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西城总复习专题7-3_空间向量

§1－3 空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算：

(1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律：

加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(λ ＋μ )a＝λ a＋μ a；λ (a＋b)＝λ a＋λ b．

(2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ ，使得a∥λ b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c＝λ a＋μ b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p＝λ 1a＋λ 2b＋λ 3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜c os〈a，b〉；

②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜c os＜a，e＞；a⊥b?a·b＝0；

|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．

③空间向量的数量积的运算律：

(λ a)·b＝λ (a·b)；

交换律：a·b＝b·a；

分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

(4)空间向量运算的坐标表示：

①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．

②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；

λ a＝(λ a1，λ a2，λ a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．

③空间向量平行和垂直的条件：

a ∥

b (b ≠0)?a ＝λ b ?a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )；

a ⊥

b ?a ·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．

④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则

;||,||232221232221b b b a a a ++==++==??b b b a a a

;||||,cos 23222

123222

32211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=

在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是 .)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=

2．空间向量在立体几何中的应用：

(1)直线的方向向量与平面的法向量：

①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．

由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．

(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：

设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则

①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ；

②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0；

③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0；

④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ；

⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ；

⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0．

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：

①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．

设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2

,0(∈θ则?=>

||||||,cos |212121v v v v v v

②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．

设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然 ]2π

,0[∈θ，则?=>

||||||,cos |v u v u v u ③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．

利用向量求二面角的平面角有两种方法：

方法一：

如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β 的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．

方法二：

如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．

(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．

【复习要求】

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

4．理解直线的方向向量与平面的法向量．

5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．

6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．

【例题分析】

例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1

上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．

【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =

解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，

2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．

∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===

AA AP ∴?)34,0,3(P

同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，?)3

,4,0(S ,)3

2,2,3(RS PQ =-= ∴RS PQ //，又R ?PQ ，

∴PQ ∥RS ．

【评述】1、证明线线平行的步骤：

(1)证明两向量共线；

(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．

2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．

例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．

【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．

解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．

取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，

4)．

MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)， ∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，

∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ，

∴平面AMN ∥平面EFBD ．

解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是

b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==??AN AM a a

得???=+=+-,042,04232

31a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==??BF DE b b

得?

??=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)． ∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．

注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．

例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．

解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)． ∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM 设AM 和CN 所成的角为θ ，则,5

2||||cos ==?CN AM CN

AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是?5

2 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．

易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，

∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角．

设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B ∴,5

22cos 11221211=-+=?Q B P B PQ Q B P B Q PB ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是?5

【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．

例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．

【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．

解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A ?-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2

,0(a a D ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB a DC ==-

= ,0,0111==??AA DC AB DC

∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，

∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角． ),2,2

,0(),2,2,23(1a a AD a a a AC =-= 23||||cos 111==

∴?AD AC AD

AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．

解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而?-===)2,2

,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )，由,0,01==??AA AB a a 得???==,

02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．

设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2

,0[,∈θθ .30,2

1|||||

||,cos |sin 111 ===??=?θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．

例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，

求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．

解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ．

∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ，

∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ．

∵EA ⊥PB ， ∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．

如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ?)2

1,22,21( 由,3

122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而?)43,42,43(E ∴)2

1,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴?=>=

3||||,cos DC EA DC

EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是?3

3 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，

).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP

设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，

平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==??AB AP a a 得?????=+=,

02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==??CP CB b b 得?????=+-=,

0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)． ∴?-=>=

|||,cos b a b a b a ∵二面角A －PB －C 为锐二面角，

∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是?=-3

3|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．

2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．

例6 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．

(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；

(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成角的余弦值；

(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．

解：如图建立空间直角坐标系．

设P A ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,

21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP == ∴,0=?BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．

∴BC ⊥平面P AC ．

(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴?-)2

1,43,0(),21,43,41

(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ，

∴∠DAE 是直线AD 与平面P AC 所成的角． ∴),2

1,43,0(),21,43,41

(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==

∠?AE AD AE

AD DAE

即直线AD 与平面P AC 所成角的余弦值是?4

14 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，

∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角．

∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∠P AC ＝90°．

∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，

这时，∠AEP ＝90°，且?==3

422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3．

注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．

练习1-3

一、选择题：

1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2 (B)2 (C)5 (D)22

2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( )

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)3

2 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和?，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )

