第六章 相关函数的估计

6. 相关函数的估计（循环相关）

6.1. 相关函数与协方差函数 6.1.1. 自相关函数和自协方差函数

1、 自相关和自协方差函数的定义

相关函数是随机信号的二阶统计特征，它表示随机信号不同时刻取值的关联程度。

设随机信号)(t x 在时刻j i t t ,的取值是j i x x ,，则自相关函数的定义为

j

i j i j i j i

N

n n j

n i

N j i j i x dx

dx t t x x f x x

x x

N

x x E t t R ??∑=

===∞

→),;,(1lim ]

[),(1

)

()(

式中，上角标“（n ）”是样本的序号。

自协方差函数的定义与自相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函数再求乘积的数学期望。亦即：

j

i j i j i x j x i

N

n x n j

x n i

N x j x i j i x dx

dx t t x x f m x m x

m x m x

N

m x m x E t t C j i j i j i ??∑--=

--=--==∞

→),;,())(()

)((1lim )]

)([(),(1

)

()(

当过程平稳时，);,(),;,(τj i j i j i x x f t t x x f =。这时自相关函数和自协方差函数只是i j t t -=τ的函数，与j i t t ,的具体取值无关，因此可以记作)(τx R 和)(τx C 。 对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：

时间自相关函数为：

?

+

-

∞

→+=22

)()(1lim

)(T

T T x dt t x t x T

R ττ

时间自协方差函数为：

?

+

-

∞

→-+-=22

])(][)([1lim

)(T

T x x T x dt m t x m t x T

C ττ

在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。此时相应的定义变成

][),(*

j i j i x x x E t t R =

)]()[(),(*

j i x j x i j i x m x m x E t t C --=

式中，上角标*代表取共轭。

2、 自相关和自协方差函数的性质

自相关和自协方差函数的主要性质如下：

（1） 对称性

当)(t x 时实函数时，)(τx R 和)(τx C 是实偶函数。即

)

()(),

()()()(),()(*

*

ττττττττx x x x x x x x C C R R C C R R =-=-==

当)(t x 时复值函数时，)(τx R 和)(τx C 具有共轭对称性。即

)()(),

()(*

*

ττττx x x x C C R R =-=-

（2） 极限值

)(,

)()0(,)0(2=∞=∞==x x x x

x x x C m R C D R σ

（3） 不等式 当0≠τ时，

)()0(),

()0(ττx x x x C C R R ≥≥

因此，

)0()()(x x x R R ττρ=

是一个小于等于1的无量纲量，称为自相关系数。

（4） 自相关和自协方差函数之间的关系

一般情况下：

j i x x j i x j i x m m t t C t t R +=),(),(

平稳情况下：

2

)()(x x x m C R +=ττ

（5） 非负定性

当)(t x 是实函数时，取一组离散时刻N t t t ,,,21 和一组对应的任意实数N k k k ,,,21 ，则必有

0)(1

1

≥-∑∑==j N

i N

j i j i x

k k t t R

当)(t x 是复值函数时，相应的系数也是复值时，则有

0)(*

1

1

≥-∑∑==j N

i N

j i j i x

k k t t R

6.1.2. 互相关函数和互协方差函数

1、 互相关和互协方差函数的定义

自相关函数和自协方差函数用来描述是单一随机信号的统计特征。对于两个不同的随机信号则要采用互相关函数和互协方差函数来表示两个随机信号的不同时刻取值的关联程度。

设随机信号)(t x ,)(t y ，在时刻j i t t ,的取值是j i y x ,，则互相关函数的定义为

j

i j i j i j i

N

n n j

n i

N j i j i xy dy

dx t t y x f y x

y x

N

y x E t t R ??∑=

===∞

→),;,(1lim ]

[),(1

)

()(

式中，上角标“（n ）”是样本的序号。

互协方差函数的定义与互相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函

数再求乘积的数学期望。亦即：

j

i j i j i y j x i

N

n y n j

x n i

N y j x i j i xy dy

dx t t y x f m y m x

m y m x

N

m y m x E t t C j i j i j i ??∑--=

--=--==∞

→),;,())(()

)((1lim )]

)([(),(1

)

()(

当过程平稳时，);,(),;,(τj i j i j i y x f t t y x f =。这时互相关函数和互协方差函数只是i j t t -=τ的函数，与j i t t ,的具体取值无关，因此可以记作)(τxy R 和)(τxy C 。 对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：

时间互相关函数为：

?

