高等数学(同济大学)练习部分答案-
第七章 习题 P8-习题7-1
A-7、求满足下列条件的动点轨迹的方程：(1）到点()434，，-的距离等于到xoy 面的距离。 解：设动点坐标为()z y x ,,，则
()()()z z y x =-+-++2
22434，整理可得动点的轨迹方程为：
04186822=+--++z y x y x 。
A-9、求下列曲线在xoy 平面上的投影曲线方程：(1）???=+=++1
9222z x z y x
解：由1=+z x 得x z -=1代入第一个方程得02222=-+x y x ，曲线在xoy 平面上的投影曲线方程
为???==-+0
82222z x y x 。 A-10、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线???=-+=+-4
16
322
22222z y x z y x 的柱面方程。 解：两式消去x 得母线平行于x 轴的柱面方程：085322=+-z y 。
两式消去y 得母线平行于y 轴的柱面方程：20232
2=+z x 。
P20—习题7-2
A-5、已知()4,2,1-A ，{}1,2,3-=AB ，求点B 的坐标。
解：令B 的坐标为()z y x ,,，由{}1,2,3-=AB 得：{}{}1,2,34,2,1-=+--z y x ，从而
14,22,31=+=--=-z y x ，得点B 的坐标为()3,4,2--。
A-10、已知有向线段21P P 的长度为6，方向余弦分别为
3
2
3132，，-，点1P 的坐标为()523，，-，求点2P 。解：由21P P 的方向余弦组成的向量{}???
?
??-
==32,31,32cos ,cos ,cos γβαe 是与21P P 同方向的单位向量，
故 }{}4243231326cos ,cos ,cos 21，，，，P P -=?
??
???-
==γβα。令2P 的坐标为()z y x ,,， 则{}{}4245,2,3，，
z y x -=--+，可得点2P 的坐标为()9,4,7-。 A-11、已知两点()
1,2,41M ，()2,0,32M ，试计算21M M 的模、方向余弦和方向角。
解：{}
1,2,121--=M M ()
()
212122
2
=+-+-=
。
方向余弦分别为2
1cos ,22cos ,21cos =-=-=
γβα。由于方向角的范围为[]π,0，所以，方向角为 3
,43,32π
γπβπα===
。 A-12、已知点P 的向径OP 为单位向量，且与z 轴的夹角为
6
π
，另外两个方向角相等，求点P 的坐标。 解：设两个相等的方向角为α，则1cos 243cos 26
cos
222
=+=
+ααπ
，解得4
2cos ±=α，{}??????±±==23,42,42cos ,cos ,cos γβα，点P 的坐标为???? ??23,42,42或???
? ??--23,42,42。 B-3、试确定m 与n 的值，使向量{}n a ,3,2-=→与{}2,6,-=→
m b 平行。 解：2
632//n
m b a =-=-?
→
→
，得4=m ，1-=n 。
P26—习题7-3
A-1、已知{}5,2,3--=，{}2,0,6=。求：
(1）? (2）? (3）()()
24+?- 解：(1）()()8250263=?-+?-+?=?b a (2）()()()()38552233=-?-+-?-+?=?a a
(3）()()
{}{}()()()()128122281561,2,1522,8,624=-?-+-?-+?=--?--=+?-b a b a 。 A-4、设k j i 23--=，k j i -+=2，求
(1
； (2）()
,cos 解：(1
()()142132
2
2=-
+-+=
()61212
22=-++=；
(2）(
)
()()()
14
21
6
14122113,cos =
?-?-+?-+?=
=
b
a 。 A-63=4=，并且
b a ⊥，试求()()
b a b a -?+。 解：()()
a b b b a b b a a a b a b a ?=?-?+?-?=-?+2，
()()()241342,=???==-?+a b b a b a 。
8、已知()()()1,3,1,2,6,5,2,1,1---C B A ，求 (1）同时与及垂直的单位向量； (2）ABC ?的面积；
(3）从顶点B 到边AC 的高的长度。
解：(1）k j i k
j i AC AB 1612153
4
00
54++=--=?
