矩阵可逆性总结
矩阵的可逆性
摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆
矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。
关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵 正文：
一、逆矩阵的定义：
因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。只要能求出除数a 的倒数a ?1使aa ?1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a ?1。而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。如果能找到一个A ?1满足条件A ?1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A ?1就得到A ?1AX =A ?1B 从而X =A ?1B 。如果这个A ?1还满足条件AA ?1=I ,则A (A ?1B )=B ,X =A ?1B 就是AX =B 的唯一解。类似地，如果上述A ?1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA ?1。
所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。表示成B=A 1-
二、矩阵可逆的等价条件:
1、A 可逆?F ∈?B ,使得I AB =;（定义法）
2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ;
3、若0≠A ，则方阵A 可逆;
4、n 级矩阵A 可逆?矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ；
5、n 级矩阵A 可逆?A 的行向量组线性无关;
6、n 级矩阵A 可逆?A 的列向量组线性无关;
7、n 级矩阵A 可逆?A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆?齐次线性方程组A x=0只有唯一零解.
三、逆矩阵的性质：
1、 逆的唯一性： 假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。
证明：设B,B1都是A的逆，则AB=I(n)AB1.因而
B AB=B(AB1)?BA B=BA B1?IB=IB1?B=B1.
这就证明了A的逆的唯一性。
由A所满足的条件AA?1=I,A?1A=I知道：
引理A可逆→A?1可逆。且(A?1)?1=A。
2、n阶方阵A,B可逆→它们的乘积可逆，且AB?1=B?1A?1.
一般地，如果A1,A2,?,A k可逆→则它们的乘积A1A2?A K可逆，且
(A1A2?A k)?1=A k?1?A2?1A1?1.
交换律对矩阵乘法不成立，因此AB?A?1B?1不一定等于单位矩阵，A?1B?1不一定是AB的逆。而
AB?B?1A?1=AIA?1=I,B?1A?1?AB=B?1IB?1=I
当AB≠BA时也能成立，因此(AB)?1=B?1A?1.
3、设0≠k∈F，A可逆，则kA?1=k?1A?1.
4、设A可逆，则它的转置A T可逆，且(A T)?1=(A?1)T.
5、设m阶方阵A与n阶方阵B可逆，则准对角阵A
B
可逆，且
A
B ?1
=A?1
B?1
.
6、设A可逆，则有A?1=A?1.
7、在这里我们要引入一个新的定义：
设A ij是矩阵A=a11a12
a21a22?
a1n
a2n
????
a n1a n2?a
nn
中元素a ij的代数余子式，矩阵
A?=A11A21
A12A22?
A n1
A n2
????
A1n A2n?A nn
称为A的伴随矩阵。
由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：AA?=A?A=d0
0d
?0
????
00?d
=
dE, (1)其中d=A.
如果d=A≠0，那么由（1）得A1
d A?=1
d
A?A=I.则，A与1
d
A?互为
可逆矩阵。
8、 A 是一个s ×n 矩阵，如果P 是s ×s 可逆矩阵，Q 是n ×n 可逆矩阵，那么秩 A =秩 PA =秩 AQ .
9、A 可逆?A 的逆A 1-也可逆，且（A 1-）1-=A . 10、()
()
k
1k
A A --=1
，记为k A -.
四、逆矩阵的求法:
1、初等变换法
1）初等行变换
设A 可逆，故存在初等矩阵E 1,E 2,?,E k 使得E k E k?1?E 1A =I ，即A ?1=E k E k?1?E 1=E k E k?1?E 1I .
因此，如果用一系列初等行变换将A 化为I ，则用同样的初等行变换就将I 化为A ?1，这就给我们提供了一个计算A ?1的有效方法：若对 A ,I 施以行初等变换将A 变为I ，则I 变为A ?1，即
A ,I → I ,A ?1 (初等行变换)
例如：求A =???
?
? ??-012411210的逆矩阵。
解：
?????
? ?
?
--
--→???
?
?
??----→????? ??----→????? ??---→
??--→?????
??---→?????
?
?-→????? ??-211
2310012401011
200112320
012401
011200
11232001240102360111232001240100104111232000
012100
104111208
300012
1001
4
1100001200121001041
1100012010411001210所以?????
? ??----=-211
2
3124112
1
A
2）列初等变换
同上，对矩阵 A
I
,可对其进行初等列变换，化为 I C ,即可求出A ?1=C .
例如：求A =???
