当前位置：文档库 › 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）

方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。

一、知识要点

1.形如方程的解的讨论：

⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；

②当≠0时，方程无解；

⑵若≠0，方程的解为=。

2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。

⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。

⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数(

≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。

3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。

4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。

5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。

二、例题选讲

1.方程整数根的讨论

例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根

是。

解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。

评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：

类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( )

A.1；

B.2；

C.±1；

D.±2.

分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得

，或，或，或，所以－=±1。

例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。

解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。

①当时，，符合题意；

②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。因为是整数，所以

±1，或±2，∴=－1，0，2，3。

结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。

评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得±1，或±2。

延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如：

(2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满足的关系式。

解：原方程组可化为，所以，显然方程中≠－1，

因此。因为、是整数，所以，即=0，或－2。

当=0时，=0，此时、满足的关系式是=0(为任意实数)；

当=－2时，=8，此时、满足的关系式。

例3.(2004年全国联赛)已知方程的根都是整数，求整数的值。

解：原方程的解为。因为方程式的根都是整数，所以必须是完全平方式。

设(＞0)，则，所以。

∵，且＞，

∴，，，，

解得=10，0，－18，－8。

评注：涉及完全平方数的一元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初中数学竞赛题中较为常见，有的问题须多次使用根的判别式，多次变换讨论的对象，如：

类题.(2004年太原)已知为整数，若关于的二次方程有有理根，则的值是。

分析：由已知得为完全平方数。设(为正整数)，即①

将①看作是关于的二次方程，由题设知有整数根，故式①的判别式

应为完全平方数。令(正整数，且＞)，则，因

此，解得，所以①可化为，解得=－2，或=0(舍去)。

例4.(2001年全国竞赛)如果，为质数，且，，那么

的值为( )

A.；

B.或2；

C.；

D.或2.

解：依题意，，都是关于的方程的根。

若≠，则，是方程两个不相等的实数根，所以。因为，为质数，所以=2、=11或=11、=2，因此=；

若=，则==2，或==11，所以=2。因此本题答案选B。

评注：本题解答应用了质数的概念与分类讨论思想。，都是关于的方程的根，可能有=与≠这一点容易忽视。两个质数的和是13，这两个数只能是2与11.

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（二）

安徽省巢湖市教学研究室张永超

2.一元二次方程根的大小分布

例5.(2002年全国竞赛)设关于的方程有两个不相等的实数根、，且＜1＜，那么的取值范围是( )

A.＜＜；

B.＞；

C.＜；

D.-＜＜0.

解：设，依题意，方程的两个不相等的实数根、满足＜1＜，结合二次函数的图象可知，必须有

⑴，

⑵，

解不等式组⑴得，①、③的取值范围没有公共部分，因此⑴没有解；

解不等式组⑵得，因此解集为-＜＜0，所以答案选D。

评注：本例的解答涉及到解一元二次不等式。解一元二次不等式不在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》范围内，但是《初中数学竞赛大纲》对此有一定的要求。我们可以结合一元二次方程的解法作初步的探索与了解。

例6.(2002年全国竞赛)已知，为抛物线与轴交点的横坐标，＜，的值为_______。

解：要求的值，首先要根据，的正负去掉绝对值符号。

根据抛物线表达式可知，当时，＜0。又因为＜，二次项系数为1，因此我们得到的抛物线的形状大致如右图所示，并且＜＜，

所以。

评注：本例主要根据抛物线与轴交点的横坐标、，以及当时

对应的函数值的正负判断出、、的大小，从而化简。

例7.(2003年太原)已知关于的方程的两个实

数根、满足－3＜＜－2，＞0，求的取值范围。

解：设。因为方程的两个实数根、

满足－3＜＜－2，＞0，所以函数对应的图象如上图所示。

因此解这个不等式组得

所以的取值范围是＜＜。

评注：本题求解过程中根据、、三个点的函数值得到一个不等式组，可以保证⊿=＞0，因此没有再列出根的判别式，这一点需要仔细推敲与感悟。这样处理也避免了解一元二次不等式。本例解答给我们的启示是，解题时首先要认真审题、分析题意，选择最优化的解题方法，这样做可以简化计算，提高解题准确率。