+

-

∞

→+=22

)()(1lim

)(T

T T xy dt t y t x T

R ττ

时间互协方差函数为：

?

+

-

∞

→-+-=22

])(][)([1lim

)(T

T y x T xy dt m t y m t x T

C ττ

在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。此时相应的定义变成

][),(*

j i j i y y x E t t R =

)]()[(),(*

j i y j x i j i xy m y m x E t t C --=

式中，上角标*代表取共轭。

2、 互相关和互协方差函数的性质

互相关和互协方差函数的主要性质如下：

（1） 对称性

当)(t x 时实函数时，)(τxy R 和)(τxy C 是实偶函数。即

)

()(),

()()()(),()(*

*

ττττττττxy xy xy xy xy xy xy xy C C R R C C R R =-=-==

当)(t x 时复值函数时，)(τxy R 和)(τxy C 具有共轭对称性。即

)()(),

()(*

*

ττττxy xy xy xy C C R R =-=-

（2） 极限值

)(,

)(=∞=∞xy y x xy C m m R

（3） 不等式

[])

0()0(2

1)(,

)0()0()(y x

xy y x xy R R

R R R R +≤

≤

ττ

（4） 互相关与互协方差之间的关系

一般情况下：

j i y x j i xy j i xy m m t t C t t R +=),(),(

平稳情况下：

y x xy xy m m C R +=)()(ττ

6.2. 相关函数的直接估计(线性相关)

1. 线性相关

自相关函数的直接估计是根据定义，但是采用离散时间样本来计算的。根据定义有：

??

? ??=+=∑?

-=+∞

→+

-

∞

→1

022

1lim

)()()(1lim

)(N n m n n N x T

T T x x x N m R dt

t x t x T

R ττ

因此，当有限的数据点数N ，自相关函数的估计公式是：

,2,1,0,1)(?10

±±=???

?

??=∑--=+m x x N m R m N n m n n x

注意，上式中的求和项总数不是N ，而是m N -。因为当1--=m N n 时，

1-=+N m n ，此时m

n x +已经到达了N 点数据序列的边沿上。

2. 估计偏差

自相关函数的直接估计的偏差：

[]

[])

(1)(?10

m R N

m N x x E N m R E x m N n m n n x -=

???? ??=∑--=+

可见，直接根据定义给出的自相关函数估计是有偏的，但是渐进无偏的。 根据这一估计偏差公式，还可以看出：延迟值m 俞大，估计的偏差也俞大。这是因为当数据序列的总点数N 有限时，m 俞大，求和时可利用的数据俞少。

作为特例，当N m =，[]0)(?=m R E x

，此时偏差与相关函数值相等。 为了使估计无偏，可以对估计公式修正，按照下式进行无偏修正估计：

,2,1,0,1

)(?1

±±=???

?

??-=∑--=+m x x m N m R m N n m n n x

3. 估计方差

自相关函数的方差特性分析要设计到随机过程的四阶矩,推导比较困难。

这里，给出对于高斯型随机过程，自相关函数有偏估计的方差公式：

[]

[]

)()()(11

)(?2

1

)1(n m R n m R n R N n m N m R Var x x x m N m N n x

-++???? ??++=∑-----= 自相关函数无偏修正估计的方差公式：

[]

()

[]

)()()(1)(?2

1

)1(2

n m R n m R n R N n m m

N

N

m R Var x x x

m N m N n x

-++???

