高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题18三角函数的图像及性质

专题18 三角函数的图像及性质

【标题01】三角函数线大小比较错误 【习题01】下列不等式成立的是______.

A ．tan1cos1sin1<<

B ．sin1tan1cos1<<

C ．sin1cos1tan1<<

D ．cos1sin1tan1<< 【经典错解】作出1弧度角的三角函数线，观察得选C .

【详细正解】在单位圆中，作出1弧度角的正弦线、余弦线和正切线，观察可以得到cos1sin1tan1<<，故选D .

【习题01针对训练】已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是______.

A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ>；

B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ>；

C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ>；

D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>.

【标题02】正弦函数的图像和性质理解不清

【习题02】有下列命题：①sin y x =的递增区间是[2,2]()2

k k k Z π

ππ+∈；②sin y x =在第一象限是增

函数； ③sin y x =在[,]22

ππ

-

上是增函数，其中正确的个数是 . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【经典错解】由于②③是正确的，故选C . 【详细正解】由于sin y x =的递增区间是[2,2]()22

k k k Z π

π

ππ-

+∈，

所以①是错误的；由于sin y x =在第一象限不是单调函数，所以②是错误的.③是正确的，故选B .

【深度剖析】（1）经典错解错在正弦函数的图像和性质理解不清. （2）不能因为正弦函数在(0,

)2

π

是增函

数，就说正弦函数在第一象限是增函数，实际上正弦函数在第一象限是不单调的. 在提到第一象限的时候，不能只想到(0,

)2π

，因为高中角的定义进行了推广,第一象限的角用区间表示为[2,2]()2

k k k Z π

ππ+∈.如

0390和060 都是第一象限的角，且0039060>，但是00013

sin 390sin 30sin 6022

==

<=. 【习题02针对训练】下列命题中，正确的是_______.

A ．函数sin y x =在[0,]π内是单调函数；

B ．在第二象限内，sin y x =是减函数，cos y x =也是减函数；

C ．cos y

x =的增区间为[0,]π； D ．sin y x =在区间[,]2

π

π上是减函数.

【标题03】对函数的结构分析不清对复合函数分析不到位

【习题03】已知函数()2sin(2)3f x a x b π=-+的定义域为[0,]2

π

，值域为[5,1]-，求a 和b 的值．

【经典错解】200222333

x x x ππππ

π≤≤∴≤≤∴-≤-≤

Q 3sin(2)13x π∴-≤-≤ 由题得21

35a b a b ì+=?í?-+=-?， 解得126323123

a b ì=-?í?=-+?.

【详细正解】230022sin(2)12

3

3

33

x x x x π

π

π

ππ

π≤≤

∴≤≤∴-

≤-

≤

∴-≤-≤Q 当a ＞0时，则21

35a b a b ì+=?í?-+=-?，解得126323123a b ì=-?í?=-+?；

当a ＜0时，则25

31a b a b ì+=-?í?-+=?， 解得126319123

a b ì=-?í?=-?；

当a =0时，显然不符合题意.

∴a =12﹣63，b =﹣23+123或a =﹣12+63，b =19﹣123．

【习题03针对训练】已知2

()2sin 22sin f x a x a x a b =-++的定义域是[0,

]2

π

，值域是[5,1]-，求a 和

b 的值.

【标题04】三角函数图像的左右平移没有理解透彻

【习题04】将函数x y 2sin =的图象向右平移4

π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 .

【经典错解】将函数x y 2sin =的图象向右平移4

π

个单位得到函数sin

2-)4

y x p =（的图象，再向上平移1个

单位得函数sin(2)14y x p =-

+的图象，故所得的函数对应的解析式为sin(2)14

y x p

=-+. 【详细正解】将函数x y 2sin =的图象向右平移4

π

个单位得到函数

x x x y 2cos )2

2sin()4

(2sin -=-

=-

=π

π

的图象，再向上平移1个单位得函数cos 21y x =-+的图象，故

所得的函数对应的解析式为cos 21y x =-+.故填cos 21y x =-+.

【习题04针对训练】函数cos(2)()y x ?π?π=+-≤≤的图像向右平移2

π个单位后，与函数

)3

2sin(π

+

=x y 的图像重合， 则?= .

【标题05】三角函数图像的伸缩变换理解不透彻

【习题05】把函数sin()3

y x p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为 .