3.与一元二次方程有关的最值问题

例8.(2004年信利杯)已知＜0，≤0，＞0，且，求的最小值。

解：两边平方得=，而＜0，＞0即，所以，即。因此==。因为≤0，所以当=0时，取得最小值是4。

评注：求与一元二次方程有关的最值问题一般将所求问题转化为二次函数的最值问题来解决，或使用一元二次方程根的判别式来解决。

延伸拓展：2004年出现了多道用编拟的竞赛题，如：

类题.(2004年全国初中联赛)已知是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为（）。

A.≥；

B.≤；

C.≥；

D.≤.

分析：由题设知，原方程的两个实根中，有一个等于，则

有，或。若设，那么

或。因为是一个实数，因此△=1-8≥0，解得

≤。答案选B。

例9.设，是实数，且，求的最大值与最小值。

解：设①，而②，

由①、②得，，所以③，

因此，而，

所以，是方程的两个实数根，

因此△≥0，并且≥0，解得1≤P≤9。

所以的最大值为9，最小值为1。

评注：本题是利用构造法，将，看作是方程的两个实数根，根据根的判别式求解的。本题还可以构造不等式组求解。如由①、②可得③=≥0，且=≥0，从而1≤P≤9。

类题.(2003年江苏)已知实数，，满足，，则的最大值为。

分析：∵，∴，∴。又因为，

∴，∴，所以、是方程的两个根，因为，，是实数，所以⊿＝≥0，解得-2≤≤2，故的最大值为2。

例10.(2003年四川)若、是方程的两个实数根，则

的最小值是。

解：依题意得，

解①：≤，由②、③得

，

所以当=时，有最小值。

评注：本题的关键在于根据方程有两个实数根，利用根的判别式求出的取值范围≤，在≤的范围内求的最小值，否则容易错误地认为取=1得的最小值为－8。

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（三）

4.其它方程的解的讨论

例11.(2003年四川)若关于的方程只有一个实数解，则= 。

解：去分母得，整理得①。

当=0时，方程①有一个实数根，经检验是原方程的解；

当≠0时，方程①是一元二次方程。因为＞0，因此方程①总有两个实数根，其中一个根是原方程的增根。而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为0的未知数的取值中，即原方程的增根只可能是=0，或=1。

因为=0不可能是方程①的解，所以只能=1是方程①的解，因此，解得=。

综上所述，当=0，或=时，原方程只有一个实数根。

评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。与本例类似的问题有：类题. 是什么整数时，方程只有一个实数根？指出所有这样的值，并求出与它相对应的根。

分析：方法与例22类似，答案为=4，或=8。

例12.(2001年我爱数学夏令营)如果满足的实数恰有6个，那么实数的值等于。

解：显然＞0。原方程可化为。

若＞10，则原方程等价于，可化为，即

，此时原方程只有4个解，不符合题意。

若0＜＜10，则原方程等价于，它可以化为如下四个方程：

，，，，

此时这4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8不同的解，不符合题意。

若=10，则原方程可化为如下三个方程：，，，每个方程各有两个不同的实数解，所以=10符合题意。

评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与

枚举法。实际上本题用图象法解答较为简便，方法是：

先作函数的图象，并将函数的图象

沿轴方向上下平移，不难发现，只有当=10时，函数的

图象与函数的图象才有6个不同的交点，即

原方程恰有6个解；当10＜＜15或=0时，原方程恰有4个解；当=15时，原方程恰有3个解；当0＜＜10时，原方程恰有8个解。(如上图所示)

延伸拓展：用类似上例的方法可以解决下列问题：

类题.(2003年北京)如果满足的实数恰有6个值，则实数的取值范围是( ).

A.－6≤≤0；

B.0＜≤3；

C.3＜＜6；

D.6≤＜9.

分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.

例13.(2001年武汉)方程的整数解( ).

