光学——第1章题解
习题1.2解答用图
第1章 几何光学
1.1 证明：张解答P432
因为OP 线平行于OA 线，所以角OPA=2θ， 在OAP ?中，根据正弦定理有
OA
sin OP )πsin(2
1θθ=-
且11sin )πsin(θθ=-，
1
2
OA OP n n = ，故有 2211sin sin θθn n = 证毕
1.2 解：钟锡华光学P4
反射光移动的距离为)2
π
(2sin i AB BC -=
)2πsin(cos i i
h -?=i h sin 2?=
1.3 解：钟锡华光学P14
利用 n n
i c 01
sin -=
（1）得614127.41516.1000
.1sin sin o o 1
01'====--n n i c （2）得634861.48333.1000
.1sin sin o o 1
01'====--n n i c （3）得336156.61516
.1333
.1sin sin o o 1
01'====--n n i c
1.4 解： 钟锡华光学P14
根据折射定律有 221211210sin 1cos sin sin θθθθ-=='=n n n n
光线在玻璃芯好外套的界面上发生全反射的条件是 1
2
2s i n
n n ≥θ 则欲使光线在光导纤维内发生全反射，2
1
2122110)(
1sin 1sin n n n n n -=-≤θθ 所以数值孔径 2
22110s i n n n n -=θ
1=
1=
习题1.6解答用图
1.5 解：临界角公式 n
n i c 0
1
s i n
-= 00.10=n 红光入射时51.1=n ，故红光临界角o 47.41=cR i ；紫光入射时，53.1=n ，故紫光临界角o 8.40=cp i ； 如果白光以o 41=i 入射时，超过了紫光的临界角，则反射光中紫光成分增大，而透射光中无紫色光，呈红黄色。
1.6 解：钟锡华光学P29
由图示，可知物方焦距r f 2='， 代入焦距公式 n
n r
n f -''=
'=r 2 得 00.22=='n n 1.7 解：钟锡华光学P29
证法一 利用球面折射成像公式，用逐次成像法。
1Q '点是Q 点经上表面反射成像所得，2
Q '点是Q 点经上表面折射到下表面，然后经下表面反射再经上表面折射后成像所得。先计算2
Q '点的位置。 将平面看作是∞=r 的折射球面，设Q 点离上表面距离 为1s ，则经上表面成像，有关系式
0101=-'s n s n 得 10
11
ns n ns
s ==' 即像在上表面上方，距上表面为1ns ，设为1Q 点。 该点是下表面反射的物，则该点经下表面反射成像
点距下表面为h ns s +='12
，距上表面距离为h ns h s s 2123+=+'= 经上表面折射，则有关系式
033
0=-'s n
s n ，得 n h s s 213+=' ，即2Q '在上表面下方n h s 21+处。Q 点经上表面反射成像点1Q '在上
表面下方1s 处，故2
Q '、1Q '间距为 n
h
s n h s s 2211=-+=? 证毕 证法二 直接用折射、反射定律。
设光线在上表面入射角为1i ，折射角为2i ，则 2tan 2i h AC =
而 1
2121
tan tan 2tan i i h i AC Q Q =
=''12
21sin sin cos cos 2i i i i h ?= 由折射定律
n
n i i 0
12sin sin = 傍轴情况下，1cos 1≈i ，1cos 2≈i ，则 n h Q Q 22
1='' 证毕 1.8解：钟锡华光学P31
在折射率为0n 的介质中使用的薄透镜焦距为)1
1)(1/(
11
20r r n n f --=，设该透镜在空气中和在水中的焦距分别为1f 和2f ，设空气折射率为0n ，水的折射率为0n '，则有11
01
2-'-=n n n
n
f f
cm 404)
3
4
5.1(34
)150.1()()(1
110
00
02==-?-='-'-=
f f f n n n n n n f 1.9 解：钟锡华光学P32
在折射率为0n 介质中使用的透镜光焦度为)1
1)(1(11
20r r n n f P --==，在另一折射率为n '的介质中使用时的光焦度为)1
1)(1(11
2r r n n f P --'==
'，则 n n n n n n P P '-'-=
')()(00 有
500
1
)()(00-
='-'-n n n n n n ，解得 52.1='n 1.10解：钟锡华光学P35