【经典错解】把函数sin()3

y x p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为11sin ()sin()2326y x x p p =+=+.所以填1sin()26

y x p

=+.

【详细正解】把函数sin()3

y x p

=+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的

解析式为1sin()23y x p =+.故填1sin()23

y x p

=+.

【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数图像的伸缩变换理解不透彻.（2）把函数y=f(x) 的图像上的点的

横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数为1

()2

y f x =，也就是说只是把函数的解析中有“x ”的地方换成“12x ”，其它的都不变，所以把函数sin()3

y x p

=+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，得到的函数的解析式为1sin()23

y x p

=+.

【习题05针对训练】要得到函数2y =

的图象，只需将函数2)4

y x π

=+

的图象上所有的

点的( ).

A.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8

个单位长度

B.横坐标缩短到原来的12

倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4

个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4

个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8

个单位长度

【标题06】图像左右平移理解错误 【习题06】要得到()tan(2)3

f x x π

=-

的图象，只须将()tan 2f x x =的图象( )

A ．向右平移3π个单位

B ．向左平移3π个单位

C ．向左平移6π个单位

D ．向右平移6

π

个单位

【经典错解】只须将函数()tan 2f x x =的图象向右平移3p 个单位就可以得到函数()tan(2)3

f x x π

=-的图

象，故选A .

【详细正解】由于tan 23x π?

?

- ??

?

=)6(2tan π-x ,只须将函数()tan 2f x x =的图象向右平移6π个单位就可以得到函数()tan(2)3

f x x π

=-

的图象，故选D.

【习题06针对训练】函数3sin 33y x π?

?

=+ ??

?

的图象可看成3sin 3y x =的图象按如下平移变换而得到的

（ ）.

A ．向左平移9π个单位

B ．向右平移9π个单位

C ．向左平移3π个单位

D ．向右平移3

π

个单位

【标题07】求三角函数解析式时代点错误 【习题07】函数),2

,0)(sin(R x x A y ∈π

<

?>ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）.

A ．)

48sin(

4π-π-=x y B ．)4

8sin(4π

-π=x y C ．)48sin(4π

+π=x y

D ．)48sin(4π+π-=x y

【经典错解】由图像得4,2(62)16A T ==?+=,8

162π

πω==∴,则4sin()8y x πφ=+ 代入(6,0)，得

3sin()04p f +=，则33||442k k z k ππφπφππφ+=∈∴=-<

Q

4π

φ∴= 4sin()84y x p p

\=+，故选C .

【详细正解】由图像得4,2(62)16A T ==?+=,8

162π

πω==∴,则4sin()8y x πφ=+代入(2,4)-，得

1)4

sin(-=+?π

，33224244k k z k ππππφπφπφ+=-

∈∴=-∴=- 34sin()4sin()4sin()848484

y x x x ππππππ

π∴=-=-++=-+.故选D .

位置的点.

【习题07针对训练】函数()sin()f x A x ω?=+（0,0,0A ω?π>><<）的图象如图所示，则(0)f 值为（ ）

A ．1

B ．0

C ．2

D ．3

【标题08】解三角方程组时没有把解出的值代入每一个方程检验导致出现增解 【习题08】是否存在

(,)22ππ

α∈-

，(0,)βπ∈使等式sin(3)2cos()2

π

παβ-=- 3cos()2cos()απβ-=-+同时成立？若存在，求出,αβ的值；若不存在，请说明理由．

【经典错解】由条件得sin 2sin 13cos 2cos 2αβ

αβ?=??=??（）（）

22

1+2（）（）

得22sin 3cos 2αα+= ，∴21

cos 2

α= 即2cos 2α=±．

(,)2244ππ

ππαα∈-∴=Q 或- 将4

π

α=代入（2）得3cos 2β= 又(0,)βπ∈ 6

π

β∴=

，代入（1）可知，符合．将4

π

α=-

代入（2）得6

π

β=

，

综上可知4

6

4

6

π

π

π

π

αβαβ=

=

=-

=

或 .

【详细正解】（前面同上）将4

π

α=-代入（2）得6

π

β=，把4

6

π

π

αβ=-

=

代入（1）可知，不符合，

所以舍去. 综上可知4

6

π

π

αβ=

=

．

【习题08针对训练】是否存在锐角α与β ，使得（1）223αβπ+=，（2）tan tan 2

α

β23=-同时成立．若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由．

【标题09】把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R 上的单调区间了 【习题09】已知函数()sin()(0,0)3

f x A x A π

ωω=+

>>的部分图象如图所示．

⑴ A 和ω的值；

⑵ 函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；

⑶ 函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值．

【经典错解】（1）2,A =

243124T πππω=-=

，2ω=，所以()2sin 23f x x π?