25161215222=++= 所以同时垂直于AB ，AC 的单位向量为：
??????±==2516,2512,53。
(2
）2
25==
?S ABC 。 (3）从顶点B 到边AC 的高为h
，则2
25
521=??=?=?h h S ABC ，所以5=h 。
P34—习题7-4
A-3、求满足下列条件的平面的方程：
(1）平行于平面0282=-+-z y x 且经过点()5,0,3-。
解：待求平面方程可设为082=++-D z y x ，代入点()5,0,3-得1-=D ，所以平面方程为
0182=-+-z y x 。
(2）过点()1,1,1与点()1,1,0-且与平面0=++z y x 垂直。
解：设()1,1,0-P ，()1,1,1Q ,{}2,0,1=PQ ，平面0=++z y x 的法向量为{}1,1,11=n ，待求平面的 法向量n 同时垂直于向量PQ ,1n ，故，法向量n 可取为向量PQ ，1n 的向量积，即
{}{}{}1,1,21,1,12,0,11-=?=?=n PQ n ，所以，平面方程为：()()()01112=-+-+--z y x ，即
02=--z y x 。
(3）过点()1,5,1-与点()2,2,3-且平行于y 轴。
解：设待求平面的法向量为。与由点)2,2,3(),1,5,1(--Q P 构成的向量{}3,7,2-=及y 轴上的单位
向量{}10,1,0n = 同时垂直，故可取为PQ 与1n
的向量积，即 {}13,0,2n PQ n =?= ，
待求平面方程为：()()()0125013=-++?+-z y x ，即0523=-+z x
(4) 过点()6,9,2-A 且与向径OA 垂直
解：向径{}6-9,2，=OA 可取为待求平面的法向量，故待求平面方程为：
()()()0669922=+--+-z y x ，即0121692=--+z y x 。
A-5、设平面过点()4,7,5-且在三个坐标轴上截距相等，求这平面的方程。 解：设平面方程为
1=++a
z
a y a x ，将点()4,7,5-代入方程得：2475=+-=a ，所以平面方程为：02=-++z y x 。
A-9、求平面01=+++z y x 与平面032=+--z y x 的夹角，并判别坐标原点到哪个平面的距离更近。 解：两个平面的法向量分别为：{}1,1,11=n ，{}1,2,12--=n 。则两平面的夹角余弦为：
(
)
()()()()
3
2
121111112111,cos cos 2
2
222221=
-+-+?++-?+-?+?=
=
=n n θ，所以两平面的夹角为3
2
a r c c o s 。
原点到第一个平面的距离为：3
3
11110002
221=
+++++=
d 。到第二个平面的距离为()()
2
6
12130002
2
22=
-+-++++=
d 。显然，原点到第一个平面的距离更近。
P40—习题7-5
A-2-(1）求过点()4,2,0且同时平行于平面12=+z x 与23=-z y 的直线方程。 解：该直线的方向向量{}{}{}1,3,23,1,02,0,1-=-?=，则直线的对称式方程为：
1
4
322-=-=-z y x 。 (2）求过点()1,0,2且与直线??
?=++-=-+-0
93240
632z y x z y x 平行的直线的方程。
解：直线的方向向量{}{}{}8,2,73,2,41,3,2--=-?-=，所以直线方程为：8
1
272-=-=--z y x
A-3、写出下列直线的对称式方程及参数方程：(2）?
?
?=-+-=++-01520
6543z y x z y x
解：令0=y 代入方程组得7
15
,711-==
z x ，直线的方向向量 {}{}{}{}1,1,377,7,211,5,25,4,3-=-=-?-=s ，所以对称式方程为：
1
715
13711-+
==-
z y x 参数方程为：???
?
???
--==+=t
z t y t x 7153711。
B-2、求下列投影点的坐标：1）点()0,2,1-在平面012=+-+z y x 上的投影。
解：过点()0,2,1-与平面012=+-+z y x 垂直的直线l 与平面的交点即是投影点，直线l 的方向向量s 可
取为平面的法向量，即{}1,2,1-=s ，故，直线l 的参数方程为??