这是测定发散透镜焦距的一种实用方法，叫物距-像距法。无凹透镜时，凸透镜成的实像就是凹透镜引入后的虚物。，对凹透镜成像来讲，其像距cm 20='s ，物距cm 15520=-=s ，由成像公式
f s s '
=-'1
11 得 cm 60-='f 。即凹透镜的像方焦点在凹透镜的左侧60cm 处。钟锡华P35 1.11 解：崔宏斌光学P312
先是物经小平面镜成像在小平 面镜右侧3cm 处；然后再将此 虚像作为凹面镜的物，则物距
cm 5=s ，由成像公式
r
s s 2
11=+' 其中cm 8=r 得cm 20='s 在凹面镜右侧成倒像。 放大倍数为4520
)(121-=-
='-?==s s βββ 像长cm 4.0='y 1.12 证明：钟锡华光学P35
物与屏距离确定，则有 d s s ='+-，将这个条件代入薄透镜成像公式
f s s '
=-'1
11 得 02
='++d f sd s 解得 2
42f d d d s '
-±=
故欲使透镜有两个成像位置，物距应有两个实数解，即要求042>'-f d d ，故 f d '>4 证毕 1.13 解：母国光光学P84
将已知34=
'n 、1=n 、mm 6.3='s 、mm 8.7=r 代入 成像公式 r
n n s n s n -'=-'' 得 mm 05.3=s ，由
s s D D '=' 得 mm 39.346
.305.3=?=''=D s s D 1.14 解：母国光光学P86 由题意知6212-=-=
β，当物移近10cm 时，像在无限远，这说明cm 10-=x ，由 x
f
-=β 得 cm 60-=f
1.15 解：母国光光学P87
当21r r -=时，薄透镜焦距的计算公式可写成 212112n n n r n f '---=
，2
121
22n n n r n f '--=' 题目中，双凸透镜在空气中时，即 121='=n n ，50.12==n n ， 则由)1(221
12
1211--='---=n r n n n n r n f 得 mm 100)100(0
.1)
0.15.1(2)1(211=-?--=--=
f n n r 如果左侧接触的是水，则3
4
1=
n ， 0.12
='n ，50.12==n n ， 则 由2
121
12n n n r n f '---= 得 mm 2000
.13
450.1210034-=--??-=f
同样，由 2
12122n n n r n f '--'=' 得 mm 1500
.13
450.12100
0.1=--??='f
习题1.17解答用图
习题1.16解答用图
1.16 解：钟锡华光学P35
已知cm 0.51='f ，cm 102-='f ，cm 101-=s ， 代入成像公式
f s s '=-'111 ，即 101.051.010*******
=+-='+='f s s
由1L 会聚透镜成像的像距为 cm 101
='s 该像在分散透镜2L 的右侧，故 cm 0.52=s ，同样用成像公式，得像距cm 102='s ，说明在2L 右侧成虚像。
经1L 的横向放大率为 0.11
1
-='=
s s β 倒立的实像（P 点成像在1P 点）； 经2L 的横向放大率为 0.22
2
2='=
s s β 正立的虚像（1P 点成像在2P 点）；
总放大率为0.221-==βββ 说明，总的像是倒立的。 1.17 解：张三慧大学物理学题解P434 由球面镜横向放大率s
s '
-
=β 得 s s β-=' 代入数据 cm 10)0.2(0.5=-?-='s 像在反射镜右侧，故成像为虚像。
再由球面镜成像公式
r
s s 211=+' 得 5
2
.02-11012-=+
=r 故 cm 0.5-=r 该球面镜是凹面镜。光路示意如图。 1.18 解：张三慧大学物理学题解P435
由题意，知物方是空气介质，像方是眼睛内水晶体和液体。则0.1=n ，4.1='n ，像距cm 60.2='s 。 （1）要使平行光会聚在视网膜上，这就是说cm 60.2='f ，
由 r n n n f -''=
' ，得 cm 743.060.24
.10
.14.1=?-=''-'=f n n n r (2) 使用成像公式 r n
n s n s n -'=-''
得 s n
s n n n r -
''-'=0
.25.010.62.41.0
1-.41--=
cm 691.0= 1.19 解：高教社题库
当表壳间为空气时，第一块表壳玻璃对光传播影响可忽略，只有涂银的那块表壳玻璃起球面反射镜的作用.由球面反射成像公式可求出球面的曲率半径r .表壳间注满水后，成为薄凸水透镜及球面反射镜的组合，物点Q 经历三次成像过程：首先经水透镜第一次成像，其次再经球面反射镜成像，最后经水透镜第二次成像.
