay close to the NS frequency over long time scales,despite the variable forces acting on the disk.The changing mass transfer rate may be due to changing illumination of the optical companion by the X-ray beam.In this sense the apparent5year period could be associated with a limit cycle due to a positive feedback in the binary system.
ACKNOWLEDGMENTS
We acknowledge the support by DFG under grants Sta173/31and436RUS113/717/0-1and by the corresponding RBFR grant RFFI-NNIO-03-02-04003as well as by DLR under grant No.50OR9205.We thank Ljuba Rodina for her valuable contributions to the analysis of the RXTE data,particularly the accurate determination of the pulse periods.
REFERENCES
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Boyd P.,Still,M.,Corbet,R.,2004,ATEL307
Coburn W.,et al.,2000,ApJ543,351
Deeter J.E.,Boynton P.E.,Pravdo S.H.,1981,ApJ247,1003
Ghosh P.,Lamb F.K.,1979,ApJ234,296
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Klochkov D.,et al.2006,A&A,submitted
Nagase F.,1989,PASJ41,1
?gelmann H.,et al.,1985,Sp.Sc.Rev.40,347
Parmar A.N.,Pietsch W.,McKechnie S.,et al.,1985,Nat313,119
Parmar A.N.,et al.,1999,A&A350,L5
Postnov K.,et al.,2006,in preparation
Schandl S.,Meyer F.,1994,A&A289,149
Schandl S.,Staubert R.,K?nig1997,Proc.4th COMPTON Symp.,AIP CP410,763
Shakura N.,et al.,1999,A&A348,917
Staubert R.,Bezler M.,Kendziorra E.,1983,A&A117,215
Staubert R.,Schandl S.,Wilms J.,2000,Proc.5th COMPTON Symp.,AIP CP510,153
Staubert R.,et al.,2006,to be submitted
Still M.,Boyd P.,2004,ApJ606,L135
Tananbaum H.,Gursky H.,Kellog E.M.,et al.,1972,ApJ174,L143
Vrtilek S.D.,Mihara T.,Primini F.A.,et al.,1994,ApJ436,L9
Wilson R.B.,Scott D.M.,Finger M.H.,1997,Proc.4th COMPTON Symp.,CP410,739
去绝对值常用方法
. （初一）去绝对值常用“六招” （初一）六招”去绝对值常用“难度大，解绝对值问题要求高，绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。一、根据定义去绝对值的值-│c│c = - 8时，求3│a│-2│b│例1、当a = -5，b = 2，负数的绝所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，分析：这里给出的是确定的数，。代值后即可去掉绝对值。的绝对值是0对值是它的相反数，00 ＜ c = -8b =2＞0，解：因为：a = -5＜0，[ - ( - 8 ) ] = 7 2 ×2 --5）] –所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（”相关信息去绝对值二、从数轴上“读取c在数轴上的a、b、例2、有理数- │a│-a│+│c-b│+│a+b│位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对、a + bc - a、c-b分析：本题的关键是确定值。- a = b b 且＜c＜解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0 b ) ] + 0 - ( - a ) = b –故原式= c - a + [ - ( c c - b＜0，a + b = 0 从而 c –a ＞0 ，三、由非负数性质去绝对值22的值。= 0，求-25│+ ( b –2 )ab：已知例3│a 。分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”222 2 = 0 –由绝对值和非负数的性质：ab 解：因为│a-25 = 0 -25 │+ ( b – 2 )且= 0 ab = - 10 ab = 10或a = - 5 b = 2 故即a = 5 b = 2 或四、用分类讨论法去绝对值的值。abc≠0，求+ + 4例、若同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另、c，所以只需 考虑a、b分析：因abc≠0一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的 结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。异号。b、、c、b、c有同为正号、同为负号和aa 解：由abc≠0可知，= 3 + + + = + 、c都为“+”时，b当a、= - 3 ---”时，+ + = c当a、b、都为“-+ + = 1 时，“-”、a、bc中两“+”一当+ + = - 1 “+”时，中两“-”一ca 当、b、五、用零点分段法去绝对值的最小值。2│+│x -3│-例5：求│x + 1│+│x 的值的符号也在变化。关键是把各式绝对值x -3–x 2、、在有理数范围变化，分析：xx + 1解 这类问题的基本步骤是：的取值进行分段讨论，为此要对符号去掉。x然后选取其最小值。. . 求零点、分区间、定性质、去符号。即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可。。由绝对值意义分别讨论如下：，3可确定零点为- 1，2，解：由x + 1 = 0x - 2 = 0，x - 3 = 03 + 4 = 7 ＞– 3 ) ] = -3 x + 4 -1时，原式= -( x + 1 ) + [ - ( x –2 ) ] + [ - ( x 当x＜-2 + 6 = 4 3 ) ] = - x + 6 ＞时，原式= ( x + 1 ) + [ -( x –2 ) ] + [ - ( x –当-1 ≤x ＜2 2 + 2 = 4 x + 2 ≥= –2 ) + [ - ( x –3 ) ] 当2 ≤x ＜3时，原式= ( x + 1 ) + ( x - 4 = 5 4 ≥3×3 –2 ) + ( x 3 ) = 3x –x ≥3时，原式= ( x + 1 ) + ( x –当4。故所求最小值是六、平方法去绝对值-3│、解方程│x-1│=│x例6所以对所分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，求解必须进行检验，舍去增根。22 x=2是原不等式的根。x=2 x经检验，- 2x +1= x - 6x + 9 有4x =8，得解：两边平方： c在数轴上的位置、b、练习1、已知实数a │a│=│c│，化简：如图，且- b│+│a││a+c