?
??2111的逆矩阵。
解：??
????
? ??--→??????? ??-→???????
??111210011011110110012111
所以???? ??--=-11121
A
3）行、列初等变换
对矩阵
A I I
0 进行行列初等变换，化为 I C
B
，即可求出A ?1=BC （B 、C 并不唯一）
2、伴随矩阵法
根据上述伴随矩阵的定义，我们可知，当 A ≠0时，A ?1=1
A A ?，其中A ?的第 i ,j 元为A 的第 j ,i 元的代数余子式A ji 。
3、恒等变形法
有些计算问题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有通过求出有关矩阵的逆矩阵才能算出来。而这个逆矩阵的求出常须对所给矩阵等式恒等变形，且变形为两矩阵乘积等于单位矩阵的形式。 例：已知A 6=I ，试求A 11，其中A =
12
?√32
√32
12
. 解：对矩阵等式恒等变形得到A 6=IA 6=A 6A 6=AA 11=I ，
故，A 11=A ?1，而A 又为正交矩阵，A ?1=A T ， 从而A 11=A ?1=A T =
12 √32
?√32 12
.
4、分块法求逆矩阵
1）用分块对角矩阵求逆矩阵
若A 1,A 2,?,A s 均为可逆方阵（级数不一定相同），则分块对角阵
A = A 1?0???0?A s 和
B = 0?A 1
???A s ?0
，均可逆，且
A?1=A1?1?0
???
0?A s?1
，B?1=
0?A1?1
???
A s?1?0
.
2）用分块三角矩阵求逆矩阵
例：设A1，A4分别为m，n级可逆矩阵，证明A=A10
A3A4可逆，并求A
?1。
证：因为A1，A4可逆，所以A1≠0，A4≠0，故根据拉普拉斯定理A=A1A4≠0，即A可逆。因A为分块下三角阵，则其逆仍为下三角阵，且其主对角线上得分块矩阵为A的主对角线上相应分块矩阵的逆阵，
故可设A?1=A1?10
X A4?1
,
于是有A10
A3A4
A1?10
X A4?1
=
E m0
0E n,
将上式两端乘开，比较对应元素，得A3A?1+A4X=0，X=?A4?1A3A1?1，
所以A?1=
A1?10
?A4?1A3A1?1A4?1
。
5、利用哈密顿——凯莱定理求逆矩阵
哈密顿——凯莱（Hamilton--Caylay）定理：对于n级方阵A特征多项式fλ=A?λI=C0+C1λ+??+C nλn而言，A的多项式f A=C0I+C1A+??+C n A n是一个n级零矩阵，即f A=0。
例：若A=
11
21
?1
?110
，利用哈密顿——凯莱定理求A?1。
解：由fλ=A?λI=1?λ1
21?λ
?1
1 1?λ
=?3+2λ+2λ2?λ3又由哈密
顿——凯莱定理有?3I+2A+2A2?A3=0,即1
3
A2I+2A?A2=I，则
A?1=1
32I+2A?A2=2
3
I+2
3
A+1
3
A2=
2 310
01
001
+2
3
11
21
?1
1?10
?1
3
11
21
?1
1?10
=1
3
01
01
?1
2
?321
.
利用哈密顿——凯莱定理还可以这样求：
设n级方阵A的特征为fλ=A?λI=C0+C1λ+??+C nλn，令λ=0，得A=0,可见A可逆的充要条件是C0≠0，当A可逆时，由f A=C0I+C1A+
??+C n A n=0，得A ?1
C0
C1I+C2A+?+C n A n?1=I.
可见，A?1=?1
C0
C1I+C2A+?+C n A n?1.
五、逆矩阵的应用
1、用在密码破解方面 例：信息编码与解码
先在26个英文字母与数字间建立一一对应的关系，例如可以是： A B … Y Z
1 2 … 25 26
若要发出信息“SEND MONEY ”，使用上述代码，则此信息的编码是
19,5,14,4,13,15,14,5,25，其中5表示字母E ，不幸的是，这种编码很容易被别人破译。
矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法，我们利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密文”后再行传送，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密。 如果一个矩阵A 的元素均为整数，而且其行列式A ，那么由A
A A
1
*
=- 即知，1A - 的元素均为整数，我们可以利用这样的A 来对明文加密，使加密之后的密文很难破译。
现在取???
?? ??=232352121A 明文SEND MONEY 对应的9个数值按3列排成以下矩
阵：?