(A)θ ＞?，m ＞n

(B)θ ＞?，m ＜n (C)θ ＜?，m ＜n (D)θ ＜?，m ＞n

二、填空题：

5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______．

6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为

3，则该正四棱柱的体积等于______．

7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．

8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 2

1，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______．

三、解答题：

9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．

(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；

(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．

10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4

π=

∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．

(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；

(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．

11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，

直线CA 和平面α 所成的角为30°．

(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；

(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．

习题1

一、选择题：

1．关于空间两条直线a 、b 和平面α ，下列命题正确的是( )

(A)若a ∥b ，b ?α ，则a ∥α (B)若a ∥α ，b ?α ，则a ∥b

(C)若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b (D)若a ⊥α ，b ⊥α ，则a ∥b

2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( )

(A)8 (B)38 (C)6 (D)2

3．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)2

3 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )

(A)3cm 34000 (B)3cm 3

5．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2 (B)22 (C)23 (D)24

二、填空题：

6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．

7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______．

8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______．

9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于

3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．

10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使

∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论：

①直线AD ⊥平面BCD ；

②侧面ABC 是等边三角形；

③三棱锥A －BCD 的体积是.24

23a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号)

三、解答题：

11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．

(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ；

(Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；

(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．

12．如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝2，AB ＝1，M 为

PC 的中点．

(Ⅰ)求证：平面PCB ⊥平面MAB ；

(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积．

13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是

A 1C 1、BC 1的中点．

(Ⅰ)求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ；

(Ⅱ)求证：MN ∥平面A 1ABB 1；

(Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．

14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2=

AD ，DC ＝SD

＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．

(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；

(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．

练习1-3

一、选择题：

1．B 2．A 3．B 4．D

二、填空题：

5．60° 6．2 7．5

4 8．42 三、解答题：

9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．

依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．

),0,2,2(),1,2,0(==DB DE

).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A

(Ⅰ)∵,0,011==??DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．

又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．

(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n

∴?

??=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)． ?==?4214||||),cos(111C A C

A C A n n n ∴二面角A 1－DE －

B 平面角的余弦值为?42

14 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．

则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,2

2,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，?-

)0,4

2,421(N (Ⅰ)?--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==??OD OP n n

即???????=-+-=-.02222

0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=?n MN ∴MN ∥平面OCD ．

(Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，

,3π,2

1||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==?θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为?3

π 11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．

∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ．

又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．

∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．

∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°．

不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．

在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3=

=AO BO ∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O

).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB

设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由?????==??,0,0AC AB n n 得?

????=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ．易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量．

设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55|

|||cos 2121==??n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是

?55 习题1 一、选择题：

1．D 2．B 3．A 4．B 5．B

二、填空题：

6．324 7．4

3 8．9π 9．5 10．①、②、③ 三、解答题：

11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，

∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．

∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．

(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ．

∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形，

∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ．

∵DE ?平面A 1BD ，A 1C ?平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．

(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，则?-)1,0,2

1(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量，则,01=?AD n 且,011=?D B n 故.02

1,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)．

同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n

设二面角B －AB 1－D 大小为θ ，∵,515|

|||cos 2121==?n n n n θ ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为?5

12．(Ⅰ)∵P A ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面P AC ，故AB ⊥PC ．

∵P A ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ，又PC ?平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ．

(Ⅱ)Rt △P AB 的面积1211==?AB PA S ．Rt △P AC 的面积.2212==?AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．

∵△P AB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，

∴△PCB 的面积.63222

1214=??==

?MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+

13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．

又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1．

∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．

(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ，又A 1B ?平面A 1ABB 1，MN ?平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．

(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ．

∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，

又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积?=???==???3

21421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).

(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ，则),12,12,2(),12,12,0(λ

λλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||. BA BM BA BM = 即,)12()12()2(14222λ

λλ+++-+-=+解得λ ＝1． ∴M 是侧棱SC 的中点．

(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点?)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),2

1,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==??