去绝对值符号的几种常用方法精编版
去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 去绝对值常用“六招”（初一） 去绝对值常用“六招” （初一） 绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。 一、根据定义去绝对值 例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值 分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。 解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0 所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7 二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值 例2、有理数a、b、c在数轴上的 位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│ 分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。 解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值 例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。 分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0 即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10 四、用分类讨论法去绝对值 例4、若abc≠0，求+ + 的值。 分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。 解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。 当a、b、c都为“+”时，+ + = + + = 3 当a、b、c都为“-”时，+ + = - - - = - 3 当a、b、c中两“+”一“-”时，+ + = 1 当a、b、c中两“-”一“+”时，+ + = - 1 五、用零点分段法去绝对值 例5：求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。 函数图像及其变换 师大学附属外国语中学 庆兵 函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。 （一）平移变换及其应用： 函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。如： 例1、（2008理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数x y 1=的图象交点的横坐标。若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4, (k i x x i i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值围是 。 （图一） （图二） 分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数x y 4=的图象交点的横坐标。这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）可知，函数3x y =与函数x y 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x 4= 去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 函数图像及其变换解读 数x y 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线下方，要使得方程0 44=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，只须将函数 3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数x y 4 =图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。将点A 与点B 坐标分别代入方程a x y +=3解得6=a 或6-=a 。从而可得实数a 的取值范围是a ＞6或a ＜－6。 （二）伸缩变换及其应用： 函数)(bx af y =的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先将横坐标伸长|(|b ＜1）或缩短|(|b ＞1）到原来的| |1b 倍，再把纵坐标伸长|(|a ＞1）或缩短|(|a ＜1）到原来的||a 倍即可得到。如： 例2、（2008上海文11）在平面直角坐标系中，点C B A ,,的坐标分别为)6,2(),2,4(),1,0(。如果),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy =ω取得最大值时，点 P 的坐标是 。 分析：由xy =ω变形可得x y ω=，则问题可转化为当函数x y ω=的图象与△ABC 围成的区域（含边界）有公共点时求ω的最大值的问题。由函数图 像伸缩变换的规律可知，ω的值越大，则函数x y ω =图象上点的横纵坐标越大，即图像整体越向上移动，由此可以判定，当ω取得最大值时，函数x y ω =的图象与△ABC 的边BC 相切或过经点C 。下面求点P 的坐标。 法一：由线段BC 与函数的解析式联立方程组可得?????≤≤+-==).42(102,x x y x y ω消去y 得方程01022=+-ωx x ，由 判别式△=0解得225=ω，此时25=x ，从而得点)5,2 5(P 。即所求点P 的坐标是)5,2 5(P 。 法二：线段BC 的方程为：)40(102≤≤=+x y x ， 则225 )22(21221 2=+≤??===y x y x xy ω，当且仅当52==y x ，即.5,25 ==y x 所以所求点P 的坐标是)5,2 5(P 。 （三）对称变换： 函数当中，图像关于某点或某条直线对称的情 函数的图象 1．（2020?浙江）函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是( ) A ． B ． C ． D ． 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点． 【解答】解：()cos sin y f x x x x ==+， 则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-， ()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ， 当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ， 故选：A ． 