当表壳间为空气时，物点Q 经球面反射镜成像. 设表壳玻璃的曲率半径分别为r ，由球面反射
镜成像公式，有
r
s s 2
11=+' 当 cm 20-=-='=L s s 时，得 cm 20-=-=L r
当表壳间注满水，成为薄凸水透镜时， 其焦距为 cm 30)13
4(220
)1(21-=--=--=
'-=n r f f
物点Q 经水透镜第一次成像，设物距1s ，像距1
s '，则有
f s s '=-'1
1111
① 再以物距1
2s s '-=经球面反射镜成像，设像距2s '，则有
r
s s 21122=+' 即
r s s 2
1112
=-' ② 最后经水透镜第二次成像，有
f s s '=-'11133
式中物距2
3s s '=,故
习题1.20解答用图
f s s '
='-'1
1123 ③ 式①和式②相加，得
r f s s 2
11112
-'=-' ④ 式③和式④相加，得 r f s s 2
21113
-'=-' ⑤
式中1s 是最初的物距，3
s '是最终的像距，题目要求 L s -=1 L s ='3 ⑥ 将式⑥代入式⑤，得 r
f L 2
22-'= 其中cm 30='f cm 20-=r 解得 cm 1230
20)20(30=---?='-'=
f r r f L （由透镜光心算起） 1.20 证明：高教社题库
费马原理指出：光从某点传播到另一点取的 实际路径是使所花费的时间为极值.实际光 路取极值就是指实际光路与邻近光路相比较， 取极小值、极大值或稳定值.大多数情况都属 于光程取极小值和稳定值情形.本题是取极大 值的例子.
过凹球面的顶点P ，以A 和A '为焦点作椭球面. 显然，椭球面在球面的外面，它们相切于P 点.
为了证明实际光路AP A'与邻近光路相比为极大，作球面的任意邻近光路AQA'，延长AQ 与椭球面相交于R ，再连接RA'.
因为A 和A' 为椭球的两个焦点，有 光程AP A' = 光程ARA' ① 因为三角形A'QR 中，任意两边之和大于第三边，亦即 Q A RQ R A '>+' 所以， 光程ARA' > 光程AQA' ②
习题1.21解答用图
于是证得 光程AP A' > 光程AQA' ③ 所以，凹球面镜的这条实际光路AP A'与邻近光路相比，为光程极大. 1.21解：高教社题库
费马原理指出：光沿着光程为极值的路径传播.由Q 发出的经球面折射到达Q'的光线，其光程应为极值，这是确定实际存在的光线的依据.
如图，任取一条光线QM ， 设经球面折射后到达Q'. M 与 球心C 的连线与主光轴夹角为θ. 光线QMQ'是否存在，取决于其 光程是否为极值.