???
? ??=251514513514419B =AB ????? ??232352121????? ??251514513514419=???
?? ??937781128118105494543
对应着将发出去的密文编码：43、105、81、45、118、77、49、128、93 现在用1A -去左乘上述矩阵即可解密得到明文：
1
A -????? ??937781128118105494543=????? ??---114102111=????
?
??251514513514419 为了构造“密钥矩阵”A ，我们可以从单位阵I 开始，有限次的使用第三类
初等行变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能用，这样得到的矩阵A ，其元素均为整数，而且由A =1±可知，1A -的元素必然均为整数.
2、乘车路线问题
每两个城市之间若有一条不经过其他大城市的路，则在这两个城市代表的点之间连一条线，设中国的大城市有n 个，分别记为：n v v v ,,,21 ，其中i v 代表
第i 个大城市。 求解：
（1）如下建立一个n n ?矩阵n n ij a A ?=)(，如果j i v v 和之间有一条边，即第i 个城市到第j 个城市有一条不经过其他城市的路，则ij a =1；否则，ij a =0。显然A 是一个是对称的0-1矩阵
（2）先求从第i 城市到第j 城市的长度为2的路的条数。
由于如果从第i 城市到第k 城市有一条长为1的路，从k 城市到第j 城市有一条长为1的路,则决定了一条从第i 城市到第j 城市有一条长为2的路. 故第i 城市到第j 城市所有长为2的路的条数就是对这样的k 求和，即为∑=n
k kj ik a a 1。而这
恰是上面建立的矩阵A 的平方中的第i 行j 列的元素。结论：2
A 中第i 行j 列的元素为第i 个城市到第第j 城市的长度为2的路的条数。
六、可逆矩阵的拓展——广义逆矩阵
在许多实际问题中我们遇到的矩阵A 往往是任意的m ×n 矩阵（一般m ≠n ），显然不存在通常的逆矩阵A ?1，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G ，使得Ax =b 的解可表示为x =Gb .
设给定A ∈F n ×m ，未知矩阵X = x ij ∈F n ×m 其中x ij ，1≤i ≤n ，1≤j ≤m 是未知的。考虑矩阵方程AXA =A 的解。
1、定义：矩阵方程AXA =A 的解X 称为矩阵A 的广义逆，记为A ?1。
任意矩阵A 的广义逆A ?1总是存在的。而且一般说，矩阵A 的广义逆A ?1并不唯一。
2、广义逆的性质
1）、矩阵方程A AXA =恒有解.即任意矩阵A 的广义逆-A 总是存在的。 2）、不唯一性：一般说来，矩阵A 的广义逆-A 并不唯一 。 3）、矩阵A 具有唯一广义逆-A 的充要条件是矩阵A 为可逆方阵。 3、广义逆的秩：设rank(A )=r ， 而且：
Q 00
0I P A r
n
m ????? ??=, 其中Q P ,分别是m 阶和n 阶可逆矩阵，并且是取定的，则矩阵方程的通解为
,1
r 1P D C B I Q X -?--?
??? ??=A =m
n 又：其中()()()()r m r -?-?--?∈∈∈r n r n r m r F D F C F B ,,是任意的。 所以：rank -A ≥rank A .