?=+ ??

? （2）令2222

32

k x k π

ππ

ππ-

+≤+

≤

+，k Z ∈ 得51212

k x k ππ

ππ-

+≤≤+， 所以函数的单调增区间是5[,]1212

k k k z ππ

ππ-++∈.

⑷ ()2sin 213f x x π?

?

=+

=- ??

?，得512x k ππ=+或3()4

x k k Z π

π=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以b a -最大值为217533

T ππ

+=

． 【详细正解】1）2,A =

243124T πππω=-=

，2ω=，所以()2sin 23f x x π?

?=+ ??

? （2）令222232k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+，k Z ∈ 得51212

k x k ππ

ππ-

+≤≤+，

当0k = 时， 51212x ππ-≤≤ 当1k =时， 7131212x ππ

≤≤

.

又因为x ∈[0,]π，所以函数()y f x =在[0,]π的单调增区间为[0,]12π和7[,]12

π

π .

（3）同上.

【深度剖析】（1）经典错解错在把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R 上的单调区间了.（2）已知要求的是函数在区间[0,]π上的单调增区间，不是R 上的单调增区间，所以求出函数在R 上的单调增区间后，还要把增区间和[0,]π求交集.（3）解题时，一定要养成好的习惯，不要定势思维.

【习题09针对训练】已知函数2

()2cos 3cos ().f x x x x x R =+∈

（1）当[0,]x π∈时，求函数f (x)的单调递增区间； （2）若方程()1f x t -=在[0,]2

x π

∈内恒有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．

【标题10】三角函数的周期公式的使用情景没有理解清楚 【习题10】已知2

()sin f x x ω=的最小正周期是4

π

，则_________ω=. 【经典错解】由题得284

||

T π

π

ωω=

=

∴=± ，故填8± . 【详细正解】2

1cos 2112()sin cos 242224|2|

x f x x x ωππ

ωωωω-==

=-+∴=∴=±

【习题10针对训练】已知2()12cos ()4

f x x π

ω=++的最小正周期是

2

π

，则_________ω=.

【标题11】不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式

【习题11】已知α是ABC ?的一个内角，则不等式3tan 1α<<的解集为 .

【经典错解】由正切函数的图像得不等式的解集为2

{|

}43

π

ααπ<< 【详细正解】当02πα<≤时，04πα<< ；当2παπ<<时，2

3

παπ<<.

所以不等式的解集为2{|0}43πααπαπ<<<<或.故填2

{|0}43

πααπαπ<<<<或

【深度剖析】（1）经典错解错在不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式. （2）实际上本题可以直接画出正切函数在(0,)π 的图像，再画31y y ==和 两条直线，观察两条直线之间的部分图像的α的取值范围.(3)数学是严谨的自然科学，要讲究逻辑，不能感性. 【习题11针对训练】不等式tan(2)14

x π

+≥-的解集为___________________.

【标题12】凭想象而不是利用三角函数的图像和性质解答

【习题12】函数f （

x)=tanx 在区间2[,]33

ππ

上的值域为 .

【经典错解】由于2()3

(

)333

f f π

π

==- 所以函数的值域为[3,3]-.

【详细正解】作出函数f （

x)=tanx 的图像，在截断到2[,]33

ππ

，观察得函数的值域为 [3,)(,3]+∞-∞-U ，故填[3,)(,3]+∞-∞-U .

【标题13】三角函数的周期分析错误 【习题13】已知3

sin 5

?=，且(,)2π?π∈，函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象的相邻两条对称轴之间

的距离等于

2π，则()4

f π

的值为（ ） A ．35- B ．4

5

- C ．35 D ．45

【经典错解】相邻两条对称轴之间的距离等于2π,即周期242T ππωω

==?=,又3

sin 5?=，所以

()4f π3

sin()sin 5

πφφ=+=-=-，故选A. 【详细正解】相邻两条对称轴之间的距离等于2π,即周期22

2=?=?=ωππT ,又3

sin 5?=，且

(,)2π?π∈，可求得54cos -=?，所以()4f π5

4

cos )2(sin -==+=??π，故选B .