光线QMQ'的光程是 Q M QM 21'+=n n L 由余弦定理 2
1
2
2]c o s )(2)([QM θr s r r s r +-++=
在傍轴条件下 2
1c o s 2
θθ
-≈ 代入上式得
2
1
22
]
)(1[QM θs r s r s ++= ]2)(1[22θs r s r s ++≈ 22)(θs r s r s ++= 同理 2
2)(Q M θs r s r s '-'-
'=' 故光线QMQ'的光程为 ]2)([]2)([2
2
21θθs r s r s n s r s r s n L '
-'-'+++= L 取极值的条件是：
θθθs r s r n s r s r n L '-'-+=)()(d d 210)(21='-'-+=s
r s n s r s n r θ 满足上述条件的光线是：
(1) 0=θ 即光线沿主光轴传播的那条光线 ① (2) 0≠θ 但s 和s '必须满足 021='
-'-+s r s n s r s n 即
r
n n s n s n 1221-='+ ② 上式正是傍轴条件下球面成像的公式.可见，当Q'是Q 的像点时， 0≠θ的傍轴光线的光程满足极
值条件，均可到达Q'点. 看上述光线的光程是极大、极小还是稳定值，应讨论22d d θ
L
.
)(d d 212
2s r
s n s r s n r L '-'-+=θ
由上述讨论知： (1) 当 021
='-'-+s
r
s n s r s n (见式②) 时
0)(d d 21
22='-'-+=s r
s n s r s n r L θ
也就是L 取稳定值 ，Q'是Q 的像点. (2) 021
≠'-'-+s
r
s n s r s n (见式①)时
0)(d d 212
2≠'-'-+=s r
s n s r s n r L θ
只有0=θ的光线才能到达Q'. Q'不是Q 的像点.
如果 0)(d d 21
22>'-'-+=s r
s n s r s n r L θ，L 取极小值， Q'在像点的左方； 如果 0)(d d 21
22<'-'-+=s r s n s r s n r L θ
，L 取极大值， Q'在像点的右方. 1.22解：高教社题库
由空气密度的玻耳兹曼分布及ρ∝-1n ，可以得出空气折射率n 随高度变化的规律.为了使光线在空气中可以沿圆弧线传播，根据费马原理，该光线的光程应满足极值条件.由此即可确定对地表空气密度的要求，以及与地表实际空气密度的关系.
由玻耳兹曼分布律，大气密度ρ随r 变化的规律为(r 和0r 如图所示)
)exp()](exp[0
000C
r r r r RT
g
--
=--
=ρμρρ 式中0ρ是地球表面的大气密度，C 是常数，为 m 87728
.91029300
31.83
=???==
-g RT C μ 由题设，大气折射率n 与密度ρ的关系是 ρ∝-1n 则 )exp(10
0C
r r a a n --
==-ρρ 式中a 为比例系数，得 )exp(110
0C
r r a a n --
+=+=ρρ ① 如图，设光线沿半径为r 的圆周绕地球从A 传播到B ，则光程为 θnr L =
由费马原理，该光线路径实际存在的条件是其光程为极值，即要求 0)d d (d d =+=n r
n
r r L θ 即 r
n
r n -=d d ② 由式①得
)exp(d d 00C
r r C a r n
---=ρ ③ 将式①和式③代入②，得 )]exp(1[1
)exp(0000C
r r a r C r r C a --+-=---
ρρ 即 1)1(
00=---
C
r
e
a C
r r ρ 对地球表面的圆弧光线，因0r r =，要求 )1/(
100-=C r a ρ331037.11
8772
10
64001-?=-?= ④ 设地表空气的实际密度为0ρ'，则由题设 0003
.010003.1100=-=-='n a ρ ⑤
由 式④ 和式 ⑤ ， 得 57.40003
.01037.13
00=?='-ρρ
为了使光线能绕地球表面的圆弧传播，要求地表的空气密度为实际密度的4.57倍. 1.23解：高教社题库
在空气中的光程为 mm 11.0==d nd
完整波的个数为 198105551011.0/9
3
=??=--λd
在通过同样厚度的石英片时
光程为 mm 16.011.046.1=?=nd
完整波的个数为 28910
5551016.0/9
3
=??=--λnd 计算表明，光在通过相同厚度的介质和真空的情况下，光在介质中的光程比真空中的大，完整波的个数也多，那么引起的相位变化也大. 1.24解：高教社题库
由于空气的折射率随高度的增加而增加，从跑道发出的光线传播过程中将向上弯曲.如果从跑道远处发出的光传播到人所在位置时，其光线超过了人眼，那人眼就无法看到远处的跑道了.所以
图1
x
图2
习题1.24解答用图
人眼能看到的跑道的长度是有限度的，设为d ，如图1所示.为求d ，需知光线传播的轨迹.因
)1(0ay n n +=，可将跑 道上空的空气分割成 许多平行于地面的薄层， 每薄层的折射率可看 作常量.从跑道发出 的沿跑道传播的光线 经各薄层时遵循折射
定律，根据几何关系，可得光线轨迹的方程，代入数据求出d .