而且对任意正整数k ，},,min{n m k r ≤≤总可以分别取B 和C 为()r m r -?和
()r r n ?-零矩阵，并取D 为秩等于r k -的()()r m r n -?-矩阵，则矩阵A 的这个
广义逆-A 的秩rank -A =k 。
4、矩阵广义逆的应用 1）、非其次线性方程的相容性定理：证明方程Ax =β有解的充分必要条件是β=AA ?1β，其中A 是m ×n 矩阵，β是m ×1矩阵，x 是n ×1未知矩阵，A ?1是A 的广义逆。 2）、非其次线性方程组解的结构定理：设方程Ax =β有解。则它的通解为x =A ?1β+(I n ?A ?1A)z ，其中A ?1是矩阵A 的某个取定的广义逆，而z 是任意n ×1矩阵。 3）、齐次线性方程组解的结构定理：方程Ax =0恒有解，而且它的通解为x =(I n ?A ?1A)z ，其中A ?1是矩阵A 的某个取定的广义逆，而z 是任意n ×1矩阵。 证明 这是例1和例2的特殊情况。 七、结语
本篇小论文中主要介绍了矩阵逆的定义，性质，判断方法，求解方法，应用以及推广的广义逆，从而使大家对可逆矩阵有更系统的、更全面的了解。还介绍了有关逆矩阵，广义逆的一些应用，让大家对逆矩阵的更好的认识。
参考文献：
1、李炯生，查建国，王新茂；《线性代数第2版》；中国科技技术大学出版社；2010年1月；
2、王萼芳，石生明；《高等代数第三版》；高等教育出版社；2003年7月；
3、李尚志；《线性代数》（数学专业用）；高等教育出版社；2006年5月；
矩阵分析实验报告
矩 阵 分 析 实 验 报 告 学院：电气学院 专业：控制工程 姓名：XXXXXXXX 学号：211208010001
矩阵分析实验报告 实验题目 利用幂法求矩阵的谱半径 实验目的与要求 1、 熟悉matlab 矩阵实验室的功能和作用； 2、 利用幂法求矩阵的谱半径； 3、 会用matlab 对矩阵分析运算。 实验原理 理念 谱半径定义：设n n A C ?∈，1λ，2λ，3λ， ，j λ， n λ是A 的n 个特征值，称 ()max ||j j A ρλ= 为关于A 的谱半径。 关于矩阵的谱半径有如下结论： 设n n A C ?∈，则 （1）[]()()k k A A ρρ=； （2）2 2()()()H H A A AA A ρρ==。 由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。 算法介绍 定义：如果1λ是矩阵A 的特征值，并且其绝对值比A 的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。相应于主特征值的特征向量1V 称为主特征向量。 定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1），则称其为是归一化的。
通过形成新的向量' 12=c n V （1/）[v v v ]，其中c=v 且1max {},j i n i ≤≤=v v 可将特 征向量 '12n [v v v ]进行归一化。 设矩阵A 有一主特征值λ，而且对应于λ有唯一的归一化特征向量V 。通过下面这个称为幂法（power method ）的迭代过程可求出特征对λ，V ，从下列向量开始： []' 0=111X （1） 用下面递归公式递归地生成序列{}k X ： k k Y AX = k+11 1 k k X Y c += （2） 其中1k c +是k Y 绝对值最大的分量。序列{}k X 和{}k c 将分别收敛到V 和λ： 1lim k X V =和lim k c λ= （3） 注：如果0X 是一个特征向量且0X V ≠，则必须选择其他的初始向量。 幂法定理：设n ×n 矩阵A 有n 个不同的特征值λ1，λ2，···，，λn ，而且它们按绝对 值大小排列，即： 123n λλλλ≥≥≥???≥ (4) 如果选择适当的X 0，则通过下列递推公式可生成序列{[() ()( ) ]}12k k k k n X x x x '=???和 {}k c ： k k Y AX = (5) 和： 11 1k k k X Y c ++= (6) 其中： () 1k k j c x +=且{} ()()1max k k j i i n x x ≤≤= (7) 这两个序列分别收敛到特征向量V 1和特征值λ1。即： 1lim k k X V →∞ =和1lim k k c λ→∞ = (8) 算法收敛性证明 证明：由于A 有n 个特征值，所以有对应的特征向量V j ，j=1，2，···n 。而且它们是
总结求矩阵的逆矩阵的方法
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快 捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成
逆矩阵的几种常见求法
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
swot自我分析矩阵表
SWOT自我分析 自我认知与个人分析是进行清晰的自我定位的基础，对一个人的成长和发展具有极其重要的作用。本文将运用我们所学过的SWOT分析，希望在认清自己的优点和弱点的同时，结合社会现状，客观地评估自己，并作出适合自己又适应社会发展的事业生涯规划。 一、SWOT分析法简介 SWOT分析法又称为态势分析法，它是由哈佛商学院的K·J·安德鲁斯教授于1971年在其《公司战略概念》一书中提出的，是一种能够比较客观而准确地分析和研究一个单位现实情况的方法。SWOT四个英文字母分别代表：优势（Strength）、劣势（Weakness）、机会（Opportunity）、威胁（Threat）。从整体上看，SWOT可以分为两部分：第一部分为SW，主要用来分析内部条件；第二部分为OT，主要用来分析外部条件。利用这种方法可以从中找出对自己有利的、值得发扬的因素，以及对自己不利的、要回避的东西，发现存在的问题，找出解决办法，并明确以后的发展方向。