?
??-=+=+-=t z t y t
x 221。为求直线与平面的交点，将
参数方程代入平面方程，可得：()()()04612221=+=+--+++-t t t t ，得32-=
t 。再将3
2
-=t 代入参数方程可得交点???
?
?-32,32,35。
P47—习题7-6
A-1、求下列旋转曲面的方程：
(1）将zox 面上的抛物线x z 52
=绕x 轴旋转一周。 解：x z y 522=+
(2）将xoy 面上的椭圆1492
2=+y x 绕y 轴旋转一周。 解：
14
92
22=++y z x (4）将xoy 面上的直线12+=x y 绕x 轴旋转一周。 解：1222+=+±
x z y ，两边平方()22212+=+x z y 。
第八章 习题
P57--习题8-1
A--4、求下列函数的定义域 (3) 1
142
222-++
--=
y x y x z
解：定义域为(){}
14,22
>+≥=y x
y x D ，这是以原点为圆心，半径分别为1和2的两个圆构成的圆环，
不包括内环。
(5）)arccos()ln(222y x y x z ++-= 解：定义域为(){}
1,,222
≤+>=
y x y x
y x D ，这是开口向上的抛物线2x y =与半径为1的圆围成的图
形的下面部分，不包括抛物线。
A--5、求下列函数的极限 (2）
()()()xy
y x y x 1
sin
lim
0,0,+→
解：因为
()()
()0lim
0,0,=+→y x y x ，11
sin
≤xy
，故()()()01sin lim 0,0,=+→xy y x y x 。
(4）
()()xy xy y x 4
2lim
0,0,+-→
解：原式()()
()(
)(
)
4
24
242lim
0,0,++
+++-
=
→xy xy xy xy y x
()()()
()()41
421lim 42lim
0,0,0,0,-=
++-=++-=
→→xy xy xy xy y x y x A--7、设函数()??
???=+≠++-=0,00,,222
22
222y x y x y x y x y x f ，讨论函数()y x f ,在点()0,0处的连续性。
解： ()22
2222220011lim ,lim k k x k x x k x y x f kx
y x kx y x +-=+-==→=→。可见，k 取不同的值时，即动点()y x ,沿不同的路径趋近于()00，时，极限不同，故()()
()y x f y x ,lim
0,0,→不存在，所以函数()y x f ,在()0,0处不连续。
P66—习题8-2
A--1、求下列函数的偏导数 (6）y x y
x z +-=arctan
解：
()()()2
22
22
2
2)
()(11
y x y
y x y x y
y x y x y x y x y x x
z +=
-++=
+--+?
???? ??+-+=??
()()()2
22
222
2)
()(11
y
x x
y x y x x
y x y x y x y x y x y
z +-=
-++-=
+--+-?
???
? ??+-+=?? (8）)sin(2
2xy e z y x +=
解：
[])cos()sin(2)cos()sin(2222222xy y xy x e xy ye xy xe x
z
y x y x y x +=+=??+++ [])cos()sin(2)cos()sin(2222222xy x xy y e xy xe xy ye y
z
y x y x y x +=+=??+++
(9）2
2
arcsin
y
x x z +=
解：(
)
2
22
2
2
2222
222211y
x y
y
x y x x x y x y x x x
z +=
++?-+?
???
? ??+-
=?? (
)
()
2
22
2
2
222
222211y
x y xy
y
x y x xy
y x x y
z +-=
++-
?
???
? ??+-
=?? 10）()y
xy z +=1
解：两边取对数)1ln(
ln xy y z += 两边同时对x 求偏导数得：xy y y x z z +?=??11，()()1
22111-+=++=??y y
xy y xy
xy y x z
两边同时对y 求偏导数得：
xy
x
y xy y z z +?