取直角坐标xy O -，如图1所示，原点O 与人的距离即为所求的d . 将跑道上的空气分割许多平行于地面的薄层(如图2)，设各层的折射率分别为0n (地面)、1n 、 ,2n ， 其中离地面高度为
y ，厚为y d 的任一薄层的折射率为n .由折射定律，从跑道发出的沿跑道传播的光线经各薄层时应
遵循下式：
θθθsin sin sin 22110n n n n ==== ①
式中θ是光线在任一薄层(折射率为n ,高度y ,厚度y d )传播时，光线与界面法线的夹角. 由式①及题意可得 θθsin )1(sin 00ay n n n +== ② 由几何关系
θctan d d =x
y
③ 从而有 2
2)d d (11ctan 1/1sin x
y +=
+=θθ ④
将④的关系代入 ②得 2
)d d (
11x
y ay +=+ 或 222
21)d d (
1y a ay x
y ++=+ ⑤ 因为a 很小，y 有限，故可略去22y a ，化简 ⑤式得 ay x
y
2d d = 分离变量两边积分得 22
x a
y = ⑥
可知光线的轨迹是抛物线.
图2
图1
习题1.25解答用图
当 h y = 时，有 m 105.110
5.17.1223
6?=??==
-a h d 即1.7米高的人所能看到的跑道最远端是1500米，再远就看不到了. 1.25解：高教社题库
海市蜃楼亦称蜃景，是光线经不同密度的空气层发生显著折射(有时伴有全反射)时，把远处景物显示在空中或地面的奇异幻景，常发生在海边和沙漠地区.一般有上现蜃景(正像)、下现蜃景(倒像)和侧现蜃景三种,也有更复杂的蜃景. 可将空气分割成许多与地面(x 轴)平 行的薄层，各薄层的折射率可看作 常量.由光线经各薄层时遵循折射 定律及几何关系，可得光线传播 的轨迹.根据光线的轨迹即可说明 蜃景的成因(本题是下现蜃景，呈倒像).