【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数的周期分析错误. （2）错解把相邻两条对称轴的距离看作了一个周期，实际上是周期的一半，所以错误. 所以对于三角函数的图像要会识图,不要看错. 【习题13针对训练】若函数sin()y A x ω?=+(0A >，0ω>，||2

π

?<

)在一个周期内的图象如图所示，,M N

分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ?=u u u u r u u u r

，则A ω?=（ ）

A ．6

π

B ．7π

C ．7π

D ．7π

【标题14】三角函数的周期和最值分析错误 【习题14】已知函数()2sin()6f x x π

ω=+

中x 在任意的1

5

个长度单位的距离内能同时取得最大值和最小 值，那么正实数ω的取值范围是__________.

【经典错解】由题得21

1000105T π

ωπωωπω=

≥

∴≤>∴<≤Q 故填(0,10]π

【详细正解】由题得21

100105

T πωπωωπω=≤∴≥>∴≥Q 故填[10,)π+∞.

【习题14针对训练】已知函数tan y x ω= 在(,)22

ππ

-

内是减函数，则（ ） A ．01ω<≤ B ．1ω≤- C ．1ω≥ D ．10ω-≤<

【标题15】复合函数的单调性理解没有到位

【习题15】函数()sin(2)f x x =-的单调增区间是 . 【经典错解】由题得2222

2

4

4

k x k k z k x k π

π

π

π

ππππ-≤-≤+

∈∴--

≤≤-+

故填[,]44

k k k z π

π

ππ--

-+∈. 【详细正解】由题得332+222

2

44

k x k k z k x k π

π

ππππππ≤-≤+

∈∴--

≤≤-- 故填3[,]44

k k k z ππ

ππ--

--∈.

方法二：()sin(2)sin 2x f x x =-=-所以32+

222

2

k x k k z π

πππ≤≤+

∈

34

4k x k π

πππ∴+

≤≤+

故填3[,]44

k k k z ππππ++∈.

【习题15针对训练】设函数()sin(2)f x x ?=-+（0π?-<<）的图象的一条对称轴 是直线8

x π

=.①求?； ②求函数()y f x =的单调增区间.

【标题16】三角函数的周期扩大了导致错误

【习题16】为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是______.

A ．98π

B ．

1972π C ．1992π

D ．100π 【经典错解】由题得2150100π

ωπωπω

≥∴≥∴g 的最小值是100. 故选D .

【详细正解】由题得1

12197197149149442

2

T

πππ

ωωω

≥≥∴≥

∴g

的最小值是

.故选B . 【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数的周期扩大了导致错误. （2）错解认为区间[0,1]至少要包含50个周期，但是从三角函数的图像来看，只需要1

49

4

个周期就可以了. 【习题16针对训练】已知函数()cos (sin 3)(0)f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（ ） A ．14032π B ．12016π C ．14032 D ．1

2016

【标题17】绝对值函数的图像理解不准确

【习题17】函数|tan |y x =的最小正周期为 .

【经典错解】函数tan y x =的最小正周期是π，所以函数|tan |y x =的最小正周期为122

π

π?

=.所以填2

π .

【详细正解】函数tan y x =的最小正周期是π，所以函数|tan |y x =的最小正周期为π.所以填π.

【习题17针对训练】下列函数中，最小正周期为2π的是（ ） A ．|sin 2|y x = B. cos ||y x = C. 1|sin |2y x =+ D. |sin |4

y x π=+（）

【标题18】求函数的取值范围时忽略了三角函数的隐含范围

【习题18】已知2

2

2sin cos 1x y +=，则2

2

sin cos x y +的取值范围为________________.

【经典错解】由已知得22cos 12sin y x =-，所以2222

sin cos sin 12sin x y x x +=+-

21sin x =- 2220sin 11sin 001sin 1x x x ≤≤∴-≤-≤∴≤-≤Q

所以22

sin cos x y +的取值范围为[0,1]

【详细正解】由已知得2222211cos 12sin 0sin sin 00sin 22

y x x x x =-≥∴≤

≥∴≤≤Q 所以2222

sin cos sin 12sin x y x x +=+-2

1sin x =-

222111

0sin sin 01sin 1222

x x x ≤≤

∴-≤-≤∴≤-≤Q 所以22

sin cos x y +的取值范围为1[,1]2

.