∴cos

〉MS ,GB 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,3

6||||),cos(-==?MS GB MS

GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－

36．

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计

空间向量与立体几何 (角度问题)教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 3、探究题型，掌握解法。二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法

教师总结规律两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m. ①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ ＝ |a·b| |a||b|. ②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ ＝ |a·n| |a||n|. ③平面α与平面β所成的二面角为θ，则 |cosθ|＝ |n·m| |n||m|.、结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ，则锐角α为（） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为（） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

利用向量解决空间角问题

利用向量解决空间角问题一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情. 教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式； 2）空间角与向量夹角的区别和联系。教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别； 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题. 四、课型及课时安排课型：高三首轮复习专题课课时：一节课五、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价六、教学手段：借助多媒体辅助教学

空间向量与平行关系

《空间向量与平行关系》教学目标：知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法. 过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握. 情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律，学会总结，慢慢理解加深对数学的认识. 教育目标：数学课到底教什么？一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形（类），其内角和为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）. 二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题. 教学难点：线，面平行传统方法的回顾处理办法：在学案进行复习巩固教学重点：用向量解决线，面平行问题处理办法：通过例题循序渐进教学设计一.（复习回顾）

2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量. 法向量：垂直于平面的向量（非零向量）向量垂直：0=??⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？二.新知引入：向量法 1. 设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则： R b a b a m l ∈=??→→→→λλ,∥∥ 0=??⊥?→→→→u a u a l α∥ R v u v u ∈=??→→→→λλβα,∥∥ 1.线线平行 ① 设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： ()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ， ()2,1,2--=→a ()2,1,2--=→ b ， ②已知→1e ，→ 2 e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： →→→-=2132e e a →→→+-=2132e e b →→→-=2132e e a →→→-=2164e e b 2.线面平行 ①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内. 根据下列条件判断直线 m 与平面σ的位置关系： ()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()2,23-=→ ，u 3.面面平行 ①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线β α，的位置关系 ()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2

空间向量专题讲解

空间向量的概念解析例1、下列说法中正确的是（） A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜ C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += 练习 1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1 2、下列四个命题：（1）方向相反的两个向量是相反向量（2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b （3）不相等的两个空间向量的模必不相等（4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜其中正确命题的序号为（） A.（1）（2）（3） B.（4） C.（3）（4） D.（1）（4）空间向量的线性运算例1、已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量（1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3） 111222 AD AB A A '+- 练习 1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程（一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补），其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

（二）典例分析如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求：（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值；（2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值；（3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ，（1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ，所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ，又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量，令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2．共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)定义空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

利用空间向量求空间角考点与题型归纳一、基础知识 1．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ，其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)．两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互

补，需要结合图形进行判断．二、常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．

空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案

【巩固练习】一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11 11114 A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=?，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=( ) A ．2 B ．2- C ．2-或 255 D ．2或255 - 5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 2 AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（） A ． 621 B ． 33 8 C ．60 210 D ． 30210 6.（2015秋湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 ==2 AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（）

专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)

专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷）一、单选题 1．（2020·江苏如东高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )

A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，

空间向量的夹角、距离计算

空间向量的夹角、距离计算 1.已知A (2，-5,1)，B (2，-2,4)，C (1，-4,1)，则直线AC 与AB 的夹角为（） A.300 B.450 C.600 D.900 2.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a =（0,2,1），b =（，，），那么这条直线与平面的夹角为( ) A. 900 B. 600 C.450 D. 300 4. 边长为a 的正六边形ABCDEF 所在平面为α，PA ⊥α且PA ＝a ，则PC 与α所成的角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 45° D. 90° 5．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( ) A.66a B.306a C.34a D.63 a 6. 已知向量n =（1,0，-1）与平面α垂直，且α经过点A （2,3,1），则点P （4,3,2）到α的距离为( ) A. 1 B. C. D. 2 7.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或30° 8．设ABCD ，ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角等于( ) A ．45° B ．30° C ．90° D ．60° 9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( ) A ．0 B.37070 C ．－37070 D.7070 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为 ( ) A.19 B.49 5 C.29 5 D.23 12. 已知a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1＝(1,0,1)， b 1＝(－1,2,1)，则α，β所成二面角的大小为________．

苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2利用空间向量解决形形色色的平行问题

3.2 例析利用空间向量解决形形色色的平行问题一．证明线线平行证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈或 3 12123 //a a a a b b b b ? ==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED . 证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1 (0,1,)2 F ，1 (1,0,)2 E ，'(0,0,1)D . 11 (0,1,)(1,1,0)(1,0,)22 BF =-=-， 11 '(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22 ED =-=-. ∵'1ED BF =?， ∴'//ED BF 即//'BF ED . 例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ， k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =. ∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ?=?==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ?=?==， ∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA . 二．证明线面平行例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面EBC . D B O A α

高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理【高考考情解读】高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)． (1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0. 2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22 . (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ| ＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v | ＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距离：d ＝|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习 1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出所有正确的命题______________________． 2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1， ∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________． 3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，