? ??++-=∑-----= 从上式可以看到，当∞→N 时，上述两种估计的方差都趋于零。可以证明，

即使随机过程不是高斯分布的，这一结论也成立。

不过，当数据序列点数N 有限，并且N m →时，无偏估计式的估计方差太大，远大于有偏估计式的估计方差，所以，实际应用中多采用有偏估计式。 实际工程中相关函数的应用价值，主要是根据相关函数的主峰值确定两个信号之间的时延值，这也是采用有偏估计式的另一个原因。

如果不考虑估计的计算工作量，采用直接估计算法，已经可以解决自相关函数的估计问题。

一般地，要求m N >>，通常要求样本点数N 为最大时延值m 的20倍以上。在实际应用中，通常采用相关方法，确定两个信号间的时延值，为了达到较高的时间分辨率，采样频率较高，最大延时值m 一般较大，从而N 就很大，按照估计式就需要2/2N 次乘法运算。例如时延点数取1024点，则数据样本点数至少要达到2万点，估计一次相关函数，至少要进行2万次乘法运算。由于计算量非常大，不能满足实时估计的要求。

4. 直接估计算法

需要说明的是，上述估计公式是理论推导过程，在计算机上实施的实际估计算法公式是：

自相关函数的估计式：

)

1(,2,1,0,1)(?10-±±±=???

?

?

?=∑--=+N m x x N m R m N n m n n x

如果先减掉信号的均值再进行计算，就得到自协方差函数的估计：

)1(,,2,1,0,1)(?10-±±±=???

?

??=∑--=+N m x x N m C m N n m n n x

互相关函数和互协方差函数也可以用类似算法来估计，只要把自相关或自协方差函数估计式中的一个信号用n y 代替即可。此外，值得注意的是，由于它们不是偶函数，所以0≥m 和0

互相关函数的估计式：

)1(,,2,1,0,1)(?10-+++=???

?

?

?=∑--=+N m y x N m R m N n m n n xy

)1(,,2,1,1)(?10

----=???

? ??=∑--=+N m y x N m R m N n n m n xy

互协方差函数的估计式：

)1(,2,1,0,))((1)(?10

-+++=???? ??--=∑--=+N m m y m x N m C m N n y m n x n xy

)1(,2,1,))((1)(?10

----=???

? ??--=∑--=+N m m y m x N m C m N n y n x m n xy

6.3. 相关函数的间接估计(循环相关)

当M 较小时，直接估计算法是很有效的。但是，当M 大时，其计算量与N M ?成正比例，乘法运算量很大，还不能利用FFT 算法。为此，利用循环自相关可以通过FFT 快速算法进行计算的特点，提出了从数据序列的频谱估计相关函数的间接估计方法。 1. 循环相关

实数平稳的循环周期(圆周)序列(){}n x 的定义为

()()() =±=±=N n x N n x n x 2

式中N 为循环周期，或称圆周。由循环周期序列(){}n x 所得的循环自相关函数的定义为：

()()())

1(,,2,1,0,

11

-±±±=+=

∑-=M m m n x n x N

m R

N n c x

2. 循环相关的DFT 快速算法

根据维纳-辛钦定理可知，自相关函数是自功率谱序列的离散傅立叶逆变换。因此，很容易想到，可以通过自功率谱有限时间序列估计的IDFT ，也即有限时间序列的周期图的IDFT ，来计算自相关函数。

若(){}k X 为(){}n x 的离散傅立叶变换，则(){}n x 的循环自相关函数()m R c x 是离散频谱的周期图()?

????

?21

k X N 序列的离散傅立叶逆变换。

由IDFT 的定义

()()()()()()()∑∑

∑∑∑∑∑∑-=-=-=-+--=--=--=-=--=-?

????

?=?

???????????

??????=?

??

???=

?

????

?101

1

)

(1

01

101

0*

1

021

111

1

1

1

1

N l N n N k l n m k N k mk

N n nk

N l lk

N k mk

N k mk

W

N

n x l x N

W W n x W l x N N W

k X k X N

N W k X N N

根据第4章频谱分析理论中给出的指数因子性质，上式中，表达式

???±±==-+=∑-=-+-etc

r rN l n m N W

N k l n m k ,

0)

210(,,1

)

( ，，，

因为l n ,的取值范围是)1(~0-N ，m 的取值范围是N M M ≤-,)1(~0，故上式中r 的取值只能是0和1。与此相对应，l 的取值只能是n m +和N n m -+。根据DFT 的定义，当l 取值n m +和N n m -+时， 对应地，n 取值范围分别只能为)1(~0m N --和)1(~)1(---N m N 。将这些分析结果代入前式中，进一步推导得

()()()()()()()

()()

∑∑∑

∑∑

∑∑-=--=--=-=-=-=-+--=-+=

-++

+=?