2．（2019秋?蜀山区校级月考）已知f (x )＝???－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1， 则下列函数的图象错误的是( ) 【解析】在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定 义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D. 3．（2019?新课标Ⅰ）函数2 sin ()cos x x f x x x += +在[π-，]π的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ． 【分析】由()f x 的解析式知()f x 为奇函数可排除A ，然后计算()f π，判断正负即可排除B ，C ． 【解答】解： 2 sin ()cos x x f x x x += +，[x π∈-，]π， 22 sin sin ()()cos()cos x x x x f x f x x x x x --+∴-==-=--++， ()f x ∴为[π-，]π上的奇函数，因此排除A ； 又22 sin ()0cos 1f πππ ππππ+= =>+-+，因此排除B ，C ； 故选：D ． 4．（2020?宁波模拟）已知某函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（其中e 为自然对数的底） ( ) A ．1()sin 1x x e f x x e -=+ B ．1()sin 1x x e f x x e -=+ C ．1 ()cos 1 x x e f x x e -=+ D ．1()cos 1 x x e f x x e -=+ 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势即可判断． 【解答】解：由图象可知函数为奇函数， 绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0） 分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么 分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ， 整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。 函数图象与曲线的方程例题讲解 一、函数图像 利用函数图像，我们可以研究函数本身的性质，如课本上我们是根据幂函数、指数函数等函数的图像归纳出它们的性质，并以此来进一步研究其它函数的性质． 在解决函数的其它问题时，我们也可以利用函数图像帮助我们打开思路． 例１．试判断函数：???++∈-+∈=) 22,12(,1) 12,2(,1)(k k x k k x x f （k ∈Z ）的奇偶性． 分析：由函数奇偶性的定义直接确定函数的奇偶性有些困难，但我们若给出函数图像．以奇偶函数的图像关于原点或y 轴对称这一性质判断，则问题不难解决． 解：令,2,1,0±±=k … … 得到各段函数的离散区间，从而得到函数)(x f 的图像，如图． 由图知，函数)(x f 是奇函数． 例2．设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对k ∈Z 用I k 表示区间]12, 12(+-k k ，已知当0I x ∈时，2)(x x f =． (1)求)(x f 在I k 上的解析表达式； (2)对自然数k ，求集合M k = {a | 使方程ax x f =)(在I k 上有两个不相等的实根}． 分析：借助于函数图像，不仅能正确理解题意寻求解题思路，还可以直接从图像上得出答案． 当)(,,112x f x y x 又时=≤<-是以２为周期的函数，故它的图像就是： )11(2≤<-=x x y 左、右平移后的重复出现． O 所以在每一周期I k 内对应的解析式点2)2(k x y -=．又考虑ax y =的图像是过原点的直线，要满足题目的条件就应使斜率a 在]1 21 , 0(+k 上取值．当然利用图形的直观性得出结论不能完全替代逻辑推理的论证，但重视函数图像的作用是十分必要的． 解：（1）)(x f 是以2为周期的函数，∴当z k ∈时，2 k 是)(x f 的周期． 又k I x ∈ 时o I k x ∈-)2(， ∴2)2()2()(k x k x f x f -=-=， 即对z k ∈，当k I x ∈时，2)2()(k x x f -=． （2）当N k ∈且k I x ∈时，由（１）有.)2(2ax k x =- 整理得 04)4(2 2 =++-k x a k x ).8(16)4(22k a a k a k +=-+=? 方程在区间Ｉk 上恰有两个不相等的实根的充分必要条件是a 满足 [][ ] )8(42 1 12)8(421 120 )8(k a a a k k k a a a k k k a a ++ +≥++- +<->+ 解不等式组得1 21 0+≤ 一次函数的图象与性质（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 理解一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系； 2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题． 3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ； 当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质： 3. k 、 b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响： k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限． 4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠?1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠?1l 与2l 平行； 【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式】 要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围， 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +| §19．1．3 函数图象(1) 教学目标 知识与技能：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象 结合函数图象，能体会出函数的变化情况 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：增强动手意识和合作精神 教学重点：１．函数图象的画法．２．观察分析图象信息． 教学难点：分析概括图象中的信息． 教学媒体：多媒体电脑，直尺 教学说明：在画图象中体会函数的规律 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系． 即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰． 我们这节课就来解决如何画函数图象 的问题及解读函数图象信息． Ⅱ．