【习题18针对训练】已知1sin sin 3

x y +=，求2

sin cos x y -的最大值和最小值.

【标题19】求函数的值域时忽略了分母不等于零

【习题19】设函数()sin()f x A wx φ=+ (0,w 0,)A πφπ>>-<< 在6

x π

=

处取得最大值2 ，其图像

与x 轴的相邻两交点的距离为2π

，（1）求()f x 的解析式；（2）求函数426cos sin 1()()6

x x g x f x π--=+ 的值

域.

【经典错解】（1）由题设条件知()f x 的周期T π=，即2π

πω

=，解得2ω=

因()f x 在6

x π

=处取得最大值2，所以2A = ，从而 sin(2)16

π

??

+= ，

所以22,6

2

k k Z π

π

?π?

+=

+∈ ，又由π?π-<< 得6

π

?=

故()f x 的解析式为()2sin(2)6

f x x π

=+

（2）42426cos sin 16cos cos 2()2cos 22sin(2)

2

x x x x g x x

x π

--+-=

=+222(2cos 1)(3cos 2)

2(2cos 1)x x x -+=-

23cos 12x =+因为2cos [0,1]x ∈，所以5()[1,]2g x ∈ . 故()g x 的值域为5

[1,]2

【详细正解】（1）同上； （2）42426cos sin 16cos cos 2()2cos 22sin(2)

2

x x x x g x x

x π

--+-=

=+222(2cos 1)(3cos 2)

2(2cos 1)x x x -+=-

223

1cos 1(cos )2

2x x =+≠因2cos [0,1]x ∈，且21

cos 2

x ≠

故()g x 的值域为775

[1,)(,]442

U

【深度剖析】（1）经典错解错在求函数的值域时忽略了分母不等于零.（2）错解忽略了分母2

2cos 10x -≠，

所以导致函数的值域错误.（3）研究函数的问题，必须注意函数的定义域，即使题目没有要求求函数的定

义域.

【习题19针对训练】设函数(

)sin(2)f x A wx φ=+（其中(0,w 0,)A πφπ>>-<<）在6

x π

=处取得最

大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为

2

π． （1）求()f x 的解析式；（2）求()30f x -≥的解集；

（3）求函数424cos 2sin ()()

6

x x

g x f x π

-=

+的值域．

【标题20】研究函数的问题时没有考虑函数的自变量的范围

【习题20】已知锐角ABC ?中，向量(22sin ,cos sin )p A A A →

=-+与向量(sin cos ,1sin )q A A A →

=-+共线.

（1）求A ； （2）函数232sin cos

2

C B

y B -=+的值域.

【详细正解】（1）同上；（2）

202sin cos(260)B B =+- 01cos 2cos(260)B B =-+- 01sin(230)B =+-

因为ABC ?是锐角三角形 所以002226200322B B B B C πππππ

ππ??

<<<

??<-<<

所以

5122sin(2)13666

26B B B π

π

π

π

π

π<<∴

<-

<

∴<-≤

所以31sin(2)226B π<+-≤ 所以函数的值域为3

(,2]2

.

【习题20针对训练】在ABC ?中，(2sin sin ,cos )m B C C →

=-，(sin ,cos )n A A →

=，且//m n →

→

. （1）求角A 的值； （2）求2()2sin cos(2)3

f x B B π

=+-的最大值.

高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第18讲：三角函数的图像性质参考答案

【习题01针对训练答案】D

【习题01针对训练解析】在单位圆中，根据sin sin αβ>画出αβ， ,再逐一利用三角函数线验证每一个选项，故选D .

【习题02针对训练答案】D

22

2()2222(2

g t at at a b a t b ∴=-++=-

+ 当a ＞0时，则5

1b a b ì=-?í+=??

；解之得a =6，b =﹣5；

当a =0，不满足题意；

当a ＜0时，则1

5

b a b ì=?í+=-??；解之得a =﹣6，b =1．

综上所述：a =6，b =﹣5或a =﹣6，b =1． 【习题04针对训练答案】

6

5π

【习题04针对训练解析】函数向右平移得到cos[2()]cos(2x )2

y x π

?π?=-

+=-+

5sin(2)sin(2)22236y x x πππππ??π?π??π=+-+=+--≤≤∴-=∴=Q ，故填6

5π.