A.不存在；

B.仅有1组；

C.恰有2组；

D.至少有4组。

解：根据二次根式运算的性质可知，只有被开方数相同的最简二次根式可以加减(合并)，因此、必须被开方数相同，而，被开方数中没有能开得尽方的因数，所以方程没有正整数解，只能有与两组整数解。

评注：若将改为，则原方程可化为，这时、可分别设为，(其中、是整数)，则方程

有8组整数解。

延伸拓展：有关二次根式的竞赛题，除以被开方数相同为背景外，还可以以其被开方数为非负数来命制试题，如：

类题.(2003年全国联赛)满足等式的正整数对(，)的个数是( )

A.1；

B.2；

C.3；

D.4

分析：由已知等式可得，而＞0，所以，故。又因为2003是质数，必有，或，答案选B。

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（四）

三、练习题

1.设、是关于的一元二次方程两个实数根，则的最大值为______。

2.已知实数、满足，，那么的取值范围是。

3.若关于的方程有解，则实数的取值范围是。

4.实数、、满足，，则的最大值是。

5.满足方程的实数对(，)的个数等于。

6.方程实数根的个数为( )

A. 1；

B.2；

C.3；

D.4

7.方程的整数解有( )组。

A.1；

B.2；

C.3；

D.4.

8.已知方程，则此方程的正整数解的组数是( )

A.1；

B.2；

C.3；

D.4.

9.若关于的方程的所有根都是比1小的正实数根，求实数的取值范围。

10.求满足如下条件的所有值，使得关于的方程的根都是整

数。

11.已知实数，，满足，。

⑴求，，中的最大者的最小者；⑵求的最小者。

12.是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程

的两个根均为质数，求的值。

练习题参考答案

1.；

2.≤≤；

3.＜-1或≥0；

4.；

5.1；

6.A；

7.D；

8.C；

9.=1或＞2；

10.当=0时，所给方程有整数根1；

当≠0时，设所给方程两个整数根为、，则，则+-=-2，所以(-1)(-1)=3。

因此，，，，

∴+=-2，或+=6，因此，或，解得=1，或=。

当=1，或=时，⊿=均大于0，因此满足要求的值有三个，它们是=0，或=1，或=。

11.⑴不妨设是，，中的最大者，即≥，≥。由题意知＞0，且，

。于是、可看作方程的两个实数根，则⊿=≥0。整理得≥0，≥0，所以≥4。当=4，==－1时，满足题意。故、、中最大者的最小值是4。

⑵因为＞0，所以、、为全大于0或一正一负。

①若、、均大于0，则由⑴知，、、中的最大者不小于4，这与++=2

矛盾。②若、、一正一负，设＞0，＜0，＜0，则

，

由⑴知≥4，故≥6。当=4，==－1时，满足条件且使得不等式等号成立，故的最小值为6。

12.设方程的两个质数根为、，由一元二次方程根与系数的关系，有

①，②。

①+②得，，∴③。

由③知，、显然均不能为2，故必为奇数，

∴和均为整数，且。

若为奇数，则必(=1，2，3)，则为合数，矛盾。

同理，也为偶数。因此和均为整数，且。

不妨设≤，则或5。

当时，，得，均为质数。

当时，，得，为合数，不合题意。

综上可知，。

代入①得④。

依题意，方程④有唯一的实数解，∴△。解得。

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

初中数学竞赛常用解题方法（代数）一、配方法例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。二、非负数法例21 ()2 x y z =++. 三、构造法（1）构造多项式例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的（2）构造有理化因式例4、已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。（3）构造对偶式例5、已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。（4）构造递推式例6、实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。（5）构造几何图形例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。四、合成法例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。五、比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法）例9、71427和19的积被7除，余数是几？练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。练习：证明993 991993 991+能被1984整除。七、换元法（用新的变量代换原来的变量）例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、过度参数法（常用于列方程解应用题）例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质）例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