导入新课 问题1在前面，我们曾经从如图所示的 气温曲线上获得许多信息，回答了一些问 题．现在让我们来回顾一下． 先考虑一个简单的问题：你是如何从图 上找到各个时刻的气温的？ 分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴 是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示 气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10,2)．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t,T)，表示时间为t时的气温是T． 问题2 如图,这是2004年3月23日 上证指数走势图，你是如何从图上 找到各个时刻的上证指数的？ 分析图中，有一个直角坐标系，它 的横轴表示时间；它的纵轴表示上 证指数．这一指数曲线实质上给出 了3月23日的指数与时间的函数关系．例如，下午14:30时的指数是1746.26，表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(14:30, 1746.26)．实质上也就是说，当时间是14:30时，对应的函数值是1746.26． 上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子． 一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标(x， 去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 专题01 函数图像的识别与辨析 一、题型选讲 题型一 、由函数的解析式识别图像 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项 例1、【2020年天津卷】.函数241 x y x = +的图象大致为（ ） A C. 【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()2 41 x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，4 2011 y ==>+，选项B 错误. 故选：A. 例2、【浙江卷】.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ） A. B. . C. D. 【答案】A 【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误； 且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 例3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在 [,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由22 sin()()sin ()()cos()()cos x x x x f x f x x x x x -+----= ==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称． 又22π 1π42π2()1,π2π() 2 f + +==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ． 题型二、由函数的图像辨析函数的解析式 由函数的图像确定解析式，首先要观察函数的图像，可以从以下几个方面入手：（1）观察函数的对称性，判断函数的奇偶性；（2）观察图像所在象限，判断函数的定义域和值域；（3）从图像中观察一些特殊位置以及图像的发展趋势；结合上面的信息进行对函数解析式的排除。 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性， 2sin cos ++x x x x 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例： 例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。 证明：∵与成正比例， 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx， 其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例。 例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， ∴=-3x-1, 解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 一. 前提: 0a >; 形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为 ()()()f x a f x a f x a >?><-或; ()()f x a a f x a ()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱ 去绝对值符号的几种常用方法 周健良 绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢？下面介绍几种去绝对值符号的常用方法. 一、用绝对值的定义 例1 已知1＜a ＜3，求|1-a|+|3-a|的值. 分析 由1＜a 知1-a 是负数，由a ＜3知3-a 是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号. 解 ∵1＜a ＜3，∴1-a ＜0，3-a ＞0，故|1-a|+|3-a|= a -1+3-a=2. 例2 计算|2131-|+|3141-|+|4151-|+…+| 9 1101-| 解 原式=10191514141313121-+???+-+-+-5210121=-=. 评析 绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数. 二、用绝对值的性质 例3 已知|a|=3，|b|=4，求|a +b|的值. 解 ∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4. ①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7； ②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1； ③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1； ④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7. 例4 已知|a-1|+|ab-2|=0, 求()()()() ()()2006200612211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值. 解 ∵|a-1|+|ab-2|=0, ∴|a-1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2. ∴原式=2008 20071541431321211?+???+?+?+?+? =2008120071514141313121211-+???+-+-+-+-=2008 2007200811=-. 评析 互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这去绝对值常用方法
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