++=??1)1ln(1， ()()()()1
1)1ln(111)1ln(1-++++=+++++=??y y y
y xy xy xy xy xy
xy xy xy xy y z 注：此题还有其它方法做
A--8、求下列函数的22x z ??，y x z ???2，2
2y z ??
(2）x y e x z y sin 32+= 解：
x y xe x z y cos 23+=??，x y e x y
z
y sin 322+=?? x y e x z y sin 2322-=??，x y xe y x z y cos 3222+=???，x y e x y
z y sin 622
2+=??
P74—习题8-3
A--1、求下列函数的全微分 (1）22
y
x y x z +
= 解：
212y xy x z +=??，322y x x y z -=??，dy y x x dx y xy dz ???? ?
?-+????
??+=322212 (2）()
22ln y x z += 解：
222y x x x z +=??，222y x y y z +=??，()ydy xdx y x dy y x y dx y x x dz ++=???
? ??++???? ??+=2222222
22 (4）)cos(y x x z -=
解：
()()y x x y x x z ---=??sin cos ，()y x x y
z
-=??sin ()()[]()dy y x x dx y x x y x dz -+---=sin sin cos
A--4、求下列函数的全微分 (3）)sin(yz e u x
=，点???
?
?2,21,
1π
解：
)sin(yz e x u x =??，)cos(yz ze y
u
x =??，)cos(yz ye z u x =?? e x u 222,21,1=????
? ??π，e y u 42
2,21,1ππ=???
?
? ??，e z u 422,21,1=????
? ??π ()dz dy dx e du ++=
π24
2
B--3、验证函数()
?????=+≠++=0
,00,2
22223
222
2y x y x y x y x z 在()0,0处连续，偏导数存在，但是不可微分。
解：（1）令θcos r x =，θsin r y =，则
()()
0cos sin lim lim 220
0,0,==→→θθr z r y x ，即原函数在原点处连续。
（2）
()()000lim 0,00,lim 00=-=-=??→→x x z x z x z x x ，()()00
0lim 0,0,0lim 00=-=-=??→→y
y z y z y z y y 所以原函数偏导数均存在。
（3）令θcos r x =?，θsin r y =?，则
()()()()0,00,00,0,z y x z z y x z z -?+?+=-=?()
θθ222
2
2
2cos sin 2
3
r y x
y x =?+???=
因为0cos sin cos sin lim
22220≠=→θθθ
θr
r r ，因此θθ22cos sin r 在0→r 时不是比r 高阶的无穷小， 故()()()()0,00,00,0,z y x z z y x z z -?+?+=-=?不能表示成)(00r o y x +??+??， 所以原函数在原点处不可微分。
P82—习题8-4
A--2、设y x v y
x
u v u z 23,,ln 2
-==
=，求x z ??和y z ??
解：()()2
2
2223323ln 231ln 2y y x x y x y
x v u y v u x v v z x u u z x z -+-=?+?=????+?????=?? ()()()22
322223223ln 22ln 2y y x x y x y x v
u y x v u y v v z y u u z y z --+--=-?+???? ??-?=????+?????=?? A--4、设y
x e
z 2-=，而t x sin =，3
t y =，求
dt
dz 解：
()()
32sin 22226cos 32cos t t y x y x e t t t e t e dt
dy
y z dt dx x z dt dz ----=?-?+?=??+??=
A--6、设()
2223tan y x t z -+=，t x 1
=
，t y =，求dt
dz 。 解：
()
??? ?
?
?-?+?-+=dt dy y dt dx x y x t dt dz 24323sec 222 ()
???
??+??? ?
?-=???? ???--?+????
? ?
?-
??? ??+=22322
2
222sec 4221
21143123sec t t t t t t t t t t A--8、设2
22z y x e
u ++=，而x y z sin 2=，求
x u ??，y
u
?? 解：
()
x y x y x e x z z x e x u x y y x z y x cos sin 222222sin 2422222?+=???
?
???+=??++++ ()
x
y y x
e x y x 2422
sin 42sin 2+++=
()
x y x y y e y z z y e y u x y y x z y x sin 2sin 22222
sin 2422222?+=???? ?