高中数学竞赛解题策略几何分册勃罗卡定理

第32章勃罗卡定理勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．分别注意到点E 、G 对O e 的幂，O e 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ?=?=-． 22EG GN BG GD R OG ?=?=-．以上两式相减得() 22222EG OE R R OG =---，即22222OE EG R OG -=-．同理，22222OF FG R OG -=-．又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-．于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O e 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点共线，从而EN OF ⊥．同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥．于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．证法3如图321-．注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD 中，其密克尔点M 在直线EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD ．此时，由密克尔点的性质，知E 、M 、C 、B 四点共圆，M 、F 、D 、C 四点共圆，即有BME BCE DCF DMF ∠=∠=∠=∠，从而9090BMO DMO DMF DCF ∠-∠=?-∠=?-∠ 11180909022BOD BOD BOD ??=?-∠-?=?-∠=∠ ??? ，即知点M 在OBD △的外接圆上．同理，知点M 也在OAC △的外接圆上，亦即知OM 为OBD e 与OAC e 的公共弦．由于三圆O e ，OBD e ，OAC e 两两相交，由根心定理，知其三条公共弦BD ，AC ，OM 共点于G ．即知O ，G ，M 共线，故OG EF ⊥．该定理有如下推论推论1凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，直线OG 与直线EF 交于点M ，则M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点．事实上，若设M '为完全四边形ABECFD 的密克尔点，则M '在EF 上，且OM EF '⊥．由勃罗卡定理，知OG EF ⊥，即OM EF ⊥．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而OM 与OM '重合，即M 与M '重合．推论2凸四边形ABCD 内接于圆，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点的充要条件是GM EF ⊥于M ．推论3凸四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，则G 为OEF △的垂心．事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：22222EG OE OG R =+-，22222FG OF OG R =+-，22222EF OE OF R =+-两两相减，再由定差幂线定理即证．下面给出定理及推论的应用实例．例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P ，Q ，两对角线交于点R ，则圆心O 恰为PQR △的垂心．

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

高中数学竞赛中数论问题的常用方法

高中数学竞赛中数论问题的常用方法数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

１全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上，也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.

（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一)

- 1 - 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）安徽省巢湖市教学研究室张永超 (本讲适合初中) 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。一、知识要点 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。 2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。 ⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数 (≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。 3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。 4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。二、例题选讲 1.方程整数根的讨论例1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是。解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：

- 2 - 类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( ) A.1； B.2； C.±1； D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得，或，或，或，所以－=± 1。例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。 ①当时，，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。因为是整数，所以 ±1，或±2，∴ =－1，0，2， 3。结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得 ±1，或±2。延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如： (2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满足的关系式。解：原方程组可化为，所以，显然方程中≠－1，因此。因为、是整数，所以，即=0，或－2。当=0时，=0，此时、满足的关系式是=0(为任意实数)；当=－2时，=8，此时、满足的关系式。例3.(2004年全国联赛)已知方程的根都是整数，求整数的值。

山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理汇总

第25章九点圆定理九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆．如图25-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D 、E 、F ，三边BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，又AH 、BH 、CH 的中点分别为P 、Q 、R ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、O 、R 九点共圆． H O Q L R N M P F E D C B A 图25-1 证法1联结PQ ，QL ，LM ，MP ，则1 2 L M B A Q P ∥∥，即知L M P Q 为平行四边形，又LQ CH AB LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L 、M 、P 、Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L 、M 、N 、P 、Q 、R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠∠=∠=?=，知D ，E ，F 三点也在这个圆上，故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法2如图25-1，由1 1801802NQD BQD BHD ∠=?-∠=?-∠，以及注意到DE 是N 与R 的公共弦，知 NR DE ⊥，有1 2 N R D D R E C ∠= ∠=∠，亦即180NRD EHD ∠=?-∠，从而知 ()360180NQD NRD BHD EHD ∠+∠=?-∠+∠=?．因此，N 、Q 、D 、R 四点共圆．同理，Q 、L 、D 、R 四点共圆．即知N 、Q 、L 、D 、R 五点共圆．同理，L 、D 、R 、M 、E 以及R 、M 、E 、P 、F ；E 、P 、F 、N 、Q ；F 、N 、Q 、L 、D 分别五点共圆．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法3如图25-1．联结PL 、PN 、PQ 、PF 、LQ 、LF 、QN 、FL ，则90PDL ∠=?．注意到PN BH ∥，NL AC ∥，BE AC ⊥，则PN NL ⊥，即90PNL ∠=?．又PQ AB ∥，QL CH ∥，而CH AB ⊥，则QL PQ ⊥，即90PQL ∠=?．注意到PF PH =，则PFH PHF CHD ∠∠∠==．由LF LC =，有CFL HCD ∠∠=．因90CHD HCD ∠+∠?=，则90PFL PFH CFL ∠∠+∠?==．同理，PM L ∠、PEL ∠、PRL ∠皆等于90?．即D 、N 、Q 、F 、M 、E 、R 各点皆在以PL 为直径的圆周上．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法4如图25-1，注意到LQHR 为平行四边形，QP BA ∥，RP CA ∥，则么180180QLR QHR A QPR ∠=∠?-∠?∠==-，即知L 、Q 、P 、R 四点共圆．又180180QDR QDH RDH QHD RHD QHR A QPR ∠∠+∠∠+∠∠?∠?-∠====-=（注意QP BA ∥，