【习题05针对训练答案】C

【习题05针对训练解析】根据题意可知：

22)244y x y x ππ

=+???????→=+横坐标伸长为原来的倍

4

2sin()

44

y x π

ππ??????→=++向左平移个单位

=2)=22

x x π

+.故选C .

【习题06针对训练答案】A

【习题06

针对训练解析】因为3sin(3)3sin[3()]39

y x x π

π

=+=+，所以3sin 3y x =的图象向向左平移

9π个单位即可得到函数3sin 33y x π?

?

=+ ??

?

的图象.

【习题07针对训练答案】A

【习题08针对训练解析】由223αβπ+=

得到1

23

αβπ+=， 所以tan

tan 2

tan(

)tan

32

3

1tan tan 2

α

β

α

π

βα

β

++=

==-g

把tan

tan 232

α

β=① 代入式子中得到：tan

tan 332

α

β+=②， 把①②联立求得：tan

1tan 232

α

β==tan 23tan 12

α

β==

由题知锐角α ，当tan

12

α=时，2

π

α=

矛盾，所以舍去；

当tan 1β= 时，因为β 为锐角，所以4

π

β=，

根据223αβπ+=

得到6πα=．综上所述64

ππαβ==. 【习题09针对训练答案】（1）[0,]6π，2[,]3

π

π ；

（2）12t ≤<. 【习题09针对训练解析】(1) 2

()2cos 32f x x x =+=cos 2321x x +

=2sin 216x π??

++ ??

? 令-222,262

k x k k Z πππ

ππ+≤+≤+∈， 解得222233k x k ππππ-

≤≤+ 即36

k x k ππ

ππ-≤≤+ ， k Z ∈

【习题10针对训练解析】21cos(2)

2()12cos ()1242

x f x x π

ωπω++=++=+g sin 22x ω=-+

22|2|2

T ππ

ωω∴=

=∴=±故填2±. 【习题11针对训练答案】{|

+}2428

k k x x k z ππππ-≤<∈

【习题11针对训练解析】由题得2+

4

4

2

k x k k z π

π

π

ππ-≤+

<∈

所以

+2428

k k x k z ππππ

-≤<∈ 故填{|

+}2428k k x x k z ππππ

-≤<∈.

【习题12针对训练答案】33,)(,]3

+∞-∞-U [ 【习题12针对训练解析】25tan()3633666

x x x π

πππ

ππ≤≤∴≤+≤∴+≥Q

或 3tan()6

3x π

+

≤-

3

3,)(,3

∴+∞-∞-

U 函数的值域为[ . 【习题13针对训练答案】C

【习题13针对训练解析】由图得，4312T πππ??

=?-= ???

，则2ω=，设M （12π，A ），则N （712π，-A ），

∵0OM ON ?=u u u u r u u u r ，0A >，∴701212

A A ππ

?-?=，解得7A π=

∴7

A ωπ?=．

【习题14针对训练答案】D

【习题14针对训练解析】∵函数tan y x ω=在(,)22ππ

-内是减函数，且正切函数在(,)22

ππ

-内是增函数，

由复合函数的单调性可知，x ω 在(,)22

ππ

-

内是减函数，即0ω< 且

||π

πω≥，解得：10ω-≤<．故选D .

【习题15针对训练答案】5[,]8

8

k k k z π

π

ππ+

+

∈ 【习题15针对训练解析】318

2

4

k k z k π

π

π

?π?π?

+=+

∈∴=+

（）由题得-2 1=4k π

?=--

时， ，()sin(2)sin(2)44f x x x π

π=--

=-+ 3222242k x k k z πππ

ππ+≤+≤+

∈

解之得588k x k ππππ+≤≤+ 所以函数的增区间是5[,]88

k k k z ππ

ππ++∈.

【习题16针对训练答案】C

【习题18针对训练答案】4

11;.912

-

【习题18针对训练解析】11

sin sin sin sin 33

x y x y +=

∴=-Q 2

1sin 1sin 13x y -≤≤∴-≤≤Q

2222112sin cos sin cos sin (1sin )sin sin 333x y y y y y y y ∴-=--=---=--2111

(sin )212

y =--

当1sin 2y =时，2sin cos x y -的最小值为1112-.当2sin 3y =-时，2

sin cos x y -的最大值为49

.

【习题19针对训练答案】

（1）()2sin(2)6

f x x π

=+

；

（2）{|}12

4

x k x k k z π

π

ππ+≤≤

+∈；

（3）33

[1,)(,2]22

U .