???+=??++++ ()
x y
y e
x
y y x 23
sin sin 422422+=++
A--11、设f 具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数 (3）()y x x y f z 32,ln += 解：
'2'1'2'122f f x y f x y f x z +=?+?=??，()'2'1'2'13ln 3ln f f x f x f y
z
+=?+?=?? A--14、设f 具有二阶连续偏导数，求下列函数的22x z ??，y x z ???2，22y
z ??。（1）()xy y x f z ,+=
解：
'2'1'2'11yf f y f f x z +=?+?=??，'2'1'2'11xf f x f f y
z
+=?+?=?? 因为f 具有二阶连续偏导数，所以'
'21
''12f f =，故 ()
''
222''12''11''22''21''12''112
2211f y yf f y f f y y f f x
z ++=?+??+?+?=?? ()
()'2''
22''12''11''22''21'2''12''112111f xyf f y x f x f f y f x f f y
x z ++++=?+??+?+?+?=??? ()
''
222''12''11''22''21''12''1122211f x xf f x f f x x f f y
z ++=?+??+?+?=??
P88——习题8-5
A--2、下列方程确定z 为y x ,的函数，求
x z ??，y
z ??。（1）0=-xyz e z 解：方程两边同时对x 求偏导数得：0=??--???
x z xy yz x z e z
，解得xy
e yz x z z -=?? 方程两边同时对y 求偏导数得：0=??--???
y
z xy xz y z e z ，解得
xy e xz
y z z -=?? A--2、下列方程确定z 是y x ,的函数，求y
z
x z ????, （3）122=+-z e yz y x
解：方程两边同时对x 求偏导数得：022=??+??-x z e x z y
xy z ，解得z e
y xy x z -=??22 方程两边同时对y 求偏导数得：0222
=??+??--y z e y z y z x z ，解得z
e y z x y z --=??222
A--6、设f 具有连续偏导数，方程()y z xz f z -=,确定z 是y x ,的函数，求
x z ??，y
z
??。 解：方程两边同时对x 求偏导数得：x z f x z x z f x z ???+??? ????+?=??'2'1，解得'
2
'1'11f xf zf x z --=?? 方程两边同时对y 求偏导数得：???
? ??-???+???? ?????=??1'2'1y z f y z x f y z ，解得'2'1'
2
1f xf f y z ---=??
A--8、求由下列方程组确定的函数的隐函数的导数或偏导数。
（2）??
???=++=+12122
2z y x z
y x ,求dz dy dz dx ,
解：方程组同时对z 求导数得：
???
???
?=++=+0
122dz dy dz dx z dz
dy y dz dx
x ，解得()y x y z dz dx -+=22，()y x x z dz dy -+-=22
（4）?
?
?=+=+u y v x v u y x sin sin ，求y v
y u ????,
解：方程组同时对y 求导数得：???
?
???
???+=?????+??=y u u y u y v v x y v y u cos sin cos 1，
变为???
????-=???-???=??+??u
y v v x y u u y y v
y u sin cos cos 1 ，解得u y v x u v x y u cos cos sin cos +-=??，u y v x u u y y v cos cos sin cos ++=
??
P94——习题8-6
A--1、求下列曲线在指定点处的切线及法平面方程： （4）曲线t z t
t y t t x =-=+=
,1,12在点()1,0,1处； 解：{
}
()
?
??
??
?
-
+==t t t z y x t t t 21,1,12
,,2
2
'
'
'
点()1,0,1处对应1=t ，此时{}1,2,12
1
-=
故切线的对称式方程为：1
1
2011-=--=-z y x 法平面方程为：0)1(1)0()2()1(1=-?+-?-+-?z y x ，即22=+-z y x 。 A--3、求下列曲面在指定点处的切平面及法线方程 （1）曲面z
x
y z ln
+=在()1,1,1处。 解：令()z z x y z y x F -+=ln ,,，则{}
?