空间向量巧解平行,垂直关系

高中数学空间向量巧解平行、垂直关系编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬一、考点突破知识点课标要求题型说明空间向量巧解平行、垂直关系 1. 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。 2. 理解直线的方向向量与平面的法向量。 3. 能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用。选择题填空题解答题注意用向量方法解决平行和垂直问题中坐标系的建立以及法向量的求法。二、重难点提示重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。考点一：直线的方向向量与平面的法向量 1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。 2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。【核心归纳】

① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 ② 在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的。【随堂练习】已知A （1，1，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量的单位向量是（） A. （1，1，1） B. C. 111 (,,) 333 D. (333 - 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。答案：设平面ABC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），AB u u u r ＝（0，－1，1），BC uuu r ＝（－ 1，1，0），AC u u u r ＝（－1，0，1），则·0 ·0· 0AB y z BC x y AC x z ?=-+=?? =-+=??=-+=??n n n u u u r u u u r u u u r ，∴x ＝y ＝z ，又∵单位向量的模为1，故只有B 正确。技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：（1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）。（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a ＝（a 1，b 1，c 1），b ＝（a 2，b 2，c 2）。（3）根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组· 0· 0.=??=?n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系

用空间向量解决空间中“夹角”问题

利用空间向量解决空间中的“夹角”问题学习目标： 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.提高分析与推理能力和空间想象能力。重点：利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点：向量夹角与空间中的“夹角”的关系一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：异面直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90 的角θ与和的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ a

例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则 )2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,21 ,23(1a a a CB = 即21 323||||,cos 22 111111==>=<,与θ的关系？例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a AA ==)2,21 ,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n = x y

(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc

空间向量的夹角、距离计算同步练习题一、选择题 1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4) ， (1 ，-4,1) ，则直线与 AB 的夹角为（ C ） A B C AC A.30 0 B.45 0 C.600 D.90 0 2. 已知向量 a ＝ (0 ，2， 1) ， b ＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ． 0° B ． 45° C ．90° D ． 180° 解析：选 C.已知 a ＝(0 ， 2， 1) ， b ＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos 〈 a ， b 〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° . 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =（ 0,2,1 ），b =（，，），那么这条直线与平面的夹角为 ( D ) A.90 0 B. 60 0 C.45 0 D. 30 4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α， PA ⊥ α 且 PA ＝ a ，则 PC 与 α 所成的角为 ( A ) A.30° B.60° C.45° D.90° 5．在棱长为 a 的正方体－1111中，是 1 的中点，则点 1 到平面的距离是 ( ) ABCD A B CD M AA A MBD 6 30 3 6 A. B. a C. D. a 6 a 6 4 a 3 D a A ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M 1 B ( a a, 0) 解析：以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为 a ， 0， a ，，则1 ，，，，， 2 → → → 0，－ 1 → 1 D (0,0,0) ，设 n ＝ ( x ，y ，z ) 为平面 BMD 的法向量，则 n · BM ＝0，且 n ·DM ＝ 0，而 BM ＝ a ，，DM ＝ a ， 0， 2a 2a . 1 1 － y ＋ 2z ＝ 0， y ＝ 2z ，令 z ＝ 2，则 n ＝ ( － 1,1,2) → ，a ) ，则 A 到平面所以所以，DA ＝( a, 0 1 1 1 1 x ＋2z ＝ 0， x ＝－ 2z ，的距离是 → ＝ 6 . 答案： A ＝ | DA ·n | BDM d 1 6 a | n | 6. 已知向量 n =（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A （ 2,3,1 ），则点 P （4,3,2 ）到 α的距离为 ( B ) A. 1 B. C. D. 2 7. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， O 是 A 1C 1 的中点，则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为（ A ） A. B. C. D. 8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或 30° 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设，都是边长为 1 的正方形，⊥面，则异面直线与 BF 所成的角等于 ( ) ABCD ABEF FA ABCD AC A ．45° B ．30° C ．90° D ．60° 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴，所在直线为 y 轴， BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC → → → → 1 → → 略 ) ，则 A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，∴ AC ＝ ( － 1,1,0) ，BF ＝ (1,0,1) ．∴ cos 〈 AC ，BF 〉＝－ 2. ∴〈 AC ，BF 〉 1

西城总复习 专题7-3_空间向量

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计

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