通过这种分析，可以将问题按轻重缓急分类，明确哪些是目前急需解决的问题，哪些是可以稍微拖后的事情，哪些属于战略目标上的障碍，哪些属于战术上的问题，并将这些研究对象列举出来，依照矩阵形式排列，然后用系统分析的思想，把各种因素相互匹配起来加以分析，从中得出一系列相应的结论，有利于领导者和管理者做出较正确的决策和规划。 二、SWOT分析法应用 （一）背景资料 ××，女，预备党员，1994年出生，2011年9月××大学工学院物流工程专业，现读大二，将于2015年毕业。 （二）内外部环境分析(SW)： S：优势 （1）有很强的学习、模仿能力、社会适应能力，责任感强，一定的组织能力。 （2）学习、做事认真踏实，具备一定的人文素养、逻辑思考和书面表达能力。 （3）心思细腻，喜欢思考，思考问题比较细致、缜密，有一定的分析能力。 （4）开朗乐观、志向高远、生活态度积极、长于发现事物的积极面。 （5）诚实稳重、为人正直、待人诚恳、喜欢与人交往。
总结求矩阵的逆矩阵的方法
总结求矩阵的逆矩阵的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数 研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素 在矩阵中的位置。比如，或表示一个 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称 为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶
EFE矩阵、EFE矩阵分析
EFE矩阵,IFE矩阵,CMP矩阵。企业内外部环境分析工具 1、EFE矩阵 EFE矩阵可以帮助战略制定者归纳和评价经济、社会、文化、人口、环境、政治、政府、法律、技术以及竞争等方面的信息。建立EFE矩阵的五个步骤如下： 1）列出在外部分析过程中所确认的外部因素，包括影响企业和其所在产业的机会和威胁。 2）依据重要程度，赋予每个因素以权重（0.0～1.0），权重标志着该因素对于企业在生产过程中取得成功影响的相对重要程度。 3）按照企业现行战略对各个关键因素的有效反应程度为各个关键因素打分，范围0～4分，“4”代表反应很好，“1”代表反应很差。 4）用每个因素的权重乘以它的评分，即得到每个因素的加权分数。 5) 将所有的因素的加权分数相加，以得到企业的总加权分数。 结论：总加权分数为4.0，说明企业在整个产业中对现有机会与威胁作出了最出色的反应，企业有效利用了现有的机会并将外部威胁的不利影响降低到最小。而总加权分数为1.0, 则说明企业的战略不能利用外部机会或回避外部威胁。 2、 IFE矩阵 IFE矩阵是对企业内部因素进行评价，它总结和评价了企业各个职能领域的优势和弱点，并为确定和评价这些领域之间的关系提供了基础。建立IFE矩阵的五个步骤： 1）列出在内部分析过程中确定的关键因素，包括优势和劣势两方面，总数在10～20之间。 2）赋予每个因素以权重（0.0~1.0）,权重标志着各个因素对其在产业中成败影响的相对大小。 3）为各个因素进行评分，4代表重要优势，1代表重要弱点。 4）用每个因素的权重乘以它的评分，得到每个因素的加权分数。 5）将所有因素的加权分数相加，得到企业的总加权分数。 3、 CMP矩阵 竞争态势矩阵（CPM）用于确认企业的主要竞争者以及相对于该企业的战略地位，这些主要竞争者的特定优势和弱点。CPM和EFE的权重和总加权分数的涵义相同。但是CPM中的因素包括内部因素和外部因素两类。
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ??? ? x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称 为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???? ? ?a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ， d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]???? ??b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵??????a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ? ?1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ??k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1 倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝??????1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ? ?1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ??1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→
函数的微分和逆矩阵求法