42422222

4cos 2sin 4cos 2cos 23()2cos 2()

6

(2cos 1)(2cos 2)cos 12(2cos 1)

x x

x x g x x

f x x x x x π

-+-=

=

+-+==+-（）

21cos 2x ≠

Q 因2

cos [0,1]x ∈且21cos 2x ≠ ，故()g x 的值域为33[1,)(,2]22

U . 【习题20针对训练答案】（1）060A =；（2）2 .

【习题20针对训练解析】（1）||(2sin sin )cos cos sin 0m n B C A C A ∴--=u r r

Q

2sin cos sin cos cos sin 02sin cos sin()sin()sin 1

sin 0cos 602

B A

C A C A B A C A B B B A A ABC A π∴--=∴=+=-=≠∴=∴=Q Q 是△的内角

三角和反三角函数图像

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)

反三角函数及性质

y=arcs inx. 函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx，x € R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。 反正弦函数只对这样一个函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。 理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记 性质 根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1 , 1],值域[-n /2 , n /2]，是单调递增函数 图像关于原点对称，是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx ，注意x的取值范围:x € [-1 , 1] 导函数： arcsinx = (土匚(-1,1)) vl-x2，导函数不能取|x|=1 * / fim (arcsinx) =-oo lim {arcsinx) = +oo - . ,:T 1 反正弦恒等式 sin(arcsinx)=x , x € [-1 , 1] (arcsinx)'=1/ V (1-x A2) arcsin x=-arcs in(-x) arcs in ( sin x)=x , x 属于[0, n /2]

arccosx 反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。 就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，贝U arccos(b) = a ; 它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1 , 1】。 由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0, n ],记作y=arccosx，我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值， arcta n x 反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b;等价于arctan(b) = a fflil 定义域：{x lx € R},值域：y € (- n/2,冗/2) 计算性质： tan( arcta na)=a arcta n(-x)=-arcta nx arctan A + arctan B=arcta n(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arcta n(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x T 0时，arctanx~x

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210

7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象

三角和反三角函数图像

三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ- 2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在［2kπ+2 π ,2kπ+32π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π，kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z)

三角、反三角函数图像与性质与三角公式

三角、反三角函数图像 ( 附：资料全部来自网络， 仅对排版做了改动， 以方便打印及翻阅， 其中可能出现错误，阅者请自行注意。 ） 1. 六个三角函数值在每个象限的符号： sin α· csc α cos α· sec α tan α· cot α 2. 三角函数的图像和性质： y=sinx y -5 - 2 1 2 -7 o -4 -3 -2 -3 - 2 -1 2 3 7 2 5 2 2 3 4 2 2 x y=cosx y -5 - 2 1 -32 - -4 -7 -2 -3 o 2 2 -1 y y=tanx 3 3 7 2 2 2 5 4 2 2 y y=cotx x - 3 - - 2 2 o 3 2 2 x - - 2 o 3 2 x 2 2 函数 y=sinx y=cosx y=tanx ｛ x ｜ x ∈ R 且 定义域 R R x ≠ k π+,k ∈ Z ｝ ［ -1,1］ 2 ［ -1，1］x=2k π+ 时 x=2k π时 y max =1 2 R y max =1 x=2k π +π时 值域 无最大值 y min =-1 无最小值 x=2k π-时 y min =-1 2 y=cotx ｛ x ｜ x ∈ R 且 x ≠ k π∈,kZ ｝ R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 1 / 5