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）3 5 ．答（）２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）３．方程012=--x x 的解是（A ） 251±；（B ）25 1±-；（C ） 251±或251±-；（D ）2 5 1±-±．答（）４．已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）５．若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（）６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ；（Ｂ）0< c ≤2 1 ；答（）（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ．第二试 1 1=S 3S =1 32=S

【数学竞赛各阶段书籍推荐】

金牌学生推荐（可参照选择）一、第零阶段：知识拓展《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著三、第二阶段：全国高中数学联赛一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社二试平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）

2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》

高中数学竞赛解题方法篇不等式

高中数学竞赛解题方法篇不等式 The pony was revised in January 2021

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1）事实上，不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++

山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第1章直角三角形

第一编点击基本图形第1章直角三角形直角三角形是含有内角为90?的特殊三角形，它是一类基本图形．直角三角形的有趣性质在处理平面几何问题中常发挥重要作用．性质1 一个三角形为直角三角形的充要条件是两条边长的平方和等于第三条边长的平方（勾股定理及其逆定理）．性质2 一个三角形为直角三角形的充要条件是一边上的中线长等于该边长的一半．推论1 直角三角形的外心为斜边的中点．性质3 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为D 时，下列五个等式之一成立．（1）2AC AD AB =?．（2）2BC BD AB =?．（3）2CD AD DB =?．（4）22 BC AB CD AD =．（5）22AC AB CD DB = ．事实上，由2AC AD AB =?，有 AB AC AC AD = ．注意到A ∠公用，知ACB △∽ADC △．而90ADC ∠=?，故90ACB ∠=?．即可得（1）的充分性．我们又由 22222BC AB BC CD AB AD CD AD CD AD --=?= 22 DB DB CD AD ?=，即2CD AD DB =?．即可证得（4）的充分性．其余的证明略．推论2 非等腰ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为D 时，22AC AD BC DB = ．事实上，由性质3中的（1）、（2）相除或（4）、（5）相除即证．下面，另证充分性．由 222 222 AD AC AD CD DB BC CD DB +== +，有 2()()0CD AD DB AD DB -?-=．而AD DB ≠，即有2CD AD DB =?．由此即可证．性质4 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为点D ，过CD 中点P 的直线AP （或BP ）交BC （或AC ）于E ，E 在AB 上的射影为F 时，2EF CE EB =?（或2EF = CE EA ?）．证明必要性．如图11-，过D 作DG AE ∥交BC 于G ，则

初一数学竞赛题含答案

一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )． (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33 2. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+2 1b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+2 1b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )， (A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数 4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )． (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l 5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )． (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和 6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )． (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点 7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋b a (b+1)得( )． (A)2a (B)2 b (C)+2 (D)-2 8．已知m<0，-l20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是 12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是 13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，则表中问号“?”表示的数是梨梨苹果苹果 30 梨型梨梨 28 荔枝香蕉苹果梨 20 香蕉香蕉荔枝苹果 ? 19 20 25 30 14．某学生将某数乘以-1．25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0．25，则正确结果应是 . 15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和5 1，则线段AB 的中点所表示的数是 . 16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x = 17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在年月．

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

高中数学竞赛解题策略几何分册勃罗卡定理

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

高中数学竞赛中数论问题的常用方法

最新高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一)

山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理汇总

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

【数学竞赛各阶段书籍推荐】

最新全国初中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛解题方法篇不等式

山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第1章直角三角形

初一数学竞赛题含答案