????

?=

??????10

1

10101

01

)

(1

02111111

1

N n N m

N n m

N n N l N n N k l n m k N k mk

n x n m x N

n x N n m x N

n x n m x N W

N

n x l x N W k X N N

上述结论也就是循环自相关函数的定义式，因此有

()()∑-=-?

?????=

1

021

1

N k mk

c x

W k X N N m R

也即

(){}()?

????

???→←2..1

k X N m R T

F D c

x

3. 循环相关与线性相关之间的关系

进一步考察上述推导过程，不难发现，循环自相关函数包括两个部分，即

()

()()

()()()()

∑∑∑--=--=-=-++

+=

+=1

10

1

0111N m

N l m

N n N n c

x

N m l x l x N

m n x n x N

m n x n x N m R

上式中的第一部分实际上就是直接根据线性相关定义推导出的有偏估计式，即

()()1,,2,1,0,

1)(?10

-++=+=∑--=N m m n x n x N

m R m

N n x

令)(m N n l -+=，则循环自相关的第二部分，可以写成

()()

()()

()()

)(?)(1)()(11)

(10

)

(101

m N R m N

n x n x N

N

m m N n x m N

n x N N m l x l x N x

m N N n m N N n N m N l -=-+=-+-+-+=-+∑∑∑---=---=--=

也是一个线性自相关的有偏估计式。

因此，循环自相关与线性自相关之间存在下列关系式

()

()()

()()()()()()m N R m R m N

n x n x N

m n x n x N

m n x n x N m R

x

x m N N n m

N n N n c

x

-+=-++

+=

+=∑∑∑---=--=-=??)(111)

(10

10

1

上式表明，由周期图经过IDFT 计算获得的自相关序列，是循环自相关序列，并

不是有限时间数据线性相关的有偏估计序列。

这种现象是由于DFT 变换在频域上进行了离散化所造成的。离散频谱序列对应的信号时域序列是以有限序列点数N 为周期的循环时间序列，并不是原始无限长时间序列本身。

4. 估计算法

进一步考察循环相关序列和线性相关序列之间的关系，可以发现：循环相关序列是线性相关序列本身，与线性相关序列以N/2为中轴的镜像的叠加。 根据这一特点，可以通过在时间信号序列后面添加0，形成一个更长的新时间序列。这个新序列改变了原始序列的周期性。通过这个新时间序列的循环自相关序列的前M 个点就是原始时间序列(){}n x 线性自相关的无偏估计。

综上所述，我们可以采用下列步骤，计算10-≤≤M m 区间内的线性自相关

的有偏估计值()m R x

?： (1) 把点序列(){}n x 增加1-M 个0，形成1-+=M N L 点的新的时间扩展序

列

()()??

?

???????=- 1

0,,0,0,M e n x n x ；

(2) 使用FFT 快速算法，计算形成的扩展序列的DFT ，即

()()1,,1,0,

1

-==

∑-=L k W

n x k X L n nk

e

e

(3) 计算扩展序列的周期图序列

()1,,1,0,1

2-=?

?????L k k X N e

(4) 用FFT 算法，计算周期图的IDFT ，获得扩展序列的循环自相关序列

()()1,,1,0,

1

1

1

02-=?