把空气分割成许多平行地面的薄层(如图1)，物点P 所在的薄层的折射率为1n ，光线与地面法线夹角为1θ；以下各层依次为22,θn 、 ,,33θn .任一薄层的为θ,n ，其厚度为y d .由折射定律，光线经各薄层时应遵循下式： θθθsin sin sin 2211n n n === ①
由几何关系有 2
2
2)d d (
1/1)d ()d (d sin x
y y x x +=+=
θ ② 由式①和式②，得 1sin 1sin 1)d d (12
212
22-=-=θθn n x y ③ 因
0d d y d d 取负值， 然后再将 )1()(2 202y P e n n y n α--+= 代入，得 1sin d d 12212--=θn n x y 21 12 212201 1]sin )1([sin 1θθαn e n n n y P --+-=- 21 212212201 1])sin [(sin 1y P P e n n n n n αθθ---+-= 21212212 20112 ]1sin [sin --+-=--y P P y P e n n n n n e n αα θθ ④ 令2121221220]sin [y P P e n n n n αθ?--+=y P P e n n n n 2212 12 21220sin [αθ-+= y ke 2α = 式中 21 2 12212 20]sin [P P n n n n k θ-+= ⑤ 式④简写为 2 121 12 ]1[sin d d --=-?θαn e n x y y P 或 y n e n x P y d )1(sin d 2 1 22 11 --=?θα ⑥ 由式 ⑤，有 y e k y d 2 d 2α α?= 将上式代入式⑥，得 ??θα d ) 1(sin 2d 2 1211-- =P n n k x ⑦ 积分得 C n n k x P +- =?θαArch sin 211 )(sin 2Arch 11C x n n k P --=θα? y P ke C x n n k 21 1)](sin 2cosh[α θα?=-- = 故?? ? ? ?? ???????--=k C x n n k a y P )](sin 2cosh[ln 211θα ⑧ 这就是光线的轨迹方程.式中k 由式⑤给出，1n 是H y =处的折射率，积分常数C 由0=x 处H y =确 定，为 )(Arch sin 22 1 1H P ke n k n C ααθ= 由光线的轨迹方程（式⑧），从点P 以不同角1θ发出的各条光线的轨迹大致如图3所示. 由于y 减小n 增大，相应的角θ亦增大，会出现全反射.人在A 处观看，以为光线来自P '(P '是物点P 的倒影)，却看不到物点P 本身.在B 观看处，既可看到物点又可看到倒影.在C 处观看，物点和倒影都看不到，因此随着人的移动，景像时有时无，不断变化，这正是海市蜃楼的特点. 1.26解：高教社题库 习题1.27解答用图 硬币发出的光线从水中向空气折射，然后经薄凸透镜成像.换言之，在物(硬币)与透镜之间存在两种介质，先求出硬币经水面折射的像的位置，然后再经透镜成像。 由折射定律，有 θsin sin =i n 硬币经水面折射的像在与C 平行的位置，设离水面距离为h ' 由几何关系 θtan tan AB h i h '== 由上式，得 θtan tan i h h =' 在傍轴条件下， θθsin tan ≈ 故 4 3 1sin sin ==≈ 'n i h h θ 得 h h 43 =' 经透镜成像，硬币的物距为 cm 12155 4 54)8.0438.0(00000-=?-=-=?+--='+--=h h h h h h h s ）（ 由成像公式 f s s 1 11='- 得像距为 s f sf s -=' cm 601210) 10(12=+--?-= 横向放大率为 512 60 -=-='=s s V 向的直径为 cm 5.75.15=?=='D V D 1.27解：高教社题库 由于镜后有平面镜，会多次成 像.如图,物点Q 经薄透镜第一次成 像于Q '1； Q '1作为平面镜的物(虚 物)经反射成实像于Q 2； Q 2对透 镜可能是实物也可能是虚物，经透 镜第二次成像于Q '2， Q '2是最后的 像.用逐次成像法即可求解.本题 的特例(0,1==d f s )提供了用自准法测透镜焦距的原理. 物点Q 经透镜第一次成像于Q '1， 由成像公式 f s s 1111 1='- 得像距为 1 11 s f f s s -=' ① 当cm 151-=s 时 cm 3015 10) 10(151 =+--?-='s 当cm 401-=s 时 cm 3 404010)10(401 =+--?