?????--==11,1,1
,,'''z x F F F z y x 点()1,1,1处{}2,1,1-=
故切平面方程为：0)1()2()1(1)1(1=-?-+-?+-?z y x ，即02=-+z y x
法线方程为：
2
11111--=-=-z y x （3）曲面3=+-xy z e z
在点()0,1,2处。
解：令()3,,-+-=xy z e z y x F z
，则{}{}
1,,,,'''-==z z y x e x y F F F n
点()0,1,2处切平面的法向量{}0,2,1=
故切平面方程为：0)0(0)1(2)2(1=-?+-?+-?z y x ，即42=+y x
法线方程为：
2112z
y x =-=- A--4、求曲面2132222=++z y x 平行于064=++z y x 的切平面方程。
解：令()2132,,222-++=z y x z y x F ，切平面的法向量{}
{}z y x F F F z y x 6,4,2,,'
''==与平面
064=++z y x 的法向量{}6,4,1平行，由向量平行的充要条件得：k z
y x 26
64412===，k x =，k y 2=，k z 2=，代入曲面方程解得：1±=k
当1=k 时，曲面上的点为()2,2,1，{}6,4,1=n ，此时切平面方程为：
0)2(6)2(4)1(=-+-+-z y x ，即2164=++z y x
1-=k 时，曲面上的点为()2,2,1---，{}6,4,1=，此时切平面方程为：
0)2(6)2(4)1(=+++++z y x ，即2164-=++z y x
P101——习题8-7
A--1、求函数2
2
y x z +=在点()2,1处沿该点到点(
)
32,2+
的方向的方向导数。
解：令)2,1(P ，)32,2(+Q ，则{}
{}βαc os ,c os 223,
21
23,1=?
?
?
???==。又222
12
1
==??====y x y x x x z ，
422
12
1==??====y x y x y y
z ，所以
3212
3
4212+=?+?=??PQ l z A--7、求函数22y xy x z +-=在点()1,1处沿方向余弦为βαcos ,cos 的方向的方向导数，并指出：1）沿什么方向的方向导数值最大？2）沿什么方向的方向导数值最小？3）沿什么方向的方向导数值为零。 解：设在点()1,1处的方向余弦为βαcos ,cos 的方向为l 。
()121
11
1=-=??====y x y x y x x
z
，
()121
11
1=+-=??====y x y x y x y
z ，所以
()
??? ?
?
-=+=?+?=??4cos 2cos cos cos 1cos 11,1πθβαβαl
z （θ表示从x 轴逆时针方向转动到方向l
所转过的角度）。所以4
π
θ=
时，即沿方向j i +的方向导数最大；4
5π
θ=
时，即沿方向j i --的方向导
数最小，4
3πθ=
或47π时，即沿方向j i +-或j i -的方向导数为零。
特别注意：
()
ααβαβαsin cos cos cos cos 1cos 11,1+≠+=?+?=??l
z
A--10、设()z y x xy z y x z y x f 62332,,222--++++=，求()1,1,1gradf 。 解：()()632)1,1,1(1,1,1'=++=y x f x ，()()324)1,1,1(1,1,1'=-+=x y f y ，
()()066)1,1,1(1,1,1'=-=z f z ，所以()j i gradf 361,1,1+=
P111——习题8-8
A--3、求函数()
222),(y x e y x f y x -=-极值。
解：()()
y x y x y x x e x y x xe y x e f ---+-=+-=22222222'，
()()
y x y x y x y e y x y y e y x e f -----=-?+-?-=424)2(2222'
()()()
y x y x y x xx e x y x e x y x e x f ---++-=+-++=24222222222''
()()()
y x y x y x xy e y x y x e x y x e y f -----+-=+---=4222242222" ()()()
y x y x y x yy e y y x e y x y e y f ----+-=----=48242442222" 由?????==0
0''y x f f ，解得两个点()2,4--，()0,0 对于点()2,4--，
0622
4''<-==--=-=e f A y x xx
，22
4'
'8--=-===e f B y x xy
，22
4'
'12--=-=-==e f C y x yy