?????=

∑-=-L k W k X N N m R

N k mk

e

c

x e

(5) 取扩展序列的循环自相关(){}m R c x e

的前M 个点，得(){}m R x

?，即 ()()1,,1,0,?-==M m m R m R c x x e

前面提到，直接算法需要

2

2

N 次乘法的运算。这种间接算法的计算量约需

)(log )(log

22M N M N L L ++=

次乘法。因此，对于大的M 值，这种间接算法比直接估计更加快速有效。 值得指出的是，上述推导过程表明：间接算法获得的自相关函数的无偏估计

就是自相关函数的直接算法的无偏估计。所以，间接算法，仅仅是一种加速算法而已，所获得的估计的误差和方差特性并无任何改变。

6.4. 相关函数的应用

1. 从噪声中检测信号是否存在

当观察时间序列(){}n x 中包含着被噪声(){}n n 淹没的信号(){}n s 时，如果信号与噪声互不相关，而且对信号的波形已有先验知识，则只要对(){}n s 和(){}n x 作互相关，就能检测出信号(){}n s 是否存在。

设

()()()n n n s n x +=

因为()()[]0=+m n n n s E ，所以

()()()[]

()()()[][]()()[]()()[]()()[]()

m R m n s n s E m n n n s E m n s n s E m n n m n s n s E m n x n s E m R s sx =+=+++=+++=+= 可见，所得互相关正是先验信号本身的自相关。

2. 估计两个相似信号之间的时间延迟

设(){}n y 是(){}n x 的延迟()()0n n x n x -=，则()m R xy

?将在0n m =处达到最大值。因为此时两信号波形完全重合。

自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图

互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 ●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 ●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 -----------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示： 自相关函数： dt=.1; t=[0:dt:100];x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a)

互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 3.实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即 R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3); plot(b*dt,a); yy=cos(3*fliplr(t));%or use:yy=fliplr(y); z=conv(x,yy); pause; subplot(3,1,3); plot(b*dt,z,'r'); 即在xcorr中不使用scaling。

随机过程作业

第三章 随机过程 A 简答题： 3-1 写出一维随机变量函数的均值、二维随机变量函数的联合概率密度（雅克比行列式）的定义式。 3-2 写出广义平稳（即宽平稳）随机过程的判断条件，写出各态历经随机过程的判断条件。 3-3 平稳随机过程的自相关函数有哪些性质功率谱密度有哪些性质自相关函数与功率谱密度之间有什么关系 3-4 高斯过程主要有哪些性质 3-5 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度之间的关系如何 3-6 写出窄带随机过程的两种表达式。 3-7 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何 3-8 窄带高斯过程的包络、正弦波加窄带高斯噪声的合成包络分别服从什么分布 3-9 写出高斯白噪声的功率谱密度和自相关函数的表达式，并分别解释“高斯”及“白”的含义。 3-10 写出带限高斯白噪声功率的计算式。 B 计算题： 一、补充习题 3-1 设()()cos(2)c y t x t f t πθ=?+，其中()x t 与θ统计独立，()x t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为：(),()x x R P τω。 ①若θ在（0，2π）均匀分布，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 ②若θ为常数，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 3-2 已知()n t 是均值为0的白噪声，其双边功率谱密度为：0 ()2 N P ω= 双，通过下图()a 所示的相干解调器。图中窄带滤波器（中心频率为c ω）和低通滤波器的传递函数1()H ω及2()H ω示于图()b ，图()c 。

试求：①图中()i n t （窄带噪声）、()p n t 及0()n t 的噪声功率谱。 ②给出0()n t 的噪声自相关函数及其噪声功率值。 3-3 设()i n t 为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为2 n σ，信号[cos ()]c i A t n t ω+经过下图所示电路后输出为()y t ，()()()y t u t v t =+，其中()u t 是与cos c A t ω对应的函数，()v t 是与()i n t 对应的输出。假设()c n t 及()s n t 的带宽等于低通滤波器的通频带。 求()u t 和()v t 的平均功率之比。

高等数学公式大全以及初等函数图像

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

Matlab自相关函数和互相关函数的计算和作图

自相关函数(Autocorrelation function，缩写ACF)是信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。 自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。 信号处理 在信息分析中，通常将自相关函数称之为自协方差方程。用来描述信息在不同时间τ的，信息函数值的相关性。 ，其中“*”是卷积算符，为取共轭 自相关函数的性质 以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。 ?对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(?i)。连续型自相关函数为偶函数当f为实函数时，有： 当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： 其中星号表示共轭。 ?连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有 。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。 ?周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 ?两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。 ?由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