在［ 2kπ-,2kπ+ ］在［ 2kπ-π，2kπ］ 在 (k π- ， 在 (k π，kπ+π)内上都是增函数；都是减函数 22 在［ 2kπ，2kπ+π］2 (k ∈ Z) 上都是增函数；在 单调性 2上都是减函数k π+ )内都是增 ［ 2kπ+,2k(k ∈ Z)2 π+ π］ 函数 (k ∈ Z) 23 上都是减函数(k ∈Z) 3.反三角函数的图像和性质： arcsinx arccosx arctanx 名称反正弦函数 y=sinx(x ∈ 〔- ,〕的反函 2 2 定义 数，叫做反正弦函 数，记作 x=arsiny arcsinx 表示属于 理解 ［ -, ］ 22 x 的 且正弦值等于 角 定义域［ -1， 1］ 值域［ -，］ 性 22 单调性 在〔 -1， 1〕上是增 质函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx 周期性都不是周期函数反余弦函数 y=cosx(x ∈ 〔0, π〕)的反 函数，叫做反余 弦函数，记作 x=arccosy arccosx 表示属于 ［ 0，π］，且 余弦值等于 x 的 角 ［-1， 1］ ［0，π］ 在［ -1，1］上 是减函数 arccos(- x)= π- ar ccosx arccotx 反正切函数反余切函数 y=tanx(x ∈ (-, y=cotx(x ∈(0, π )) 的反函数，叫做 2 反余切函数，记 2 )的反函数，叫作 x=arccoty 做反正切函数，记作 x=arctany arctanx表示属于arccotx 表示属于 (-,)，且正切值 (0，π)且余切值等 于 x 的角 22 等于 x 的角 (-∞，+∞)(-∞， +∞) (-，)(0，π) 2 2 在(-∞， +∞)上是增在(-∞，+∞)上是 数减函数 arctan(-x)=-arctanx arccot(- x)= π- arc cotx 2/ 5

广州艺术生高考数学复习资料3三角函数性质与图像

三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π

4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21

常用反三角函数公式表

反三角函数公式

反三角函数图像与特征 1 ：

反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.

反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))

If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function

高中数学教案三角函数的图象与性质

高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草

图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究

三角函数和反三角函数图像性质知识点总结

三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了

4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y

高中数学教师备课必备系列(三角函数(一)专题9 三角函数图像与性质

专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进

行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析

三角和反三角函数图像性质总结

反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,，，,, ,,,,值域 [0，π] ,,,,2222，，,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx，,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx，,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2

-3,,,x|x,k，,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk，kZ, ,，,称直线，无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,，kZ, 点，kZ, 点(,0)k，(,0)点，kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,，[2,22]kk,,,,，，,,,上在,上在(,)kk,，,,2222单调性 ,,3,在上，，[2,2]kk,,,，,[2,2]kk,,在上无减区间 22

高考数学重点难点讲解之三角函数的图像和性质

难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2π)＞0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究 ［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2， ∴m+(2－m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89 . 当sin θ=41时λ取最小值－89 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m

∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴－89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89 ，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB=L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：

大学高数 函数与反三角函数图像

三角函数公式和图象总结 1．与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为S={β|β=α+k ×360，k ∈Z} 2．弧长公式：α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 3．三角函数定义： sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===，其中P (,)x y 是α终边上一点，||r OP = 4．同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α

sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=，?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。

12．①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω，最大值为A+b ，最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13．正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 14．余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15．S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2 A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 ． 一．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是. 4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；

2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝ arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

5.6三角函数的图像和性质

【课题】5.6三角函数的图像和性质 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标： （1）经历利用“图像法”分析三角函数的性质的探究过程，体验“数形结合”的探究方法，享受成功的喜悦。 （2）体验三角函数的性质，特别经历对周期现象的研究，感受科学思维方法。 （3）结识正弦、余弦曲线，感受数学图形的曲线美、对称美、和谐美 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 0,2π上的简图． 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

过 程 行为 行为 意图 间 观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：(0,0), ,12π?? ???, (),0π, 3,12π?? - ??? , ()2,0π． 描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”． 质疑 引领 总结 观察 思考 体会 五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结 35 *巩固知识 典型例题 例1 利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 分析 x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2 π ，π，23π ，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值， 从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像． 解 列表 x 0 π 2 π 3π2 2π x sin 0 1 0 ?1 0 x y sin 1+= 1 2 1 1 以表5-6中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数 x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 例2 已知sin 4x a =-, 求a 的取值范围． 解 因为x sin ≤1，所以4a -≤1，即 141a --剟， 解得 35a 剟． 说明 讲解 引领 质疑 分析 归纳 观察 思考 主动 求解 理解 讨论 求解 思考 安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等 式的 求解 过程 可以 教给

高考数学热点难点专题11++三角函数的图像与性质中的易错点(理)(教师版)

专题11 三角函数的图像与性质中的易错点 一．学习目标 1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性． 2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结 1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系. 另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π 2 (k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上. (2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型： (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ， (3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性

正切 余切图像的性质 反三角函数

正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图 象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函

数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: 上单减 ，奇函数 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.

2020高考数学三角函数复习题

高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin() =+的图象； y A xω? 理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－ β，β= 2β α+－ 2β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?= a b确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。