-='s Q '1作为虚物，经平面镜成像于Q 2，物距为d s -'1 ，即实像Q 2在平面镜前方 d s -'1 处 ② 当cm 151=s 时 cm 2010301 =-=-'d s 当cm 401=s 时 cm 3 10 103401 =-=-'d s Q 2作为物点经透镜第二次成像于Q '2，物距为 )2(])[(11 2d s d d s s -'-=--'-= ③ 光线反向 当cm 151=s 时 cm 10102021 2=-=-'=d s s 为虚物点 当cm 401=s 时 cm 3 20 1031021 2-=-=-'=d s s 为实物点 像距公式为 2 22 s f f s s -=' ④ 当cm 151-=s 时 cm 510 10) 10(10222 -=---?=-='s f f s s （cm d s 102 =<'） 为实像 当cm 401-=s 时 cm 203 2010) 10(320 2 22-=+ --?- =-='s f f s s ( cm d s 102 =>') 为虚像 综合①②③④式,得最后成像位置的一般公式为 x 习题1.28图 f d s f f s f d s f f s d s f f d s f s f s s -+---=-'--'=-='2)2( )2()2(1 1 1 111222 ) 2)(()](2[1111f d s f f s f s f d f s -----= 如果在实验中，令物距等于焦距，即f s =1时，则f s ='2，最后像与物位于同一平面，即12 s s ='.若再特殊地令0≈d ，由③式可进一步得到 1 2s s '-=，故在这种条件下横向放大率为 11 1112211 -='-'=''= s s s s s s s s V 那么我们得到的结果是：最后像与物在同一平面内，大小相同，正倒相反，这就是用自准法测透镜焦距的基本原理. 1.28解：高教社题库 光学纤维是一种带涂层的透明细丝，其直径为几十微米至几百微米.涂层的折射率小于芯层的折射率，使进入纤维端面的光线能在涂层与芯层的界面上多次全反射而传播到另一端.纤维可以粘合、弯曲，用于图像传输.还有一种聚光纤维，其折射率从轴沿径向连续变小，由物体每点发出的光线在其中分别沿各自的近似于正弦波的曲线向前传播，每根聚光纤维相当于一个透镜系统，可以传递图像.光学纤维可以用于光通 信，医用内窥镜等许多方面.本题 讨论的就是聚光纤维内光线的轨 迹.将纤维分割成许多同轴薄圆 筒，每层薄圆筒内的折射率可 看作为常量.由对称性，只需分 析纤维轴线的截面内光线传输 即可.由折射定律和几何关系即可确定光线在该平面内传输的轨迹.由此可知聚光纤维对光线具有聚焦作用. 建如图坐标系，纤维轴线为x 轴，其横截面的径向为r 轴.考察光线在xr 平面内的传播，把平面分成许多平行于x 轴的窄条，每一窄条对应薄圆筒的厚度.设光线从0=r 处以与r 轴成夹角0θ入 射.设各窄条的折射率和折射角依次为22,θn 、 ,,33θn ，任一窄条的为θ,n ，其厚度为r d .由折射定律，光线经各薄层时应遵循下式： θθθsin sin sin 2200n n n === ① 由几何关系有 2 2 2)d d ( 1/1)d ()d (d sin x r r x x +=+= θ ② 由①②得 1sin 1sin 1)d d (02202 2 2-=-=θθn n x r ③ 对x 求导，得 x r r n n x r x r d d d d sin 1d d )d d (22022022θ= ④ 将 已知条件 )1(222 02r n n α-= 代入上式 则④式写为 0sin d d 02 222=+r x r θα ⑤ 解出 )sin sin( 00 ?θα +=x A r ⑥ 常数A 和0?由入射光方向和入射点的位置确定. 因 0,0==r x 故 0sin 0=?A 则 0000 tan cos sin d d ,0θ?θαc A x r x x ==??? ???== 有 00cos cos θ?α=A 故由上述两式，得 π,00=? cos cos ?αθ= A 当入射光向右上入射时， 0cos 0>θ，故 0cos 0>? 则 00=? ， α θ0 cos = A 当入射光向右下入射时，0cos 0<θ， 故 0cos 0 θ0 cos - =A x O 因此，入射光从点O 入射时，光线的轨迹方程为 )sin sin( cos 0 x r θα α θ= 光线向右上方入射 )πsin sin( cos 0 +-=x r θα α θ 光线向右下方入射， 可见光线的轨迹为正弦波形， 其空间周期 0sin π 2θα = T 上式说明，从不同方向入射的光线， 其0θ不同，T 也不同. 但对小角度入射的光线， 1sin ,2 π00≈≈ θθ 则空间周期近似相同α π 2= T ，轨迹如图所示，故小角度入射的光线在纤维 中有自聚焦的作用.