?连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ = 0 之外的所有点均为0。 ?维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对： ?实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式： 白噪声的自相关函数为δ函数： 自相关函数和偏相关函数的问题 在时间序列分析的研究中，首先是判别时间序列的稳定性，如果时间序列是平稳的就可以计算这些数据的自相关函数和偏相关函数。 如果自相关函数是拖尾的，偏相关函数是截尾的，那麽数据符合AR（P）模型。 如果自相关函数是截尾的，偏相关函数是拖尾的，那麽数据复合MA( Q )模型 如果自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，那麽数据复合ARMA( P,Q )模型。 自相关函数和互相关函数的matlab计算和作图 1. 首先说说自相关和互相关的概念。 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与

高等数学公式大全及常见函数图像

高等数学公式大全及常 见函数图像 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

高等数学公 式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导

相 关 系 数 r AB 的计算公式的推导 设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符 号的含义同上。 2 A σ=1 1-n 2)(∑-A A i 2 B σ=1 1-n )(B B i -∑2 2 P σ= 12)1(-i i P P 公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ： (2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2 P σ取极小值的A A ： A A =AB B A B A AB B A B r r σσσσσσσ22 22-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。 由于使(2P σ)′=0的A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的A A 使2 P σ为最小值。

以上分析清楚地说明：对于证券A和证券B，只要它们的系数r AB 适当小（r AB 的“上限”的 计算，本文以下将进行分析），由证券A和证券B构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B 的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A A ），会比将全部资金投资于风险较小的证券A的方 差（风险）还要小；只要投资于证券B的资金在（1—A A ）的比例范围内，随着投资于证券B的资 金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B的资金比例等于（1—A A ）时，投资组合的方差（风险）最小。这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式（3）计算出的证券A和证券B的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A和证券B的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。

余弦函数图像和性质练习含答案

课时作业10 余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数f (x )＝cos(2x －π 6)的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 解析：本题考查三角函数的周期． T ＝ 2π 2 ＝π. 余弦型三角函数的周期计算公式为2π ω (ω>0)． 答案：B 2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π 3个 单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9 解析：将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝f (x －π 3)＝ cos[ω(x －π3)]＝cos(ωx －π3ω)，则－π 3 ω＝2k π， ∴ω＝－6k ，又ω>0，∴k <0，当k ＝－1时， ω有最小值6，故选C.

3．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π 2 的函数，若f (x )＝ ????? cos x ? ?? ?? －π2≤x ≤0，sin x 0

人教版高数必修一第4讲：函数的表示方法

函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

相关系数计算公式

相关系数计算公式 相关系数计算公式 Statistical correlation coefficient Due to the statistical correlation coefficient used more frequently, so here is the use of a few articles introduce these coefficients. The correlation coefficient: a study of two things (in the data we call the degree of correlation between the variables). If there are two variables: X, Y, correlation coefficient obtained by the meaning can be understood as follows: (1), when the correlation coefficient is 0, X and Y two variable relationship. (2), when the value of X increases (decreases), Y value increases (decreases), the two variables are positive correlation, correlation coefficient between 0 and 1. (3), when the value of X increases (decreases), the value of Y decreases (increases), two variables are negatively correlated, the correlation coefficient between -1.00 and 0. The absolute value of the correlation coefficient is bigger, stronger correlations, the correlation coefficient is close to 1 or -1, the higher degree of correlation, the correlation coefficient is close to 0 and the correlation is weak. The related strength normally through the following range of judgment variables: The correlation coefficient 0.8-1.0 strong correlation 0.6-0.8 strong correlation

正弦函数和余弦函数图像与性质

6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;