函数的微分和逆矩阵求法 数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 一、1.一元函数的高阶微分 定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?， 且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?-， 如果其增量可表示为 ()y A x o x ?=?-?， 其中A 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ?为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即 0|x x dy A x ==?。 可证 A=0'()f x 即 00|'()x x dy f x dx ==。 定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () 2 ()2! B y A x x o x ?=?+ ?-?， 其中A ，B 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ?，2 ()B x ?为函数 ()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2 ,dy d y ，即 0|x x dy A x ==?，0 22 |()x x d y B x ==?。 可证 00'(),''()A f x B f x == 即 00|'()x x dy f x dx ==，()2 2 0''d y f x dx =。 根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分 定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () () ()2 212! ! n n n A A y A x x x o x n ?=?+ ?++ ?-? ，
总结求逆矩阵方法
直接算会死人地.根据矩阵特点用不用地分解，写成几个例程，每次实验之前进行尝试，根据尝试结果在算法里决定里决定用哪个. 我想问： .全阶矩阵地求逆运算() 和稀疏矩阵（阶数和一样） 地求逆运算()是不是采取一样地方法啊？也就是说他们地 计算量是不是一样地啊？不会因为是稀疏矩阵就采取特殊地 方法来处理求逆吧？ 我电脑内存，做*地矩阵求逆还可以，上万阶地 就跑不动了 稀疏存储方式会减少不必要地计算，虽然原理还是一样，不过 计算量大大减少了. .如果一个矩阵非零元素都集中在主对角线地周围，那么对求逆最好 应该采用什么样地方法最好呢？ 一般还是用分解＋前后迭代地方法，如果矩阵对角占优就更好办了. 只不过还是需要稀疏存储. 稀疏矩阵地逆一般不会是稀疏矩阵，所以对高阶地稀疏矩阵求逆， 是不可行地，对万阶地全矩阵需要地内存差不多已经达到了地 极限，我想最好地办法就是迭代，既然是稀疏，乘法地次数就有限， 效率还是很高地. 不过求逆运算基本上就是解方程，对稀疏矩阵，特别是他那种基本上非零元素都在对角线附近地矩阵来说，分解不会产生很多地注入元，所以用分解解方程方法地方法是可行地. 如果用迭代法，好像也就是共轭梯度法了. 地资源网络上有很多一下 或者到，上找找 或者用 或者用 或者用混合编程 有现成代码，但要你自己找了 也可以使用程序库
*地稀疏矩阵求逆如何实现？ 试试基于子空间方法地算法吧. 如和方法. 中有函数可以直接调用. 直接就可以了. 如果效果还不好. 就用用预处理技术. 比如不完全预处理方法..等等.. 各种各样地预处理是现在解决大规模稀疏矩阵地主力方法.. 维数再多还是用不完全分解预处理 我一个同学这么求过阶地矩阵 求逆一般是不可取地，无需多说.但稀疏矩阵地直接解法还是不少地.基本上都是对矩阵进行重新排序以期减少填充或运算量. 在里面，有许多算法可以利用： , , , , , , . 根据是否对称，采用分解或者分解. 这些算法在上搜一下，很多都有相应地或版本. 稀疏矩阵地存储最常见地是压缩列（行）存储，最近发现一种利用表来存储地，其存取复杂度是（）,很是不错.有幸趣地可以看看下面网页咯，作者提供了源程序. 事实上表存储地效率也跟算法有关，弄不好地话，不见得比直接按行或者列 顺序检索快.而且规模越大，效率肯定越来越低. 对称正定地稀疏矩阵很好办啊，用分解就可以了. 如果维数实在太大，比如超过^量级，那就只能用 共轭梯度法之类地迭代法求解了. 好多文献中用分解处理地，好像结果还可以 你觉得’分解不会破坏矩阵地稀疏性么——如果矩阵不是带状地话？ 而且数值稳定性也有问题.
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用 A →B 表示，并称矩阵B 与A 是等价的. （下面我们把）第i 行和第j ， ”；把第i 行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”. 例如，矩阵 A = ????? ?????321321321c c c b b b a a a ???? ? ?????321 3 21321 c c c a a a b b b ???? ??????32 1 321321c c c b b b a a a ???? ? ?????32 1321321 kc kc kc b b b a a a ???? ? ?????32 1 321321 c c c b b b a a a ??? ? ? ??? ??+++32 1 332 2113 21 c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即 ( A , I )初等行变换 ?→???( I , A -1 ) 例1 设矩阵 A = ???? ? ?????--23 2 311111 ③k ①，② ②+①k
矩阵及逆矩阵的求法
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法
矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
总结求逆矩阵方法