第三章：相关系数r 的计算公式的推导

第三章附录：相关系数r的计算公式的推导 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

相关系数r AB 的计算公式的推导 设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。 2 A σ=1 1-n 2)(∑-A A i 2 B σ=1 1-n )(B B i -∑2 2 P σ=11-n 2)1(∑∑-i i P n P =2)](1 )[(11i B i A i B i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(1 1 B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([1 1 B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([1122 22B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2 A × 22 1 )(B i A n A A +--∑× 1 )] )([(21 )(2 ---+ --∑∑n B B A A A A n B B i i B A i =A 1 )])([(22222 ---? ++∑n B B A A A A A i i B A B B A A σσ 对照公式（1）得： = 1 )(2 --∑n A A i × 1 )(2 --∑n B B i × r AB ∴ r AB = ∑∑∑-?---2 2 ) ()()])([(B B A A B B A A i i i i 这就是相关系数r AB 的计算公式。 投资组合风险分散化效应的内在特征 1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定 公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ： (2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ： A A =AB B A B A AB B A B r r σσσσσσσ22 22 -+- … …………………………………（3） AB B A i i r n B B A A σσ =---∑1 )])([(

互相关函数自相关函数计算和作图

互相关函数-自相关函数计算和作图

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互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 ●互相关函数是描述随机信号ｘ(t）,y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 ●自相关函数是描述随机信号x(t）在任意两个不同时刻t１，ｔ2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 ---－-－－-------－----－－－--－－－---------－-－------------－---－－--------－----－-－－--－-－--－- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(ｔ）,则自相关函数定义为Ｒ(u）=f(t)*f(-ｔ)，其中*表示卷积；设两个函数分别是ｆ（t)和ｇ(t），则互相关函数定义为R（u)=f(t）*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 2.利用ｍａtlab中实现这两个相关并用图像显示: 自相关函数：? dt＝.1; t=[０:dt:100];x=ｃos（t); [a,b]=xｃorr(x,'ｕnbiasｅｄ＇); ｐloｔ(b＊dt,ａ） ?

互相关函数：把［ａ,b]＝ｘｃｏrr(x,＇unbｉased');改为[a,b]=ｘｃｏｒr(x,ｙ,'ｕｎｂia ｓed');便可。 ?３. 实现过程: 在Ｍaｔalb中，求解ｘcorr的过程事实上是利用Ｆoｕrier变换中的卷积定理进行的，即R(ｕ)=ｉffｔ(fｆｔ(f）×ｆft(g)),其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算,但是结果会与xcorr的不同。事实上,两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码:??dt=.1; ｔ=[0:dt:１00];?x=3*ｓｉn（t）;?ｙ=ｃos（3*t)；?subplot(3,１,1); plｏｔ(t，ｘ）； ｓubplｏt(３,1，2);?ｐlot(t,ｙ); [ａ,b]=ｘcoｒｒ(x，y）； sｕbplot(３,１,３);?plot（b*dt,a）;?yｙ=cos(3*fliｐlr(t)); % ｏr ｕsｅ：ｙy=flｉplr(ｙ）; ｚ=ｃonｖ（x，yy); pause; sｕｂｐｌot（３,1,3）; plot(b＊dt,z,'r＇）;??即在xcoｒr中不使用scａling。 ?4. 其他相关问题：?1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系？

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高等数学公式 导数公式： (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 ( ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (cscx) cscx ctgx (arctgx ) 1 ( a x ) a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 (arcctgx ) 1 1 x 2 x ln a 基本积分表： tgxdx ln cosx C dx sec 2 xdx tgx C ctgxdx ln sin x C cos 2 x dx 2 secxdx ln secx tgx C sin 2 x csc xdx ctgx C cscxdx ln cscx ctgx C secx tgxdx secx C dx 1 x csc x ctgxdx cscx C a 2 x 2 a arctg a C a x dx a x C dx 1 x a ln a x 2 a 2 2a ln C x a shxdx chx C dx 1 a x a 2 x 2 2a ln C chxdx shx C a x dx x 2 arcsin x C dx ln( x x 2 a 2 ) C a 2 a x 2 a 2 2 2 n 1 I n sin n xdx cos n xdx I n 2 0 0 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2

三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

课题三角函数的图像及性质 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切) 教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状； 3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象； 2 4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 重点、难点 1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 2、作余弦函数的图象。 教学内容 、正弦函数和余弦函数的图象： -1 正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质： ( 1)定义域：都是R。 (2)值域： 1、都是1,1 ， 2、y sinx ，当x 2k k 2 3、y cosx ，当x 2k k Z 例： ( 1)若函数y a bsin(3 x Z 时，y 取最大值1 ；当x 时，y 取最大值1，当x 2k ) 的最大值为3，最小值为 62 3 2k 3 k Z 时，y 取最小值－1； 2 k Z 时，y 取最小值－ 1 。 1，则 a __， b ＿ 2 3 y -2 1 y=cosx -3 -5 -32 -4 -7 -2 -3 22

1 答： a 1 2,b 1或b 1)； ⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是 3）周期性 ： （正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。 5）单调性 ： 别忘了 k Z ！ ⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（ ① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ； ② f ( x) A sin( x )和 f (x) Acos( 2 x ） 的最小正周期都是 T 2 sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为 例： (1)若 f (x) f (3) L 的是（ A. y cos 4x B. y sin 2x C.y f (2003) ＝ 答： 0）； x sin 2 D.y x cos 4 （ 4）奇偶性与对称性 ： 1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函 数， 对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ； 2 2、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z 5 例：（1） 函数 y sin 5 2 2x 的奇偶性是 答：偶函数）； 2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5) 答：－ 5）； y sin x 在 2k , 2k 2 k Z 上单调递增，在 2k , 2k 2 3 k Z 单调递减； 2 y cosx 在 2k ,2 k Z 上单调递减，在 2k ,2k k Z 上单调递增。 特别提醒 ，

高等数学公式大全以及初等函数图像

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图

《 互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 -----------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 】 2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示： 自相关函数： dt=.1; t=[0:dt:100];x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a)

互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 ? 3. 实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即 R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3);

正、余弦函数的图象和性质

xx －xx 学年度下学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（6）—正、余弦函数的图象和性质 一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)4 sin(π +=x y 在闭区间（ ）上为增函数. （ ） A ．]4 ,43[ππ- B ．]0,[π- C ．]4 3 ,4[ππ- D ．]2 ,2[π π- 2．函数)4 2sin(log 2 1π + =x y 的单调减区间为 （ ） A ．)(],4(Z k k k ∈- ππ π B ．)(]8,8(Z k k k ∈+- π πππ C ．)(] 8 ,83(Z k k k ∈+-π πππ D ．)(]8 3 ,8(Z k k k ∈++ππππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2 -+=x a x x f 的最大值为 （ ） A ．12+a B ．12-a C ．12--a D ．2 a 4．函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2 π - =x B ．4 π - =x C ．8π=x D ．π4 5=x 5．方程x x lg sin =的实根有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 6．下列函数中，以π为周期的偶函数是 （ ） A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．)32sin(π + =x y D ．)2 sin(π +=x y 7．已知)20(cos π≤≤=x x y 的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是 （ ） A ．4π B ．2π C ．8 D ．4 8．下列四个函数中为周期函数的是 （ ）

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【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

第三章附录相关系数r 的计算公式的推导

相关系数r AB 的计算公式的推导 设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。 2 A σ=11 -n 2)(∑-A A i 2B σ=11-n )(B B i -∑2 2 P σ=11-n 2)1(∑∑-i i P n P =2)](1 )[(11i B i A i B i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(11 B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([11 B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([1 122 22B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2A × 22 1 ) (B i A n A A +--∑× 1 )] )([(21 )(2 ---+ --∑∑n B B A A A A n B B i i B A i =A 1 )] )([(22222 ---? ++∑n B B A A A A A i i B A B B A A σσ 对照公式（1）得： = 1 )(2 --∑n A A i × 1 )(2 --∑n B B i × r AB ∴ r AB = ∑∑∑-?---2 2 ) ()()] )([(B B A A B B A A i i i i 这就是相关系数r AB 的计算公式。 投资组合风险分散化效应的内在特征 1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定 公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ： (2 P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2 B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2 P σ取极小值的A A ： AB B A i i r n B B A A σσ =---∑1 )])([(