总结求逆矩阵方法 直接算会死人的。根据矩阵特点用不用的分解，写成几个例程，每次实验之前进行尝试，根据尝试结果在算法里决定里决定用哪个。 irst 我想问： 1.全阶矩阵A的求逆运算inv(A) 和稀疏矩阵B（阶数和a一样） 的求逆运算inv(B)是不是采取一样的方法啊？也就是说他们的 计算量是不是一样的啊？不会因为是稀疏矩阵就采取特殊的 方法来处理求逆吧？ 我电脑内存256M ，做4096*4096的矩阵求逆还可以，上万阶的 就跑不动了 稀疏存储方式会减少不必要的计算，虽然原理还是一样，不过 计算量大大减少了。 2.如果一个矩阵C非零元素都集中在主对角线的周围，那么对C求逆最好 应该采用什么样的方法最好呢？ 一般还是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩阵对角占优就更好办了。 只不过还是需要稀疏存储。 稀疏矩阵的逆一般不会是稀疏矩阵，所以对高阶的稀疏矩阵求逆， 是不可行的，对1万阶的全矩阵需要的内存差不多已经达到了pc的 极限，我想最好的办法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次数就有限， 效率还是很高的。 不过求逆运算基本上就是解方程，对稀疏矩阵，特别是他那种基本上非零元素都在对角线附近的矩阵来说，LU分解不会产生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。 如果用迭代法，好像也就是共轭梯度法了。 C的资源网络上有很多google一下 或者到https://www.wendangku.net/doc/345582068.html,，https://www.wendangku.net/doc/345582068.html,上找找 或者用IMSL for C 或者用Lapack 或者用Matlab+C混合编程 有现成代码，但要你自己找了
也可以使用程序库 second 30,000*30,000的稀疏矩阵求逆如何实现？ 试试基于krylov子空间方法的算法吧。 如arnoldi和GMRES方法。 matlab中有函数可以直接调用。 直接help gmres就可以了。 如果效果还不好。 就用用预处理技术。 比如不完全lu预处理方法。。等等。。 各种各样的预处理+GMRES是现在解决大规模稀疏矩阵的主力方法。。 维数再多还是用不完全LU分解预处理+CG or Gmres 我一个同学这么求过200W阶的矩阵 求逆一般是不可取的，无需多说。但稀疏矩阵的直接解法还是不少的。基本上都是对矩阵进行重新排序以期减少填充或运算量。 在matlab里面，有许多算法可以利用： colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm. 根据是否对称，采用LU分解或者chol分解。 这些算法在internet上搜一下，很多都有相应的C或fortran版本。 稀疏矩阵的存储最常见的是压缩列（行）存储，最近发现一种利用hash表来存储的，其存取复杂度是O（1）,很是不错。有幸趣的可以看看下面网页咯，作者提供了源程序。 事实上Hash表存储的效率也跟Hash算法有关，弄不好的话，不见得比直接按行或者列 顺序检索快。而且规模越大，效率肯定越来越低。 https://www.wendangku.net/doc/345582068.html,rmatik.hs-bremen.de/~brey/ 对称正定的稀疏矩阵很好办啊，用LU分解就可以了。 如果维数实在太大，比如超过10^4量级，那就只能用 共轭梯度法之类的迭代法求解了。
用矩阵的初等变换求逆矩阵
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢 （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=
总结求逆矩阵方法
3、逆矩阵的求法 1.1一般矩阵的逆矩阵的求法 定义3.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使A B =B A =E ，则称A 为可逆矩阵，并称B 是A 的可逆矩阵。 例3.1 已知n 阶矩阵A 满足0322=-+E A A 。证明A +4E 可逆并求出()14-+E A . 证明：把0322=-+E A A 变形为(A +4E )（E A 2-）=-5E ，可得（A +4E ）（E A 5251+-）=E ，所以存在一个矩阵B =E A 5 251+-，B 使（A +4E ）B =E 。由定义得A +4E 可逆，且B ()14-+E A =B =E A 5 251+-. 3.1.2 用伴随矩阵去求逆矩阵 定理3.1.1 n 阶矩阵A =（ij a ）为可逆的充要条件是A 非奇异。且 1-A =A 1112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????????????L L M M M L ，其中ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式。矩阵112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ???????????? L L M M M L 称为矩阵A 的伴随矩阵，记作*A ，于是有1-A =A 1 *A . 例3.2 判断矩阵A =???? ??????343122321，A 是否可逆？若可逆，求 1-A . 解： 因为A =2≠0，所以A 可逆。又 11A =2，12A =-3，13A =2， 21A =6，22A =-6，23A =2， 31A =-4，32A =5，33A =-2. 所以1-A =A 1*A =21??????????----222563462=??????????----1112532323 1. 3.1.3 用初等变换去求逆矩阵 如果A 可逆，则A 可通过初等行变换化为单位矩阵E ，即存在相应的初等矩阵1E 、2E …s E 使s E …2E 1E A ＝E （1），用1-A 又乘上式两端，得s E …2E 1E E
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且
E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等